专题4.3 平面向量基本定理及坐标表示（举一反三复习讲义）
【全国通用】
命题规律
分析
1、平面向量基本定理及坐标表示
平面向量是高考的热点内容，属于高考的必考内容。从近几年的高考
情况来看，平面向量基本定理、平面向量的坐标运算是高考的热点内容，
主要以选择题、填空题的形式考查，难度较易；有时也会与三角函数、解
析几何结合出现在综合性大题中，难度中等。在高考复习过程中应注意加
强对平面向量基本定理、向量共线与垂直的条件的理解，熟记平面向量的
相关公式，灵活进行求解。
高考真题
统计
考点
2023 年
2024 年
2025 年
平面向量基
本定理及坐
标表示
新课标I 卷：第3
题，5 分
全国乙卷（文数）：
第6 题，5 分
全国甲卷（文数）：
第3 题，5 分
新课标I 卷：第3
题，5 分
全国甲卷（理数）：
第9 题，5 分
全国一卷：第6 题，
5 分
全国二卷：第12
题，5 分
2026 年
命题预测
预测在2026 年全国卷高考数学中，平面向量基本定理及坐标表示的考
情将继续维持稳定态势，大概率仍然以选择题、填空题的形式进行考察，
分值稳定在5 分左右。核心考点聚焦向量数量积的坐标运算、向量的模长与
夹角的坐标运算、以及平行与垂直关系的坐标运算，难度不大；也可能结
合实际情境（如速度、位移等）考查，要灵活求解。
知识点
1
平面向量基本定理及其解题策略
1．平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理
如果
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量⃗a，有且只有一对实数
，使
.若
不共线，我们把{
}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
(2)定理的实质
由平面向量基本定理知，可将任一向量⃗a在给出基底{
}的条件下进行分解
平面内的任一向量都
——
可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质.
2．用平面向量基本定理解决问题的一般思路：
用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的
形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都
是唯一的.
知识点
2
平面向量坐标运算及其解题策略
1．平面向量线性运算的坐标表示
(1)两个向量和
（差）
的坐标表示
由于向量
，
等价于
，
，所以
，即
.同理可得
.
这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).
(2)向量数乘的坐标表示
由⃗a=(x,y)，可得
，则
，即
.
这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
2．平面向量数量积的坐标表示
(1)平面向量数量积的坐标表示
由于向量
，
等价于
，
，所以
.又
，
，
，所以
.
这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
(2)平面向量长度（模）的坐标表示
若
，则
或
.
其含义是：向量⃗a的长度(模)等于向量⃗a的横、纵坐标平方和的算术平方根.
如果表示向量⃗a的有向线段的起点和终点的坐标分别为
，
，那么
，
.
3．平面向量位置关系的坐标表示
(1)共线的坐标表示
①两向量共线的坐标表示
设
，
，其中
.我们知道，
共线的充要条件是存在实数λ，使
.如果用坐
标表示，可写为
，即
，消去
λ
，得
.这就是说，向量
共线的充要条件是
.
②三点共线的坐标表示
若
，
，
三点共线，则有
，从而
，
即
，
或由
得到
，
或由
得到
.
由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C 三点共线.
(2)夹角的坐标表示
设
都是非零向量，
，
，θ是⃗a与⃗b的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得
.
(3)垂直的坐标表示
设
，
，则
.
即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0.
4．平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐
标，则应先求向量的坐标.
(2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解.
【方法技巧与总结】
1．若⃗a与⃗b不共线，且
，则
.
2．已知P 为线段AB 的中点，若A(
)，B(
)，则P 点坐标为
.
3．已知△ABC 的重心为G，若A(
)，B(
)，C(
)，则G
.
【题型1 用基底表示向量】
【例1】（2025·甘肃甘南·三模）△ABC中，若⃗AB =⃗a，⃗AC =⃗b，⃗BD =3⃗DC，则向量⃗AD可用⃗a，⃗b表示
为（ ）
A．1
4⃗a+ 3
4⃗b
B．⃗a+ 3
4⃗b
C．1
4⃗a+ 1
4⃗b
D．3
4⃗a+ 1
4⃗b
【答案】A
【解题思路】根据平面向量的线性运算直接求解即可.
【解答过程】在△ABC中，⃗BD =3⃗DC，
则⃗AD =⃗AB+⃗BD =⃗AB+ 3
4⃗BC =⃗AB+ 3
4 (⃗AC −⃗AB)
=⃗AB+ 3
4⃗AC −3
4⃗AB =1
4⃗AB+ 3
4⃗AC.
又因为⃗AB =⃗a,⃗AC =⃗b，所以⃗AD =1
4⃗a+ 3
4⃗b.
故选：A.
【变式1-1】（2025·山东济南·二模）在△ABC中，E为边AB的中点，⃗BD =2
3⃗BC，则⃗DE =（ ）
A．−1
6⃗AB+ 2
3⃗AC
B．5
6⃗AB+ 1
3⃗AC
C．1
6⃗AB+ 2
3⃗AC
D．1
6⃗AB−2
3⃗AC
【答案】D
【解题思路】借助平面向量的线性运算及平面向量基本定理计算即可得解.
【解答过程】因为E为边AB的中点，⃗BD =2
3⃗BC，
所以⃗DE =⃗DB+⃗BE =2
3⃗CB−1
2⃗AB =2
3 (⃗AB−⃗AC)−1
2⃗AB =1
6⃗AB−2
3⃗AC.
故选：D.
【变式1-2】（2026·河北·模拟预测）在平行四边形ABCD 中，⃗BE =−1
3⃗AB ,⃗BF =1
2⃗BC ,CE和DF 交于点
O，若⃗AB =⃗a,⃗AD =⃗b，则⃗AO =（ ）
A．5
8⃗a+3
8⃗b
B．6
7⃗a+ 4
7⃗b
C．3
8⃗a+7
8⃗b
D．3
7⃗a+5
7⃗b
【答案】B
【解题思路】利用平行四边形的性质，结合平面向量的线性运算性质、平面向量基本定理进行求解即可.
【解答过程】设CE的中点为G，连接GF，
因为⃗BF =1
2⃗BC，所以F是BC的中点，所以GF / / BE，且GF =1
2 BE，
因为四边形ABCD 是平行四边形，
所以BE / / CD，且AB =CD，
所以GF / / CD
又因为⃗BE =−1
3⃗AB，
所以BE =1
3 AB，因为AB =CD，
所以BE =1
3 CD，所以GF =1
2 BE =1
6 CD，
因为GF / / CD，
所以OF
OD =GF
CD =1
6，
所以⃗AO =⃗AD+⃗DO =⃗AD+6
7⃗DF =⃗AD+6
7 (⃗DC +⃗CF)=⃗AD+6
7⃗DC +6
7⃗CF
=⃗AD+6
7⃗AB+6
7 × 1
2⃗CB =⃗AD+6
7⃗AB−3
7⃗AD =4
7⃗AD+6
7⃗AB =4
7⃗b+6
7⃗a.
故选：B.
【变式1-3】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）在△ABC中，点D 为边BC上一点，且BD =1
3 BC，设⃗
AB =⃗a，⃗AC =⃗b，则（ ）
A．⃗AD =1
3⃗a−2
3⃗b
B．⃗AD =2
3⃗a+ 1
3⃗b
C．⃗AD =1
3⃗a+ 2
3⃗b
D．⃗AD =2
3⃗a−1
3⃗b
【答案】B
【解题思路】由平面向量的线性运算进行计算可得结果.
【解答过程】因为BD =1
3 BC，所以⃗BD =1
3⃗BC，
则⃗AD =⃗AB+⃗BD =⃗AB+ 1
3⃗BC
=⃗AB+ 1
3 (⃗AC −⃗AB)=2
3⃗AB+ 1
3⃗AC =2
3⃗a+ 1
3⃗b．
故选：B．
【题型2 利用平面向量基本定理求参数】
【例2】（2025·河南·二模）在△ABC中，D 是AC 边的中点，且点M 满足⃗BD =3⃗BM，若⃗
AM =λ⃗AB+μ⃗AC，则λ+μ=（ ）
A．1
2
B．2
3
C．3
4
D．5
6
【答案】D
【解题思路】由平面向量的基本定理结合图形计算即可.
【解答过程】因为⃗AM =⃗AB+⃗BM =⃗AB+ 1
3⃗BD①，⃗AM =⃗AD +⃗DM =1
2⃗AC −2
3⃗BD②，
由①×2+②，得3⃗AM =2⃗AB+1
2⃗AC，所以⃗AM =2
3⃗AB+ 1
6⃗AC，
即λ =2
3，μ=1
6 ，所以λ+μ=5
6 .
故选：D.
【变式2-1】（2025·湖南·三模）在△ABC中，点D是线段BC上一点，若⃗BD =λ⃗BC，⃗AD =1
4⃗AB+ 3
4⃗AC
，则实数λ =（ ）
A．1
4
B．1
3
C．2
3
D．3
4
【答案】D
【解题思路】由向量的线性运算得⃗AD =(1−λ)⃗AB+λ⃗AC，结合平面向量基本定理即可得解.
【解答过程】因为⃗BD =λ⃗BC，所以⃗AD =⃗AB+⃗BD =⃗AB+λ⃗BC =⃗AB+λ(−⃗AB+⃗AC)=(1−λ)⃗AB+λ⃗AC
，
因为⃗AD =1
4⃗AB+ 3
4⃗AC，所以λ=3
4 ．
故选：D．
【变式2-2】（2025·四川成都·一模）在平行四边形ABCD中，BC
→
+3CE
→
=0
→，F是线段DE 的中点，连接
BD交AF于O，若⃗AO =m⃗AF，则m=（ ）
A．1
B．3
4
C．4
3
D．2
3
【答案】B
【解题思路】设BO
→
=λ BD
→
，以AB
→
, AD
→
为基底，分别用λ ,m表示AO
→
，建立方程组求解.
【解答过程】AF
→
=AD
→
+DF
→
=AD
→
+1
2 DE
→
=AD
→
+1
2(DC
→
+CE
→)
=AD
→
+1
2 AB
→
−1
6 AD
→
=5
6 AD
→
+1
2 AB
→
，
又因为AO
→
=m AF
→
，所以AO
→
=5
6 m AD
→
+1
2 m AB
→
，
设BO
→
=λ BD
→
，则AO
→
=AB
→
+λ BD
→
=AB
→
+λ(AD
→
−AB
→)=(1−λ) AB
→
+λ AD
→
，
所以{
1−λ =1
2 m
λ =5
6 m )
，解得{
m=3
4
λ =5
8)
，
故选：B.
【变式2-3】（2025·安徽·模拟预测）已知在△ABC中，点D 满足4⃗DB+3⃗DC =⃗0，设⃗
AD =λ⃗AB+μ⃗AC (λ , μ∈R)，则λ+2 μ=（ ）
A．1
B．7
5
C．10
7
D．2
【答案】C
【解题思路】由平面向量基本定理结合4⃗DB+3⃗DC =⃗0，可得⃗BD =3
7⃗BC ,⃗CD =−4
7⃗BC，再由⃗
AD =λ⃗AB+μ⃗AC (λ , μ∈R)，即可求出λ+2 μ的值.
【解答过程】由4⃗DB+3⃗DC =⃗0，可得⃗BD =3
7⃗BC ,⃗CD =−4
7⃗BC，
则⃗AD =⃗AB+⃗BD =⃗AB+3
7⃗BC , ⃗AD =⃗AC +⃗CD =⃗AC −4
7⃗BC ,
则2⃗AD =⃗AB+⃗AC −1
7⃗BC =⃗AB+⃗AC −1
7 (⃗AC −⃗AB)=8
7⃗AB+6
7⃗AC
故⃗AD =4
7⃗AB+3
7⃗AC，
所以λ+2 μ=4
7 +2× 3
7 =10
7
故选：C.
【题型3 向量共线（平行）的坐标表示】
【例3】（2026·广西·模拟预测）已知平面向量⃗a=(1,k )，⃗b=(3,2k +2)，若⃗a/ / (2⃗a+⃗b)，则k =（ ）
A．−2
B．−1
C．1
D．2
【答案】D
【解题思路】根据平面向量的线性运算以及平行向量的坐标表示即可求出k值.
【解答过程】⃗a=(1,k )，⃗b=(3,2k +2)，则2⃗a+⃗b=(5,4 k +2)，
由⃗a/ / (2⃗a+⃗b)得4 k +2=5k，解得k =2.
故选：D.
【变式3-1】（2026·四川遂宁·一模）已知平面向量⃗a=(−1,2)与⃗b=( x ,−2)平行，则x的值为（ ）
A．1
B．−1
C．4
D．−4
【答案】A
【解题思路】利用向量平行的坐标表示可求答案.
【解答过程】因为⃗a=(−1,2)与⃗b=( x ,−2)平行，所以x
−1 =−2
2 ，解得x =1.
故选：A.
【变式3-2】（2025·全国·模拟预测）已知向量⃗a=(2, x),⃗b=(x ,3)，若⃗a与⃗b同向共线，则x为（ ）
A．❑√6
B．−❑√6
C．± ❑√6
D．0
【答案】A
【解题思路】根据向量共线定理的坐标表示即可求解．
【解答过程】∵⃗a与⃗b共线，
∴2×3−x⋅x =0，即6−x
2=0，解得x =± ❑√6．
当x =❑√6时，⃗a=(2,❑√6),⃗b=(❑√6,3)，⃗a与⃗b同向共线，符合题意．
当x =−❑√6时，⃗a=(2,−❑√6),⃗b=(−❑√6，3)，⃗a与⃗b反向共线，不符合题意，舍去．
综上，x =❑√6，
故选：A．
【变式3-3】（2026·山东枣庄·模拟预测）已知向量⃗a=(1,2),⃗b=(1,0),⃗c =(3,4)．若λ为实数，且
( a
→
+λ b
→
)/ / c
→
，则λ =（ ）
A．1
B．2
C．1
3
D．1
2
【答案】D
【解题思路】根据平面向量运算的坐标表示和向量共线的坐标公式计算即可.
【解答过程】因为向量a
→
=(1,2),b
→
=(1,0), c
→
=(3,4)，
所以a
→
+λ b
→
=(1,2)+λ(1,0)=(λ+1,2).
因为( a
→
+λ b
→
)/ / c
→
，所以λ+1
3
=2
4 ，解得λ=1
2.
故选：D.
【题型4 平面向量数量积的坐标表示】
【例4】（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）已知向量⃗a=(0,1),⃗b=(1,0)，则⃗a⋅(⃗a−⃗b)=（ ）
A．2
B．1
C．0
D．−1
【答案】B
【解题思路】利用向量的坐标运算求解.
【解答过程】∵⃗a=(0,1)，⃗b=(1,0)，
∴⃗a−⃗b=(−1,1)，
∴⃗a⋅(⃗a−⃗b)=0×(−1)+1×1=1.
故选：B.
【变式4-1】（2025·浙江杭州·一模）设向量⃗a=(2, x),⃗b=(2+x ,2 x).若⃗a⋅(2⃗a−⃗b)=0，则x =（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】A
【解题思路】由向量的坐标表示出a
→
⋅(2a
→
−b
→)=0，然后解方程即可.
【解答过程】2⃗a−⃗b=(2−x ,0)，
∴⃗a⋅(2⃗a−⃗b)=4−2 x +0=0，
解得x =2.
故选：A.
【变式4-2】（2025·广西来宾·模拟预测）已知向量⃗m=(1,2),⃗n=(−2,3)，则⃗m⋅(⃗n−⃗m)=（ ）
A．1
B．0
C．-1
D．-2
【答案】C
【解题思路】利用向量的数量积运算求解即可.
【解答过程】由题意，得⃗n−⃗m=(−3,1)，故⃗m⋅(⃗n−⃗m)=1×(−3)+2×1=−1.
故选:C.
【变式4-3】（2026·河北沧州·一模）蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的，若不计蜂巢壁的
厚度．蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示．已知A , B , P为图中7 个正六边形（边长为
1）的三个固定顶点，则⃗AP⋅⃗AB =（ ）
A．12
B．12❑√3
C．16
D．16 ❑√3
【答案】A
【解题思路】建立如图所示的平面直角坐标系，得A(−2,0),B(2,0)，P(1,❑√3)，再由平面向量的数量
积运算即可求解．
【解答过程】建立如图所示的平面直角坐标系：
由于正六边形的边长为1，
所以A(−2,0),B(2,0)，P(1,❑√3)，
所以⃗AP =(3,❑√3),⃗AB =(4,0)，
所以⃗AP⋅⃗AB =3×4+❑√3×0=12，
故选：A.
【题型5 平面向量夹角、模长的坐标表示】
【例5】（2026·辽宁辽阳·一模）已知向量⃗m=(1,2)，⃗n=(5−2t
2,t)满足⃗m−2⃗n=(−5,0)，则向量⃗m与⃗n的
夹角为（ ）
A．π
6
B．π
4
C．3π
4
D．5π
6
【答案】B
【解题思路】利用向量坐标运算求出t，再利用向量数量积公式求向量的夹角.
【解答过程】因为⃗m−2⃗n=(1,2)−2(5−2t
2,t )=(4t
2−9,2−2t )=(−5,0)，
所以{
4t
2−9=−5
2−2t =0 )，解得t =1，
所以⃗n=(3,1)，
所以cos<⃗m,⃗n¿¿=⃗m⋅⃗n
|⃗m)|⃗n) =
3+2
❑√1+4 ❑√9+1 =
❑√2
2 ，又0≤<⃗m,⃗n¿¿≤π，
所以向量⃗m与⃗n的夹角为π
4 ，
故选：B.
【变式5-1】（2025·河南南阳·模拟预测）已知向量⃗a=(1,2)，⃗b=(2, x)，若⃗a∥⃗b，则|⃗b)=（ ）
A．❑√5
B．2❑√5
C．5
D．20
【答案】B
【解题思路】根据⃗a/ /⃗b求出x =4，再用模的坐标表示求解即可.
【解答过程】向量⃗a=(1,2)，⃗b=(2, x)，由⃗a∥⃗b，得x−4 =0, x =4，则⃗b=(2,4)，
所以|⃗b| =❑√4 +16=2❑√5.
故选：B.
【变式5-2】（2025·山东泰安·模拟预测）已知向量⃗a=(1,2),⃗b=(m,4)，若⃗a,⃗b的夹角为锐角，则实数m
的取值范围是（ ）
A．m>−8
B．m>−8且m≠2
C．m<−8
D．m≠2
【答案】B
【解题思路】应用向量数量积的坐标运算及⃗a⋅⃗b>0求参数范围，注意排除同向共线的情况即可.
【解答过程】由题意⃗a⋅⃗b=1⋅m+2⋅4 =m+8>0⇒m>−8，
若m
1 =4
2 =2⇒m=2，此时⃗a,⃗b同向共线，非锐角，
所以m>−8且m≠2.
故选：B.
【变式5-3】（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知向量⃗a=(2,−1),⃗b=(x ,2)，若⃗a⊥⃗b，则|⃗a−⃗b)的值为
（ ）
A．10
B．3 ❑√5
C．3 ❑√2
D．❑√10
【答案】D
【解题思路】根据向量垂直的坐标关系求出x =1，再结合向量的坐标运算和模长公式求解.
【解答过程】由⃗a⊥⃗b，可得2 x−2=0，解得x =1，
∴⃗b=(1,2)，
∴⃗a−⃗b=(1,−3)，则|⃗a−⃗b)=
❑√1
2+(−3)
2=❑√10.
故选：D.
【题型6 向量垂直的坐标表示】
【例6】（2025·广东·模拟预测）已知向量⃗a=(2,−5)，⃗b=(1,2)，且2⃗a−⃗b与⃗a+x⃗b垂直，则x =（ ）
A．3
4
B．11
7
C．22
7
D．3
2
【答案】C
【解题思路】利用向量垂直的坐标表示式计算即得.
【解答过程】由题意可得2⃗a−⃗b=(3,−12)，⃗a+x⃗b=(2+x ,2 x −5)，
由2⃗a−⃗b与⃗a+x⃗b垂直可得3(2+x)−12(2 x−5)=0，解得x =22
7 ．
故选：C．
【变式6-1】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知向量⃗a=(λ−1,1),⃗b=(2, λ)，若(⃗a−⃗b)⊥(⃗a+⃗b)，则λ =
（ ）
A．−2
B．−1
C．1
D．2
【答案】B
【解题思路】根据平面向量的坐标运算先求⃗a−⃗b,⃗a+⃗b，最后利用数量积的坐标运算即可求解.
【解答过程】由题意有⃗a−⃗b=(λ−3,1−λ),⃗a+⃗b=(λ+1,1+λ)，又因为(⃗a−⃗b)⊥(⃗a+⃗b)，
所以(⃗a−⃗b)⋅(⃗a+⃗b)=(λ−3)(λ+1)+(1−λ)(1+λ)=−2(λ+1)=0⇒λ =−1，
故选：B.
【变式6-2】（2025·广西柳州·一模）设向量⃗a=(x +2, x)，⃗b=(x ,1)，则（ ）
A．“x =−1 是
”
“⃗a∥⃗b 的必要条件
”
B．“x =−3 是
”
“⃗a⊥⃗b 的必要条件
”
C．“x =−2 是
”
“⃗a∥⃗b 的充分条件
”
D．“x =0 是
”
“⃗a⊥⃗b 的充分条件
”
【答案】D
【解题思路】由向量平行、垂直的坐标表示求得x，再结合充分、必要条件的概念逐个判断即可.
【解答过程】若⃗a∥⃗b，则x +2=x
2解得：x =−1或x =2，
若⃗a⊥⃗b，则(x +2) x +x =0解得：x =0或x =−3，
所以“x =−1 是
”
“⃗a∥⃗b 的不必要条件，
”
“x =−3 是
”
“⃗a⊥⃗b 的不必要条件，
”
“x =−2 是
”
“⃗a∥⃗b 的不充分条件，
”
“x =0 是
”
“⃗a⊥⃗b 的充分条件，
”
故选：D.
【变式6-3】（2025·湖北武汉·模拟预测）已知向量⃗a=(1,2)，⃗b=(2,1)，若(m⃗a+n⃗b)⊥(2⃗a−⃗b)，则
（ ）
A．2m−n=0
B．2m+n=0
C．m−2n=0
D．m+2n=0
【答案】B
【解题思路】利用向量线性运算的坐标表示及向量垂直的坐标表示，列式求解.
【解答过程】由向量⃗a=(1,2)，⃗b=(2,1)，得m⃗a+n⃗b=(m+2n,2m+n),2⃗a−⃗b=(0,3)，
由(m⃗a+n⃗b)⊥(2⃗a−⃗b)，得3(2m+n)=0，所以2m+n=0.
故选：B.
【题型7 由向量的坐标运算解决最值和范围问题】
【例7】（2025·江西新余·模拟预测）已知在正方形ABCD中，AB =2，M为BC中点，N为正方形ABCD
内部或边界上一点，则⃗DM ⋅⃗CN的最大值为（ ）
A．1
B．3
2
C．7
4
D．2
【答案】D
【解题思路】建立坐标系，写出点的坐标，设N (m,n)，0≤m≤2,0≤n≤2，得到⃗DM ⋅⃗CN =2m−n−2
，求出最大值.
【解答过程】以A为坐标原点，AB , AD所在直线分别为x , y轴，建立平面直角坐标系，
则A (0,0),B (2,0),C (2,2), D (0,2), M (2,1)，
设N (m,n)，0≤m≤2,0≤n≤2，
则⃗DM ⋅⃗CN =(2,−1)⋅(m−2,n−2)=2m−4+2−n=2m−n−2，
故当m=2,n=0时，⃗DM ⋅⃗CN =2m−n−2取得最大值，最大值为4−0−2=2.
故选：D.
【变式7-1】（2025·湖北·模拟预测）已知|⃗OA)=|⃗OB)=3，|⃗AB)=3 ❑√2，点C (4,2)，O为坐标原点，则
|
2
3⃗CA + 1
3⃗CB)的最小值是（ ）
A．
❑√5
3
B．2❑√5
3
C．❑√5
D．4 ❑√5
【答案】C
【解题思路】由|⃗AB)
2=18可推导得到⃗OA ⊥⃗OB，结合|⃗OA)=|⃗OB)=3可设A (3cosθ ,3sinθ)，
B (−3sinθ ,3cosθ)，利用向量坐标运算表示出2
3⃗CA + 1
3⃗CB，计算可得|
2
3⃗CA + 1
3⃗CB)
2
，可知当cosθ =1
时，|
2
3⃗CA + 1
3⃗CB)
2
取得最小值，进而得到结果.
【解答过程】∵|⃗AB)
2=|⃗OB−⃗OA)
2=|⃗OB)
2−2⃗OA ⋅⃗OB+|⃗OA)
2=18−2⃗OA ⋅⃗OB =18，
∴⃗OA ⋅⃗OB =0，则⃗OA ⊥⃗OB，
∵|⃗OA)=|⃗OB)=3，∴A ,B两点在以O为圆心，3为半径的圆上，
设A (3cosθ ,3sinθ)，由⃗OA ⊥⃗OB可取B (−3sinθ ,3cosθ)，
∴2
3⃗CA + 1
3⃗CB =2
3
(3cosθ−4,3sinθ−2)+ 1
3
(−3sinθ−4,3cosθ−2)
=(2cosθ−sinθ−4 ,cosθ+2sinθ−2)，
∴|
2
3⃗CA + 1
3⃗CB)
2
=(2cosθ−sinθ−4)
2+(cosθ+2sinθ−2)
2 =25−20cosθ，
则当cosθ =1时，|
2
3⃗CA + 1
3⃗CB)
2
取得最小值25−20=5，∴|
2
3⃗CA + 1
3⃗CB)min
=❑√5.
故选：C.
【变式7-2】（2025·江苏·模拟预测）在平面四边形ABCD中，AB⊥AD ,CD⊥AD ,CD =2 AB，点M
在边BC（含端点）上运动，设⃗AM =x⃗AB+ y⃗AD，则x + y的取值范围是（ ）
A．[1,5]
B．[2,4 ]
C．[1,3]
D．[1,4 ]
【答案】C
【解题思路】如图建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解.
【解答过程】如图，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，
设AB =a, AD =b,则A (0,0),B (a,0),C (2a,b), D (0,b)，AB
→
=(a,0),BC
→
=(a,b), AD
→
=(0,b)，
所以AM
→
=x AB
→
+ y AD
→
=x (a,0)+ y (0,b)=(ax ,by)，
设BM
→
=λ BC
→
(0≤λ≤1)，则AM
→
=AB
→
+BM
→
=(a,0)+λ(a,b)=((1+λ)a, λb)，
所以{
x =1+λ
y =λ )，所以x + y =1+2 λ，
因为0≤λ≤1，所以1≤1+2 λ≤3，
即x + y的取值范围是[1,3)，
故选：C.
【变式7-3】（2025·新疆辽宁·一模）等腰梯形ABCD 中，AB 平行于CD，AB =2，CD =1，∠DAB =π
4
，P 为腰AD 所在线段上任意一点，则⃗PC ⋅⃗PB的最小值是（ ）
A．❑√3
B．1
C．3
2
D．❑√2
【答案】C
【解题思路】作D D
′垂直于AB于点D
′，作C C
′垂直于AB于点C
′，建立平面直角坐标系，求出相关点的
坐标，利用坐标计算出⃗PC ⋅⃗PB的表达式，由二次函数的单调性即可求得答案.
【解答过程】
如图，作D D
′垂直于AB于点D
′，作C C
′垂直于AB于点C
′，
又AB =2，CD =1，∠DAB =π
4 ，
则A D
′ =1
2，D D
′ =1
2，A C
′ =3
2，C C
′ =1
2，
以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则A (0,0)，B (2,0)，C(
3
2 , 1
2)，D(
1
2 , 1
2)，又P 为腰AD 所在直线上任意一点，
则设⃗AP =λ⃗AD =(
1
2 λ , 1
2 λ)，λ∈[0,1)，则点P 的坐标为(
1
2 λ , 1
2 λ)，
所以⃗PC ⋅⃗PB =(
3
2 −1
2 λ , 1
2 −1
2 λ)⋅(2−1
2 λ ,−1
2 λ)=1
2 λ
2−2 λ+3，λ∈[0,1)，
又关于λ的二次函数y =1
2 λ
2−2 λ+3的对称轴为λ =2，
则y =1
2 λ
2−2 λ+3在λ∈[0,1)上单调递减，
所以当λ=1，即点P 和点D 重合时，⃗PC ⋅⃗PB取得最小值3
2．
故⃗PC ⋅⃗PB的最小值是3
2．
故选：C．
点
平面向量基本定理及坐标表示
考
一
一、单选题
1．（2025·全国一卷·高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在
航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船
行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1 给出了部分风力等级、名称与风速大小的
对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2 所示（线段长度
代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（ ）
级数
名称
风速大小（单位：m/s)
2
轻风
1.6~3.3
3
微风
3.4~5.4
4
和风
5.5~7.9
5
劲风
8.0~10.7
A．轻风
B．微风
C．和风
D．劲风
【答案】A
【解题思路】结合题目条件和图2写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的
向量，得出真风风速的大小，即可由图1得出结论.
【解答过程】由题意及图得，
视风风速对应的向量为：⃗n=(0,2)−(3,3)=(−3,−1)，
视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，
船速方向和船行风速的向量方向相反，
设真风风速对应的向量为⃗n1，船行风速对应的向量为⃗n2，
∴⃗n=⃗n1+⃗n2，船行风速：⃗n2=−[(3,3)−(2,0))=(−1,−3)，
∴⃗n1=⃗n−⃗n2=(−3,−1)−(−1,−3)=(−2,2)，
|⃗n1)=
❑√(−2)
2+2
2=2❑√2≈2.828，
由表得，真风风速为轻风，
∴
故选：A.
2．（2024·新课标
卷
Ⅰ
·高考真题）已知向量⃗a=(0,1),⃗b=(2, x)，若⃗b⊥(⃗b−4⃗a)，则x =（ ）
A．−2
B．−1
C．1
D．2
【答案】D
【解题思路】根据向量垂直的坐标运算可求x的值.
【解答过程】因为⃗b⊥(⃗b−4⃗a)，所以⃗b⋅(⃗b−4⃗a)=0，
所以⃗b
2−4⃗a⋅⃗b=0即4+x
2−4 x =0，故x =2，
故选：D.
3．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量⃗a=(x +1, x),⃗b=(x ,2)，则（ ）
A．“x =−3 是
”
“⃗a⊥⃗b 的必要条件
”
B．“x =1+❑√3 是
”
“⃗a/ /⃗b 的必要条件
”
C．“x =0 是
”
“⃗a⊥⃗b 的充分条件
”
D．“x =−1+❑√3 是
”
“⃗a/ /⃗b 的充分条件
”
【答案】C
【解题思路】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.
【解答过程】对A，当⃗a⊥⃗b时，则⃗a⋅⃗b=0，
所以x⋅( x +1)+2 x =0，解得x =0或−3，即必要性不成立，故A 错误；
对C，当x =0时，⃗a=(1,0),⃗b=(0,2)，故⃗a⋅⃗b=0，
所以⃗a⊥⃗b，即充分性成立，故C 正确；
对B，当⃗a/ /⃗b时，则2( x +1)=x
2，解得x =1± ❑√3，即必要性不成立，故B 错误；
对D，当x =−1+❑√3时，不满足2( x +1)=x
2，所以⃗a/ /⃗b不成立，即充分性不立，故D 错误.
故选：C.
4．（2023·新课标
卷
Ⅰ
·高考真题）已知向量⃗a=(1,1),⃗b=(1,−1)，若(⃗a+λ⃗b)⊥(⃗a+μ⃗b)，则（ ）
A．λ+μ=1
B．λ+μ=−1
C．λμ=1
D．λμ=−1
【答案】D
【解题思路】根据向量的坐标运算求出⃗a+λ⃗b，⃗a+μ⃗b，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．
【解答过程】因为⃗a=(1,1),⃗b=(1,−1)，所以⃗a+λ⃗b=(1+λ ,1−λ)，⃗a+μ⃗b=(1+μ,1−μ)，
由(⃗a+λ⃗b)⊥(⃗a+μ⃗b)可得，(⃗a+λ⃗b)⋅(⃗a+μ⃗b)=0，
即(1+λ)(1+μ)+(1−λ)(1−μ)=0，整理得：λμ=−1．
故选：D．
5．（2023·全国乙卷·高考真题）正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则⃗EC ⋅⃗ED =（ ）
A．❑√5
B．3
C．2❑√5
D．5
【答案】B
【解题思路】方法一：以{⃗AB ,⃗AD)为基底向量表示⃗EC ,⃗ED，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：
建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求cos∠DEC，进而根据数量积的定义运算
求解.
【解答过程】方法一：以{⃗AB ,⃗AD)为基底向量，可知|⃗AB)=|⃗AD)=2,⃗AB⋅⃗AD =0，
则⃗EC =⃗EB+⃗BC =1
2⃗AB+⃗AD ,⃗ED =⃗EA +⃗AD =−1
2⃗AB+⃗AD，
所以⃗EC ⋅⃗ED =(
1
2⃗AB+⃗AD)⋅(−1
2⃗AB+⃗AD)=−1
4⃗AB
2+⃗AD
2=−1+4 =3；
方法二：如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，
则E (1,0),C (2,2), D (0,2)，可得⃗EC =(1,2),⃗ED =(−1,2)，
所以⃗EC ⋅⃗ED =−1+4 =3；
方法三：由题意可得：ED =EC =❑√5,CD =2，
在△CDE中，由余弦定理可得cos∠DEC =D E
2+C E
2−DC
2
2 DE⋅CE
= 5+5−4
2×❑√5×❑√5 =3
5，
所以⃗EC ⋅⃗ED =|⃗EC)|⃗ED)cos∠DEC =❑√5×❑√5× 3
5 =3.
故选：B.
6．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量⃗a=(3,1),⃗b=(2,2)，则cos⟨⃗a+⃗b,⃗a−⃗b)=（ ）
A．1
17
B．
❑√17
17
C．
❑√5
5
D．2❑√5
5
【答案】B
【解题思路】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得|⃗a+⃗b),|⃗a−⃗b),(⃗a+⃗b)⋅(⃗a−⃗b)，从而利用平面
向量余弦的运算公式即可得解.
【解答过程】因为⃗a=(3,1),⃗b=(2,2)，所以⃗a+⃗b=(5,3),⃗a−⃗b=(1,−1)，
则|⃗a+⃗b)=
❑√5
2+3
2=❑√34 ,|⃗a−⃗b)=❑√1+1=❑√2，(⃗a+⃗b)⋅(⃗a−⃗b)=5×1+3×(−1)=2，
所以cos⟨⃗a+⃗b,⃗a−⃗b)=(⃗a+⃗b)⋅(⃗a−⃗b)
|⃗a+⃗b)|⃗a−⃗b)
=
2
❑√34×❑√2 =
❑√17
17 .
故选：B.
7．（2023·北京·高考真题）已知向量⃗a，⃗b满足⃗a+⃗b=(2,3),⃗a−⃗b=(−2,1)，则|⃗a|
2−|⃗b|
2=（ ）
A．−2
B．−1
C．0
D．1
【答案】B
【解题思路】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.
【解答过程】向量⃗a,⃗b满足⃗a+⃗b=(2,3),⃗a−⃗b=(−2,1)，
所以|⃗a|
2−|⃗b|
2=(⃗a+⃗b)⋅(⃗a−⃗b)=2×(−2)+3×1=−1.
故选：B.
二、填空题
8．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量⃗a=( x ,1),⃗b=( x −1,2 x),若⃗a⊥(⃗a−⃗b)，则|⃗a| =
.
【答案】❑√2
【解题思路】根据向量坐标化运算得⃗a−⃗b=(1,1−2 x)，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可.
【解答过程】⃗a−⃗b=(1,1−2 x)，因为⃗a⊥(⃗a−⃗b)，则⃗a⋅(⃗a−⃗b)=0，
则x +1−2 x =0，解得x =1.
则⃗a=(1,1)，则|⃗a| =❑√2.
故答案为：❑√2.
9．（2025·上海·高考真题）已知⃗a=(2,1),⃗b=(1, x)，若⃗a∥⃗b，则x = ．
【答案】1
2
【解题思路】由平面向量共线的坐标表示即可求解.
【解答过程】由⃗a∥⃗b得2 x−1=0，解得x =1
2.
故答案为：1
2.
10．（2025·天津·高考真题）△ABC中，D 为AB 边中点，⃗CE =1
3⃗CD ,⃗AB =⃗a,⃗AC =⃗b，则⃗AE =
（用⃗a，⃗b表示），若|⃗AE| =5，AE⊥CB，则⃗AE⋅⃗CD = ．
【答案】1
6⃗a+ 2
3⃗b；−15
【解题思路】根据向量的线性运算求解即可空一，应用数量积运算律计算求解空二.
【解答过程】如图，
因为⃗CE =1
3⃗CD，所以⃗AE−⃗AC =1
3 (⃗AD−⃗AC)，所以⃗AE =1
3⃗AD + 2
3⃗AC．
因为D 为线段AB的中点，所以⃗AE =1
6⃗AB+ 2
3⃗AC =1
6⃗a+ 2
3⃗b；
又因为|⃗AE)=5, AE⊥CB，所以⃗AE
2=(
1
6⃗a+ 2
3⃗b)
2
= 1
36⃗a
2+ 2
9⃗a⋅⃗b+ 4
9⃗b
2=25，⃗
AE⋅⃗CB =(
1
6⃗a+ 2
3⃗b)⋅(⃗a−⃗b)=1
6⃗a
2+1
2⃗a⋅⃗b−2
3⃗b
2=0，所以⃗a
2+3⃗a⋅⃗b=4⃗b
2
所以⃗a
2+4⃗a⋅⃗b=180，
所以⃗AE⋅⃗CD =(
1
6⃗a+ 2
3⃗b)⋅(−⃗b+1
2⃗a)= 1
12⃗a
2+ 1
6⃗a⋅⃗b−2
3⃗b
2= 1
12 (⃗a
2+2⃗a⋅⃗b−8⃗b
2)
= 1
12 (⃗a
2+2⃗a⋅⃗b−2⃗a
2−6⃗a⋅⃗b)= 1
12 (−⃗a
2−4⃗a⋅⃗b)=−15．
故答案为：1
6⃗a+ 2
3⃗b；−15.
11．（2024·天津·高考真题）已知正方形ABCD的边长为1，DE
→
=2 EC
→
,若⃗BE =λ⃗BA +μ⃗BC，其中λ , μ为
实数，则λ+μ=
；设F是线段BE上的动点，G为线段AF的中点，则⃗AF ⋅⃗DG的最小值为
．
【答案】4
3 ；−5
18
【解题思路】解法一：以{⃗BA ,⃗BC)为基底向量，根据向量的线性运算求⃗BE，即可得λ+μ，设⃗BF =k⃗BE
，求⃗AF ,⃗DG，结合数量积的运算律求⃗AF ⋅⃗DG的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求⃗
BE，即可得λ+μ，设F (a,−3a),a∈[−1
3 ,0)，求⃗AF ,⃗DG，结合数量积的坐标运算求⃗AF ⋅⃗DG的最
小值.
【解答过程】解法一：因为CE =1
2 DE，即⃗CE =1
3⃗BA，则⃗BE =⃗BC +⃗CE =1
3⃗BA +⃗BC，
可得λ =1
3 , μ=1，所以λ+μ=4
3 ；
由题意可知：|⃗BC)=|⃗BA)=1,⃗BA ⋅⃗BC =0，
因为F为线段BE上的动点，设⃗BF =k⃗BE =1
3 k⃗BA +k⃗BC ,k ∈[0,1)，
则⃗AF =⃗AB+⃗BF =⃗AB+k⃗BE =(
1
3 k −1)⃗BA +k⃗BC，
又因为G为AF中点，则⃗DG =⃗DA +⃗AG =−⃗BC +1
2⃗AF =1
2(
1
3 k −1)⃗BA +(
1
2 k −1)⃗BC，
可得⃗AF ⋅⃗DG=[(
1
3 k −1)⃗BA +k⃗BC)⋅[
1
2(
1
3 k −1)⃗BA +(
1
2 k −1)⃗BC)
=1
2(
1
3 k −1)
2
+k(
1
2 k −1)=5
9(k −6
5)
2
−3
10，
又因为k ∈[0,1)，可知：当k =1时，⃗AF ⋅⃗DG取到最小值−5
18；
解法二：以B 为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，
则A (−1,0),B (0,0),C (0,1), D (−1,1), E(−1
3 ,1)，
可得⃗BA =(−1,0),⃗BC =(0,1),⃗BE =(−1
3 ,1)，
因为⃗BE =λ⃗BA +μ⃗BC =(−λ , μ)，则{
−λ=−1
3
μ=1 )
，所以λ+μ=4
3 ；
因为点F在线段BE: y =−3 x , x∈[−1
3 ,0)上，设F (a,−3a),a∈[−1
3 ,0)，
且G为AF中点，则G(
a−1
2
,−3
2 a)，
可得⃗AF =(a+1,−3a),⃗DG =(
a+1
2
,−3
2 a−1)，
则⃗AF ⋅⃗DG =(a+1)
2
2
+(−3a)(−3
2 a−1)=5(a+ 2
5)
2
−3
10，
且a∈[−1
3 ,0)，所以当a=−1
3时，⃗AF ⋅⃗DG取到最小值为−5
18；
故答案为：4
3 ；−5
18.
12．（2024·上海·高考真题）已知⃗a=(2,5)，⃗b=(6,k )，⃗a∥⃗b，则k 的值为
．
【答案】15
【解题思路】根据向量的平行关系求解即可．
【解答过程】由题意可知，2k =5×6，则k =15，
故答案为：15．
