文档文本内容
专题1.5 解简单不等式
一、核心知识：
1. 分解因式常用公式
（1）完全平方公式：
（2）平方差公式：
（3）立方差公式：
（4）立方和公式：
2.韦达定理与十字分解
（1）若
为一元二次方程
的根，则
（韦达定理）
（2）由
知，若
则
（3）若
则
（配方法）
（4）由
知，若
，则
4.一元二次不等式的解集
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图象
方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)
的根
有两相异实根x1，x2(x1<x2)
有两相等实根x1＝x2＝－
没有实数根
ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集
{x|x<x1或x>x2}
{x|x∈R}
ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集
{x|x1< x<x2}
∅
∅
5.简单不等式的解法
（
1
）
；
（2）
；
；
（3）
；
；
（4）
；
；
二、考点聚焦：
考点一： 解一元二次不等式
经典例题：
1．不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】解不等式
，得
，所以所求的解集为
.故选：D
2．（不等式
的解集为（ ）
A．
B．
或
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
，所以
或
，故不等式
的解集为
或
.
故选：B.
3．不等式
的解集是（ ）
A．
B．
或
C．
或
D．
【答案】A
【详解】根据题意，方程
整理得
，此方程的解为
，所以不等式
的解集是
.故选：A
4．不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
，解得：
.故选：C.
5．不等式
的解集为（ ）
A．
或
B．
C．
或
D．
【答案】B
【详解】由
得
或
，因为
的图象开口向上，所以不等式
的
解集为
.故选：B
6．不等式
的解集是 ．
【答案】
7．不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】原不等式即为
，即
，解得
，故原不等式的解集为
.故选：A.
8．不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由
得
即
，解得
或
，
故不等式的解集为
.
9．解不等式组
的解集为
．
【答案】
【详解】原不等式等价于
或
或
，
所以原不等式组的解集为
.
10．不等式
的解集为 .
【答案】{
或
}.
【详解】原不等式等价于不等式组
，解第一个不等式得
或
，
解第二个不等式得
.故原不等式的解集为{
或
}.
故答案为：{
或
}.
强化训练：
1．（2023 高三上·广西·学业考试）二次函数
的图象如图所示，不等式
的解集为（ ）
A．R
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】根据函数的图象可得
的解集为
.故选：B.
2.不等式
的解集为 .
【答案】
【详解】原不等式化为
，则不等式的解集为
.故答案为：
.
3．不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】D
【详解】不等式
，即
，解得
或
，所以原不等式的解集为
或
.
故选：D
4．不等式
的解集是 .
【答案】
【详解】原不等式可化为
，即
，解得：
.所以解集为：
，
故答案为：
5．一元二次不等式
的解集为（ ）
A．
B．
或
C．
D．
或
【答案】A
【详解】不等式
化为
，即
，解得
，所以原不等式的解
集为
.故选：A
6．不等式
的解集是 ．
【答案】
【详解】原不等式等价于
，由于
恒成立，因此原不等式的解集为
．故答案为：
7．不等式组
的解集是 .
【答案】
【详解】原不等式等价于
所以原不等式组的解集为
.
8．不等式组
的解集是 .
【答案】
【详解】原不等式等价于
，所以原不等式组的解集为
.
9．不等式：
的解集是 .
【答案】
【详解】原不等式等价于：
所以原不等式的解集为
．
10．定义行列式
，若行列式
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
，由
，得到
，整理得到
，解得
或
，故选：D.
考点二： 解分式不等式
经典例题：
1．不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
，所以不等式
的解集为
．故选：C.
2.不等式
的解集是 .
【答案】
【详解】原式等价于
，所以原不等式的解集是
,故答案为
.
3．（2023·上海杨浦·三模）不等式
的解集是
【答案】
【详解】因为
，等价于
，等价于
，解得
，所以不等式
的
解集是
.故答案为：
.
4．不等式
的解集为 .
【答案】
【详解】因为
，即
，解得
，所以不等式的解集为
.
5．不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】原不等式即为
即
，故
，故
，故选：D.
6．不等式组
的解集为 ．
【答案】
【详解】因为
所以原不等式组的解集为
7．不等式
的解集为 ．
【答案】
【详解】原不等式等价于
或
，解得
或
，
故答案为：
8．（2025·广东中山·一模）已知
，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【详解】不等式可化为
，由不等式
可得
，即
，解得
或
；
由不等式
可得
，即
，求解得：
或
；综上
.
故答案为：
.
9．设
，
，则
是
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由
，即
，解得
，由
，则
，即
，解得
，因为
真包含于
，所以
是
的充分不必要条件．故选：A
10．（2024·天津河西·一模）“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】由
得
，解得
，由
得
，所以
，解得
，
所以“
”是“
”成立的必要不充分条件.故选：B
强化训练：
1.不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
2.不等式
的解集是 .
【答案】
【详解】
或
，得
.故答案为：
.
3.不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】B
【详解】由原式得
且
，解得
，即不等式的解集为
.故选B.
4．不等式
的解集是 .
【答案】
【详解】
.解得
或
.
故答案为：
5．分式不等式
的解集为 ．
【答案】
【详解】由
，得
，即
，所以
，解得
，
所以不等式的解集为
.故答案为：
6．不等式
的解集是 ．
【答案】
或
.
【详解】
等价于
，即
，等价于
，解得：
或
.即不等式
的解集是
或
.故答案为：
或
.
7．解不等式组
.
【答案】
【详解】因为
所以原不等式组解集为
.
8．解不等式组
【答案】
或
【详解】因为
所以原不等式组的解集为
或
9．设p：
，q：
，则p 是q 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】若
为真，则
，即
；若
为真，则
，即
，故
；综上，p 是q 的必要不充分条件.故选：B
10．集合
，集合
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】
或
，
或
，则
，反之不
成立，所以“
”是“
”的必要不充分条件.故选：B.
考点三：解含绝对值不等式
经典例题：
1．不等式
的解集为（ ）
A．R B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
，则
，解得：
，所以不等式的解集为：
.
2．不等式
的解集是（ ）
A．
或
B．
或
C．
或
D．
【答案】C
【详解】因为
，所以
或
，解得
或
，所以不等式
的解集是
或
，故选：C．
3．不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
，
，
则不等式的解集为：
.故选：B.
4．不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
，
，
且
，
且
，解得：
，故不等式的解集是
，故选：D．
5.不等式
的解集为 ．
【答案】
【详解】因为
或
或
或
或
.所以不等式的解集为
.
6．不等式
的解集是（ ）
A．
B．
或
C．
D．
或
【答案】A
【详解】当
时，原不等式等价于
，解得
，所以
，当
时，原不等式
等价于
，解得
，所以
，综上，原不等式的解为
，故选：A.
7．（2024·甘肃张掖·模拟预测）不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】当
，即
或
时，不等式
等价于
，即
，解得
，所以
；当
，即
时，不等式
等价
于不等式
，即
，解得
或
，所以
.综上，
不等式
的解集是
.故选：C.
8．（2023·天津武清·模拟预测）设
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】解不等式
得
，不等式
化为
，所以
，因为
为
的真子集，所以“
”是“
”的必要不充分条件.故选：B
强化训练：
1．不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】A
【详解】由
可得
，解得
，故原不等式的解集为
.故选：A.
2．不等式
>3 的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
或
,即
或
.故选：A.
3．不等式
的解集为 .
【答案】
【详解】由不等式
，得
，即
，解得
，
所以原不等式的解集为
.故答案为：
4．不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】A
【详解】因为
，所以
，即
，所以不等式的解集为
.
故选：A.
5．不等式
的解集是 ．
【答案】
【详解】由题得
，所以
，所以
或
且
.
故答案为：
.
6．不等式
的解集是（ ）
A．R B．
C．
D．
【答案】C
【详解】∵不等式
，∴
，即
，解得
，∴不等式的解集为
，故选C.
7．（23-24 高一下·北京石景山·期中）不等式
的解集是 ．
【答案】
或
.
【详解】由不等式
可化为
，解得
或
（舍去），
所以
或
，即不等式
的解集为
或
.故答案为：
或
.
8．（2022·天津南开·三模）已知命题
和命题
，则p 是q 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】命题
即
,命题
即
，所以
，p 是q 的充分不必要条
件.故选：A
9．（多选）下列选项中，正确的是（ ）
A．不等式
的解集为
或
B．不等式
的解集为
C．不等式
的解集为
D．设
，则“
”是“
”的充分不必要条件
【答案】ABD
【详解】A 选项，
或
，A 正确；
B 选项，
，B 正确；
C 选项，
或
，即
或
，C 错误；
D 选项，
，
，而
是
的真子集，D 正确．
故选：ABD．
考点四：一元二次不等式的解集求参问题
经典例题：
1．（多选）已知不等式
的解集为
，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【详解】由题意知，
和
是方程
的两个实数根，则
，故
且
，解得
，
，故选：AC.
2．（2023·山东·模拟预测）若不等式
的解集是
，函数
的对称轴是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】解：∵不等式
的解集是
，∴
和
是方程
的两个根，
∴
，∴
，∴函数
的对称轴是
．故选：A．
3．（2024·浙江绍兴·三模）若关于
的不等式
的解集为
，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】B
【详解】由已知可得、
为方程
的根，由韦达定理可得：
，解得：
.
故选：B
4．关于x 的方程
的解集为
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】∵关于x 的一元二次方程
的解集为
，
，即
，
，即
.
，即
，即
，解得
.故选：A.
5．已知关于
的不等式
的解集为
，则关于
的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由不等式
的解集为
，可得
，
，即
，所以不
等式
可化为
，即
，所以可得
，解得
或
，
所以不等式的解集为
，故选：C
6．已知二次不等式
的解集为
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
，
，所以
，所以
，即
，解得：
或
．因为
有两个不等根
，
所以
，解得：
或
，则
的取值范围是
．故选B
7．（24-25 高三下·广东清远·开学考）若关于x 的不等式
的解集为空集，则a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】当
时，
，显然解集为空，满足题设；当
时，
在
上无解，
所以
，可得
；综上，
.故选：C
8．（2025·黑龙江大庆·模拟）若关于
的不等式
的解集是
，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为关于
的不等式
的解集是
，所以
且
，解得
，所
以
的取值范围是
.故选：
.
9．（多选）已知关于
的不等式
的解集为
或
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
的解集为
C．
D．
的解集为
【答案】AD
【详解】对A，∵
的解集为
或
，∴
解得
故选项A 成立；
对B，
可化为
，即
，故
的解集为
，故选项B 不成立；对C，
，故选项C 不成立；对D，
可化为
，即
，其解集为
，故选项D 成立.故选：AD.
10．（2025·陕西渭南·二模）若关于
的不等式
有且只有一个整数解，则实数
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】当
时，解得
，不满足条件；故
，关于
的不等式
可得
，所以
，即
，方程
的两根为
，当
时，不等式可化为
，
，解集为
，不满足条件；当
时，不等式可化为
，当
时，则
，
即
，不等式的解集为
，要使不等式有且只有一个整数解，则
，又因为
，不满足
条件；当
时，则
，即
，不等式的解集为空集，当
时，则
，即
，不等
式的解集为
，要使不等式有且只有一个整数解，则
，解得
，故实数
的取值范围是：
.故选：B.
强化训练：
1．若不等式
的解集为
，则
．
【答案】3
【详解】
的解集为
，
，解得：
，
.故答案为3.
2．若关于
的不等式
的解集是
，则
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】A
【详解】根据不等式与方程之间的关系知1 为方程
的一个根，即
，解得
或
，当
时，不等式
的解集是
，符合要求；当
时，不等式
的解集是
，不符合要求，舍去．故
，故选：A．
3．已知关于
的一元二次不等式
的解集为
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为关于
的一元二次不等式
的解集为
，所以关于
的一元二次方
程
的两个根分别为
，2，由根与系数的关系可得
，解得
，
所以
，故选：B
4．若关于x 的不等式
2
0
ax
bx
c
的解集为
1
2
x
x
，则
2
0
bx
ax
c
的解集为（ ）
A．
1,2
B．
, 1
2,
C．
2,1
D．
, 2
1,
【答案】B
【详解】由不等式
2
0
ax
bx
c
的解集为
1
2
x
x
，则
0
1
2
a
b
a
c
a
，即
,
2
b
a c
a
，所以不等式
2
0
bx
ax
c
，即为
2
2
0
ax
ax
a
，又
0
a
，所以
2
2
0
x
x
，解得
1
x 或
2
x
.所以不等式
2
0
bx
ax
c
的解集为
, 1
2,
.故选：B.
5．（多选）已知关于
的不等式
的解集为
，则（ ）
A．
B．不等式
的解集是
C．
D．不等式
的解集为
或
【答案】BD
【详解】由题意可得1 和5 是方程的两根
，且
，由韦达定理可得
，
得
，对于A，因为
，故A 错误；对于B，不等式
，即
，即
，得
，所以不等式
的解集是
，故B 正确；对于C，
，故C 错误；对于D，由不等式
，得
，即
，则
，得
或
，即解集为
或
，故D 正确.故选：
BD.
6．若关于
的一元二次不等式
的解集是
.那么若
的解集为
.
则实数
的取值范围是 .
【答案】
【详解】由一元二次不等式
的解集是
，得
，年
是方程
的二根，即
，因此
，不等式
，即
的解集为
，则
，解得
，所以实数
的取值范围是
.故答案为：
7．（24-25 高三下·江苏南通·阶段）已知二次不等式
的解集为
，
，则
的取值范围是 .
【答案】
【详解】因为二次不等式
的解集为
，则
的两根为
，则
，所以
，整理得
，等价于
，解得
或
，故答案为：
或
.
8．（24-25 高三下·广东深圳·阶段）若关于x 的不等式
2
2
1
2
0
ax
a
x
的解集是
1
2, a
，则a 的取值
范围是（ ）
A．
1
,
2
B．
1 ,
2
C．
1 ,0
2
D．
1 ,0
0,
2
【答案】A
【详解】因为关于x 的不等式
2
2
1
2
0
ax
a
x
的解集是
1
2, a
，所以可知
0
a
，所以原不等式可化
为
2
1
2
1
2
2
0
ax
a
x
a x
x
a
，显然
1
2, a
是方程
2
2
1
2
0
ax
a
x
的两根，所以只须
1
2
a
，
解得
1
2
a
，所以a 的取值范围是
1
,
2
.故选：A
9．（2026 高三·全国）若关于
的不等式
的解集中恰有3 个整数，则实数
的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】不等式
可化为
，当
时，不等式的解集为
，要使
解集中恰有3 个整数，则这3 个整数只能是4，5，6，所以
；当
时，不等式的解集为
，此
时不符合题意；当
时，不等式的解集为
，要使解集中恰有3 个整数，则这3 个整数只能是0，
1，2，所以
．综上可知，实数
的取值范围是
．故选：C．
10．（24-25 高三上·河南周口·期末）若关于
的不等式组
恰有50 个不等的实
数解，则
的取值范围为 .（结果用区间表示）
【答案】
【详解】由
，解得
或
，当
，即
时，
，此时原不
等式组不可能有
个不等的实数解，当
，即
时，
，此时原不等式组无解，当
，即
时，原不等式组的解集为
，因为原不等式组恰有50 个不等的
实数解，且区间
内有
个整数，所以在区间
内有
个整数，则区间
的长度
应满足
，解得
，所以
，则在区间
内只有
两个
整数，所以区间
内有
个整数，所以
，解得
，综上，
.故答案
为：
.
三、达标检测
《解简单不等式》小题检测
（限时30 分钟，满分73 分）
一、单选题（每小题5 分，共40 分）
1．不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
，等价于
，解得
或
，所以不等式
的解集为
.故选：B.
2．不等式
的解集是（ ）
A．
B．
或
C．
或
D．
【答案】A
【详解】
，解得
，故不等式的解集为
.故选：A
3．不等式
的解集为（ ）
A．
或
B．
C．
或
D．
【答案】B
【详解】由
得
或
，因为
的图象开口向上，所以不等式
的
解集为
.故选：B
4．不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】原不等式即为
，即
，解得
，故原不等式的解集为
.故选：A.
5．若关于x 的不等式
的解集为
，则关于x 的不等式
的解集为（ ）
A．
或
B．
C．
或
D．
【答案】C
【详解】因为不等式
的解集为
，所以
，所以不等式
等价于
，
即
，解得
或
.所以关于x 的不等式
的解集为
或
.故选C.
6．已知关于
的一元二次不等式
的解集为
，则关于
的不等式
的
解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题设知方程
有两根2 和3，故由韦达定理得
则
，因此
，解得
．故选：A．
7．已知关于x 的不等式
的解集为
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
【答案】B
【详解】不等式
的解集为
，可得
是方程
的根，所以
，
且
，解得
，由不等式
可得
，由
得
，所以
，解得
，则不等式
的解集为
.故选：B.
8．关于实数
的一元二次不等式
的解集为
，则不等式
的解
集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题意可得：
的解为
，且
，可得
，解得
，则不等式
，即为
，且
，则
，整理
得
，解得
或
，即解集为
.故选：D.
二、多选题（每小题6 分，共18 分）
9．下列不等式的解集为R 的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【详解】对于A，易知方程
的判别式
，即对应的整个二次函数图象都在
轴
上方，所以解集为R，即A 正确；对于B，易知方程
的判别式
，由对应的二次
函数图象可知其解集不可能为R，即B 错误；对于C，易知方程
的判别式
，即
对应的整个二次函数图象都在
轴下方，所以解集为R，即C 正确；对于D，易知不等式
可化为
，显然该不等式恒成立，即解集为R，即D 正确；故选：ACD
10．下列选项中，正确的是（ ）
A．不等式
的解集为
或
B．不等式
的解集为
C．不等式
的解集为
D．设
，则“
”是“
”的充分不必要
条件
【答案】ABD
【详解】A 选项，
或
，A 正确；
B 选项，
，B 正确；
C 选项，
或
，即
或
，C 错误；
D 选项，
，
，而
是
的真子集，D 正确．
故选：ABD．
11．关于x 的不等式
的解集中恰有3 个正整数解，则a 的值可以为（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】CD
【详解】不等式化简为
的解集中恰有3 个正整数，当
时，不等式化为
，则解
集中有无数个整数.当
时，不等式
的解集中有无数个正整数，故A 错误；所以
，
，
，所以
，所以不等式的解集为：
， 根据0 一定属于此集合，则由
不等式
的解集中恰有3 个正整数，则这3 个整数中一定为：
，则
，解得
，故
可取
和2，故C,D 正确，AB 错误；故选：CD.
三、填空题（每小题5 分，共15 分）
12．不等式
的解集是 ．
【答案】
或
.
【详解】由不等式
可化为
，解得
或
（舍去），
所以
或
，即不等式
的解集为
或
.故答案为：
或
.
13．不等式
的解集为 .
【答案】
或
.
【详解】原不等式
等价于不等式组
，即
，即
，解得
或
，即不等式的解集为
或
.
14．已知
，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【详解】将不等式可化为
，由不等式
可得
，即
，求解得：
或
；由不等式
可得
，即
，求解得：
或
；
综上：
.故答案为：
.
答题卡
班级：
姓名：
总分：
题号:
1
2
3
4
5
6
7
8
答案:
B
A
B
A
C
A
B
D
题号:
9
10
11
题号:
12
13
14
答案:
ACD
ABD
CD
答案:
或
.
或
.
