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导数与函数的极值、最值
7-3
1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.
2.会用导数求函数的极大值、极小值.
3.会求闭区间上函数的最大值、最小值．
7-3 导数与函数的极值、最值.............................................................................................................................1
一、主干知识.....................................................................................................................................................1
考点1：极值的定义：............................................................................................................................2
考点2：极值的性质：............................................................................................................................2
考点3：判别f（x ）是极大、极小值的方法：...........................................................................2
0
考点4：求函数f（x）的极值的步骤：...........................................................................................2
【常用结论总结】....................................................................................................................................2
二、分类题型.....................................................................................................................................................3
题型一 利用导数求函数的极值问题.................................................................................................4
命题点1 根据函数图象判断极值.............................................................................................4
命题点2 求已知函数的极值......................................................................................................4
命题点3 已知极值(点)求参数.................................................................................................5
题型二 利用导数求函数最值...............................................................................................................5
三、分层训练：课堂知识巩固.....................................................................................................................6一、主干知识
考点1：极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x 附近有定义，如果对x 附近的所有的点，都有f（x）＜f
0 0
（x
0
），就说f（x
0
）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值 ＝f（x
0
），x
0
是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数 f（x）在x 附近有定义，如果对 x 附近的所有的点，都有 f（x）＞f
0 0
（x
0
），就说f（x
0
）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值 ＝f（x
0
），x
0
是极小值点．
考点2：极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最
小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值
的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．
考点3：判别f（x ）是极大、极小值的方法：
0
若x 满足f′（x ）＝0，且在x 的两侧f（x）的导数异号，则x 是f（x）的极值点，f（x ）是极值，
0 0 0 0 0
并且如果f′（x）在x 两侧满足“左正右负”，则 x 是f（x）的极大值点，f（x ）是极大值；如果f′
0 0 0
（x）在x 两侧满足“左负右正”，则x 是f（x）的极小值点，f（x ）是极小值．
0 0 0
考点4：求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方
程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f（x）在
这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．【常用结论总结】
（1）按定义，极值点x 是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
0
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．
一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也
就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没
有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必
有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数 f（x）在[a，b]上连续
且有有
限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值
点，也可能不是极值点．二、分类题型
题型一 利用导数求函数的极值问题
命题点1 根据函数图象判断极值
【例题精析1】 如图为定义在R上的函数 的图象，则关于它的导函数
的说法错误的是（ ）
A． 存在对称轴 B． 的单调递减区间为
C． 在 上单调递增 D． 存在极大值
【解答】由题可知， 为二次函数，可知函数 的极大值点为 ，极小值点为1，可得
，且两根分别是 和1．所以 存在极小值，对称轴 ，
单调递减区间为 ，单调递增区间为 ．A，B，C正确．故选：D.【点睛】本题考查根据三次函数的图象研究其导数的性质，考查数形结合思想，属于基础题.
【例题精析2】 （2023·上海松江·校考模拟预测）设a、b、c、d ，若函数 的部分图像如
图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【解答】 ，由图象可知，函数有两个极值点，并且函数是先增后减再增，所以极大值点
大于极小值点，所以导函数的图象如图所示，
由导函数的图象可知， ， ，并且极值点的和 ，
得 .故选：D
【例题精析3】 （2023春·福建莆田·高二莆田第二十五中学校考期中）已知函数 的大
致图象如图所示，则（ ）A． B．
C． D．
所以函数 图象开口方向朝上，且于x轴有两个交点，故 ；又函数 的极大值点
在y轴左侧，极小值点在y轴右侧，且极大值点离y轴较近，所以方程 的两根
满足 ，即 ，得 ，因此 .故选；B.
【对点精练1】 （多选）函数 的定义域为R，它的导函数 的部分图象如图所示，则下面结论
正确的是（ ）
A．在 上函数 为增函数 B．在 上函数 为增函数
C．在 上函数 有极大值 D． 是函数 在区间 上的极小值点
【解答】由图象可知 在区间 和 上 ， 递增；在区间 上 ，
递减.所以A选项正确，B选项错误.在区间 上， 有极大值为 ，C选项正确.在区间 上，
是 的极小值点，D选项错误.故选：AC
【对点精练2】 （多选）（2023·全国·高三专题练习）如果函数 的导函数 的图象如图所示，则以下关于函数 的判断正确的是（ ）
A．在区间 内单调递减 B．在区间 内单调递增
C． 是极小值点 D． 是极大值点
【解答】解： ．函数 在区间 内 ，则函数单调递增；故 不正确，
．函数 在区间 的导数为 ， 在区间 上单调递增， 正确； ．由
图象知当 时，函数 取得极小值，但是函数 没有取得极小值，故 错误， ． 时，
，当 时， ， 为增函数， ，此时 此时函数 为减函数，则
函数 内有极大值， 是极大值点；故 正确，故选： ．
【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及函数单调性和导数，极值和导数之间的关系，考查学生的识
图和用图的能力．属于中档题．
【对点精练3】 （2021秋·安徽马鞍山·高二马鞍山二中校考期末）已知定义在 上的函数 ，其导函数
的大致图像如图所示，则下列叙述正确的是（ ）
① ；②函数 在 处取得极小值，在 处取得极大值；
③函数 在 处取得极大值，在 处取得极小值；④函数 的最小值为 .
A．③ B．①② C．③④ D．④【解答】由 的图像可得，当 时， 单调递增；当 时， 单调递
减；当 时， 单调递增．
对于①，由题意可得 ，所以①不正确．
对于②，由题意得函数 在 处取得极大值，在 处取得极小值，故②不正确．
对于③，由②的分析可得正确．对于④，由题意可得 不是最小值，故④不正确．
综上可得③正确．故选：A．
【点睛】此题考查由导函数的图像判函数的极值和最值，属于基础题.
【对点精练4】 已知函数 ，则函数 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】由题 ，
导函数有两个变号零点即原函数有两个极值点 ，
且 ，只有B图符合.故选：B.命题点2 求已知函数的极值
【例题精析4】 （2023·广西·统考模拟预测）函数 在 处取得极小值，则极小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【解答】依题意， ，因为函数 在 处取得极小值，则 ，解得 ，
此时 ，当 或 时， ，当 ，时 ，因此函数
在 上单调递增，在 上单调递减，所以函数 在 处取得极小值
.故选：C
【例题精析5】 （2023·四川成都·统考二模）函数 的极大值为______．
【解答】依题意，因为 ，所以 ，所以 ，
所以在 上， ， 单调递增；在 上， ， 单调递减.所以
在 处取得极大值： .故答案为：1.
【例题精析6】 （2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）已知实数 成等比数列，且函数
，当 时取到极大值 ，则 等于______.
【解答】令 ，
则函数 的定义域为 ，导函数 ，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
当 时， ，函数 在 上单调递减，所以当 时，函数 取极大值，极大值为 ，
所以 ，故 ，
又 成等比数列，所以 ，故答案为： .
【对点精练5】 （2023·全国·高三专题练习）已知函数 的极值点为1，且 ，则
的极小值为（ ）
A． B． C．b D．4
【解答】 ， ， ，所以 ，解得： ， ，
所以 ，得 ， 时， ， ， ，所以
是函数的极小值点， .故选：D
【对点精练6】 （2023·全国·高三专题练习）已知函数 的定义域为 ，其导函数为 ，
， ，则 （ ）
A．无极值 B．有极大值，也有极小值
C．有极大值，无极小值 D．有极小值，无极大值
【解答】由已知 知 ，又 ，所以 ，令
，则 ，
又 ，令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，又 ，
所以当 时， ， ， 单调递减；
当 时， ， ， 单调递增，
所以 的极小值为 ，无极大值，故选：D.
【对点精练7】 （2022·山东济南·统考模拟预测）若 是函数 的极值点．则
的极小值为（ ）
A．-3 B． C． D．0
【解答】函数 ，求导得： ，
因 是函数 的极值点，即 ，解得 ，
，当 或 时， ，当 时， ，即
是函数 的极值点，函数 在 处取得极小值 .
故选：A
【对点精练8】 函数 在 ___处取得极小值，且极小值为___.
【解答】 ，则 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
则 时 取得极小值，且极小值为 ；故答案为：2，命题点3 已知极值(点)求参数
【例题精析7】 （2023·吉林延边·统考二模）若函数 在 处有极小值，则 的值为______．
【解答】因为 ，所以 ，又因为函数 在 处有极小
值，所以 ，解得 或 ，
当 时， ，所以 时， ， 时， ，所以函数 在
处取得极小值；当 时， ，所以 时， ， 时， ，
所以函数 在 处取得极大值，不合题意，舍去， 故答案为： .
【例题精析8】 （2023·广西柳州·高三柳州高级中学校联考阶段练习）已知函数 ，若
函数 在 上有极值，则实数a的取值范围为___．
【解答】因为 ，所以 ，
为二次函数，且对称轴为 ，所以函数 在 单调递增，
则函数 在 单调递增，因为函数 在 上有极值，所以 在 有解，
根据零点的存在性定理可知 ，即 ，
解得 ，故答案为： .
【例题精析9】 （2022·内蒙古赤峰·校考模拟预测）已知函数 在 处取得极值，则
在 上的极小值为______．
【解答】由题意，函数 ，可得 ，
因为 在 处取得极值，可得 ，即 ，解得 ，
所以 ，可得 ，
令 ，得 或 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时 取得极小值，极小值为 ．故答案为： .
根据函数的极值(点)求参数的两个要领
(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
(2)验证：求解后验证根的合理性．【对点精练9】 （2022秋·湖南邵阳·高三统考期中）已知函数 ，若 时，
取得极值0，则 ___________.
【解答】由 ，得 ，
因为 时， 取得极值0，所以 ， ，
解得 或 ，当 时， ，此时函数在 在 处取不到极
值，经检验 时，函数 在 处取得极值，
所以 ，所以 .故答案为：18
【对点精练10】 （2022秋·辽宁葫芦岛·高三兴城市高级中学校考期末）已知函数 的最小值
为 ，函数 的零点与极小值点相同，则 ___________.
【解答】由 可得 ，
因为 的最小值为 ，所以 是 的极值点，所以 ，所以 ；
当 时， ，由二次函数的性质可知该函数无极小值点，不符合题意；
由 可得 ，令 ，可得 或 ，
当 时， ，由 可得 或 ；由 可得 ，
所以 在 单调递增，在 单调递减，在 单调递增，所以 的极小值点为 ，由题意可得 ，解得 ，此时
；
当 时，当 时， ，不合题意；所以 .故答案为： .
【对点精练11】 （2023·全国·高三专题练习）若函数 在区间 内有极小值，则 的取值
范围为________．
【解答】由 可得 ，当 时， 恒成立，所以 在
上单调递增，无极值；当 时，令 可得 或 ；
令 可得： ，所以 时， 在 处取得极小值，
若函数 在区间 内有极小值，则 ，解得 ，综上所述： 的取值范围
为 ；故答案为： .
【对点精练12】 （2023春·山东聊城·高二校考阶段练习）函数 既有极大值，又
有极小值，则 的取值范围是_________．
【解答】 ， ，
因为函数 既有极大值，又有极小值，所以 ，
即 ， ，解得 或 ，故 的取值范围为 ，故答案为：
.
题型二 利用导数求函数最值【例题精析10】 （北京·高考真题）已知函数
(1)求 的单调减区间；
(2)若 在区间 上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
【解答】（1）由 ，求导可得 ,
由 ，可得 或 ，
所以函数 的单调减区间为 ， ；
（2）因为 ，
令 ，解得 或 可得下表：
则 ， 分别是 在区间 上的最大值和最小值，
所以 ，解得 ，
从而得函数 在 上的最小值为 .
【例题精析11】 （2021·北京·统考高考真题）已知函数 ．
（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 在 处取得极值，求 的单调区间，以及其最大值与最小值．
【解答】（1）当 时， ，则 ， ， ，此时，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ；
（2）因为 ，则 ，
由题意可得 ，解得 ，
故 ， ，列表如下：
极大
增 减 极小值 增
值
所以，函数 的增区间为 、 ，单调递减区间为 .
当 时， ；当 时， .
所以， ， .
【例题精析12】 （海南·高考真题）设函数
(1)讨论 的单调性；
(2)求 在区间 的最大值和最小值．
【解答】（1）函数 的定义域为 ，
又 .
令 ，解得 或 ；令 ，解得 .所以函数 在 上单调递增；在 上单调递减；
（2）由（1）可得：函数 在区间 内单调递减，在 内单调递增.
所以当 时，函数 取得最小值 ，
又 ， ，
而 ，
所以当 时，函数 取得最大值为： .
即 在区间 上的最大值为 ，最小值为 .
(1)求函数 f(x)在闭区间[a，b]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值
f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值．
(2)若所给的闭区间[a，b]含参数，则需对函数f(x)求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单
调性，从而得到函数f(x)的最值．
【对点精练13】 （湖南·高考真题）已知函数 ，其中 ，e为自然对数的底数．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)求函数 在区间 上的最大值．
【解答】（1） ，函数定义域为 ， ．
当 时，令 ，得 ．
若 ，则 ，从而 在 上单调递增；若 ，则 ，从而 在 上单调递减．
当 时，令 ，得 ，解得 或 ，有 ．
若 ，则 或 ，从而 在 和 上单调递减；
若 ，则 ，从而 在 上单调递增；
（2）由（1）中求得单调性可知，
当 时， 在区间 上单调递增，最大值是 ．
当 时， 在区间 上单调递增，最大值是 ．
当 时， 在区间 上单调递增，在区间 单调递减，最大值是 ．
【对点精练14】 （2021·全国·高考真题）设函数 ，其中 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若 的图象与 轴没有公共点，求a的取值范围.
【解答】（1）函数的定义域为 ，
又 ，
因为 ，故 ，
当 时， ；当 时， ；
所以 的减区间为 ，增区间为 .
（2）因为 且 的图与 轴没有公共点，
所以 的图象在 轴的上方，
由（1）中函数的单调性可得 ，故 即 .
【点睛】方法点睛：不等式的恒成立问题，往往可转化为函数的最值的符号来讨论，也可以参变分离后转
化不含参数的函数的最值问题，转化中注意等价转化.
【对点精练15】 （2023·广东佛山·校考模拟预测）已知函数 .
(1)求函数 在区间 上的最小值；
(2)判断函数 的零点个数，并证明.
【解答】（1） 的定义域为 ，故 ，
令 ， ，
当 时， ，
所以 在 上单调递减，且 ，
，
所以由零点存在定理可知，在区间 存在唯一的 ，使
又当 时， ；当 时， ；
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
又因为 ， ，
所以函数 在区间 上的最小值为 .
（2） 有 个零点，证明如下：
因为 ， ，
若 ， ，所以 在区间 上单调递增，又 ， ，
结合零点存在定理可知， 在区间 有且仅有一个零点，
若 ，则 ，则 ，
若 ，因为 ，所以 ，
综上，函数 在 有且仅有一个零点.
【对点精练16】 （2024秋·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）设函数 ，
(1)求 、 的值；
(2)求 在 上的最值．
【解答】（1）因为 ，
所以 ，取 ，则有 ，即 ；
所以 ，取 ，则有 ，即 ．
故 ， ．
（2）由（1）知 ， ，
则 ，
所以 、 与 ， 的关系如下表：
0 1 2
0
单调递增 极大值 单调递减
故 ， ．三、分层训练：课堂知识巩固
1．（2023•禅城区模拟）已知函数 有唯一零点，则
A． B． C． D．2
【解答】解： ，令 ，则 为偶函数，图象关于 对称，
若 有唯一零点，则根据偶函数的性质可知 ，
所以 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了利用偶函数的 对称性求解参数的值，解题的关键是灵活利用偶函数对称性的性
质．
2．（2023•石嘴山一模）若函数 有两个不同的极值点，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：因为 有两个不同的极值点，
所以 在 上有2个不同的零点，且零点两侧异号，
所以 在 有2个不同的实数根 ， ，且根据二次函数的性质可知这两根的两侧函数
值异号，
所以 ，解得 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，属于中档题．
3．（2023•翠屏区校级模拟）若函数 在 处有极大值，则实数 的值为
A．1 B． 或 C． D．
【解答】解：函数 ， ，
函数 在 处有极大值，可得 （1） ，解得 或 ，
当 时， ，时， ， 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增， 在 处有极小值，不合题意．
当 时， ， 时 ， 时 ，
在 上单调递增，在 上单调递减， 在 处有极大值，符合题意．
综上可得， ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了导数与单调性及极值关系的应用，属于中档题．
4．（2023•宜春模拟）若函数 有两个极值点 ， ，且 ，则 的取值范围
为
A． B． C． D．
【解答】解：因为 ，所以 ，
若函数 有两个极值点 ， ，
则 ，所以 ，且 ，
所以 ，
令函数 ，
则 在 上恒成立，
故 在 上单调递增，则 ，
即 的取值范围为 ，
故选： ．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的极值和最值问题，属于中档题．5．（2023•梅河口市校级一模）已知函数 有两个大于1的零点，则 的取值范围可以是
A． ， B． C． D． ，
【解答】解：已知函数 有两个大于1的零点，
所以 在 不单调，
可得 ，
当 时， 恒成立，
所以 在 上单调递增，不符合题意；
当 时，
易知 在 上单调递增，
又 （1） ，
当 ， 时， （1） ，
所以 在 上单调递增，不符合题意，排除选项 ；
当 时，
因为 （1） ， （a） ，
所以存在 ，使得 ，
即 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，所以 在 处取得极小值，也是最小值，
因为 （1） ，
当 趋向正无穷时， 趋向正无穷，
所以当函数 有两个大于1的零点时，只需满足 即可，
因为 ，
不妨设 ，函数定义域为 ，
可得 ，
所以 单调递增；
不妨设 ，
可得 ，
当 时， ， 单调递减，
对于选项 ，当 ， 时，
由 可知 ，
当 时， ，
所以 ，满足题意．
故选： ．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了逻辑推理和运算能力．
6．（2023•湖北模拟）已知定义域为 的函数 满足 ， （1） ，
，若 ，则 的极值情况是A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值
C．既有极大值，又有极小值 D．既无极小值，也无极大值
【解答】解： ， ，
取 可得， （1） ，
由 ，令 ，得 （1） （1） ，
（1） ，可得 （1） ，
，则 ，
．
令 ，则 ；
令 ， ，
易知 时， ， 在 上单调递减； 时， ， 在 上单
调递增，
当 时， 取最小值 ，
又 ，当 时， ， 时， ，
存在 ， ，使得 ，
不妨设 ，则当 时， ，当 时， ，当 时， ．
在 上单调递增，在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增，
既有极大值，又有极小值．故选： ．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，属于中档题．
7．（2023•梅河口市校级模拟）若函数 有两个极值点 ， ，且 ，
则
A． B． C． D．
【解答】解：由函数 ，可得 ，
因为函数 存在两个极值点 ， ，所以 ， 是方程 的两个正根，
即 的两个正根为 ， ．
所以 ，即 ，
所以 ，
，
所以 ，可得 ，因为 ，所以 ．
故选： ．
【点评】本题考查函数导数的应用，函数的极值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
8．（2023•广陵区校级模拟）已知正方形 的中心在坐标原点，四个顶点都在函数 的图
象上．若正方形 唯一确定，则实数 的值为
A． B． C． D．
【解答】解：法一：因为四边形 为正方形， 为其中心，
所以 于点 ，且 ，不妨设直线 的方程为 ，则直线 的方程为 ，
设点 ， ， ， ，则 ， ， ， ，
当 时， ， 在 上单调递增，与 仅有1个交点为原点，不合题意，
当 时，联立直线 与曲线方程，得到 ，解得 ，
联立直线 与曲线方程，得到 ，解得 ，
因为 ，所以 ，
整理得 ，即 ，
设 ，该函数在 上单调递增，值域为 ，
要使符合题意的正方形只有1个，则必有 有两个相等的实数根，
即△ ，解得 ，正根舍去，
此时 ，解得 ，负根舍去，
所以 ；
法二：不妨设点 在第一象限，且 ， ， ， 四点逆时针排布，
设 ， ，
则 ，由题意得两点存在曲线 上，
所以 ，
由①得 ，由②得 ，
联立两式得
，
因为 ， ，
故 ， ，
又 ， ，所以只有 时，才能使得两式恒成立，
故 ，
由基本不等式可得 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
由题意， 有唯一解，故 ．
故选： ．
【点评】本题考查函数性质的综合运用，考查运算求解能力，属于难题．9．（2023•长沙模拟）已知函数 ，若不等式 的解集中恰有两个不同的正整数
解，则实数 的取值范围
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【解答】解：函数 ，不等式 化为： ．
分别令 ， ．
．
可得：函数 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减．
， （2） ．如图所示．
不等式 的解集中恰有两个不同的正整数解，
正整数解为1，2，
，即 ．
解得： ．
数 的取值范围是 ， ．
故选： ．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式的解法、数形结合方法、等价转化方
法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
10．（2023•遵义模拟）已知函数 在 处取得极值0，则
A． B．0 C．1 D．2
【解答】解： ，
有 ，得 ， ，
所以 ．
故选： ．
【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，属于基础题．
11．（2023•河南三模）已知函数 在 处取得极大值4，则
A．8 B． C．2 D．
【解答】解：因为 ，所以 ，
所以 （1） ， （1） ，解得 ， ，
经检验，符合题意，所以 ．
故选： ．
【点评】本题考查函数极值相关知识，属于中档题．
12．（2023•阜新模拟）已知函数 ，则 的极大值为
A． B．1 C．27 D．【解答】解： ，
，
，解得 （2） ，
， ，
当 或 时， ；当 时， ，
在 和 上单调递增，在 上单调递减，
当 时， 取得极大值27．
故选： ．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，属中档题．
13．（2023•广西模拟）函数 在区间 上存在极值点，则整数 的值为
A． ，0 B． ， C． ， D． ，0
【解答】解：函数 ，可得 ，
当 和 时， ，当 时， ，
则 在 和 上单调递增，在 上单调递减．
若 在 上无极值点，则 或 或 ，
， ， ． 时， 在 上无极值点，
， ， 时， 在 上存在极值点．
因为 是整数，故 或 ，
故选： ．
【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的判断，是中档题．
14．（2023•雁塔区校级模拟）已知函数 有两个零点 ， ，且存在唯一的整数 ，，则实数 的取值范围为
A． B． C． D．
【解答】解：由题意函数 ， 有两个零点 ， ，
即 ，得 有两个正实根，
设 ，则 ，
令 ，解得 ，当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减；
故当 时，函数取得极大值，且 ，
又 时， ；当 时， ；
当 时， ， ， ，
作出函数 的大致图象，如图所示：
直线 与 的图象的两个交点的横坐标即分别为 ， ，
由题意知 ，又 ，
因为存在唯一的整数 ， ，所以 ，
又直线 与 的图象有两个交点，由图可知： （2） （1）， ，即 ，
故选： ．
【点评】本题考查导数的综合应用，函数的零点问题，数形结合思想，化归转化思想，属难题．
15．（2023•平罗县校级模拟）若函数 在 上存在两个零点，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：函数 在 上存在两个零点，
即方程 在 上存在两个根，
即方程 在 上存在两个根，
设 ， ，
则 ，
令 得， ， ，
当 ， 时， ， 单调递增；当 ， 时， ， 单调递减，
，
又 ， （e） ，且 ，
在 ， 上的大致图象，如图所示：方程 在 上存在两个根，等价于 与 有两个交点，
由图象可知， ，
即 的取值范围是 ， ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，考查了利用导数研究函数的单调性和极值，同时考
查了数形结合的数学思想，属于中档题．
16．（2023•阿勒泰地区三模）函数 的极值点是
A．0 B．1 C． D．
【解答】解： ，令 ，得 ，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，
故当 时，函数取极大值，所以，函数 的极值点是1．
故选： ．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，属于基础题．
17．（2023•湖北二模）设函数 恰有两个极值点，则实数 的取值范围是
A． ， B． ，C． ， ， D． ， ，
【解答】解：函数 ， ，
，
函数 恰有两个极值点， 方程 恰有两个正根，
显然 是方程 的一个正根，
方程 有唯一正根，即方程 有唯一正根，
等价于函数 与函数 在 上只有一个交点，且交点横坐标不等于1，
， 函数 在 上单调递增，
又 ， （1） ，
函数 的图象如图所示：，
且 ，
故选： ．
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，考查了函数零点与方程根的关系，是中档题．
18．（2023•全国）已知函数 在 处取得极小值1，则
A． B．0 C．1 D．2【解答】解： ，
则 ，
函数 在 处取得极小值1，
，解得 ，
故 ，
，
令 ，解得 或 ，
在 ，在 上单调递增，在 ， 上单调递减，
故 在 处取得极小值，
故 ，符合题意．
故选： ．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，属于中档题．
19．（2023•重庆模拟）已知函数 有三个零点，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：易知 的定义域是 ，
由已知 ，
若△ ，即 ，则 恒成立， 单调递增，不合题意，
若 ，则在 上 恒成立， 单调递增，不合题意，
若 ，则 存在两个实根 ， ，且 ，因此 ， ，不妨设 ，即 ，
当 或 时， ， 时， ，
因此 在 和 ， 上都是单调递增，在 ， 上单调递减，
在 ， 上 （1） ，有一个零点，因此 ， ，
取 ，由于 ，因此 ，
设 ，则 ，
设 ，则 ，
设 ，则 ，所以 即 是增函数， 时， （2）
，
所以 即 在 上是增函数，从而 时， （2） ，
所以 时， 是增函数， （2） ，
综上， ，因此 ， 在 上有唯一零点，也即在 ， 上有唯一零点，
同理取 ，由于 ，因此有 ，
从而 在 ， 即在 上有唯一零点，
所以 有三个零点，所以 的取值范围是 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查函数的零点与方程根的关系，考查转化思想与运算
求解能力，属于中档题．
20．（2023•商洛三模）若函数 无极值，则 的取值范围为A． ， B．
C． ， ， D． ， ，
【解答】解： ，
，
函数 在 上无极值，
函数 在 上是单调函数，
没有两个不等的根，
即△ ，
解得 ，
故选： ．
【点评】本题考查了利用导数研究三次多项式函数的单调性，从而求参数 的取值范围，属于中档题，解
题时应该注意导函数等于0的等根的情形，以免出现只一个零点的误解．
21．（2023•青羊区校级模拟）函数 ，定义域为 ， 有唯一极值点，则实数
的取值范围为
A． B． C． D．
【解答】解：函数 ，可得 ，
函数 ，定义域为 ， 有唯一极值点，
就是方程 在 内有唯一解，
即 在 内有唯一解，就是 与 的图象在 内由一个交点，如图：
可得 ，
解得 ．
故选： ．
【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的极值的判断，考查数形结合以及函数与方程的综合应用，是
中档题．
22．（2023•成都模拟）已知函数 有三个零点 ， ， ，其中 ，则 的取
值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：定义域为 ，显然 ，
若 是零点，则 ，
，
所以 也是零点，函数 有三个零点 ， ， ，
不妨设 ，则 ， ，所以 ， ，
当 时，结合定义域和判别式易知 恒成立，
即函数 在 上单调递增，不符合题意；
当 时，设 的两根分别为 ， ，
易知 ，所以函数 在 上单调递增，
在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增，
当 时， ， （1） ，
（1） ，当 ， ，
所以由零点存在定理易知有三个零点，满足题意．
综上， 的取值范围是 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，函数的零点与方程根的关系，考查转化思想与运算求解
能力，属于中档题．
23．（2023•广西模拟）函数 在 处取得极小值，则极小值为
A．1 B．2 C． D．
【解答】解：依题意， ，因为函数 在 处取得极小值，则 （1） ，解得
，
此时 ，当 或 时， ，当 ，时 ，
因此函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
所以函数 在 处取得极小值 （1） ．
故选： ．【点评】本题考查函数极值相关知识，属于中档题．
24．（2023•南宁模拟）已知 在 处取得极大值，则 的值为
A．2 B． C． D．
【解答】解：由已知可得 ， ， （1） ，得 ，
此时 ， ，
令 ，得 或 ，
令 ，得 ，
故 在 上单调递减，在 ， 上单调递增，
故 在 处取得极大值，符合题意．
则 的值为 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了导数与极值关系的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
25．（2023•江西二模）已知函数 的定义域为 ，其导函数为 ， ，
（1） （1），则
A．无极值 B．有极大值，也有极小值
C．有极大值，无极小值 D．有极小值，无极大值
【解答】解：由已知 知 （1） （1） ，
又 （1） （1），所以 （1） （1） ，
令 ，则 ，
又 ，令 ，
所以 ，
所以 在 上单调递增，又 （1） （1） （1） ，
所以当 时， ， ， 单调递减；
当 时， ， ， 单调递增，
所以 的极小值为 （1） ，无极大值．
故选： ．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，属于中档题．
26．（2023•大庆三模）函数 ，则方程 解的个数为
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解： ，定义域为 ，
则 ，
令 ，得 或 ，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减；当 时，
， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
又因为 ， ，且当 时， ；当 时， ；当 时，
；当 时， ，
所以画出 的大致图象，如图所示：方程 解的个数，等价于函数 与 的图象的交点个数，
由图象可知，函数 与 的图象的交点个数为0个，
即方程 解的个数为0．
故选： ．
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，考查了函数的零点与方程根的关系，同时考
查了数形结合的数学思想，属于中档题．
27．（2023•上饶二模）已知函数 有3个不同的零点分别为 ， ， ，且 ， ，
成等比数列，则实数 的值为
A．11 B．12 C．13 D．14
【解答】解：设 ，则常数项为： ，
因为 ， ， 成等比数列，
所以 ，
所以 ，即 ，解得 ，
把 代入 ，
所以 （2） ，解得 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，等比数列的性质，考查运算求解能力，属于中档题．28．（2023•南宁二模）已知函数 的极值点为1，且 （2） ，则 的极小值为
A． B． C． D．4
【解答】解： ， （1） ， （2） ，
所以 ，解得： ， ，
，
所以 ，得 ， 时， ， ， ，
所以 是函数的极小值点， （1） ．
故选： ．
【点评】考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法，属于中档题．
29．（2023•汉滨区校级模拟）函数 在 内有极值，则实数 的取值范围是
A． B． C． D． ，
【解答】解： ，
依题意， 在 上有变号零点，令 ，则 ，
设 ，则 在 上恒成立，
在 上单调递减，
又 （1） ， 时， ，
．
故选： ．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，考查转化思想及运算求解能力，属于中档题．
30．（2023•贵州模拟）已知函数 在 处取得极小值，则实数 的取值范围为A． ， B． C． ， D．
【解答】解： ，
， ，
要使函数 在 处取得极小值，则 ，
故选： ．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，属基础题．
31．（2023•贵州模拟）已知函数 在 处取得极小值，则实数 的取值范围为
A． B． ， C． D． ，
【解答】解：由 ，
得 ，
要使函数 在 处取得极小值，则 ，
且当 ， ， 时， ，当 时， ，
即 的增区间为 ， ，减区间为 ，
可得 ，
故选： ．
【点评】本题主要考查导数与极值，考查学生逻辑推理和数学运算的核心素养，是基础题．
32．（2023•成都模拟）已知函数 有两个极值点，则 的取值范围为
A． ， B．
C． D．【解答】解： ，
因为函数 有两个极值点，
则 有两个变号正的零点，
因为 （1） ，
令 ，
则 在 ， ， 上有一个零点，
又 （2） ，
所以 在 ， ， 上有一个零点等价于方程 在 ， ， 上有一个根，
令 ， ， ， ，
，
所以在 ， ， 上 ， 单调递减，
在 上 ， 单调递增，
， （1） ， （3） ，
所以 且 ，
所以 的取值范围为 ， ， ，
故选： ．
【点评】本题考查函数的极值点，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
