专题5.1 平面向量的概念及线性运算（举一反三讲义）
【全国通用】
【题型1 平面向量的基本概念】..............................................................................................................................2
【题型2 向量的几何表示】......................................................................................................................................3
【题型3 向量加、减法的几何意义】......................................................................................................................3
【题型4 向量的线性运算】......................................................................................................................................4
【题型5 根据向量线性运算求参数】......................................................................................................................5
【题型6 向量共线定理及其应用】..........................................................................................................................5
1、平面向量的概念及线性运算
考点要求
真题统计
考情分析
(1)理解平面向量的意义、几
何表示及向量相等的含义
(2)掌握向量的加法、减法运
算，并理解其几何意义及向
量共线的含义
(3)了解向量线性运算的性质
及其几何意义
2022 年新高考全国I 卷：第3
题，5 分
2023 年全国甲卷（理数）：
第4 题，5 分
2025 年天津卷：第14 题，5
分
平面向量是高考的重点、热点内
容.从近几年的高考情况来看，平面向
量的概念和平面向量的线性运算主要以
选择题、填空题的形式考查，难度较
易，考查形式比较稳定.学生在高考复
习中应注意加强对向量的线性运算法
则、向量共线定理的理解.
知识点
1 平行向量有关概念的归纳
1．平行向量有关概念的四个关注点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆.
(4)非零向量⃗
a
与
的关系：
是与⃗
a
同方向的单位向量.
知识点
2 平面向量线性运算问题及其解题策略
1．平面向量线性运算问题的求解思路：
(1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法
相互转化；
(2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线
定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示.
2．向量线性运算的含参问题的解题策略：
与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运
算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值.
3．利用共线向量定理解题的策略：
(1)
是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.
(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A,B,C 三点共线
共线.
(3)若⃗a与⃗b不共线且
，则
.
(4)
(λ,μ 为实数)，若A,B,C 三点共线，则λ+μ=1.
【方法技巧与总结】
1．中点公式的向量形式：若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则
.
2．
(λ,μ 为实数)，若A,B,C 三点共线，则λ+μ=1.
3．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是考虑向量的方向；二是要
特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件.
【题型1 平面向量的基本概念】
【例1】（24-25 高一下·湖南岳阳·期末）下列说法正确的是（ ）
A．若|⃗a)=|⃗b)，则⃗a=⃗b
B．零向量没有方向
C．相等向量的长度相等
D．共线向量是在同一条直线上的向量
【变式1-1】（24-25 高一下·广西河池·期末）下列向量的概念错误的是（ ）
A．长度为0 的向量是零向量，零向量的方向是任意的
B．零向量和任何向量都是共线向量
C．相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等
D．⃗a//⃗b，⃗b//⃗c，则⃗a//⃗c
【变式1-2】（24-25 高一下·四川乐山·期末）下列说法正确的是（ ）
A．若⃗a,⃗b为单位向量，则⃗a=⃗b
B．若⃗a,⃗b为平行向量，则⃗a=⃗b
C．若|⃗a|=|⃗b|，则⃗a=⃗b
D．若⃗a=⃗b，则|⃗a|=|⃗b|
【变式1-3】（24-25 高一下·上海嘉定·期末）以下关于平面向量的说法正确的是（ ）
A．若⃗a=⃗b，则|⃗a)=|⃗b)
B．若⃗a//⃗b,⃗b//⃗c，则⃗a//⃗c
C．若⃗a,⃗b是共线的单位向量，则⃗a=⃗b
D．若⃗a=⃗b，则⃗a,⃗b不是共线向量
【题型2 向量的几何表示】
【例2】（24-25 高一下·新疆·期中）下列说法正确的是（ ）
A．向量的模是一个正实数
B．零向量没有方向
C．单位向量的模等于1 个单位长度
D．零向量就是实数0
【变式2-1】（24-25 高二上·广东湛江·开学考试）下列命题正确的个数是（ ）
（1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量；
（3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0．
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式2-2】（24-25 高一下·安徽合肥·阶段练习）在如图所示的半圆中，AB 为直径，点O 为圆心，C 为半
圆上一点，且∠OCB =30°，|⃗AB)=2，则|⃗AC)等于（ ）
A．1
B．❑√2
C．❑√3
D．2
【变式2-3】（24-25 高一下·河北石家庄·阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A．向量⃗CD与向量⃗DC长度相等
B．起点相同的单位向量，终点必相同
C．向量的模可以比较大小
D．任一非零向量都可以平行移动
【题型3 向量加、减法的几何意义】
【例3】（24-25 高一下·广西柳州·期中）四边形ABCD中，O 为任意一点，若⃗OA −⃗OB+⃗OC −⃗OD =⃗0，
则四边形ABCD一定是（ ）
A．矩形
B．菱形
C．正方形
D．平行四边形
【变式3-1】（24-25 高一下·陕西·期中）在基底{⃗a,⃗b)下，向量⃗c = 4⃗a−3⃗b，则在下列图中，能正确表示⃗c
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3-2】（24-25 高一下·贵州六盘水·阶段练习）如图，已知O为平行四边形ABCD内一点，⃗
OA =⃗a,⃗OB =⃗b,⃗OC =⃗c，则⃗OD等于（ ）
A．⃗a−⃗b+⃗c
B．⃗a+⃗b+⃗c
C．⃗a−⃗b−⃗c
D．⃗a+⃗b−⃗c
【变式3-3】（24-25 高三下·福建宁德·开学考试）在平行四边形ABCD中，E为线段AB的中点，且⃗
AF =⃗AD+⃗AE，则（ ）
A．F为线段AD的中点
B．F为线段BC的中点
C．F为线段CD的中点
D．F为线段BD的中点
【题型4 向量的线性运算】
【例4】（2025·四川自贡·三模）在△ABC中，D是AB边上的中点，则⃗CA =（ ）
A．2⃗CD−⃗CB
B．⃗CD−2⃗CB
C．2⃗CD +⃗CB
D．⃗CD +2⃗CB
【变式4-1】（2025·浙江嘉兴·三模）在△OAB所在平面内，点C满足⃗AB =3⃗BC，记⃗OA =⃗a，⃗OB=⃗b，则⃗
OC =（ ）
A．1
3⃗a+ 2
3⃗b
B．2
3⃗a+ 1
3⃗b
C．−1
3⃗a+ 4
3⃗b
D．4
3⃗a−1
3⃗b
【变式4-2】（2025·贵州铜仁·模拟预测）在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分
点，则（ ）
A．⃗BE =−1
3⃗AB+ 2
3⃗AD
B．⃗BE = 2
3⃗AB−1
3⃗AD
C．⃗BE = 1
3⃗AB−2
3⃗AD
D．⃗BE =−2
3⃗AB+ 1
3⃗AD
【变式4-3】（2025·重庆·一模）在平行四边形 ABCD 中，⃗AE = 1
4⃗AB，⃗AF = 1
3⃗AD，CE 与 BF 相
交于 G ，若⃗AB =⃗a ，⃗AD =⃗b ，则⃗AG =（ ）
A．2
5⃗a+ 1
5⃗b
B．2
5⃗a+ 3
5⃗b
C．3
7⃗a+ 1
7⃗b
D．4
7⃗a+ 2
7⃗b
【题型5 根据向量线性运算求参数】
【例5】（2025·山东临沂·一模）在△ABC中，点D是AB的中点，点P在CD上，若⃗AP = λ⃗AB+ 1
3⃗AC，
则λ=（ ）
A．1
6
B．1
3
C．2
3
D．4
3
【变式5-1】（24-25 高三上·浙江·期中）在△ABC中，D 是BC 上一点，满足⃗BD =2⃗DC，M 是AD 的中
点，若⃗BM = λ⃗BA + μ⃗BC，则λ+ μ=（ ）
A．5
4
B．7
8
C．5
6
D．5
8
【变式5-2】（2024·贵州铜仁·模拟预测）如图，在△ABC中，M是边BC的中点，P是AM上一点，且⃗
BP = 2
3⃗BA +m⃗BC，则m=（ ）
A．1
6
B．1
3
C．1
2
D．2
5
【变式5-3】（2024·广西·模拟预测）在△ABC中，⃗AB = 4⃗AD，⃗CE =2⃗ED.若⃗BC = λ⃗AE + μ⃗CD，则
（ ）
A．λ+ μ=5
B．λ−μ=1
C．λμ=6
D．λ
μ =3
【题型6 向量共线定理及其应用】
【例6】（2024·内蒙古赤峰·二模）已知⃗a，⃗b是两个不共线的向量，命题甲：向量t⃗a+⃗b与⃗a−2⃗b共线；命
题乙: t =−1
2 ，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式6-1】（23-24 高一上·辽宁·期末）已知⃗a与⃗b为非零向量，⃗OA =⃗a+⃗b,⃗OB=2⃗a−⃗b,⃗OC = λ⃗a+ μ⃗b，
若A ,B ,C三点共线，则2 λ+ μ=（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【变式6-2】（2025·湖南·模拟预测）如图，在△ABC中，点O是线段BC上靠近点B的三等分点，过点O
的直线分别交直线AB、AC于点M、N.设⃗AB =m⃗AM，⃗AC =n⃗AN，则2m+n的值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式6-3】（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知向量⃗a,⃗b不共线，⃗AB = λ⃗a+⃗b,⃗AC =⃗a+ μ⃗b，其中
λ>0, μ>0，若A ,B ,C三点共线，则λ+ 4 μ的最小值为（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
一、单选题
1．（2025·云南临沧·模拟预测）关于非零向量⃗a,⃗b，下列说法正确的是（ ）
A．若|⃗a)>|⃗b)，则⃗a>⃗b
B．若|⃗a|=)⃗b)，则⃗a=⃗b
C．若⃗a=⃗b，则⃗a//⃗b
D．若⃗a≠⃗b，则⃗a，⃗b不是共线向量
2．（2025·辽宁·一模）已知△ABC，点D 满足⃗BD =3⃗BC，则⃗AD =（ ）
A．3⃗AB−2⃗AC
B．3⃗AC −2⃗AB
C．3
2⃗AB−1
2⃗AC
D．1
2⃗AC −3
2⃗AB
3．（2025·河南·三模）若点A 在点O 的正北方向，点B 在点O 的南偏西60
∘方向，且|OA)=|OB)=2km，
则向量⃗OA +⃗OB表示（ ）
A．从点O 出发，朝北偏西60
∘方向移动2❑√3km
B．从点O 出发，朝北偏西75
∘方向移动2❑√3km
C．从点O 出发，朝北偏西60
∘方向移动2km
D．从点O 出发，朝北偏西75
∘方向移动2km
4．（2025·广东广州·三模）已知向量⃗a,⃗b不共线，λ⃗a+⃗b与3⃗a+2⃗b共线，则实数λ的值为（ ）
A．3
2
B．2
C．6
D．−2
3
5．（2025·湖南邵阳·三模）设D为△ABC所在平面内一点，⃗AD =−1
5⃗AB+ 6
5⃗AC．若⃗BC = λ⃗DC (λ∈R)
，则λ的值为（ ）
A．4
B．5
C．−4
D．−5
6．（2025·广东·模拟预测）若平面向量⃗a，⃗b，⃗c满足|⃗a−⃗b)=|2⃗b−⃗c)=1，则|2⃗a−⃗c)的最大值是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
7．（2024·浙江·模拟预测）已知向量⃗e1
，⃗e2
是平面上两个不共线的单位向量，且⃗AB =⃗e1+2⃗e2
，⃗
BC =−3⃗e1+2⃗e2
，⃗DA =3⃗e1−6⃗e2
，则（ ）
A．A、B、C三点共线
B．A、B、D三点共线
C．A、C、D三点共线
D．B、C、D三点共线
8．（2025·福建泉州·模拟预测）已知向量e
→
1, e
→
2
不共线，⃗AB = λ e
→
1+ e
→
2,⃗AC =2 e
→
1+ μ e
→
2
，其中λ>0, μ>0
，若A ,B ,C三点共线，则2 λ+ μ的最小值为（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
二、多选题
9．（24-25 高一下·安徽·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．若|⃗a)>|⃗b)，则⃗a>⃗b
B．若⃗a=⃗b，则⃗a//⃗b
C．若⃗a ∥ ⃗b,⃗b ∥ ⃗c，则⃗a ∥ ⃗c
D．若⃗a=⃗b,⃗b=⃗c，则⃗a=⃗c
10．（24-25 高一下·广东揭阳·期末）如图，在平行四边形ABCD 中，E，F 分别是CD 边上的两个三等分
点，则下列选项正确的有（ ）
A．⃗EF = 1
3⃗AB
B．⃗AF = 1
3⃗AD+ 2
3⃗AC
C．⃗BE =⃗CB−⃗CE D．⃗
AD +⃗DC =⃗AB+⃗BC
11．（2024·辽宁·二模）△ABC的重心为点G，点O，P 是△ABC所在平面内两个不同的点，满足⃗
OP =⃗OA +⃗OB+⃗OC，则（ ）
A．O , P ,G三点共线
B．⃗OP =2⃗OG
C．2⃗OP =⃗AP+⃗BP+⃗CP
D．点P在△ABC的内部
三、填空题
12．（24-25 高一下·新疆喀什·阶段练习）在四边形ABCD中，有⃗AD =⃗BC，则四边形ABCD的形状为
.
13．（2025 高一·全国·专题练习）已知对边不平行的四边形ABCD，点E , F分别在线段AD ,BC上，且⃗
EF = 2
3⃗AB+ 1
3⃗DC，则⃗DE =
⃗AE．
14．（2024·山西太原·三模）赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222 年，赵爽为《周髀算
经》一书作序时，介绍了 “勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图” (以直角三角形的斜边为边得到的正方形).
类比 “赵爽弦图”，构造如图所示的图形，它是由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的
一个大等边三角形，且DF = AF，点P在AB上，BP =2 AP，点Q在△≝¿ 内 (含边界)一点，若⃗
PQ = λ⃗PD +⃗PA，则λ的最大值为
.
四、解答题
15．（24-25 高一下·广西南宁·开学考试）某人从点A 出发向东走了5 米到达点B，然后改变方向按东北方
向走了10 ❑√2米到达点C.
(1)在图中作出向量⃗AB ,⃗BC；（正方形小方格的边长是1 米）
(2)求向量⃗AC的模.
16．（24-25 高一下·广西钦州·阶段练习）化简：
(1)⃗AO+⃗BC +⃗OB；
(2)⃗DB+⃗CD +⃗BC；
(3)⃗AB−⃗BM +⃗BO−⃗MO．
17．（24-25 高一下·全国·课后作业）如图所示，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形，在以
各顶点为起点和终点的非零向量中，写出（不含⃗AB）：
(1)与向量⃗AB相等的向量；
(2)与向量⃗AB共线的向量．
18．（24-25 高一下·重庆·阶段练习）设⃗e1
，⃗e2
是两个不共线的向量，已知⃗AB =2⃗e1−6⃗e2
，⃗C B =⃗e1+2⃗e2
，⃗CD =2⃗e1−⃗e2
.
(1)求证：A，B，D 三点共线；
(2)若⃗BF =3⃗e1−k⃗e2
，且⃗BF //⃗BD，求实数k的值.
19．（2025 高一·全国·专题练习）如图，在任意四边形ABCD中，E和F分别是AD和BC的中点．
(1)求证：2⃗EF =⃗AB+⃗DC；
(2)若A , D , E三点重合，你能得到什么结论？
(3)若C , D两点重合，你能得到什么结论？
