专题4.1 平面向量的线性运算及数量积（举一反三复习讲义）
【全国通用】
命题规律
分析
1、平面向量的线性运算及数量积
平面向量的运算是高考的热点内容。从近几年的高考情况来看，试题
主要以选择题、填空题的形式呈现，其中平面向量的线性运算、平面向量
的数量积、夹角、模与垂直条件等知识是高考的重点、热点内容，难度中
等，有时会与三角函数、平面几何等相结合命题。学生在高考复习中应注
意加强对向量的数量积、数量积的坐标表示的掌握，学会灵活求解。
高考真题
统计
考点
2023 年
2024 年
2025 年
平面向量的
线性运算及
数量积
新高考
卷：第
Ⅱ
13
题，5 分
全国乙卷（文数）：
第6 题，5 分
全国乙卷（理数）：
第12 题，5 分
新高考I 卷：第3
题，5 分
新高考
卷
Ⅱ
：第3
题，5 分
全国甲卷（理数）：
第9 题，5 分
全国一卷：第6 题，
5 分
全国二卷：第12
题，5 分
全国甲卷（理数）：
第4 题，5 分
2026 年
命题预测
预测在2026 年全国卷高考数学中，平面向量的运算的考情将继续维持
稳定态势。仍然以选择题、填空题为主，分值稳定在5 分左右。核心考点聚
焦数量积、模长夹角、以及平行与垂直关系，难度不大；也可能结合实际
情境（如速度、位移等）或新定义情境，或延续与三角函数、平面几何等
相结合命题，难度中等。
知识点
1
平面向量线性运算问题及其解题策略
1．平面向量线性运算问题的求解思路：
(1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法
相互转化；
(2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线
定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示.
2．向量线性运算的含参问题的解题策略：
与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运
算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值.
3．利用共线向量定理解题的策略：
(1)
是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.
(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A,B,C 三点共线
共线.
(3)若⃗a与⃗b不共线且
，则
.
(4)
(λ,μ 为实数)，若A,B,C 三点共线，则λ+μ=1.
知识点
2
向量数量积的性质和常用结论
1．向量数量积的性质和运算律
(1)向量数量积的性质
设⃗a，⃗b是非零向量，它们的夹角是θ，⃗e是与⃗b方向相同的单位向量，则
①
.
②
.
③当⃗a与⃗b同向时，
；当⃗a与⃗b反向时，
.
特别地，
或
.
④
，当且仅当向量⃗a，⃗b共线，即⃗a∥⃗b时，等号成立.
⑤
.
(2)向量数量积的运算律
由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立：
对于向量⃗a，⃗b，⃗c和实数λ，有
①交换律：
；
②数乘结合律：
；
③分配律：
.
2．向量数量积的常用结论
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
；
(5)
，当且仅当⃗a与⃗b同向共线时右边等号成立，⃗a与⃗b反向共线时左边等号成
立.
以上结论可作为公式使用.
知识点
3
平面向量数量积问题的解题策略
1．平面向量数量积的两种运算方法
(1)基底法：当已知向量的模和夹角θ 时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关计算
问题；
(2)坐标法：当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解.
2．夹角与垂直
根据平面向量数量积的性质：若⃗
a
，⃗
b
为非零向量，则
(夹角公式)，
等，可
知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.
3．向量的模的求解思路：
(1)坐标法：当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式；
(2)公式法：利用
及
，把向量的模的运算转化为数量积运算；
(3)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余
弦定理等方法求解.
4．向量数量积综合应用的三大解题方法
(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代
数运算和向量运算，从而使问题得到解决.
(2)基向量法：适当选取一组基底，写出向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行
求解.
(3)利用向量运算进行转化，化归为三角函数的问题或三角恒等变换问题是常规的解题思路和方法，以向量
为载体考查三角形问题时，要注意正弦定理、余弦定理等知识的应用.
【题型1 向量的线性运算】
【例1】（2025·四川眉山·模拟预测）在△ABC中，D是线段BC的中点，E是线段AD的中点，则⃗BE =
（ ）
A．1
4⃗AB−3
4⃗AC
B．3
4⃗AB−1
4⃗AC
C．−1
4⃗AB+ 3
4⃗AC
D．−3
4⃗AB+ 1
4⃗AC
【变式1-1】（2025·四川资阳·一模）如图，D 是△ABC的边AC 的中点，点E 在BD 上，且⃗BE =2⃗ED，
则（ ）
A．⃗AE = 2
3⃗AB+ 1
6⃗AC
B．⃗AE = 2
3⃗AB+ 1
3⃗AC
C．⃗AE = 1
3⃗AB+ 2
3⃗AC
D．⃗AE = 1
3⃗AB+ 1
3⃗AC
【变式1-2】（2025·河南安阳·一模）已知平行四边形ABCD的对角线的交点为P，则⃗
PA +2⃗PB+2⃗PC +⃗PD =（ ）
A．⃗AD
B．⃗DA
C．⃗AB
D．⃗BA
【变式1-3】（2025·贵州铜仁·模拟预测）在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分
点，则（ ）
A．⃗BE =−1
3⃗AB+ 2
3⃗AD
B．⃗BE = 2
3⃗AB−1
3⃗AD
C．⃗BE = 1
3⃗AB−2
3⃗AD
D．⃗BE =−2
3⃗AB+ 1
3⃗AD
【题型2 向量共线定理及其应用】
【例2】（2025·广东广州·三模）已知向量⃗a,⃗b不共线，λ⃗a+⃗b与3⃗a+2⃗b共线，则实数λ的值为（ ）
A．3
2
B．2
C．6
D．−2
3
【变式2-1】（2025·北京·二模）设平面向量⃗a与⃗b不共线，k ,s∈R，则“⃗a+ k⃗b与s⃗a+2⃗b共线是
”
“sk =2”
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式2-2】（2025·福建泉州·模拟预测）已知向量e
→
1, e
→
2
不共线，⃗AB = λ e
→
1+ e
→
2,⃗AC =2 e
→
1+ μ e
→
2
，其中
λ>0, μ>0，若A ,B ,C三点共线，则2 λ+ μ的最小值为（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
【变式2-3】（2025·湖南·模拟预测）如图，在△ABC中，点O是线段BC上靠近点B的三等分点，过点O
的直线分别交直线AB、AC于点M、N.设⃗AB =m⃗AM，⃗AC =n⃗AN，则2m+n的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【题型3 平面向量数量积的运算】
【例3】（2026·四川巴中·一模）已知平面向量⃗a,⃗b满足|⃗a|=2,|⃗b|=3，⃗a与⃗b的夹角为π
3
，则⃗
a⋅(⃗a−⃗b)=（ ）
A．7
B．1
C．4−3 ❑√3
D．4+3 ❑√3
【变式3-1】（2026·河北·一模）已知向量⃗a,⃗b,⃗c均为单位向量，且 ⃗a⋅⃗b=−1
2 ,|3⃗a+⃗b|=|⃗a−2⃗c|，则⃗
a⋅⃗c =（ ）
A．−1
5
B．−1
4
C．−1
3
D．−1
2
【变式3-2】（2025·浙江杭州·一模）设向量⃗a=(2, x),⃗b=(2+ x ,2 x).若⃗a⋅(2⃗a−⃗b)=0，则x =（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【变式3-3】（2025·新疆辽宁·一模）等腰梯形ABCD 中，AB 平行于CD，AB =2，CD =1，∠DAB =π
4
，P 为腰AD 所在线段上任意一点，则⃗PC ⋅⃗PB的最小值是（ ）
A．❑√3
B．1
C．3
2
D．❑√2
【题型4 平面向量的夹角问题】
【例4】（2025·广东深圳·模拟预测）已知非零向量⃗a,⃗b
满足(⃗a+ 4⃗b)⊥⃗a,(⃗a+3⃗b)⊥⃗b，则⃗a与⃗b
的夹角为
（ ）
A．π
6
B．π
3
C．2π
3
D．5π
6
【变式4-1】（2025·山东泰安·模拟预测）已知向量⃗a=(1,2),⃗b=(m,4)，若⃗a,⃗b
的夹角为锐角，则实数m
的取值范围是（ ）
A．m>−8
B．m>−8且m≠2
C．m<−8
D．m≠2
【变式4-2】（2025·四川绵阳·模拟预测）已知向量|⃗a)=2，⃗b=(0,1)且⃗a⋅⃗b=1
，则向量⃗a与⃗b
夹角的大小为
（ ）
A．π
2
B．π
3
C．π
4
D．π
6
【变式4-3】（2025·甘肃·模拟预测）若⃗a,⃗b是非零向量且满足(⃗a−3⃗b)⊥⃗a,(⃗b−3⃗a)⊥⃗b
，则⃗a与⃗b的夹角
的余弦值为（ ）
A．1
9
B．1
3
C．2
3
D．4
9
【题型5 平面向量的模长问题】
【例5】（2025·江苏·模拟预测）已知平面向量⃗a=(1,−2)，|⃗b)=3
，且(⃗a+⃗b)⊥⃗a
，则|⃗a−⃗b)=
（ ）
A．2
B．4
C．2❑√6
D．24
【变式5-1】（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知平面向量⃗a,⃗b满足|⃗a)=|⃗b)=1
，且向量⃗a在向量⃗b上的投影向
量为1
2⃗b，则|2⃗a−3⃗b)的值为（ ）
A．2❑√5
B．2❑√3
C．❑√7
D．❑√6
【变式5-2】（2025·云南·一模）已知⃗a,⃗b是单位向量，且⃗a⋅⃗b=−1
2
.若平面向量⃗p满足⃗p⋅⃗a=⃗p⋅⃗b= 1
2
，
则|⃗p)的值为（ ）
A．
❑√2
2
B．
❑√3
2
C．1
D．❑√2
【变式5-3】（2025·河北保定·二模）如图，圆O1和圆O2外切于点P，A，B分别为圆O1和圆O2上的动
点，已知圆O1
和圆O2
的半径都为1，且⃗PA ⋅⃗PB =−1，则|⃗PA +⃗PB)
2的最大值为（ ）
A．2
B．4
C．2❑√2
D．2❑√3
【题型6 向量数量积与其他知识交汇】
【例6】（2025·辽宁·模拟预测）设锐角△ABC的外心为O，满足3⃗OA ⋅⃗OB =⃗OB⋅⃗OC，
sinC =
❑√3
2 sin A，则sin B =（ ）
A．2❑√2+ ❑√3
5
B．2❑√5+1
5
C．7 ❑√3
18
D．7 ❑√2
12
【变式6-1】（2025·安徽芜湖·三模）已知⊙C : x
2+ y
2−10 x +9=0与直线l交于A ,B两点，且⊙C被l截
得两段圆弧的长度之比为1:3，若D为⊙C上一点，则⃗DA ⋅⃗DB的最大值为（ ）
A．18 ❑√2+12
B．16 ❑√2+16
C．12❑√2+20
D．10 ❑√2+24
【变式6-2】（2025·河北保定·三模）如图，在四边形ABCD中，|⃗AC)=2
，|⃗CD)= ❑√3
，∠ACD =30
∘，
E为线段AC的中点，⃗DE =2⃗EB，则⃗DA ⋅⃗DB =（ ）
A．3
B．3 ❑√3
2
C．3
2
D．3
4
【变式6-3】（2025·浙江·二模）已知函数f (x)= A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ)<π
2 )的部分图象如图所
示，y = f (x)的图象与y轴交于点C，D (5,0)，B (2, A)，且⃗BC ⋅⃗CD =0，则f (4)=（ ）
A．4
B．2❑√5
C．❑√10
D．4 ❑√2
点
平面向量的线性运算及数量积
考
一
一、单选题
1．（2024·新课标
卷
Ⅰ
·高考真题）已知向量⃗a=(0,1),⃗b=(2, x)，若⃗b⊥(⃗b−4⃗a)，则x =（ ）
A．−2
B．−1
C．1
D．2
2．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量⃗a=(x +1, x),⃗b=(x ,2)，则（ ）
A．“x =−3 是
”
“⃗a⊥⃗b 的必要条件
”
B．“x =1+ ❑√3 是
”
“⃗a//⃗b 的必要条件
”
C．“x =0 是
”
“⃗a⊥⃗b 的充分条件
”
D．“x =−1+ ❑√3 是
”
“⃗a//⃗b 的充分条件
”
3．（2024·北京·高考真题）设 ⃗a，⃗b是向量，则“(⃗a+⃗b)·(⃗a−⃗b)=0 是
”
“⃗a=−⃗b或⃗a=⃗b 的（
”
）．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（2024·新课标
卷
Ⅱ
·高考真题）已知向量⃗a,⃗b满足|⃗a)=1,|⃗a+2⃗b)=2，且(⃗b−2⃗a)⊥⃗b，则|⃗b)=（ ）
A．1
2
B．
❑√2
2
C．
❑√3
2
D．1
5．（2023·全国乙卷·高考真题）正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则⃗EC ⋅⃗ED =（ ）
A．❑√5
B．3
C．2❑√5
D．5
6．（2023·全国乙卷·高考真题）已知⊙O的半径为1，直线PA 与⊙O相切于点A，直线PB 与⊙O交于
B，C 两点，D 为BC 的中点，若|PO)= ❑√2，则⃗PA ⋅⃗PD的最大值为（ ）
A．1+ ❑√2
2
B．1+2❑√2
2
C．1+ ❑√2
D．2+ ❑√2
7．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量⃗a,⃗b,⃗c满足|⃗a)=|⃗b)=1,|⃗c)= ❑√2
，且⃗a+⃗b+⃗c =⃗0，则
cos〈⃗a−⃗c ,⃗b−⃗c 〉=（ ）
A．−4
5
B．−2
5
C．2
5
D．4
5
二、填空题
8．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量⃗a=( x ,1),⃗b=( x−1,2 x),若⃗a⊥(⃗a−⃗b)，则|⃗a|=
．
9．（2025·天津·高考真题）△ABC中，D 为AB 边中点，⃗CE = 1
3⃗CD ,⃗AB =⃗a,⃗AC =⃗b，则⃗AE =
（用⃗a，⃗b表示），若|⃗AE|=5，AE⊥CB，则⃗AE⋅⃗CD =
.
10．（2023·新课标
卷
Ⅱ
·高考真题）已知向量⃗a，⃗b满足|⃗a−⃗b)= ❑√3，|⃗a+⃗b)=|2⃗a−⃗b)，则|⃗b)=
．
