第二章函数
第1 节函数的概念及其表示
【考向预测】 近三年高考数学函数的概念及其表示为年年稳定考查的基础考点，多以选
择题、填空题形式出现，常考查函数定义域与值域求解、同一函数判定、解析式求法、分段
函数求值与分段不等式求解，常与集合、不等式、简易逻辑交汇命题，也作为后续函数性质、
导数综合的基础载体隐性渗透。预测2027 年仍延续基础必考定位，重点聚焦分段函数综合
应用、抽象函数定义域、解析式赋值求解、多段函数求值与范围问题，强化分段函数与不等
式、方程零点的结合考查，侧重数学抽象、分类讨论及代数运算与逻辑推理能力。
【双基自测●明考向】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)f(x)＝❑√x−3＋❑√2−x是一个函数.( )
(2)直线y＝a 与函数y＝f(x)的图象可以有多个交点.( )
(3)若A＝R,B＝{x|x>0},f:x→y＝|x|,其对应是从A 到B 的函数.( )
(4)若两个函数的定义域与值域分别相同,则这两个函数是同一个函数.( )
【答案】(1)× (2)√ (3)× (4)×
【解析】(1)错误.{
x−3≥0,
2−x≥0 无解,可知其说法错误.
(3)错误.集合A 中的元素0 在集合B 中无元素与之对应.
(4)错误.只有两个函数的定义域,对应关系分别相同时,这两个函数才是同一个函数.
2.(人教A 必修一P66 例3 改编)下列函数中与函数y＝x 是同一个函数的是( )
A.y＝(❑√x)2
B.u＝
3√v
3
C.y＝❑√x
2
D.m＝n
2
n
【答案】B
【解析】函数y＝(❑√x)2,m＝n
2
n 和y＝x 的定义域不同,不是同一个函数;函数y＝❑√x
2＝|x|与y＝x
的解析式不同,也不是同一个函数,故选B.
3.(北师大必修一P55 例2(2)改编)函数y＝
❑√x＋3＋1
x 的定义域为 .
【答案】[－3,0)∪(0,＋∞)
【解析】由{
x＋3≥0,
x≠0,
解得{
x≥−3,
x≠0,
故函数的定义域为[－3,0)∪(0,＋∞).
4.(苏教必修一P134T3 改编)已知函数f(x)＝{
❑√x＋3,−3≤x≤−2,
1
x＋2 ,−2< x≤4 ,
则f(f(－3))＝ .
【答案】1
2
【解析】因为f(－3)＝❑√−3＋3＝0,
所以f(f(－3))＝f(0)＝1
2.
【核心梳理●明考点】
1.函数的概念
概念
一般地,设A,B 是非空的实数集,如果对于集合A
中的任意一个数
x ,按照某种确定的对应关系f,在
集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应,那么就称
f:A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数
三
要
素
对应关系
y＝f(x),x∈A
定义域
x 的取值范围
值域
与x 对应的y 的值的集合{f(x)|x∈A}
2.同一个函数的概念
(1)前提条件:①定义域相同;②对应关系相同.
(2)结论:这两个函数为同一个函数.
3.函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.
4.分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函
数称为分段函数.
(2)分段函数表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于
各段函数的值域的并集.
1.直线x＝a(a 是常数)与函数y＝f(x)的图象至多有1 个交点.
2.注意以下几种特殊函数的定义域:
(1)分式型函数,分母不为零的实数集合.
(2)偶次方根型函数,被开方式非负的实数集合.
(3)f(x)为对数式时,函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1 的实数集合.
(4)若f(x)＝x0,则定义域为{x|x≠0}.
【考点突破●明方向】
考点一 函数的定义域
例1 (1)(2026·重庆质检)函数f(x)＝
3 x
❑√4−x ＋
❑√2
x−2的定义域是( )
A.[1,4]
B.[1,4)
C.[1,＋∞)
D.[2,4)
(2)(2026·承德调研)函数f(x＋1)的定义域为[－2,2],函数g(x)＝
f ( x−1)
❑√2 x−1·( x−2),则g(x)的定义
域为 .
【答案】(1)B (2)(
1
2 ,2)∪(2,4]
【解析】(1)由题意知,函数f(x)＝
3 x
❑√4−x ＋
❑√2
x−2有意义,
需满足{
4−x>0,
2
x−2≥0,解得1≤x<4,
故f(x)＝
3 x
❑√4−x ＋
❑√2
x−2的定义域为[1,4).
(2)由于f(x＋1)的定义域为[－2,2],故x∈[－2,2],则x＋1∈[－1,3],
因此g(x)＝
f ( x−1)
❑√2 x−1·( x−2) 的定义域满足{
−1≤x−1≤3,
2 x−1>0,
x−2≠0,
解得1
2<x≤4 且x≠2,
故定义域为(
1
2 ,2)∪(2,4].
【名师点拨】1.求给定解析式的函数的定义域,其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有
意义为准则,列出不等式或不等式组求解;对于实际问题,定义域应使实际问题有意义.
2.求抽象函数定义域的方法
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b 求出.
(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域.
【变式训练】1 (1)函数f(x)＝
1
x−2＋ln(x－1)的定义域为( )
A.(1,＋∞)
B.(1,2)∪(2,＋∞)
C.(－∞,1)
D.(0,2)∪(2,＋∞)
(2)(2026·长沙模拟)已知函数y＝f(x)的定义域和值域分别为[－1,1]和[5,9],则函数y＝f(x＋1)的
定义域和值域分别为( )
A.[0,2]和[6,10]
B.[－2,0]和[6,10]
C.[0,2]和[5,9]
D.[－2,0]和[5,9]
【答案】(1)B (2)D
【解析】(1)因为f(x)＝
1
x−2＋ln(x－1),
所以要使函数有意义,则{
x−1>0,
x−2≠0,
解得x>1 且x≠2,
所以f(x)的定义域为(1,2)∪(2,＋∞).
(2)由函数y＝f(x)的定义域和值域分别为[－1,1]和[5,9],
可得x∈[－1,1],f(x)∈[5,9],
令－1≤x＋1≤1,解得－2≤x≤0,
所以函数y＝f(x＋1)的定义域为[－2,0],
将函数y＝f(x)的图象向左平移1 个单位长度,
得到y＝f(x＋1)的图象,
所以函数y＝f(x＋1)与函数y＝f(x)的值域相同,
即f(x＋1)∈[5,9].故选D.
考点二 函数的解析式
例2 (1)已知f(1－sin x)＝cos2x,求f(x)的解析式;
(2)已知f(x＋1
x)＝x2＋1
x
2,求f(x)的解析式;
(3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17,求f(x)的解析式;
(4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x,求f(x)的解析式.
【解析】(1)(换元法) 设1－sin x＝t,t∈[0,2],
则sin x＝1－t,
∵f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x,
∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2,t∈[0,2].
即f(x)＝2x－x2,x∈[0,2].
(2)(配凑法) ∵f(x＋1
x)＝x2＋1
x
2
＝(x＋1
x)
2
－2,
∴f(x)＝x2－2,x∈(－∞,－2]∪[2,＋∞).
(3)(待定系数法) ∵f(x)是一次函数,
可设f(x)＝ax＋b(a≠0),
∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17.
即ax＋(5a＋b)＝2x＋17,
∴{
a＝2,
5a＋b＝17 , 解得{
a＝2,
b＝7.
∴f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7.
(4)(解方程组法) ∵2f(x)＋f(－x)＝3x,①
∴将x 用－x 替换,
得2f(－x)＋f(x)＝－3x,②
由①②解得f(x)＝3x.
【名师点拨】函数解析式的求法
(1)配凑法:由已知条件f(g(x))＝F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x 替代g(x),便
得f(x)的表达式.
(2)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法.
(3)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围.
(4)方程思想:已知关于f(x)与f(
1
x)或f(－x)等的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式
组成方程组,通过解方程组求出f(x).
【变式训练】2 (多选)下列命题中正确的有( )
A.若一次函数f(x)满足f(f(x))＝4x＋3,则函数f(x)的解析式为f(x)＝2x＋1
B.若f(3x)＝x2＋4x,则函数f(x)的定义域为(0,＋∞)
C.若f(x−1
x)＝x3－1
x
3,则函数f(x)的解析式为f(x)＝x3＋3x
D.若函数f(x)满足关系式f(x)＋2f (
1
x)＝3x,则f(x)＝2
x －x
【答案】BCD
【解析】对于A,设f(x)＝kx＋b(k≠0),
则f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b,
因为f(f(x))＝4x＋3,
所以{
k
2＝4 ,
kb＋b＝3,
解得{
k ＝2,
b＝1 或{
k ＝−2,
b＝−3,
故函数f(x)的解析式为f(x)＝2x＋1 或f(x)＝－2x－3,A 错误;
对于B,令t＝3x,则x＝log3t(t>0),
则f(t)＝(log3t)2＋4log3t,t>0,
故函数的定义域为(0,＋∞),B 正确;
对于C,f(x−1
x)＝x3－1
x
3
＝(x−1
x)(x
2＋1＋1
x
2)
＝(x−1
x)[(x−1
x)
2
＋3],
且x－1
x 的取值范围是R,
所以f(x)＝x(x2＋3)＝x3＋3x,C 正确;
对于D,由f(x)＋2f(
1
x)＝3x,
用1
x 替换x,得f(
1
x)＋2f(x)＝3
x ,
联立解得f(x)＝2
x －x,D 正确.
考点三 分段函数
角度1 分段函数求值
例3 (2026·潍坊模拟)已知函数f(x)＝{
x
2＋x , x<0,
e
x＋ln( x＋1), x ≥0,则f[f(－1)]＝( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【答案】B
【解析】将x＝－1 代入,
得f(－1)＝(－1)2＋(－1)＝0,
所以f[f(－1)]＝f(0),
将x＝0 代入,得到f(0)＝e0＋ln 1＝1.
因此,f[f(－1)]＝f(0)＝1.故选B.
角度2 分段函数与方程、不等式
例4 (1)(2026·上饶模拟)设f(x)＝{
❑√x ,0< x<1,
3( x−1), x≥1,若f(m)＝f(m＋1),
则m＝( )
A.1
2
B.1
3
C.1
9
D. 1
16
(2)(2026·辽宁名校联盟模拟)已知函数f(x)＝{
|2
x−1|, x≤0,
lo g3( x＋1), x>0,则不等式f(x)≤1 的解集为
.
【答案】(1)C (2)(－∞,2]
【解析】(1)由题意可知m>0,
当0<m<1 时,m＋1>1,
由f(m)＝f(m＋1),得❑√m＝3m,得m＝1
9;
当m≥1 时,m＋1>1,由f(m)＝f(m＋1),
得3(m－1)＝3m,无解.
综上,m＝1
9.
(2)由题意可知,当x≤0 时,0<2x≤1,
故f(x)＝1－2x<1,满足题意;
当x>0 时,令log3(x＋1)≤1,
即0<x＋1≤3,解得－1<x≤2,所以0<x≤2.
综上,x≤2.
【名师点拨】1.根据分段函数解析式求函数值,当出现f[f(a)]的形式时,应从内到外依次求值.
2.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时,应根据每一段的解析式分别求解,但
要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.
提醒 当分段函数的自变量范围不确定时,应分类讨论.
【变式训练】3 (1)(2026·河南部分名校联考)已知函数f(x)＝{
1
4 , x≤−1,
2f (−2 x), x>−1,
则f(−
1
1 024)＝( )
A.128
B.256
C.512
D.1 024
(2)若函数f(x)＝{
x
2＋1, x≤0,
3, x>0,
不等式f(x)>2 的解集为 ,若f(a)＝f(－a),则a 的值为
.
【答案】(1)B
(2)(－∞,－1)∪(0,＋∞) 0 或±❑√2
【解析】(1)由题意,f(−
1
1 024)＝2f(
1
512)＝22f(−1
256)＝…＝210f(－1)＝1 024×1
4＝256.故选
B.
(2)当x≤0 时,f(x)＝x2＋1>2,
则x2>1,解得x<－1;
当x>0 时,f(x)＝3>2,恒成立,
所以不等式f(x)>2 的解集为(－∞,－1)∪(0,＋∞).
当a>0 时,－a<0,由f(a)＝f(－a)得3＝(－a)2＋1,
解得a＝❑√2,
当a＝0 时,f(a)＝f(－a)＝1,显然成立.
当a<0 时,－a>0,
由f(a)＝f(－a)得a2＋1＝3,
解得a＝－❑√2.
故a 的值为0 或±❑√2.
【限时训练】
（30 分钟）
一、单选题
1.函数y＝lo g3(1−x)
x＋4
的定义域为( )
A.(－∞,－4)∪(－4,1)
B.(－∞,－1)∪(－1,4)
C.(－∞,1)
D.(1,＋∞)
【答案】A
【解析】由{
1−x>0,
x＋4≠0 得{
x<1,
x≠−4 ,
∴函数y＝lo g3(1−x)
x＋4
的定义域为(－∞,－4)∪(－4,1).故选A.
2.下列各组函数中,表示同一个函数的一组是( )
A.f(x)＝1,g(x)＝x0
B.f(x)＝x,g(x)＝x
2
x
C.f(x)＝❑√x−1·❑√x＋1,g(x)＝❑√x
2−1
D.f(x)＝{
x , x≥0,
−x , x<0与g(t)＝❑√t
2
【答案】D
【解析】对于A,f(x)的定义域是R,g(x)的定义域是(－∞,0)∪(0,＋∞),两个函数的定义域不
同,故二者不是同一个函数;
对于B,f(x)＝x(x∈R)与g(x)＝x(x≠0)的定义域不同,故二者不是同一个函数;
对于C,f(x)的定义域是[1,＋∞),g(x)的定义域是(－∞,－1]∪[1,＋∞),两个函数的定义域不同,
故二者不是同一个函数;
对于D,g(t)＝❑√t
2＝|t|＝{
t ,t ≥0,
−t ,t <0,与f(x)＝{
x , x≥0,
−x , x<0的定义域以及对应关系都相同,故二者是同
一个函数.故选D.
3.(2026·长春调考)若函数y＝
1
❑√2 x−x
2的定义域为M,值域为N,则M∩N＝( )
A.(0,＋∞)
B.(2,＋∞)
C.(1,2]
D.[1,2)
【答案】D
【解析】由y＝
1
❑√2 x−x
2有意义可得2x－x2>0,
所以x2－2x<0,解得0<x<2,
所以函数y＝
1
❑√2 x−x
2的定义域M＝(0,2).
由0<x<2,可得y＝2x－x2＝－(x－1)2＋1∈(0,1],
所以函数y＝
1
❑√2 x−x
2的值域N＝[1,＋∞),
所以M∩N＝[1,2).
4.(2026·广州调研)已知函数f(x)满足f(x)＋f(
1
1−x)＝1＋x,则f(2)＝( )
A.－3
4
B.3
4
C.3
2
D.9
4
【答案】D
【解析】在f(x)＋f(
1
1−x)＝1＋x 中,
令x＝2,可得f(2)＋f(－1)＝3;①
令x＝1
2,可得f(
1
2)＋f(2)＝3
2.②
①＋②可得f(－1)＋f(
1
2)＋2f(2)＝9
2.
令x＝－1,可得f(－1)＋f(
1
2)＝0,
则2f(2)＝9
2,即f(2)＝9
4.故选D.
5.已知A＝{x|0≤x≤2},B＝{1,2},下列图形能表示以A 为定义域,B 为值域的函数的是( )
【答案】C
【解析】对于A,值域为[0,2],不符合题意;
对于B,值域为[1,2],不符合题意;
对于C,值域为{1,2},符合题意;
对于D,一个自变量对应两个函数值,不符合函数定义,不符合题意.故选C.
6.(2026·石家庄段测)已知a>0 且a≠1,定义在R 上的函数f(x)＝{
2
−x−1, x≤0,
lo ga( x＋2a), x>0,若f[f(－2)]
＝2,则a＝( )
A.3
B.2
C.1
2
D.1
3
【答案】A
【解析】因为a>0 且a≠1,
f(x)＝{
2
−x−1, x≤0,
lo ga( x＋2a), x>0,
所以f(－2)＝22－1＝3,
则f[f(－2)]＝f(3)＝loga(3＋2a)＝2,
所以a2＝3＋2a,解得a＝3 或a＝－1(舍),
故选A.
7.存在函数f(x)满足:对任意x∈R 都有( )
A.f(|x|)＝x3
B.f(sin x)＝x2
C.f(x2＋2x)＝|x|
D.f(|x|)＝x2＋1
【答案】D
【解析】对于A,当x＝1 时,f(|1|)＝f(1)＝1;
当x＝－1 时,f(|－1|)＝f(1)＝－1,
不符合函数定义,故A 错误;
对于B,令x＝0,则f(sin x)＝f(0)＝0;
令x＝π,则f(sin π)＝f(0)＝π2,
不符合函数定义,故B 错误;
对于C,令x＝0,则f(0)＝0;
令x＝－2,则f((－2)2＋2×(－2))＝f(0)＝2,不符合函数定义,故C 错误;
对于D,f(|x|)＝x2＋1＝|x|2＋1,x∈R,|x|≥0,则存在x≥0 时,f(x)＝x2＋1,符合函数定义,
即存在函数f(x)＝x2＋1(x≥0)满足:对任意x∈R 都有f(|x|)＝x2＋1,故D 正确.故选D.
二、多选题
8.下列说法正确的是( )
A.式子y＝❑√x−1＋❑√−x−1可表示自变量为x、因变量为y 的函数
B.若f(x)＝|x－1|－|x|,则f[f(
1
2)]＝1
C.函数y＝f(x)的图象与直线x＝1 最多有1 个交点
D.若函数的值域只含有一个元素,则定义域也只含有一个元素
【答案】BC
【解析】对于A,有{
x−1≥0,
−x−1≥0,不等式组无解,A 错误;
对于B,因为f(x)＝|x－1|－|x|,
所以f(
1
2)＝0,故f[f(
1
2)]＝f(0)＝1,B 正确;
对于C,根据函数的概念知,当函数f(x)在x＝1 处无定义时,函数f(x)的图象与直线x＝1 无交点;
当函数f(x)在x＝1 处有定义时,函数f(x)的图象与直线x＝1 只有1 个交点,
所以函数f(x)的图象与直线x＝1 最多有1 个交点,C 正确;
对于D,取函数f(x)＝5(x∈R),其值域为{5},则定义域为R,D 错误.故选BC.
9.(2026·成都诊断)已知函数f(❑√x＋1)＝x＋2❑√x,则( )
A.f(x)＝x2－1(x∈R)
B.f(x)的最小值为－1
C.f(2x－3)的定义域为[2,＋∞)
D.f(
1
x)的值域为[0,＋∞)
【答案】CD
【解析】依题意,f(❑√x＋1)＝(❑√x)2＋2❑√x＝(❑√x＋1)2－1,
则f(x)＝x2－1,x≥1,A 错误;
当x≥1 时,f(x)≥0,当且仅当x＝1 时取等号,B 错误;
由2x－3≥1,得x≥2,
因此f(2x－3)的定义域为[2,＋∞),C 正确;
易知f(
1
x)＝1
x
2－1,则1
x
2∈[1,＋∞),
因此f(
1
x)的值域为[0,＋∞),D 正确.
三、填空题
10.(2026·湖北多校联考)已知函数f(x－1)的定义域为(－1,3),则函数g(x)＝f (2 x＋1)
ln( x＋1) 的定义域
为 .
【答案】(－1,0)∪(0, 1
2)
【解析】由函数f(x－1)的定义域为(－1,3),得－1<x<3,
则－2<x－1<2,可得{
−2<2 x＋1<2,
x＋1>0,
x＋1≠1,
解得－1<x<1
2且x≠0,
所以函数g(x)的定义域为(－1,0)∪(0, 1
2).
11.已知函数f(x)对任意x 满足3f(x)－f(2－x)＝4x,则f(x)＝ .
【答案】x＋1
【解析】由题意知3f(x)－f(2－x)＝4x,①
用2－x 代替x,
得3f(2－x)－f(x)＝8－4x,②
由①②可得f(x)＝x＋1.
12.(2026·海南模拟)设函数f(x)＝{
ln 1
x , x>0,
ln(−x), x<0,
若f(a)>f(－a),则实数a 的取值范围是 .
【答案】(－∞,－1)∪(0,1)
【解析】当a>0 时,由f(a)>f(－a),
可得ln1
a>ln a,
即ln a<0,得0<a<1;
当a<0 时,由f(a)>f(－a),
可得ln(－a)>ln 1
−a,得a<－1.
综上,实数a 的取值范围为
(－∞,－1)∪(0,1).
四、解答题
13.已知函数f(x)＝{
3 x＋5, x≤0,
x＋5,0< x≤1,
−2 x＋8, x>1.
(1)求f (
3
2),f (
1
π),f(－1)的值;
(2)画出这个函数的图象;
(3)求f(x)的最大值.
【解析】(1)∵3
2>1,∴f (
3
2)＝－2×3
2＋8＝5.
∵0< 1
π <1,∴f (
1
π)＝1
π ＋5＝5 π ＋1
π
.
∵－1<0,∴f(－1)＝－3＋5＝2.
(2)这个函数的图象如图所示.
在函数f(x)＝3x＋5 的图象上截取x≤0 的部分,
在函数f(x)＝x＋5 的图象上截取0<x≤1 的部分,
在函数f(x)＝－2x＋8 的图象上截取x>1 的部分.
图中实线组成的图形就是函数f(x)的图象.
(3)由函数图象可知,当x＝1 时,f(x)取最大值6.
14.(1)已知f(x＋1)＝2x2－x＋3,求f(x);
(2)已知f(f(x))＝4x＋9,且f(x)为一次函数,求f(x);
(3)已知函数f(x)满足2f(x)＋f(
1
x)＝x,求f(x).
【解析】(1)令t＝x＋1,则x＝t－1,
∴f(t)＝2(t－1)2－(t－1)＋3
＝2t2－4t＋2－t＋1＋3＝2t2－5t＋6.
∴f(x)＝2x2－5x＋6.
(2)∵f(x)为一次函数,
∴设f(x)＝kx＋b(k≠0),
∴f(f(x))＝f(kx＋b)＝k(kx＋b)＋b
＝k2x＋kb＋b＝4x＋9,
∴{
k
2＝4 ,
kb＋b＝9,∴{
k ＝2,
b＝3 或{
k ＝−2,
b＝−9,
∴f(x)＝2x＋3 或f(x)＝－2x－9.
(3)由2f(x)＋f(
1
x)＝x,①
用1
x 替换x,得2f(
1
x)＋f(x)＝1
x .②
由①×2－②,得f(x)＝2
3x－1
3 x (x≠0)
