文档文本内容
第05
讲一元二次不等式与其他常见不等式解法
目 录
模拟·基础演练.......................................................................................................................................1
题型01 一元二次不等式的基础解法.................................................................................2
题型02 三个二次的综合应用.............................................................................................6
题型03 分式与高次不等式的解法...................................................................................13
题型04 绝对值与指数对数不等式的解法.......................................................................18
题型05 含参一元二次不等式的解法...............................................................................25
题型06 含参不等式恒成立 / 能成立问题
.................................................................33
重难·创新演练.....................................................................................................................................44
真题·实战演练.....................................................................................................................................53
模拟·基础演练
考查重点：一元二次不等式的应用
题型01 一元二次不等式的基础解法
一、单选题
1．（2026·山西忻州·模拟预测）已知集合
，
，则
的元素个数
为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·江苏南京·三模）已知集合
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2026·福建龙岩·三模）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2026·天津静海·模拟预测）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．若实数
，
，满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2026·江苏苏州·三模）设
，则“
是
”
“
的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．（2026·北京·模拟预测）若直线
与圆
无公共点，则（ ）
A．
或
B．
C．
D．
或
二、填空题
8．（2026·河北沧州·三模）不等式
的解集为__________．
【新考法】9．记
表示k 个元素的有限集，
表示非空数集E 中所有元素的
和，若集合
，则
_____，若
，则m 的最小值为_____.
三、解答题
【新情境】10．（2026·广东茂名·二模）某智能设备装有3 个独立运行的芯片
，
，
，设备正常工作
的条件是至少有2 个芯片正常运行，其中
，
正常运行的概率均为
，
正常运行的概率为
．
(1)若
，在恰有2 个芯片正常运行的条件下，求
正常运行的概率；
(2)若该设备正常工作的概率大于
，求
的取值范围．
题型02 三个二次的综合应用
一、单选题
1．一元二次不等式
的解为
，那么
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【新思维】2．已知不等式
有实数解．结论（1）：设
是
的两个解，则对
于任意的
，不等式
和
恒成立；结论（2）：设
是
的一个解，若总存在
，
使得
，则
，下列说法正确的是（ ）
A．结论①、②都成立
B．结论①、②都不成立
C．结论①成立，结论②不成立
D．结论①不成立，结论②成立
3．设集合
，
，且
，则实数
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知函数
，满足
，且
，则不等式
的解集为
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知
，关于
的不等式
的解集中有且只有个整数，则
的值可以是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【新角度】6．设函数
，则“
是
”
“
都恰有两个
”
零点的（ ）．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．已知区间
是关于x 的一元二次不等式
的解集，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．3
二、多选题
8．已知关于
的不等式
的解集为
，则（ ）
A．
B．不等式
的解集为
C．
D．不等式
的解集为
或
三、填空题
【新思维】9．已知函数
有两个零点，则实数
的取值范围是________．
【新情境】10．等差数列
的公差为d，关于x 的不等式
＋
＋c≥0 的解集为[0，22]，则使
数列
的前n 项和
最大的正整数n 的值是________．
四、解答题
11．设函数
．
(1)若函数
在
上不单调，求a 的取值范围；
(2)对任意
，都存在
，使得
成立，求a 的取值范围．
题型03 分式与高次不等式的解法
一、单选题
1．（2026·安徽滁州·模拟预测）若集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·吉林延边·二模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2026·河南·三模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2026·陕西榆林·三模）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2026·辽宁大连·一模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【新角度】6．（2026·辽宁大连·模拟预测）数列
满足
，设
的
前
项和为
，若
，则实数
的取值可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
7．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知
，则（ ）
A．
的解集为
B．
的解集为
C．当
时，
的最小值为1
D．
，
恒成立
8．（2026·河南商丘·模拟预测）已知函数
，若
的解集为
或
，
则（ ）
A．
B．
在
上单调递增
C．
的图象的对称中心的纵坐标为
D．不等式
的解为
三、填空题
【新思维】9．（2025·江西·二模）已知对任意的
，不等式
恒成立，则
的取值集合为__________.
10．不等式
的解集为 ____________
题型04 绝对值与指数对数不等式的解法
一、单选题
1．（2026·山东济宁·三模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·河南开封·模拟预测）已知集合
，
，则
的非空子集的个
数为（ ）
A．3
B．6
C．7
D．8
3．（2026·河北衡水·模拟预测）“
是
”
“
的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知集合
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2025·江苏·模拟预测）已知集合
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【新思维】8．已知直线与曲线
和
分别相切于点
，
.有以下命题：
（1）
(
为原点)；（2）
；（3）当
时，
.则真命题的个数为
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
二、多选题
9．（2026·江西宜春·模拟预测）若
，则
的值可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
【新思维】10．（2026·上海杨浦·模拟预测）若集合
，集合
，则
__________．
四、解答题
【新角度】11．（2025·上海长宁·二模）已知函数
的定义域
，对任意实数a，定义集合
．
(1)已知
，求
．
(2)已知
，若集合
只有一个元素，求a 的值；
(3)已知
，其中
且
，求证：集合
是一个区间．
题型05 含参一元二次不等式的解法
一、单选题
1． “
是
”
“
的（
”
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．已知关于
的不等式
的整数解恰有4 个，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知关于
的不等式
对任意
恒成立，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
4．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知关于
的不等式
的解集为
，则关于
的不
等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
二、多选题
5．（2026·河南开封·模拟预测）已知
，若关于
的方程
有两个不相等的
实数根
，
，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若
，则
的最小值为4
C．关于
的不等式
的解集为
D．
是关于
的不等式
的一个解
6．（多选）已知关于
的不等式
的解集为
或
，则下列选项中正确的是
（ ）
A．
B．不等式
的解集是
C．
D．不等式
的解集为
或
三、填空题
7．已知集合
，若
，则实数
的取值范围是_____．
四、解答题
8．（2025·安徽合肥·一模）已知函数
的定义域为
，关于
的不等式
的
解集为
.
(1)若
时，求
；
(2)若
是
的充分条件，求实数
的取值范围.
【新思维】9．（2025·安徽·模拟预测）已知幂函数
是
上的偶函数，将函数
的图象先向右平移2 个单位，再向下平移1 个单位得到
的图象．
(1)求函数
的解析式；
(2)求函数
的值域；
(3)设
，解关于
的不等式：
．
10．已知函数
.
(1)若不等式
的解集为
，求
的取值范围；
(2)解关于
的不等式
.
11．已知二次函数
．
(1)若
的解集为
，分别求a，b 的值；
(2)解关于x 的不等式
．
题型06 含参不等式恒成立 / 能成立问题
一、单选题
1．（2026·河南·一模）已知函数
，若
，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）当
，
且满足
时，若
恒成立，
则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2026·广西南宁·三模）下列命题为真命题的是（ ）
A．命题
，
，则命题p 的否定是：
，
B．“
是
”
“
的充分不必要条件
”
C．方程
的两根都大于1 的充要条件是
D．
是关于x 的不等式
对一切实数x 恒成立的充要条件
4．（2026·河北邯郸·二模）已知函数
，若对任意
，且
，不等式
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2026·湖南·二模）若对任意的正实数x、y 满足
，不等式
恒成立，则实数m
的取值范围是（ ）
A．
B．
或
C．
或
D．
二、多选题
6．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）下列叙述正确的是（ ）
A．已知幂函数
是奇函数，则实数
B．先将曲线
向右平移
个单位长度，再将曲线上各点的横坐标变为原来的
，所得曲线的解
析式为
C．若关于
的不等式
有解，则实数
的取值范围为
D．函数
在区间
内有零点
三、填空题
【新考法】7．（2026·北京房山·二模）设集合
，
，给出下列四个结论：
①
且
；
②
且
；
③ 若
，则
且
；
④ 若
且
，则
．
其中正确结论的序号是____．
8．（2026·天津·二模）已知
，
，函数
在
上的最大值为
，若
对任意
恒成立，则
的取值范围为__________.
9．（2026·天津河东·二模）已知二次函数
，若对于任意
，都有
成立，
则实数
的取值范围是________．
10．（2026·重庆·模拟预测）设
，若对
，则
_____．
四、解答题
【新思维】11．（2026·上海黄浦·三模）对于定义域为R 的函数
与实数
，定义集合
(1)若
，求
；
(2)若
，
，且对任意实数x 均有
，求实数k 的取值范围；
(3)是否存在定义域为
的图像连续的函数
，使得
？若存在，给出一个满足要求
的函数；若不存在，请给出证明.
重难·创新演练
设题创新:综合考察
一、单选题
1．（2026·山东·模拟预测）不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·湖南株洲·模拟预测）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2026 高三·全国·专题练习）已知
，若
，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2026·北京·三模）已知集合
，
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
5．已知定义在
上的函数
满足
，且当
时，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
6．实数
，
，满足：
，则
的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2026·陕西西安·三模）已知函数
有三个互不相等的零点，则a
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
【新思维】8．（2026·江西宜春·模拟预测）用
表示不超过
的最大整数，则（ ）
A．
B．
是
的充分不必要条件
C．函数
的值域为
D．方程
的解集为
9．（2026·江西南昌·二模）已知
时，关于
的不等式
恒成立，则下列判断正
确的是（ ）
A．
，
B．
C．
D．
的最大值为
三、填空题
10．（2026·甘肃·模拟预测）若函数
的两个极值点都为正数，则实数
的
取值范围是__________．
【新思维】11．设函数
在
上存在导数
，对任意
，都有
，在
上
，若
，则实数m 的取值范围为______.
12．已知
若对任意
，
恒成立，则实数a 的取值范围为
___________.
真题·实战演练
高频考点：一元二次不等式的应用
一、单选题
1．（2020·山东·高考真题）已知二次函数
的图像如图所示，则不等式
的解集
是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2011·山东·高考真题）设集合
，
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2020·全国I 卷·高考真题）已知集合
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2019·浙江·高考真题）设
，数列
中，
，
,则
A．当
B．当
C．当
D．当
5．（2019·全国II 卷·高考真题）设集合A={x|x2-5x+6>0}，B={ x|x-1<0}，则A∩B=
A．(-∞，1)
B．(-2，1)
C．(-3，-1)
D．(3，+∞)
二、填空题
6．（2024·上海·高考真题）已知
则不等式
的解集为______．
7．（2026·上海·高考真题）关于
的不等式
的解集为____________.
8．（2025·上海·高考真题）不等式
的解集为_____．
9．（2019·天津·高考真题） 设
，使不等式
成立的
的取值范围为__________.
10．（2012·天津·高考真题）已知集合
，集合
且
则m =__________，n = __________.
三、解答题
11．（2026·上海·高考真题）已知
，函数
，
．
(1)已知
，求
的解集；
(2)已知
，是
在点
处的切线，
是过点
且垂直于的直线，
与、
在第一象限
内均无公共点，求
的取值范围．
12．（2021·新高考全国
卷
Ⅱ
·高考真题）记
是公差不为0 的等差数列
的前n 项和，若
．
（1）求数列
的通项公式
；
（2）求使
成立的n 的最小值．
13．（2017·全国·高考真题）已知函数
．
(1)若
，求
的取值范围；
(2)求
的极小值．
