文档文本内容
专题3.3 导数与函数的极值、最值
一、核心知识：
1.函数的极值
（1）函数的极小值
如果对
附近的所有点都有
，而且在点
附近的左侧
，右侧
，则称
是函数的一个极小值，记作
．
（2）函数的极大值
函数
在点
附近有定义，如果对
附近的所有点都有
，而且在点
附近的左侧
，右侧
，则称
是函数的一个极大值，记作
．
（3）极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．
2.函数的最大（小）值
（1）函数
在区间
上有最值的条件：
如果在区间
上函数
的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.
（2）求函数
在区间
上的最大（小）值的步骤：
①求
在
内的极值（极大值或极小值）；
②将
的各极值与
和
比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
3.不等恒（能）成立问题的常用结论：
（1）若函数
在区间D 上存在最小值
和最大值
，则
不等式
在区间D 上恒成立
；
不等式
在区间D 上恒成立
；
不等式
在区间D 上恒成立
；
不等式
在区间D 上恒成立
；
（2）若函数
在区间D 上不存在最大（小）值，且值域为
，则
不等式
在区间D 上恒成立
．
不等式
在区间D 上恒成立
．
（3）若函数
在区间Ｄ上存在最小值
和最大值
，即
，则对不等式有解问
题有以下结论：
不等式
在区间D 上有解
；
不等式
在区间D 上有解
；
不等式
在区间D 上有解
；
不等式
在区间D 上有解
；
（4）若函数
在区间D 上不存在最大（小）值，如值域为
，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式
在区间D 上有解
；
不等式
在区间D 上有解
二、考点聚焦：
考点一：利用导数求函数的极值（点）
经典例题：
1．（多选）函数
2
2
( )
(
1)
2
f x
x
的极值点是（ ）
A．
1
x
B．
1
x
C．
0
x
D．
2
x
2．已知函数
，则函数
的极小值点为（ ）
A．
或
B．
C．
D．
3．（多选）已知函数
1
2e
2
x
f x
x
的极值点为
0x ，则（ ）
A．
0
2, 1
x
B．
0
0,2
x
C．
0
1,0
f x
D．
0
3
1, 2
f
x
4．函数
的极值为（ ）
A．
B．
C．
D．3
5．（2025·浙江嘉兴·二模）已知函数
的极小值是
，则实数
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
6．函数
在
处有极小值5，则
（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或3
7．（2025·山东聊城·模拟预测）若
在
上的极大值大于1，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式训练：
1．函数
2
3
ln
2
f x
x
x
的极值点为 .
2．函数
的极值点为（ ）
A．
B．0
C．
D．
3．函数
的极小值为（ ）
A．
B．
C．15
D．17
4．函数
3
2
( )
3
f x
x
x
x
的极小值是 .
5．已知函数
，则
的极小值为（ ）
A．2
B．
C．
D．
6．（2023·广东汕头·一模）函数
3
6
f x
ax
x
的一个极值点为1，则
f x 的极大值是 ．
7．（2025·河南新乡·三模）已知函数
的极小值为
，则实数
的值为（ ）
A．8
B．6
C．4
D．2
8．（2025·吉林长春·一模）已知函数
的极大值为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
9．函数
在
处取得极大值
，则
的单调增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．函数
在
时有极值10，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
11．已知函数
在
处有极值2，则
（ ）
A．
B．6
C．2
D．
12．函数
在
处有极值10，则点
为（ ）
A．
B．
C．
或
D．不存在
考点二：利用导数求函数的最值
经典例题：
1．（2025·甘肃兰州·一模）函数
3
2
1
3
2
3
f x
x
x
x
在
2,0
上的最小值为 ．
2．（2025·江苏南京·三模）已知函数
，则当
时，
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·河南驻马店·模拟预测）函数
在区间
上的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2021 年全国新高考I 卷）函数
的最小值为 .
5．（2024·陕西渭南·预测）已知函数
在区间
上的最小值为1，则实数a 的值为（ ）
A．-2
B．2
C．-1
D．1
6．（2024·宁夏·模拟预测）已知
（
为常数）在
上有最大值3，则函数
在
上的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2025·四川成都·模拟预测）若函数
的值域为
，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2023·安徽·三模）已知函数
e
1
,
x
f x
m
x
n
m n
R ，若
min
1
f x
，则mn 的最小值是
（ ）
A．
2
e
B．
2
e
C．
1
e
D．
1
e
9．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知函数
在
处有最小值，最小值小于
，
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式训练：
1．函数
的最小值为 ．
2．已知函数
3
2
2
3
12
1
f x
x
x
x
，则
f x 在
3,2
上的最大值为 ．
3．若函数
3
( )
3
f x
x
x
在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为m，n，则m
n
.
4．（2025·陕西安康·三模）函数
2 ln
1
f x
x
x
的最小值为 ．
5．函数
在区间
上的最大值为（ ）
A．1
B．
C．
D．
6．函数
cos
sin
f x
x
x
x
在区间
π,0
上的最大值为 ．
7．已知函数
在区间
上的最小值为
，则
的值为（ ）
A．1
B．
C．
D．
8．（2023·陕西宝鸡·模拟预测）当
时，函数
取得最大值
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
9．若函数
有最大值
，则实数
的值是（ ）
A．1
B．
C．4
D．
10．（2025·重庆·模拟预测）若
，
的最小值为
，则
（ ）
A．
B．
C．
或
D．
11．已知函数
的值域为
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数
的值域为
，则
的值为（ ）
A．
B．0
C．1
D．
13．（2022·辽宁丹东·一模）设
，若函数
的最小值为
，则实数
的取值范围
为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点三：利用导数判断函数单调性及极值
经典例题：
1．已知函数
的导函数
图象如图所示，则（ ）
A．
在
上单调递增
B．
在
处取得极大值
C．
在
上单调递增
D．
在
处取得最小值
2．（多选）已知函数
f x 的定义域为R 且导函数为
f
x
，如图是函数
y
xf
x
的图象，则下列说法正
确的是（ ）
A．函数
f x 的单调递增区间是
2,0 , 2,
B．函数
f x 的单调递增区间是
, 2 , 2,
C．
2
x 是函数的极小值点 D．
2
x
是函数的极小值点
3．（多选）已知函数
3
2
( )
f x
ax
bx
cx
d
，
0
ac
，则
( )
f x 的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
4.（2024·辽宁·三模）下列函数中，既是定义域上的奇函数又存在极小值的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（多选）设函数
2
( )
e (
1) (
2)
x
f x
x
x
，则（ ）
A．
( )
f x
有两个极大值点
B．
( )
f x
有两个极小值点
C．
1
x
是
( )
f x
的极大值点
D．
1
x
是
( )
f x
的极小值点
变式训练：
1．已知函数
，其导函数
的图象如图所示，则（ ）
A．
有2 个极值点
B．
在
处取得极小值
C．
有极大值，没有极小值
D．
在
上单调递减
2．如图是函数
的导函数
的图象，下列结论正确的是（ ）
A．
在
处取得极大值
B．
是函数
的极值点
C．
是函数
的极小值点
D．函数
在区间
上单调递减
3．（多选）（2022 年新高考全国I 卷）已知函数
，则（ ）
A．
有两个极值点
B．
有三个零点
C．点
是曲线
的对称中心
D．直线
是曲线
的切线
4．（多选）（2024 年新课标全国Ⅰ卷题）设函数
，则（ ）
A．
是
的极小值点
B．当
时，
C．当
时，
D．当
时，
5．（2024 年新课标全国Ⅱ卷）设函数
，则（ ）
A．当
时，
有三个零点
B．当
时，
是
的极大值点
C．存在a，b，使得
为曲线
的对称轴
D．存在a，使得点
为曲线
的对称中心
6．（多选）（2023 年新课标全国Ⅰ卷）已知函数
的定义域为
，
，则
（ ）．
A．
B．
C．
是偶函数
D．
为
的极小值点
考点四：由函数极值点求参
经典例题：
1．（2025 高考·全国II 卷）若
是函数
的极值点，则
2．已知函数
在
处取得极小值，则m 的值为（ ）
A．
B．1
C．
或1
D．
或2
3．（2024·广西·二模）已知
是函数
的极小值点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·重庆·三模）已知函数
的一个极小值点为
，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知函数
在
处取得极小值，
是
的导函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
变式训练：
1．若函数
在
处取得极小值，则
（ ）
A．4
B．2
C．-2
D．-4
3．已知函数
在
处有极大值，则c 的值为（ ）
A．2
B．6
C．2 或6
D．-2
4．函数
ex
f x
ax
的极值点为
1
x ，则实数a .
5．（2023·广西·模拟预测）函数
在
处取得极小值，则极小值为（ ）
A．1
B．2
C．
D．
6．（2024·宁夏银川·一模）若函数
在
处取得极大值，则
的极小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．函数
在
处有极小值
，则
的值等于（ ）
A．0
B．
C．
D．6
8．（2023·贵州遵义·三模）函数
在
处取得极值0，则
（ ）
A．0
B．
C．1
D．2
9．（2024·河北秦皇岛·三模）已知0 是函数
的极大值点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．若
是函数
的极值点，则
（ ）
A．大于0
B．小于0
C．大于等于0
D．小于等于0
11．（2025·江西·二模）在等比数列
na
中，
1a ，
5a 是函数
2
( )
12
ln(3 )
f x
x
x
t
x
的两个极值点，若
2
4
3
4 2
8
a a
a
，则t 的值为 ．
12．设等比数列
中，
，
使函数
在
时取得极值
，则
的值是（ ）
A．
或
B．
或
C．
D．
考点五：根据函数极值的存在性求参数范围
经典例题：
1．（2025·甘肃白银·三模）若函数
在区间
上有极值点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·江苏南通·二模）若函数
有大于零的极值点，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知函数
在
上有唯一的极值点，则实数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·广东汕头·二模）若函数
有两个极值点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（多选）已知函数
3
2
6
1
f x
x
ax
a
x
有极大值和极小值，则实数a 的值可以是（ ）
A．4
B．3
C．6
D．8
6．（多选）（2023 年全国Ⅱ卷）若函数
既有极大值也有极小值，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
7．（2023·河北唐山·二模）抛掷一个质地均匀的骰子两次，记第一次得到的点数为a，第二次得到的点数
为b，则函数
没有极值点的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
变式训练：
1．（2014·福建福州·一模）若函数
在区间
内有极值点，则实数
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·重庆·模拟预测）若函数
有极值，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知函数
在
上存在极值，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知函数
，则
在区间
上存在极值的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知函数
在
上无极值，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2024·四川绵阳·三模）若函数
有唯一极值点，则下列关系式一定成立的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2025·广西北海·模拟预测）若函数
有两个极值点，则
的取值范围是
．
8．若函数
有极大值，则（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2024·广东佛山·二模）若函数
（
）既有极大值也有极小值，则下列结论一
定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．函数
在
上存在极大值
和极小值
，且
，则实数a 的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点六：根据函数最值的存在性求参数范围
经典例题：
1．函数
在区间
上存在最值，则实数a 的取值范围为（ ）．
A．
B．
C．
D．
2．（2022·四川凉山·三模）函数
，若
在
上有最小值，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知函数
，若
在区间
上的最大值为28，则实数k 的值可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知函数
，
存在最小值，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．若函数
3
2
3
2
f x
x
x
在区间
2
5,
1
a
a
内有最小值，则实数a 的取值范围是 ．
6．若函数
在区间
上存在最值，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
或
7．（2025·新疆·三模）已知函数
1
ln
1
4
x
x
f x
x
，若
f x 在区间
2
,
m m
上有最大值，则实数m 的取值
范围是（ ）
A．
2, 3
B．
2,2
C．
2,3
D．
3,3
8．（2024·新疆·模拟预测）已知函数
存在最小值，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式训练：
1．已知函数
在
上的最大值为，则实数
的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三上·湖南·开学考试）已知函数
在区间
上有最小值，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．函数
在区间
上有最小值，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．函数
在区间
内存在最小值，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（23-24 高三下·福建·开学考试）已知函数
在区间
上存在最小值，则实数a 的
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（23-24 高三上·辽宁·阶段）已知函数
，若
在
内存在最小值，则
a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知函数
在区间
内有最值，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2025·四川自贡·三模）函数
，若
在
有最大值，则实数
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2025·江苏宿迁·二模）若函数
有最大值，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2022·河南·模拟预测）已知函数
无最大值，则实数a 的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
三、达标检测：
《导数与函数的极值、最值》小题检测
（限时30 分钟，满分73 分）
一、单选题（每小题5 分，共40 分）
1．已知函数
的导函数的图象如图所示，则
的极值点的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
2．（2025·江苏南京·三模）已知函数
，则当
时，
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2019·四川眉山·三模）已知函数
，则
的极大值点为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2021·河南开封·三模）设函数
，若
的极小值为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
5．若函数
在
内有极小值，则
的取值范围为
A．
B．
C．
D．
6．（2023·河北唐山·二模）抛掷一个质地均匀的骰子两次，记第一次得到的点数为a，第二次得到的点数
为b，则函数
没有极值点的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024·陕西铜川·三模）若函数
有两个极值点，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2021·宁夏银川·三模）已知函数
，
.对于任意
，
且
，都有
.则实数
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．1
二、多选题（每小题6 分，共18 分）
9．函数
的定义域为R，它的导函数
的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（ ）
A．在
上函数
为增函数
B．在
上函数
为增函数
C．在
上函数
有极大值
D．
是函数
在区间
上的极小值点
10．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数
，则（ ）
A．
有两个极值点 B．
有一个零点
C．点
是曲线
的对称中心 D．直线
是曲线
的切线
11．（2022·全国·模拟预测）已知函数
（a 为实数），
且
，则
在区间
上的极值点的个数可能为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
三、填空题（每小题5 分，共15 分）
12．若函数
在
处取极值，则
13．若函数
在区间
内恰有一个极值点，则实数
的取值范围为 ．
14．（2022·河北·模拟预测）已知
，函数
在
上的最小值为1，则
．
答题卡
班级：
姓名：
总分：
题号:
1
2
3
4
5
6
7
8
答案:
题号:
9
10
11
题号:
12
13
14
答案:
答案:
