专题4.2 平面向量的线性运算及数量积（举一反三专项训练）
【全国通用】
目录
第一部分 题型专
练
【题型1 向量的线性运算】......................................................................................................................................1
【题型2 向量共线定理及其应用】..........................................................................................................................2
【题型3 平面向量数量积的运算】..........................................................................................................................2
【题型4 平面向量的夹角问题】..............................................................................................................................3
【题型5 平面向量的模长问题】..............................................................................................................................3
【题型6 向量数量积与其他知识交汇】..................................................................................................................4
第二部分 分层突破
A 组 基础跟踪练
B 组 培优提升练
【题型1 向量的线性运算】
1．（2025·四川自贡·三模）在△ABC中，D是AB边上的中点，则⃗CA =（ ）
A．2⃗CD−⃗CB
B．⃗CD−2⃗CB
C．2⃗CD +⃗CB
D．⃗CD +2⃗CB
2．（2025·辽宁·一模）已知△ABC，点D 满足⃗BD =3⃗BC，则⃗AD =（ ）
A．3⃗AB−2⃗AC
B．3⃗AC −2⃗AB
C．3
2⃗AB−1
2⃗AC
D．1
2⃗AC −3
2⃗AB
3．（2025·山东临沂·一模）在△ABC中，点D是AB的中点，点P在CD上，若⃗AP = λ⃗AB+ 1
3⃗AC，则λ=
（ ）
A．1
6
B．1
3
C．2
3
D．4
3
4．（2025·辽宁·模拟预测）在平行四边形ABCD中，⃗AE =2⃗EC ,⃗EF =⃗FB，则（ ）
A．⃗AF = 1
3⃗AB+ 5
6⃗AD
B．⃗AF = 2
3⃗AB+ 5
6⃗AD
C．⃗AF = 5
6⃗AB+ 1
3⃗AD
D．⃗AF = 5
6⃗AB+ 2
3⃗AD
【题型2 向量共线定理及其应用】
5．（2025·广东茂名·二模）已知向量⃗e1,⃗e2
不共线，且(2⃗e1+ λ⃗e2)∥(3⃗e1−2⃗e2)，则实数λ=（ ）
A．3
B．−3
C．4
3
D．−4
3
6．（2025·江苏南通·三模）已知⃗e1
，⃗e2
为平面内一组基底，⃗AB =⃗e1+a⃗e2
，⃗CB =⃗e1−4⃗e2
，⃗
CD =5⃗e1+ 4⃗e2
，若A，B，D 三点共线，则a 的值为（ ）
A．2
B．−2
C．0
D．1
7．（2025·吉林长春·二模）在△ABC中，AD
→
= 2
3 AC
→
，点E 在BD上，若AE
→
= x BA
→
+ 1
3 BC
→
，则x =
（ ）
A．−2
3
B．−4
5
C．−5
6
D．−6
7
8．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知向量⃗a,⃗b不共线，⃗AB = λ⃗a+⃗b,⃗AC =⃗a+ μ⃗b，其中λ>0, μ>0，若
A ,B ,C三点共线，则λ+ 4 μ的最小值为（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
【题型3 平面向量数量积的运算】
9．（2025·山西·三模）已知向量⃗a，⃗b
，⃗c均为单位向量，且⃗a+3⃗b+2⃗c =0
，则⃗a⋅(2⃗b−⃗c)=
（ ）
A．0
B．−1
C．2
D．−3
10．（2025·福建漳州·模拟预测）已知向量⃗a=(x ,1)，⃗b=(4 ,−2)，且a
→
// b
→，则⃗a⋅⃗b=（ ）
A．−10
B．−6
C．6
D．10
11．（2025·河南·模拟预测）在菱形ABCD中，AB =1，∠ABC =π
3
，E 为边CD上的动点（包括端
点），F 为BC的中点，则⃗AE⋅⃗AF的取值范围为（ ）
A．[
1
2 ,1)
B．[0, 1
2)
C．[
3
4 ,1)
D．[0, 3
4)
12．（2025·青海·模拟预测）青铜太阳轮，出土于三星堆，距今已有3000 多年历史，其状若车轮，现存于
三星堆博物馆．如图，该青铜太阳轮圆周上有5 个孔，可看成5 个点，记为A，B，C，D，E，五边形
ABCDE 为正五边形，AB =25，则⃗AB⋅⃗AD =（ ）
A．312.5
B．625
C．1250
D．625cos36°
【题型4 平面向量的夹角问题】
13．（2025·湖北·模拟预测）已知平面向量⃗a,⃗b,|⃗a)= ❑√3|⃗b)，设⃗b−⃗a在⃗a上的投影向量为−3
2⃗a，则⃗a与⃗b的
夹角为（ ）
A．5π
6
B．2π
3
C．π
3
D．π
6
14．（2025·全国·模拟预测）已知向量⃗a=(2,0)，⃗a−⃗b=(3,−❑√3)，则cos⟨⃗a−2⃗b,⃗a)=（ ）
A．−
❑√3
5
B．
❑√7
5
C．2❑√7
7
D．
❑√7
7
15．（2025·河北唐山·模拟预测）非零向量a
→
，b
→满足|a
→)=2|b
→)，a
→
−5 b
→与2 a
→
+3 b
→垂直，则a
→与b
→的夹角
为（ ）
A．π
6
B．π
3
C．2π
3
D．5 π
6
16．（2025·安徽·模拟预测）已知平面向量⃗a,⃗b
满足⃗a=(1,2),|⃗b|=1且⃗a在⃗b
方向上的投影向量为2⃗b
，则⃗a
与⃗b夹角的余弦值大小为（ ）
A．4
5
B．3
5
C．
❑√5
5
D．2❑√5
5
【题型5 平面向量的模长问题】
17．（2025·河北沧州·模拟预测）已知两两不共线的三个平面向量⃗a,⃗b,⃗c满足：|⃗a)=3,|⃗b)= 4 ,|⃗c)=5
，使
得5⃗a⋅⃗b=3⃗b⋅⃗c = 4⃗a⋅⃗c =t，则|⃗a+⃗b+⃗c)=（ ）
A．3
B．❑√3
C．❑√97
D．
❑√106
2
18．（2025·河北沧州·一模）已知向量⃗AB =(m,2),⃗BC =(2,−1).若⃗AB //⃗BC
，则|⃗AC)=
（ ）
A．❑√5
B．5
C．3 ❑√5
D．45
19．（2025·山东临沂·三模）在平行四边形ABCD中，AB =3，AD =2，∠BAD =60
∘，P为边CD上一
点，若AP⊥BD，则线段AP的长为（ ）
A．
❑√21
2
B．❑√5
C．3
D．2❑√3
20．（2025·云南昭通·模拟预测）已知向量⃗a,⃗b,⃗c满足|⃗a)=3,|⃗b)=1,|⃗a−⃗b)= ❑√7 ,|⃗c)=2|⃗c−⃗a)，记⃗
m=t⃗b(t ∈R)，则|⃗m−⃗c)的取值范围是（ ）
A．[❑√2,+ ∞)
B．[2❑√3−2,+ ∞)
C．(−∞,2❑√3+2)
D．[2❑√3−2,2❑√3+2)
【题型6 向量数量积与其他知识交汇】
21．（2025·四川乐山·三模）已知等腰三角形ABC中，∠BAC =120°，AB = AC =1，⃗BC =⃗a，⃗CA =⃗b，⃗
AB =⃗c，那么⃗a⋅⃗b+⃗b⋅⃗c +⃗c⋅⃗a=（ ）
A．5
2
B．−5
2
C．7
2
D．−7
2
22．（2025·四川广安·模拟预测）已知|⃗a)=2，|⃗b)=1
，⟨⃗a,⃗b)=θ
，|⃗a+2⃗b)+|⃗a−2⃗b)= f (θ)，则函数f (θ)
的值域是（ ）
A．[4,2❑√5)
B．[3,2❑√5)
C．[4,4 ❑√2)
D．[3,4 ❑√2)
23．（2025·江苏镇江·模拟预测）已知A，B，C 是函数f ( x)=|log2 x)的图象上的三点，且A 在x 轴上，
BC ∥x轴，BC = 15
4
，则⃗AB⋅⃗AC =（ ）
A．25
4
B．15
4
C．7
4
D．−5
4
24．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，在△ABC中，∠BAC =π
3 ,⃗AD =⃗DB , P为CD上一点，且满足⃗
AP =m⃗AC + 1
3⃗AB，若S△ABC =2❑√3，则|⃗AP)的最小值是（ ）
A．2
B．4
C．2❑√6
3
D．8
3
A 组 基础跟踪练
一、单选题
1．（2026·贵州毕节·一模）已知向量⃗a,⃗b满足|⃗a)=1,|2⃗a−⃗b)= 4，且(⃗a+2⃗b)⊥⃗a，则|⃗b)=（ ）
A．❑√5
B．❑√10
C．5
D．10
2．（2026·重庆·一模）边长为 2 的等边三角形 ABC 的外心为 O ，则 ⃗OA ⋅⃗AB =（ ）
A．−2
B．2
C．2❑√3
D．−❑√3
3．（2026·四川绵阳·二模）在△ABC中，⃗BD =⃗DC，若⃗AB =⃗a，⃗AC =⃗b，则⃗AD =（ ）
A．⃗a+⃗b
B．1
2⃗a−1
2⃗b
C．−1
2⃗a−1
2⃗b
D．1
2⃗a+ 1
2⃗b
4．（2026·广东湛江·一模）设⃗a,⃗b为单位向量，且|⃗a−⃗b)= ❑√2，则|⃗a+⃗b)=（ ）
A．1
B．❑√2
C．❑√3
D．2
5．（2026·福建漳州·模拟预测）在△ABC中，D为BC中点，△ABD是边长为1的等边三角形，则向量⃗CA
在向量⃗CB方向上的投影向量为（ ）
A．
❑√3
4⃗CB
B．3
4⃗CB
C．
❑√3
2⃗CB
D．3
2⃗CB
6．（2026·陕西西安·一模）已知平面向量⃗a，⃗b，⃗c，满足|⃗a)=|⃗b)=1，⃗a−2⃗b+⃗c =0，
cos<⃗a+⃗c ,⃗c>= 2❑√5
5
，则|⃗c)=（ ）
A．❑√5
B．❑√5或3
5
❑√5
C．5
D．5 或3
5
❑√5
7．（2026·四川雅安·一模）已知平面向量⃗a与⃗b的夹角为π
6
，⃗a=(0,1),|⃗b|=2，则|2⃗a−⃗b|=（ ）
A．2
B．2❑√3
C．❑√8−4 ❑√3
D．❑√8+ 4 ❑√3
8．（2026·辽宁辽阳·一模）已知向量⃗m=(1,2)，⃗n=(5−2t
2,t)满足⃗m−2⃗n=(−5,0)，则向量⃗m与⃗n的夹角
为（ ）
A．π
6
B．π
4
C．3π
4
D．5π
6
二、填空题
9．（2026·四川攀枝花·一模）若平面向量⃗a，⃗b，⃗c均为单位向量，且⃗a−⃗c =⃗b，则⃗a与⃗c的夹角为
．
10．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知向量⃗a=( x ,0),⃗b=(2,1).若(⃗a−4⃗b)⋅⃗b=0，则x的值为
.
11．（2026·河南鹤壁·一模）已知⃗a,⃗b
是夹角为60
∘的两个单位向量，若(2⃗a−k⃗b)⊥⃗a，则实数k =
．
12．（2026·河北沧州·一模）已知向量⃗p=(2 x +1,3 x)，⃗q =(2,2 x)，若⃗p//⃗q，且|⃗p)<|⃗q)，则
(⃗p+⃗q)⋅(⃗p−⃗q)=
．
B 组 培优提升练
一、单选题
1．（2026·河北沧州·一模）蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的，若不计蜂巢壁的厚度．蜂
巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示．已知A , B , P为图中7 个正六边形（边长为1）的三个
固定顶点，则⃗AP⋅⃗AB =（ ）
A．12
B．12❑√3
C．16
D．16 ❑√3
2．（2026·河南洛阳·模拟预测）在△ABC中，O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于点M
，N，设⃗AB =m⃗AM，⃗AC =n⃗AN (m>0,n>0)，则1
m + 1
n
的最小值是（ ）
A．1
B．2
C．4
D．6
3．（2026·河北·模拟预测）已知△ABC中，BC =2，⃗AB⋅⃗AC =8，若G 为△ABC的重心，则GB+GC的
最大值为（ ）
A．4
B．3
C．2❑√3
D．2❑√2
4．（2026·湖南株洲·一模）已知向量⃗OA =(cos β ,sin β)，将向量⃗OA绕坐标原点O逆时针旋转θ角得到向
量⃗OB(0°<θ<180°)，则下列说法正确的是（ ）
A．|⃗AB|<❑√2
B．|⃗OA +⃗OB|≥|⃗OA −⃗OB|
C．|⃗OA +⃗OB|≥1
D．(⃗OA +⃗OB)⊥(⃗OA −⃗OB)
5．（2026·广东茂名·一模）向量|⃗c)= ❑√2|⃗a)= ❑√2|⃗b)，且⃗a+⃗b+⃗c =⃗0，则sin〈⃗a−⃗c ,⃗b−⃗c 〉=（ ）
A．1
5
B．2
5
C．3
5
D．4
5
6．（2026·新疆·二模）已知向量⃗a=(m,n),⃗b=(x , y),⃗e =(1,0)，若非零向量⃗a与⃗e的夹角为π
3
，向量⃗b满足⃗
b
2−6⃗e⋅⃗b+5=0,则|⃗a−⃗b)的最小值为（ ）
A．3 ❑√3
2
−2
B．❑√3−1
C．❑√3
D．3 ❑√3
2
二、解答题
7．（2025·陕西咸阳·二模）在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别是a，b，c，若b+2c cos B =2a.
(1)求角C；
(2)已知a=3 ❑√2，b=3，D 为AB 边上一点，且⃗BD =2⃗DA，求CD.
8．（2025·江苏淮安·模拟预测）已知⃗m=(cos x ,−❑√3cos x),⃗n=(sin x ,cos x)，f (x)=⃗m⋅⃗n．
(1)将函数y = f (x)的图象向左平移π
3
个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标
不变，得到函数y = g(x)的图象，求函数g(x)的解析式；
(2)若f(
α
2)=−
❑√3
4 ,α ∈(0,π
2 )，求cosα．
