专题4.6 解三角形（举一反三讲义）
【全国通用】
【题型1 余弦定理解三角形】..................................................................................................................................5
【题型2 正弦定理解三角形】..................................................................................................................................7
【题型3 正、余弦定理判定三角形形状】..............................................................................................................9
【题型4 正弦定理判定三角形解的个数】............................................................................................................11
【题型5 证明三角形中的恒等式或不等式】.......................................................................................................12
【题型6 和三角形面积有关的问题】....................................................................................................................15
【题型7 求三角形中的边长或周长的最值或范围】...........................................................................................19
【题型8 距离、高度、角度测量问题】................................................................................................................21
【题型9 求解平面几何问题】................................................................................................................................24
【题型10 解三角形与三角函数的交汇问题】.....................................................................................................27
1、解三角形
考点要求
真题统计
考情分析
(1)掌握正弦定理、余弦定理
及其变形
(2)理解三角形的面积公式并
能应用
(3)能利用正弦定理、余弦定
理解决一些简单的三角形度
量问题
(4)能够运用正弦定理、余弦
定理等知识和方法解决一些
与测量和几何计算有关的实
际问题
2023 年新课标I 卷、Ⅱ卷：第
17 题，10 分
2024 年新课标I 卷、Ⅱ卷：第
15 题，13 分
2024 年全国甲卷（文数）：第
12 题，5 分
2024 年全国甲卷（理数）：第
11 题，5 分
2025 年全国二卷：第5 题，5 分
2025 年北京卷：第16 题，13 分
2025 年天津卷：第16 题，14 分
解三角形是高考的重点、热点内
容，是每年高考必考内容之一.从近几
年的高考情况来看，正弦定理、余弦
定理解三角形在选择题、填空题中考
查较多，也会出现在解答题中，在高
考试题中出现有关解三角形的试题大
多数为较易题、中档题.对于解答题，
一是考查正弦定理、余弦定理的简单
应用；二是考查正、余弦定理与三角
形面积公式的综合应用，有时也会与
三角函数、平面向量等知识综合命
题，难度中档，需要学生灵活求解.
知识点
1 解三角形几类问题的解题策略
1．正弦定理、余弦定理解三角形的两大作用
(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即
根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素.
(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角
函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系.
2．判定三角形形状的途径：
(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；
(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.
无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘
隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.
3．对三角形解的个数的研究
已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定.
已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形
不能被唯一确定.
(1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知
a,b 和A，解三角形为例加以说明.
由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得：
①若
B=
>1，则满足条件的三角形的个数为0；
②若
B=
=1，则满足条件的三角形的个数为1；
③若
B=
<1，则满足条件的三角形的个数为1 或2.
显然由0<
B=
<1 可得B 有两个值，一个大于
，一个小于
，考虑到“大边对大角”、“三
角形
内角和等于
”等，此时需进行讨论.
(2)从几何的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，以已知a,b 和
A，解三角形为例，用几何法探究如下：
图形
关系式
解的个数
A
为
锐
角
①a=bsin
A；
②a≥b
一解
bsinA<a<b
两解
a<bsinA
无解
A
为
钝
角
或
直
角
a>b
一解
a≤b
无解
4．与三角形面积有关问题的解题策略：
(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；
(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量.
知识点
2 测量问题的基本类型和解决方案
1．测量距离问题的基本类型和解决方案
当AB 的长度不可直接测量时，求AB 的距离有以下三种类型：
类型
简图
计算方法
A,B 间不可达
也不可视
测得AC=b，BC=a，C 的大小，则由余弦定
理得
B, C 与点A 可
视但不可达
测得BC=a，B，C 的大小，则A=π-(B+ C)，
由正弦定理得
C,D 与点A,B
均可视不可达
测得CD=a 及∠BDC,∠ACD,∠BCD,∠ADC 的
度数.在△ACD 中，用正弦定理求AC；在
△BCD 中，用正弦定理求BC；在△ABC
中，用余弦定理求AB.
2．测量高度问题的基本类型和解决方案
当AB 的高度不可直接测量时，求AB 的高度有以下三种类型：
类型
简图
计算方法
底部
可达
测得BC=a，C 的大小，AB=a·tan C.
底
部
不
可
达
点B 与
C,D 共线
测得CD=a 及∠ACB 与∠ADB 的度数.
先由正弦定理求出AC 或AD,再解直角三角形
得AB 的值.
点B 与
C , D 不
共线
测得CD=a 及∠BCD,∠BDC,∠ACB 的度数.
在△BCD 中由正弦定理求得BC，再解直角
三角形得AB 的值.
3．测量角度问题的解决方案
测量角度问题主要涉及光线(入射角、折射角)，海上、空中的追及与拦截，此时问题涉及方向角、方位角
等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念.解决此类问题的关键是根据题意、图形
及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，然后解三角形即可.
知识点
3 解三角形的应用的解题策略
1．平面几何中解三角形问题的求解思路
(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；
(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.
2．解三角形与三角函数的综合应用
解三角形与三角函数的综合应用主要体现在以下两方面：
(1)利用三角恒等变换化简三角函数式进行解三角形；
(2)解三角形与三角函数图象和性质的综合应用.
【方法技巧与总结】
1．三角形中的三角函数关系
(1)sin(A+B)=sinC；
(2)cos(A+B)=-cosC；
(3)
；
(4)
.
2．三角形中的射影定理
在△ABC 中，a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=bcosA+acosB.
3．在△ABC 中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，
.
【题型1 余弦定理解三角形】
【例1】（2025·全国二卷·高考真题）在△ABC中，BC =2，AC =1+ ❑√3，AB = ❑√6，则A =（ ）
A．45°
B．60°
C．120°
D．135°
【答案】A
【解题思路】由余弦定理cos A = A B
2+ A C
2−BC
2
2 AB·AC
直接计算求解即可.
【解答过程】由题意得cos A = A B
2+ A C
2−BC
2
2 AB·AC
= (❑√6)
2+(1+ ❑√3)
2−2
2
2×❑√6×(1+ ❑√3)
=
❑√2
2 ，
又0
∘< A <180
∘，所以A = 45
∘.
故选：A.
【变式1-1】（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知在△ABC中，AB = 4，AC =6，cosB = 1
8.若△ABC的角平
分线AD交边BC于点D，则AD =（ ）
A．12
5
B．8 ❑√3
5
C．9
5
D．3 ❑√2
【答案】D
【解题思路】根据余弦定理求出BC的长度，再利用角平分线定理得到BD与DC的比例关系，进而求出
BD的长度，最后在△ABD中利用余弦定理求出AD的长度.
【解答过程】在△ABC中，根据余弦定理A C
2= A B
2+ BC
2−2 AB⋅BC ⋅cos B，
已知AB = 4，AC =6，cos B = 1
8，设BC = x，则有： 6
2= 4
2+ x
2−2×4× x× 1
8
解得x =5或x =−4（边长不能为负舍去），所以BC =5.
因为AD 是角平分线，根据角平分线定理：可得BD
DC = AB
AC = 4
6 = 2
3.
又因为BD+ DC = BC =5，所以BD =
2
2+3 ×5=2.
在△ABD中，再根据余弦定理A D
2= A B
2+ B D
2−2 AB⋅BD⋅cos B，
将AB = 4，BD =2，cos B = 1
8代入可得：A D
2= 4
2+2
2−2×4×2× 1
8 =16+ 4−2=18
所以AD = ❑√18=3 ❑√2.AD的长度为3 ❑√2
故选：D.
【变式1-2】（2025·黑龙江吉林·模拟预测）在△ABC中，已知AC =5, AB =3,BC =7 , AD是BC边上的中
线，则AD =（ ）
A．15
4
B．
❑√19
2
C．7
2
D．15
7
【答案】B
【解题思路】利用两次余弦定理即可求解.
【解答过程】
由余弦定理得：cos B = A B
2+ BC
2−A C
2
2 AB⋅BC
= 9+ 49−25
2×3×7 = 11
14 ，
再由余弦定理得：A D
2= A B
2+ B D
2−2 AB⋅BD cos B =9+ 49
4 −2×3× 7
2 × 11
14 = 19
4 ，
则AD =
❑√19
2
，
故选：B.
【变式1-3】（2025·山东枣庄·二模）在△ABC中，内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，且
b=3,c
2+9=a
2+3c，则A =（ ）
A．π
6
B．π
4
C．π
3
D．2π
3
【答案】C
【解题思路】根据题意，利用余弦定理求解.
【解答过程】由b=3及c
2+9=a
2+3c，得b
2+c
2−a
2=bc，
由余弦定理，得cos A = b
2+c
2−a
2
2bc
= bc
2bc = 1
2，
因为0< A <π，所以A =π
3 .
故选：C.
【题型2 正弦定理解三角形】
【例2】（2025·天津红桥·模拟预测）在△ABC中，若AC =2，∠A =π
3 ，∠B =π
6 ，则BC =（ ）
A．❑√3
B．❑√2
C．2❑√3
D．2❑√2
【答案】C
【解题思路】根据正弦定理求解即可.
【解答过程】由正弦定理，得BC
sin A = AC
sin B ，
则
BC
❑√3
2
= 2
1
2
，解得BC =2❑√3.
故选：C.
【变式2-1】（2025·河南郑州·三模）在△ABC 中，已知A =30°，a= ❑√2，b=2，则角C 为（ ）
A．45°
B．105°
C．45°或135°
D．15°或 105°
【答案】D
【解题思路】由正弦定理得到方程，求出B = 45°或135°，从而根据三角形内角和求出角C.
【解答过程】由正弦定理得
a
sin A =
b
sin B ，即
❑√2
sin30° =
2
sin B ，
所以sin B = 2sin30°
❑√2
=
2× 1
2
❑√2 =
❑√2
2
，故B = 45°或135°，
当B = 45°时，C =180°−45°−30° =105°，
当B =135°时，C =180°−135°−30° =15°.
故选：D.
【变式2-2】（2025·安徽蚌埠·模拟预测）在△ABC中，a,b,c是角A ,B ,C所对的边长.若a:b:c = 4:5:6
，则2acos A
c
=（ ）
A．1
2
B．1
C．3
2
D．2
【答案】B
【解题思路】根据正弦定理找到三角形中边之间的关系，再利用余弦定理可计算出cos A的值，即可求解.
【解答过程】因a:b:c = 4:5:6，设a= 4 k ,k >0，则b=5k ,c =6 k
由余弦定理知 cos A = b
2+c
2−a
2
2bc
= 25k
2+36k
2−16 k
2
2×5k ×6k
= 3
4 ，
由正弦定理，sin A :sinC =a:c =2:3
2acos A
c
= 2sin A cos A
sinC
=2× sin A
sinC ×cos A =2× 2
3 × 3
4 =1.
故选：B.
【变式2-3】（2025·湖北·模拟预测）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若B =π
3 ，
b
2=3ac，则sin A +sinC =（ ）
A．
❑√7
2
B．
❑√6
2
C．3
2
D．❑√3
【答案】B
【解题思路】根据正弦定理得sin A sinC = 1
4 ，利用三角恒等变换得sin(2 A −π
6 )=0，从而可知当
A =π
12时，C =7π
12 ，当A =7π
12 时，C =π
12，求值即可.
【解答过程】因为B =π
3 ，b
2=3ac，
根据正弦定理，得sin
2B =3sin A sinC，即sin A sinC = 1
4 ，
则sin A sin(
2π
3 −A)= 1
4 ，所以
❑√3
2 sin A cos A + 1
2 sin
2 A = 1
4 ，
即❑√3sin 2 A −cos2 A =0，也就是sin(2 A −π
6 )=0，
因为0< A <2π
3 ，则−π
6 <2 A −π
6 <7π
6 ，
所以2 A −π
6 =0或2 A −π
6 =π，即A =π
12或A =7π
12 ，
当A =π
12时，C =7π
12 ，当A =7π
12 时，C =π
12，
所以sin A +sinC =sinπ
12 +sin7π
12 =sin(
π
4 −π
6 )+sin(
π
3 +π
4 )
=sinπ
4 cosπ
6 −cosπ
4 sinπ
6 +sinπ
3 cosπ
4 +cosπ
3 sinπ
4 =
❑√6
2 .
故选：B.
【题型3 正、余弦定理判定三角形形状】
【例3】（2024·陕西渭南·三模）已知△ABC中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，若
bcosC +c cos B =b，且a=c cos B，则△ABC是（ ）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
【答案】D
【解题思路】由正弦定理和sin A =sin (B+C)得到a=b，cosC =0，求出C =π
2
，得到答案.
【解答过程】bcosC +c cos B =b⇒sin BcosC +sinC cos B =sin B⇒sin (B+C)=sin B，
即sin A =sin B，故a=b，
a=c cos B⇒sin A =sinC cos B⇒sin (B+C)=sinC cos B
⇒sin BcosC +cos BsinC =sinC cos B⇒sin BcosC =0，
因为B∈(0,π)，所以sin B≠0，故cosC =0，
因为C ∈(0,π)，所以C =π
2
，
故△ABC为等腰直角三角形.
故选：D.
【变式3-1】（2024·河南新乡·二模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=7，b=3
，c =5，则（ ）
A．△ABC为锐角三角形
B．△ABC为直角三角形
C．△ABC为钝角三角形
D．△ABC的形状无法确定
【答案】C
【解题思路】根据余弦定理求解最大角的余弦值即可求解.
【解答过程】由于cos A = b
2+c
2−a
2
2bc
= 3
2+5
2−7
2
30
= 9+25−49
30
<0,
故A为钝角，进而三角形为钝角三角形
故选：C.
【变式3-2】（2024·山东·二模）在△ABC中，设内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，设甲：
b−c =a(cosC −cosB)，设乙：△ABC是直角三角形，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】D
【解题思路】利用正弦定理定理、和角的正弦公式化简命题甲，再利用充分条件、必要条件的定义判断即
得.
【解答过程】在△ABC中，由正弦定理及b−c =a(cosC −cosB)，得
sin B−sinC =sin A(cosC −cosB)，
即sin( A +C )−sin( A + B)=sin A(cosC −cosB)，整理得cos A sinC −cos A sin B =0，
由正弦定理得c cos A −bcos A =0，则cos A =0或b=c，即A =π
2 或b=c，
因此甲：A = π
2 或b=c，显然甲不能推乙；
乙：△ABC是直角三角形，当角B或C是直角时，乙不能推甲，
所以甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件.
故选：D.
【变式3-3】（24-25 高一下·天津滨海新·期末）在△ABC中， 记角A，B，C 的对边分别为a，b，c， 若
acos A −bcosB =sin( A + B+C)，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形
【答案】D
【解题思路】由正弦定理得sin2 A =sin2B，进一步讨论得A = B或A + B =π
2 即可判断.
【解答过程】因为acos A −bcosB =sin( A + B+C)=sinπ=0，所以acos A =bcos B，
所以sin A cos A =sin Bcos B，所以sin 2 A =sin 2B，
因为A ,B∈(0,π)，
所以sin A ,sin B>0，所以cos A ,cos B符号相同，
若cos A ≤0，则cos B≤0，而这会导致A + B≥π，这与三角形内角和矛盾，
从而只能0< A ,B<π
2 ，所以0<2 A ,2B<π，
所以2 A =2B或2 A +2B =π，
所以A = B或A + B =π
2 ,
所以△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形.
故选：D.
【题型4 正弦定理判定三角形解的个数】
【例4】（2025·江西·二模）在△ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A．a=72，b=50，A =135°
B．a=20，b= 40，A =31°
C．a=30，b=20 ❑√3，A =120°
D．a=8，b=14，A =30°
【答案】D
【解题思路】根据正弦定理逐一判断各选项即可.
【解答过程】A：a=72，b=50，A =135°，A为钝角且a>b，有一解，故A 错误；
B：a=20，b= 40，A =31°，A为锐角，bsin A = 40×sin31
°>20，则无解，故B 错误；
C：a=30，b=20 ❑√3，A =120°，A为钝角且a<b，则无解，故C 错误；
D：a=8，b=14，A =30°，A为锐角，bsin A =14×sin30
°=7，因7<8<14，故有两解，故D 正确.
故选：D.
【变式4-1】（2025·河北秦皇岛·一模）已知△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，且满足
a=2❑√2,B =π
4 的三角形有两个，则b的取值范围为（ ）
A．(0,2❑√2)
B．(2❑√2,4)
C．(2,4)
D．(2,2❑√2)
【答案】D
【解题思路】根据给定条件，利用正弦定理，结合三角形有两解的条件列式求解.
【解答过程】在△ABC中，a=2❑√2,B =π
4 ，由△ABC有两解，得{
b<a
sin A = asin B
b
<1)
，
即{
b<2❑√2
2❑√2×
❑√2
2
b
<1)
，解得2<b<2❑√2，
所以b的取值范围为(2,2❑√2).
故选：D.
【变式4-2】（2024·湖北·模拟预测）在△ABC中，已知AB = x，BC =2❑√2，C =π
4 ，若存在两个这样的
三角形ABC，则x的取值范围是（ ）
A．[2❑√2,+ ∞)
B．(0,2❑√2)
C．(2,2❑√2)
D．(❑√2,2)
【答案】C
【解题思路】由正弦定理可得sin A = 2
x ，分析可知关于A 的方程：sin A = 2
x 在A ∈(0, 3π
4 )有两解，
结合正弦函数图象分析求解.
【解答过程】由正弦定理AB
sinC = BC
sin A 可得sin A = BC sinC
AB
= 2
x ，
由题意可知：关于A 的方程：sin A = 2
x 在A ∈(0, 3π
4 )有两解，
在同一坐标系内分别作出曲线y =sin A，A ∈(0, 3π
4 )和水平直线y = 2
x ，
因为它们有两个不同的交点，所以
❑√2
2 < 2
x <1，所以2< x<2❑√2.
故选：C.
【变式4-3】（2024·湖北黄冈·一模）已知△ABC的内角A ,B ,C所对的边分别为a,b,c，A =π
3 ,b=3，
下面可使得△ABC有两组解的a的值为（ ）
A．3 ❑√3
2
B．3
C．4
D．e
【答案】D
【解题思路】根据bsin A <a<b，即可得到答案.
【解答过程】要使得△ABC有两组解，则bsin A <a<b，又A =π
3 ,b=3，得到3 ❑√3
2
<a<3，
故选：D.
【题型5 证明三角形中的恒等式或不等式】
【例5】（2025·北京东城·一模）在△ABC中a=6,b−c =1,sinC =
❑√7
4 .
(1)求b的值及△ABC的面积；
(2)求证：A =2C.
【答案】(1)b=5，S△ABC = 15 ❑√7
4
；
(2)证明见解析.
【解题思路】（1）由正弦值得cosC = 3
4 ，再应用余弦定理列方程求得b=5，最后应用三角形面积公式求
面积；
（2）由（1）及二倍角余弦公式得cos2C = 1
8，再应用余弦定理求得cos A = 1
8，结合三角形内角的性质即
可证.
【解答过程】（1）在△ABC中b−c =1⇒b=c +1>c,所以C是锐角，
由sinC =
❑√7
4 ，可得cosC = 3
4 ，而c
2=a
2+b
2−2abcosC，
所以c
2=36+(c +1)
2−9(c +1)，
可得c = 4，则b=5，
故S△ABC = 1
2 absinC = 1
2 ×6×5×
❑√7
4 = 15 ❑√7
4
；
（2）由（1）易知cosC = 3
4 ，则cos2C =2cos
2C −1= 1
8，
由（1）及余弦定理有cos A = b
2+c
2−a
2
2bc
= 25+16−36
2×5×4
= 1
8，
所以cos A =cos2C，又A ,C ∈(0,π), A +C <π，则A =2C.
【变式5-1】（2024·广东·模拟预测）在△ABC中，角A ,B ,C的对边分别是a,b,c，且
(b+c)cos A =a(cosB−cosC)．
(1)证明：A =2B．
(2)若△ABC是锐角三角形，求b
a的取值范围．
【答案】(1)证明见解析；
(2)(
❑√3
3 ,
❑√2
2 ).
【解题思路】（1）由正弦边角关系及和差角正弦公式得到sin( A +C )=sin( A −B)，结合三角形内角性
质即可证结论；
（2）由题设得π
6 <B<π
4 ，应用正弦边角关系、倍角正弦公式有b
a =
1
2cos B ，即可求范围.
【解答过程】（1）由题设(sin B+sinC)cos A =sin A (cos B−cosC)，
所以sin Bcos A +sinC cos A =sin A cos B−sin A cosC，
则sinC cos A +sin A cosC =sin A cos B−sin Bcos A，即sin( A +C )=sin( A −B)，
又A +C =π−B，则sin(π−B)=sin B =sin( A −B)，且A ,B∈(0,π)，
所以B = A −B⇒A =2B，得证.
（2）由题设{
0< A <π
2
0<B<π
2
π
2 < A + B<π)
，即{
0<2B<π
2
0<B<π
2
π
2 <3 B<π)
，得π
6 <B<π
4 ，
由b
a = sin B
sin A = sin B
sin2B =
1
2cos B ，而cos B∈(
❑√2
2 ,
❑√3
2 )，
故b
a ∈(
❑√3
3 ,
❑√2
2 ).
【变式5-2】（2024·安徽·模拟预测）在△ABC中，A，B，C 所对的边是a，b，c．
(1)请用正弦定理证明：若a>b，则A >B；
(2)请用余弦定理证明：若A >B，则a>b．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解题思路】（1）根据正弦定理结合已知条件得出sin A >sin B，对角A ,B的范围进行分类讨论，再利用
正弦函数的单调性即可得出结果；
（2）根据余弦函数y =cos x在(0,π)上单调递减，得cos A <cos B，利用余弦定理转化为边的关系即可得
出结果.
【解答过程】（1）由正弦定理知，
a
sin A =
b
sin B =2 R，若a>b，则2 R sin A >2 R sin B，即sin A >sin B
．
（ⅰ）若A，B∈(0,π
2 )，则由y =sin x在(0,π
2 )单调递增，得A >B．
（ⅱ）若A ∈(0,π
2 )，B∈(
π
2 ,π)，则sin A >sin B =sin (π−B)，此时π−B∈(0,π
2 )，
由y =sin x在(0,π
2 )单调递增，得A >π−B⇔A + B>π，显然不成立，舍去．
（ⅲ）若B∈(0,π
2 )，A ∈(
π
2 ,π)，必有A >B成立.
综上，在△ABC中，若a>b，则A >B.
（2）由y =cos x在(0,π)上单调递减，若A >B，则cos A <cos B，
由余弦定理得，b
2+c
2−a
2
2bc
< a
2+c
2−b
2
2ac
，则a(b
2+c
2−a
2)<b(a
2+c
2−b
2)，
所以ab
2+ac
2−a
3<ba
2+bc
2−b
3，
即ab(b−a)+c
2(a−b)+(b−a)(a
2+b
2+ab)<0，
即(b−a)[(a+b)
2−c
2)=(b−a)(a+b+c)(a+b−c)<0，
而a+b+c>0，a+b−c>0，所以a>b．
所以在△ABC中，若A >B，则a>b.
【变式5-3】（2025·全国·模拟预测）在△ABC中，点D，E 都是边BC 上且与B，C 不重合的点，且点D
在B，E 之间，AE⋅AC ⋅BD = AD⋅AB⋅CE．
(1)求证：sin ∠BAD =sin ∠CAE．
(2)若AB⊥AC，求证：A D
2
B D
2 + A E
2
C E
2 =
2
1−sin∠DAE ．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【解题思路】（1）分别在△ABC，△ABD，△ACE中，利用正弦定理即可得证；
（2）设∠BAD =∠CAE =α，则0<α <π
4 ，∠DAE =π
2 −2α，在△ABD，△ACE中，利用正弦定理即
可得证.
【解答过程】（1）如图．在△ABC中，由正弦定理，得sin B
sinC = AC
AB ．
在△ABD中，由正弦定理，得sin∠BAD = BD sin B
AD
．
在△ACE中，由正弦定理，得sin∠CAE = CEsinC
AE
．
所以sin∠BAD
sin∠CAE = BD⋅AE⋅sin B
CE⋅AD⋅sinC = BD⋅AE⋅AC
CE⋅AD⋅AB =1，
所以sin∠BAD =sin∠CAE．
（2）因为AB⊥AC，
所B+C =π
2 ，所以sinC =cos B．
由∠BAC =π
2 可知∠BAD，∠CAE均为锐角．
由（1）知，∠BAD =∠CAE．
设∠BAD =∠CAE =α，则0<α <π
4 ，∠DAE =π
2 −2α．
由sin∠DAE =cos2α =1−2sin
2α，得sin
2α = 1−sin∠DAE
2
．
在△ABD中，由正弦定理，得AD
BD = sin B
sin α ．
在△ACE中，由正弦定理，得AE
CE = sinC
sin α = cos B
sin α ．
所以A D
2
B D
2 + A E
2
C E
2 = sin
2B
sin
2α
+ cos
2B
sin
2α
=
1
sin
2α
=
2
1−sin ∠DAE ．
【题型6 和三角形面积有关的问题】
【例6】（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）在△ABC中，角A ,B ,C所对的边分别为a,b,c，若
b
2+c
2−a
2
cos A
= 4，sin A = 1
3，则△ABC的面积为（ ）
A．1
6
B．1
3
C．1
2
D．2
3
【答案】B
【解题思路】利用余弦定理求出bc的值，再根据面积公式求出三角形面积.
【解答过程】由余弦定理得b
2+c
2−a
2=2bc cos A，代入b
2+c
2−a
2
cos A
= 4，
整理可得bc =2，所以S = 1
2 bc sin A = 1
2 ×2× 1
3 = 1
3.
故选：B.
【变式6-1】（2025·辽宁·二模）在等边三角形ABC中，D、E、F 分别在边AB、BC 、AC上，且
DE = ❑√3, DF =2,∠≝=90
°．则三角形ABC面积的最大值是（ ）
A．7 ❑√3
3
B．2❑√3
C．7 ❑√3
D．6 ❑√3
【答案】A
【解题思路】结合已知，引入∠DEB =θ来表达∠FEC ,∠BDE ,∠CFE，且据勾股定理可求出EF =1，
则在△BDE和△ECF中，分别用正弦定理可表达BC，即可表达面积，从而分析最值.
【解答过程】设∠DEB =θ，
∴∠FEC =π
2 −θ ,∠BDE = 2π
3 −θ ,∠CFE =π
6 +θ，
∵∠≝=π
2 , DF =2, DE = ❑√3，
∴EF =1，
在△BDE中，
DE
sin ∠DBE =
BE
sin ∠BDE ，即
❑√3
sinπ
3
=
BE
sin(
2π
3 −θ)
，
∴BE =2sin(
2π
3 −θ)= ❑√3cosθ+sinθ，
同理，在△ECF中，EC = 2❑√3
3
sin(
π
6 +θ)=
❑√3
3 cosθ+sinθ，
∴△ABC的边长BC = BE + EC = ❑√3cosθ+sinθ+
❑√3
3 cosθ+sinθ = 2❑√21
3
sin(θ+φ)，
其中tan φ = 2❑√3
3
，
∵θ∈(0, π
2)∴θ+φ =π
2 时，BC取得最大值为2❑√21
3
，
∴S△ABC =
❑√3
4 BC
2≤
❑√3
4 × 28
3 = 7 ❑√3
3
.
故选：A.
【变式6-2】（2025·海南·模拟预测）设锐角△ABC的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且满足
(c−❑√2b)cos A +acosC =0．
(1)求A；
(2)若a= ❑√2，且❑√2c cos B =asinC，求△ABC的面积．
【答案】(1)A =π
4
(2)3+ ❑√3
4
【解题思路】（1）由正弦定理边转角化简即可得解；
（2）由正弦定理求出B，b，再由两角和的正弦公式求出sinC，即可由三角形面积公式求解.
【解答过程】（1）由(c−❑√2b)cos A +acosC =0及正弦定理得：
(sinC −❑√2sin B)cos A +sin A cosC =sinC cos A +sin A cosC −❑√2sin Bcos A =0，
因为sinC cos A +sin A cosC =sin( A +C )=sin(π−B)=sin B，
所以sin B(1−❑√2cos A )=0，又0<B<π,sin B>0，
∴cos A =
❑√2
2 ，又0< A <π，故A =π
4 ．
（2）由❑√2c cos B =asinC可得❑√2sinC cos B =sin A sinC，
因为sinC ≠0，所以cos B =
❑√2
2 sin A =
❑√2
2 ×
❑√2
2 = 1
2，
由0<B<π
2 可得B =π
3 ，
故sinC =sin( A + B)=sin A cos B+cos A sin B =
❑√2
2 × 1
2 +
❑√2
2 ×
❑√3
2 =
❑√2+ ❑√6
4
，
又
a
sin A =
b
sin B ，可得b= asin B
sin A =
❑√2×
❑√3
2
❑√2
2
= ❑√3，
所以S△ABC = 1
2 absinC = 1
2 ×❑√2×❑√3×
❑√2+ ❑√6
4
= 3+ ❑√3
4
.
【变式6-3】（2025·北京·高考真题）在△ABC中，cos A =−1
3 ,asinC = 4 ❑√2．
(1)求c 的值；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求BC 边上的高．
条件①：a=6；条件②：asin B = 10 ❑√2
3
；条件③：△ABC的面积为10 ❑√2．
【答案】(1)6
(2)答案见解析
【解题思路】（1）由平方关系、正弦定理即可求解；
（2）若选①，可得A ,C都是钝角，矛盾；若选②，由正弦定理求得b，由余弦定理求得a，利用等面积法
求得高；若选③，首先根据三角形面积公式求得b，再根据余弦定理可求得a，由此可说明三角形ABC存
在，且可由等面积法求解AD.
【解答过程】（1）因为cos A =−1
3 , A ∈(0,π)，所以sin A =
❑√1−cos
2 A = 2❑√2
3
，
由正弦定理有asinC =c sin A = 2❑√2
3
c = 4 ❑√2，解得c =6；
（2）如图所示，若△ABC存在，则设其BC边上的高为AD，
若选①，a=6，因为c =6，所以C = A，因为cos A =−1
3 <0，这表明此时三角形ABC有两个钝角，
而这是不可能的，所以此时三角形ABC不存在，故BC边上的高也不存在；
若选②，asin B = 10 ❑√2
3
，由asinC = 4 ❑√2有sin B
sinC =
10 ❑√2
3
4 ❑√2 = 5
6
，由正弦定理得b
c = 5
6,所以b=5，
所以由余弦定理得a=
❑√b
2+c
2−2bc cos A = ❑√
25+36−2×5×6×(−1
3)=9,
此时三角形ABC是存在的，且唯一确定，
所以S△ABC = 1
2 bc sin A = 1
2 BC·AD,即1
2 ×5×6× 2❑√2
3
= 1
2 ×9 AD，
所以BC边上的高AD = 20 ❑√2
9
；
若选③，△ABC的面积是10 ❑√2，则S△ABC = 1
2 bc sin A = 1
2 b×6× 2❑√2
3
=10 ❑√2，
解得b=5，由余弦定理可得a=
❑√b
2+c
2−2bc cos A = ❑√
25+36−2⋅5⋅6⋅(−1
3)=9可以唯一确定，
进一步由余弦定理可得cos B ,cosC也可以唯一确定，即B ,C可以唯一确定，
这表明此时三角形ABC是存在的，且BC边上的高满足：S△ABC = 1
2 a⋅AD = 9
2 AD =10 ❑√2，即
AD = 20 ❑√2
9
.
【题型7 求三角形中的边长或周长的最值或范围】
【例7】（2024·四川成都·模拟预测）设锐角△ABC的三个内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，且
c =2,B =2C，则a+b的取值范围为 （ ）
A．(2,10)
B．(2+2❑√2,10)
C．(2+2❑√2,4+2❑√3)
D．(4 +2❑√3,10)
【答案】C
【解题思路】根据正弦定理，转化为三角函数，化简后换元，根据二次函数的单调性求范围即可.
【解答过程】在△ABC中，由B =2C可得A =π−3C，
由正弦定理
a
sin (π−3C) =
b
sin 2C =
c
sinC 得：
a+b= 2(sin3C +sin 2C)
sinC
= 2(sinC cos2C +cosC sin 2C +2sinC cosC)
sinC
=2(4 cos
2C +2cosC −1)
又△ABC为锐角三角形，所以{
0< A =π−3C <π
2
0<B =2C <π
2
0<C <π
2 )
，解得π
6 <C <π
4 ，
令t =cosC ∈(
❑√2
2 ,
❑√3
2 )，则a+b=2(4 t
2+2t −1),t ∈(
❑√2
2 ,
❑√3
2 )，
因为y = 4t
2+2t −1在t ∈(
❑√2
2 ,
❑√3
2 )时单调递增，
所以1+ ❑√2< y <2+ ❑√3，则a+b∈(2+2❑√2,4+2❑√3).
故选：C.
【变式7-1】（2024·全国·模拟预测）已知锐角△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，若
sin A
2 = ❑√
3b−c
4 b
，则a
b的取值范围是（ ）
A．(❑√3,2)
B．(1,❑√3)
C．(❑√2,2)
D．(❑√2,❑√3)
【答案】D
【解题思路】sin A
2 = ❑√
3b−c
4 b
→
二倍角公式
两边同时平方
cos A = c−b
2b
→
正弦定理
2sin Bcos A =sinC −sin B→sin B =sin( A −B)→A =2B
→B∈(
π
6 ,π
4 )→cosB∈(
❑√2
2 ,
❑√3
2 )→a
b 的取值范围.
【解答过程】因为sin A
2 = ❑√
3b−c
4 b
，所以cos A =1−2sin
2 A
2 = c−b
2b ，
由正弦定理得cos A =sinC −sin B
2sin B
，即2sin Bcos A =sinC −sin B，
又C =π−( A + B)，所以2sin Bcos A =sinC −sin B =sin( A + B)−sin B，
所以sin A cosB−cos A sin B =sin B，即sin B =sin( A −B)，
所以B = A −B或B+ A −B =π（舍去），
所以A =2B∈(0,π
2 )，又A + B =3 B∈(
π
2 ,π)，解得B∈(
π
6 ,π
4 )，
所以cosB∈(
❑√2
2 ,
❑√3
2 )，所以a
b =sin A
sin B =sin2B
sin B
=2cosB∈(❑√2,❑√3)，
即a
b的取值范围为(❑√2,❑√3)．
故选:D．
【变式7-2】（2025·湖北武汉·模拟预测）已知a,b,c分别为锐角△ABC三个内角A ,B ,C的对边，且
acosC + ❑√3asinC −b−c =0.
(1)求A；
(2)若a=3；求△ABC周长的取值范围.
【答案】(1)π
3
(2)(3+3 ❑√3,9)
【解题思路】（1）由正弦定理边化角变形已知等式，再结合两角和的正弦，辅助角公式和诱导公式可
得；
（2）由正弦定理边化角和两角差的正弦得到b+c，再结合锐角范围和三角函数值域可得.
【解答过程】（1）∵acosC + ❑√3asinC −b−c =0.
∴由正弦定理得sin A cosC + ❑√3sin A sinC −sin B−sinC =0
在△ABC中，∵A + B+C =π,∴sin B =sin( A +C)=sin A cosC +cos A sinC
代入上式化简得：❑√3sin A sinC −cos A sinC −sinC =0
因为sinC ≠0，所以❑√3sin A −cos A =1，即2sin(A −π
6 )=1
∵A为锐角，∴A =π
3 .
（2）由正弦定理得2 R =
a
sin A =
c
sinC =
b
sin B =2❑√3,B+C = 2π
3
所以b+c =2 Rsin B+2 RsinC =2❑√3(sin B+sinC)=2❑√3[sin B+sin(
2π
3 −B))
=2❑√3(
3
2 sin B+
❑√3
2 cosB)=6sin(B+π
6 )，
∵△ABC是锐角三角形，∴0<B<π
2 ,0<C <π
2 ,0< 2π
3 −B<π
2 ，
∴π
6 <B<π
2 ,∴π
3 <B+π
6 < 2π
3 ，
即
❑√3
2 <sin(B+π
6 )≤1,∴3 ❑√3<b+c≤6,∴3+3 ❑√3<a+b+c≤9，
所以△ABC周长的取值范围为(3+3 ❑√3,9).
【变式7-3】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且
❑√3bcosB =acosC +ccos A．
(1)求tan B；
(2)若A ∈[
π
4 ,π
3 )，且a=1，求b+c的取值范围．
【答案】(1)❑√2
(2)[
❑√2+
❑√3
3 ,❑√3+
❑√6
3 )
【解题思路】（1）由正弦定理边化角结合两角和的正弦以及同角的三角函数关系可得；
（2）由正弦定理边化角结合两角和的正弦表示出b+c，再结合正弦和正切的单调性求解即可；
【解答过程】（1）由正弦定理可得
a
sin A =
b
sin B =
c
sinC ，
因为❑√3bcosB =acosC +ccos A，所以❑√3sin BcosB =sin A cosC +sinC cos A =sin ( A +C)=sin B
，
因为B∈(0,π)，所以sin B>0，
所以cos B =
❑√3
3 ，sin B =
❑√1−cos
2B =
❑√6
3 ，
所以tan B = sin B
cos B = ❑√2.
（2）由正弦定理可得b= asin B
sin A =
❑√6
3sin A ，
c = asinC
sin A = sinC
sin A = sin ( A + B)
sin A
= sin A cos B+cos A sin B
sin A
=
❑√6
3 tan A +
❑√3
3 ，
所以b+c =
❑√6
3sin A +
❑√6
3 tan A +
❑√3
3 ，
因为sin A ,tan A在A ∈[
π
4 ,π
3 )均为单调递增，
所以b+c =
❑√6
3sin A +
❑√6
3 tan A +
❑√3
3 在A ∈[
π
4 ,π
3 )为单调递减，
所以当A =π
4 时，最大值为
❑√3+
❑√6
3 ；所以当A =π
3 时，最小值为
❑√2+
❑√3
3 ；
所以b+c的取值范围为[
❑√2+
❑√3
3 ,❑√3+
❑√6
3 ).
【题型8 距离、高度、角度测量问题】
【例8】（2024·贵州·模拟预测）如图，甲秀楼位于贵州省贵阳市南明区甲秀路，是该市的标志性建筑之
一.甲秀楼始建于明朝，后楼毁重建，改名“凤来阁”，清代甲秀楼多次重修，并恢复原名、现存建筑是宣
统元年（1909 年）重建.甲秀楼上下三层，白石为栏，层层收进.某研究小组将测量甲秀楼最高点离地面的
高度，选取了与该楼底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD =23°，∠CDB =30°，
CD =11.2m，在C点测得甲秀楼顶端A的仰角为72.4°，则甲秀楼的高度约为（参考数据：
tan72.4°≈3.15，sin53°≈0.8）（ ）
A．20 m
B．21m
C．22m
D．23 m
【答案】C
【解题思路】利用正弦定理在△DBC中取得CB的长，根据正切函数的定，可得答案.
【解答过程】由题意可知，∠BCD =23°，∠CDB =30°，所以∠CBD =127°，又因CD =11.2m，
由正弦定理
CD
sin∠CBD =
CB
sin∠CDB ，可得：
11.2
sin127° =
CB
sin30° ，解得CB =7 m，
又因为∠ACB =72.4°，所以AB = BC tan∠ACB =7×3.15=22.05≈22m，
故选:C.
【变式8-1】（2025·安徽黄山·二模）如图1，为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B
两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内，其平面图形如图2 所示．已知∠ABM =30
∘，
∠BAN = 45
∘，∠MAN =60
∘，∠MBN =90
∘，AB =2❑√5，则MN =（ ）
A．5(❑√3−1)
B．5 ❑√2
C．5(❑√3+1)
D．10
【答案】C
【解题思路】由二倍角余弦公式得sin15
∘=
❑√
1−cos30
∘
2
=
❑√6−❑√2
4
，应用正弦定理求出AM , AN，再应
用余弦定理求距离.
【解答过程】由题设∠BAM =105
∘，∠ABM =30
∘，则∠AMB= 45
∘，而AB =2❑√5，
所以
AB
sin ∠AMB =
AM
sin ∠ABM ，则AM = ABsin ∠ABM
sin ∠AMB
=
2❑√5× 1
2
❑√2
2
= ❑√10，
由∠ABN =120
∘，∠BAN = 45
∘，则∠ANB =15
∘，而AB =2❑√5，
又sin15
∘=
❑√
1−cos30
∘
2
= ❑√
8−4 ❑√3
16
=
❑√6−❑√2
4
，
所以
AB
sin ∠ANB =
AN
sin ∠ABN ，则AN = ABsin ∠ABN
sin ∠ANB
=
2❑√5×
❑√3
2
❑√6−❑√2
4
=3 ❑√10+ ❑√30，
由MN =
❑√A M
2+ A N
2−2 AM ⋅AN ⋅cos∠MAN =
❑√10+30(❑√3+1)
2−❑√10×(3 ❑√10+ ❑√30)
= ❑√100+50 ❑√3=5(❑√3+1).
故选：C.
【变式8-2】（2025·上海松江·二模）在定向越野活动中，测得甲在乙北偏东80
°的方向，甲乙两人间的距
离为2km，丙在乙北偏西40
°的方向，甲丙两人间的距离为❑√7km，则乙丙两人间的距离为 km.
【答案】1
【解题思路】根据题意画出示意图，利用余弦定理求解.
【解答过程】如图，在△ABC中，∠A =80
°+ 40
°=120
°，AB =2,BC = ❑√7.
由余弦定理BC
2= A B
2+ A C
2−2 AB⋅AC ⋅cos A，可得
7=2
2+ A C
2−2×2× AC ×cos120
°= 4 + A C
2−4 AC ×(−1
2)= A C
2+ 4+2 AC，
即A C
2+2 AC −3=0，
解得AC =1，即乙丙两人间的距离为1km.
故答案为：1.
【变式8-3】（2024·宁夏银川·三模）某同学为测量塔的高度AB，选取了与塔底B 在同一水平面内的两个
测量基点C与D，现测得∠BCD =15° ,∠BDC =135° ,CD =20m,在点C测得塔顶A 的仰角为60°，则塔
高AB =
m.
【答案】20 ❑√6
【解题思路】先在△BCD中，利用正弦定理求得BC，再在Rt△ABC中，由正切函数的定义即可求得AB
，由此解答即可.
【解答过程】因为在△BCD中，CD =20 m，∠BDC =135°，∠BCD =15°，
所以∠CBD =180°−135°−15° =30°，
由正弦定理得
CD
sin ∠CBD =
BC
sin ∠BDC ，即
20
1
2
= BC
❑√2
2
，解得BC =20 ❑√2m，
在Rt△ABC中，∠ACB =60°，所以AB = BC tan 60° =20 ❑√6 m，
故塔高AB =20 ❑√6 m.
故答案为：20 ❑√6.
【题型9 求解平面几何问题】
【例9】（2025·西藏拉萨·二模）如图，四边形ABCD中，AD⊥AC，AB⊥BC，∠ACD =∠ACB，
BD =CD，则cos∠BCD =（ ）
A．
❑√3
3
B．1
3
C．2
3
D．1
2
【答案】B
【解题思路】由锐角三角函数可得AC =acosθ ,BC =acos
2θ，再由余弦定理及降幂公式即可求解.
【解答过程】设CD = BD =a，∠ACD =∠ACB =θ，则AC =acosθ ,BC =acos
2θ，
由余弦定理可得cos∠BCD =cos2θ = a
2+a
2cos
4θ−a
2
2a⋅acos
2θ
= 1
2 cos
2θ，
所以cos2θ = 1
2 ⋅1+cos2θ
2
，解得cos2θ = 1
3．
故选：B．
【变式9-1】（2025·辽宁·三模）如图，在四边形ABCD中，AC ⊥BC , AB = 4 ,BC =CD ,∠ACD =60
∘
，则AD的最小值为（ ）
A．2
B．❑√6
C．2❑√2
D．2❑√3
【答案】C
【解题思路】设∠BAC =α ∈(0,π
2 )，再利用三角函数表示AC，CD，再在△ACD中利用余弦定理求
出AD，最后求三角函数的最值即可.
【解答过程】设∠BAC =α ∈(0,π
2 )，则AC = 4cosα，CD = BC = 4sinα，
则在△ACD中利用余弦定理得AD =
❑√A C
2+C D
2−2 AC ⋅CDcos60
∘= ❑√16−8sin2α，
当sin2α =1，即α =π
4 时，AD取得最小值2❑√2.
故选：C.
【变式9-2】（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，
A =π
6 , AB =3, AD =3 ❑√3,CD = ❑√3,∠C =2∠CBD.
(1)求BD的长；
(2)求四边形ABCD的面积.
【答案】(1)3
(2)15 ❑√3
4
【解题思路】（1）利用余弦定理直接求解即可.
（2）利用正弦定理，结合二倍角的正弦公式求出∠BDC =π
2 ，再利用三角形面积公式求解.
【解答过程】（1）在△ABD中，由余弦定理得B D
2= A B
2+ A D
2−2 AB⋅ADcos A，
即B D
2=9+27−2×3×3 ❑√3×
❑√3
2 =9，所以BD =3.
（2）在△BCD中，由正弦定理，得sinC
sin∠CBD = BD
CD = ❑√3，则sinC = ❑√3sin∠CBD.
而∠C =2∠CBD，于是❑√3sin∠CBD =sin2∠CBD =2sin ∠CBD cos∠CBD，
又∠CBD∈(0,π)，则sin ∠CBD>0，cos∠CBD =
❑√3
2 ，∠CBD =π
6 ，
因此∠C =2∠CBD =π
3 ,∠BDC =π
2 ，
所以四边形ABCD的面积
S = 1
2 AB⋅AD⋅sin A + 1
2 BD⋅CD = 1
2 ×3×3 ❑√3× 1
2 + 1
2 ×❑√3×3= 15 ❑√3
4
.
【变式9-3】（2025·山东·模拟预测）在四边形ABCD中，A B
2= BC
2+ A C
2−AC ⋅BC，
❑√2 AB = ❑√3 BC，AC =3+ ❑√3，∠BAC +∠ACD =∠ACB+∠CAD =π
2 ．
(1)求△ABC的周长
(2)求四边形ABCD的面积．
【答案】(1)3+3 ❑√2+3 ❑√3
(2)6+3 ❑√3
【解题思路】（1）由余弦定理结合∠ACB的取值范围可得出角∠ACB的值，结合❑√2 AB = ❑√3 BC及正弦
定理可求得∠BAC的值，然后利用正弦定理可求得BC、AB的长，即可得出△ABC的周长；
（2）根据已知条件分析可知四边形ABCD为等腰梯形，AC ⊥BD，即可得出梯形ABCD的面积.
【解答过程】（1）因为A B
2= BC
2+ A C
2−2 AC ⋅BC cos∠ACB = BC
2+ A C
2−AC ⋅BC，
所以cos∠ACB = 1
2 因为∠ACB∈(0,π)，所以∠ACB =π
3 ．
又因为❑√2 AB = ❑√3 BC，所以❑√2sin∠ACB = ❑√3sin∠BAC，
所以sin∠BAC =
❑√2
❑√3 sin ∠ACB =
❑√2
❑√3 ×
❑√3
2 =
❑√2
2 ，
因为BC =
❑√2
❑√3 AB< AB，故∠BAC <∠ACB，所以∠BAC =π
4 ，∠ABC = 5π
12 ，
且sin ∠ABC =sin 5π
12 =sin(
π
4 +π
6 )=sinπ
4 cosπ
6 +cosπ
4 sinπ
6
=
❑√2
2 × 1
2 +
❑√2
2 ×
❑√3
2 =
❑√2+ ❑√6
4
，
由正弦定理
AC
sin∠ABC =
BC
sin∠BAC ，所以
3+ ❑√3
❑√6+ ❑√2
4
= BC
❑√2
2
，
则BC = 3 ❑√2+ ❑√6
2
×
4
❑√6+ ❑√2 =
❑√3(❑√6+ ❑√2)
2
×
4
❑√6+ ❑√2 =2❑√3，
故AB =
❑√3
❑√2 BC =
❑√3
❑√2 ×2❑√3=3 ❑√2，
所以△ABC的周长为AB+ AC + BC =3+3 ❑√2+3 ❑√3.
（2）连接BD，
因为∠BAC +∠ACD =∠ACB+∠CAD =π
2 ，∠BAC =π
4 ，∠ACB =π
3 ，
所以∠ACD =π
4 ，∠CAD =π
6 ，所以CD // AB，且∠DAB =∠CBA = 5π
12 ，
所以四边形ABCD为等腰梯形，所以，∠BDC =∠ACD =π
4 ，
则BD = AC =3+ ❑√3，
又因为∠ACD +∠BDC =π
2 ，即BD⊥AC，设AC ∩BD =O，
所以四边形ABCD的面积S = S△ABD+ S△BCD= 1
2 BD⋅(OA +OC)= 1
2 BD⋅AC
= 1
2 (3+ ❑√3)
2=6+3 ❑√3.
【题型10 解三角形与三角函数的交汇问题】
【例10】（2025·湖南永州·模拟预测）在△ABC中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，c =1，
asin A −sinC
a−b
=sin( A +C )，a≠b.
(1)求△ABC的外接圆半径；
(2)若△ABC为锐角三角形，求△ABC周长的取值范围.
【答案】(1)
❑√3
3
(2)(1+ ❑√3,3)
【解题思路】（1）根据正弦定理边角互化可得a
2+b
2−c
2=ab，即可由余弦定理求解，
（2）根据正弦定理以及三角恒等变换可得b+a=2sin(B+π
6 )，即可利用三角形的边角关系求解.
【解答过程】（1）由asin A −sinC
a−b
=sin( A +C )可得asin A −sinC
a−b
=sin( A +C )=sin B⇒a
2−c
a−b =b，
故a
2+b
2−c =ab，由于c =1，故a
2+b
2−c
2=ab
由余弦定理得cosC = a
2+b
2−c
2
2ab
= 1
2
由于C ∈(0,π)，所以C =π
3
，
sinC =
❑√3
2 ，根据2 R =
c
sinC 解得R =
❑√3
3 ，
所以△ABC的外接圆半径为
❑√3
3 .
（2）由（1）知，C =π
3
，B+ A =2π
3
，B≠π
3
，
由正弦定理有
c
sinC =
a
sin A =
b
sin B = 1
❑√3
2
= 2❑√3
3
，
所以b+a= 2❑√3
3
sin B+ 2❑√3
3
sin A = 2❑√3
3
sin B+ 2❑√3
3
sin(
π
3
+ B)
= 2❑√3
3
sin B+ 2❑√3
3 (
❑√3
2 cosB+ 1
2 sin B) = ❑√3sin B+cosB =2sin(B+π
6 )，
因为△ABC为锐角三角形，所以{
0<B<π
2
0<2π
3
−B<π
2
B≠π
3
)
，解得B∈(
π
6 ,π
3 )∪(
π
3
,π
2 ) ，
所以B+π
6 ∈(
π
3 ,π
2 )∪(
π
2
,2π
3 )，则2sin(B+π
6 )∈(❑√3,2)，
所以❑√3<b+a<2，则1+ ❑√3<a+b+c<3.
所以△ABC周长的取值范围为(1+ ❑√3,3).
【变式10-1】（2025·河北·模拟预测）在△ABC中，内角A ,B ,C的对边分别为
a,b,c ,asin A −csinC =(❑√2a−b)sin B.
(1)求C；
(2)若c = ❑√2，求
❑√6−❑√2
2
a+b的取值范围.
注：sin 11π
12 =
❑√6−❑√2
4
.
【答案】(1)C =π
4
(2)(❑√3−1,2❑√2)
【解题思路】（1）根据正弦定理边角互化，结合余弦定理即可求解，
（2）根据正弦定理可得a=2sin A ,b=2sin B，即可根据三角恒等变换，结合三角函数的性质求解.
【解答过程】（1）因为asin A −csinC =(❑√2a−b)sin B，
所以asin A +bsin B−csinC = ❑√2asin B，
由正弦定理得a
2+b
2−c
2= ❑√2ab，
所以cosC = a
2+b
2−c
2
2ab
=
❑√2
2 ，
因为C ∈(0,π)，所以C =π
4 .
（2）因为c = ❑√2，
所以a=
c
sinC ⋅sin A =2sin A ,b=
c
sinC ⋅sin B =2sin B，
所以
❑√6−❑√2
2
a+b=(❑√6−❑√2)sin A +2sin B
=(❑√6−❑√2)sin A +2sin(
π
4 + A)
= ❑√6sin A + ❑√2cos A =2❑√2sin(A +π
6 )，
因为A ∈(0, 3π
4 ).所以A +π
6 ∈(
π
6 , 11π
12 )，
所以2❑√2sin 11π
12 <2❑√2sin(A +π
6 )≤2❑√2，
即
❑√3−1<
❑√6−❑√2
2
a+b≤2❑√2，
即
❑√6−❑√2
2
a+b的取值范围为(❑√3−1,2❑√2).
【变式10-2】（24-25 高一下·四川巴中·期末）已知函数f ( x)=2sin(ωx +φ)(ω>0,−π
2 <φ< π
2)的部分图
象如图所示．
（1）求函数f ( x)的解析式；
（2）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f ( A )= ❑√3，b=2，且△ABC的面积为
3 ❑√3
2
，求a．
【答案】（1）f ( x)=2sin(2 x−π
3)；（2）a= ❑√7.
【解题思路】（1）根据图形求出最小正周期可求得ω=2，代入点(
5 π
12 ,2)可求得φ；
（2）根据f ( A )= ❑√3求得A = π
3 ，根据面积求出c，即可由余弦定理求得a.
【解答过程】解：（1）据图象可得3T
4 = 5 π
12 −(−π
3)= 3 π
4 ，故T = π，
由T = 2π
ω = π得：ω=2．
由f(
5 π
12)=2sin(2× 5 π
12 +φ)=2得：sin(
5 π
6 +φ)=1．
由−π
2 <φ< π
2 知，π
3 < 5 π
6 +φ< 4 π
3 ，
∴5 π
6 +φ= π
2 ，解得φ=−π
3 ，
∴f ( x)=2sin(2 x−π
3)；
（2）∵f ( A )=2sin(2 A −π
3)= ❑√3，∴sin(2 A −π
3)=
❑√3
2 ，
∵A ∈(0, π
2 )，2 A −π
3 ∈(−π
3 , 2π
3 )，
∴2 A −π
3 = π
3 ，∴A = π
3 ，
由题意得△ABC的面积为1
2 ×2×c×sin π
3 = 3 ❑√3
2
，解得c =3，
由余弦定理得a
2=b
2+c
2−2bc cos A =2
2+3
2−2×2×3cos π
3 =7，解得：a= ❑√7.
【变式10-3】（2025·福建漳州·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，∠DAB =π
2 ，B =π
6 ，且△ABC
的外接圆半径为4.
(1)若BC = 4 ❑√2，AD =2❑√2，求△ACD的面积；
(2)若D = 2π
3 ，求BC −AD的最大值.
【答案】(1)4；
(2)8 ❑√3
3
.
【解题思路】（1）在三角形ABC中，根据正弦定理求得AC ,∠CAB，再在三角形ADC中，利用三角形
面积公式即可求得结果；
（2）设∠DAC =θ，在三角形ADC , ABC中分别用正弦定理表示BC , AD，从而建立BC −AD关于θ的
三角函数，进而求三角函数的最大值，即可求得结果.
【解答过程】（1）因为B =π
6 ，△ABC的外接圆半径为4，所以AC
sin B =8，解得AC = 4.
在△ABC中，BC = 4 ❑√2，则
BC
sin ∠CAB =
4 ❑√2
sin ∠CAB =8，解得sin ∠CAB =
❑√2
2 .
又∠CAB∈(0,π
2 )，所以∠CAB =π
4 ；
在△ACD中，AC = 4，∠DAC =π
2 −∠CAB =π
4 ，AD =2❑√2，
所以S Δ ACD= 1
2 ×4×2❑√2×
❑√2
2 = 4.
（2）设∠DAC =θ，θ∈(0,π
3 ).
又D = 2π
3 ，所以∠ACD =π
3 −θ.
因为∠DAB =π
2 ，所以∠CAB =π
2 −θ.
在△DAC中，AC = 4，由正弦定理得AC
sin D =
AD
sin∠ACD ，
即
4
❑√3
2
=
AD
sin( π
3 −θ)，解得AD = 8 ❑√3
3
sin(
π
3 −θ)= 8 ❑√3
3 (
❑√3
2 cosθ−1
2 sinθ)
= 4 cosθ−4 ❑√3
3
sinθ.
在△ABC中，AC = 4，由正弦定理得AC
sin B =
BC
sin ∠CAB ，
即
4
1
2
=
BC
sin( π
2 −θ)，解得BC =8sin(
π
2 −θ)=8cosθ，
所以BC −AD = 4(cosθ+
❑√3
3 sinθ) = 8 ❑√3
3
sin(θ+π
3 ).
又θ∈(0,π
3 )，所以θ+π
3 ∈(
π
3 , 2π
3 )，
当且仅当θ+π
3 =π
2 ，即θ =π
6 时，sin(θ+π
3 )取得最大值1，
所以BC −AD的最大值为8 ❑√3
3
.
一、单选题
1．（2025·天津红桥·模拟预测）在△ABC中，若AC =1，AB = ❑√2，cos A =−
❑√2
4 ，则BC的长度为
（ ）
A．2
B．4
C．❑√3
D．2❑√3
【答案】A
【解题思路】利用余弦定理即可求解.
【解答过程】由余弦定理得：BC
2=1+2−2×1×❑√2×(−
❑√2
4 )= 4，
所以BC =2，
故选：A.
2．（2025·云南玉溪·模拟预测）在△ABC中，D是边BC上的点，且AC =CD , AB =2 AC = ❑√3 AD，则
sin B =（ ）
A．
❑√2
3
B．
❑√3
3
C．
❑√6
6
D．
❑√3
6
【答案】A
【解题思路】设AD =2a，在△ACD中，由余弦定理求出cosC，利用平方关系求出sinC，在△ABC中再
由正弦定理可得答案.
【解答过程】设AD =2a，则AB =2❑√3a，CD = AC = ❑√3a，
在△ACD中，由余弦定理得cosC = C D
2+ A C
2−A D
2
2CD⋅AC
= 3a
2+3a
2−4 a
2
6a
2
= 1
3，
因为0<C <π，所以sinC >0，sinC =
❑√1−cos
2C = 2❑√2
3
，
在△ABC中，由正弦定理得AC
sin B = AB
sinC ，即sin B = AC ×sinC
AB
=
❑√3a× 2❑√2
3
2❑√3a
=
❑√2
3
.
故选：A.
3．（2025·湖南邵阳·三模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知4 a= ❑√5c，
cosC = 3
5，且b=22，则此△ABC的面积为（ ）
A．176
B．88
C．44
D．22
【答案】B
【解题思路】根据已知及正弦定理得sinC = 4
5 、sin A =
❑√5
5 、cos A = 2❑√5
5
，再由三角形内角的性质及和
角正弦公式得sin B = 11❑√5
25
，根据正弦定理得a=10，最后应用三角形面积公式求面积.
【解答过程】由a=
❑√5
4 c<c，则A <C，易知A为锐角，
由正弦定理知sin A =
❑√5
4 sinC，而cosC = 3
5，即0<C <π
2 ，故sinC = 4
5 ，
所以sin A =
❑√5
5 ，故cos A = 2❑√5
5
，
由sin B =sin(π−A −C )=sin( A +C )=sin A cosC +cos A sinC = 11❑√5
25
，
由正弦定理知22
sin B =
a
sin A ，可得a=10，故S△ABC = 1
2 absinC = 1
2 ×10×22× 4
5 =88.
故选：B.
4．（2025·四川达州·模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.下列条件中能使
△ABC唯一确定的是（ ）
A．A = 45°，B =60°，C =75°
B．b=3，c = 4，B =30°
C．b= ❑√3，c =2，B =60°
D．b=12，c =12，C =120°
【答案】C
【解题思路】对于AD：根据三角形的性质直接判断即可；对于BC：利用正弦定理的结论直接判断即可.
【解答过程】对于选项A：因为三个内角确定，但三边不确定，可知△ABC不能确定，故A 错误；
对于选项B：因为c sin B =2，可知c sin B<b<c，
所以满足条件的△ABC有2 个，故B 错误；
对于选项C：因为b=c sin B = ❑√3，所以满足条件的△ABC有1 个，故C 正确；
对于选项D：因为C =120°为最大角，但b=c =12，不满足大角对大边，
所以△ABC不存在，故D 错误；
故选：C.
5．（2025·内蒙古赤峰·三模）在△ABC中，角A，B，C 的对边分别是a，b，c，且b+c = 4
3 a，cos B = 1
6
，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．不确定的
【答案】A
【解题思路】根据b+c = 4
3 a，cos B = 1
6，利用余弦定理得到a+c = 4
3 b，再结合b+c = 4
3 a判断.
【解答过程】由余弦定理可得cos B = a
2+c
2−b
2
2ac
=
a
2+ 4
3 a(c−b)
2ac
= 1
6
，
则a+c = 4
3 b.
因为b+c = 4
3 a，所以a=b=3c，所以△ABC是等腰三角形.
故选：A.
6．（2025·安徽蚌埠·三模）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了“勾股圆方图”，后人称其为
“赵爽弦图”．类比“赵爽弦图”，用3 个全等的小三角形拼成了如图所示的等边△ABC，若DF =2，
sin ∠BAD = 3 ❑√3
14 ．则BD =（ ）
A．3
B．2
C．❑√3
D．❑√2
【答案】A
【解题思路】由题意可得△≝¿是等边三角形，设AF = DB =t(t >0)，利用正弦定理可求得AB = 7
3 t，进而
利用余弦定理可求得t的值.
【解答过程】由△ACF ≅△ABD≅△BCE知∠ACF =∠BAD =∠CBE，
所以△≝¿为正三角形，∠AFC =120
∘
∵sin ∠BAD = 3 ❑√3
14 ，
设AF = DB =t(t >0)，则AD =2+t
由正弦定理：
BD
sin ∠BAD =
AB
sin ∠ADB ，即
t
3 ❑√3
14
= AB
❑√3
2
，则AB = 7
3 t
在△ABD中，A B
2= A D
2+ B D
2−2 AD⋅BD⋅cos∠ADB
即49
9 t
2=t
2+(2+t )
2−2t (2+t )×(−1
2)，则t =3，即DB =3．
故选：A.
7．（2025·云南昆明·一模）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测
量基点C与D.现测得∠BCD =75°，∠BDC = 45°，CD =30米，在点C测得塔顶A的仰角∠ACB =60°
，则塔高AB约为（ ）（单位：米，❑√2≈1.414）
A．30.42
B．42.42
C．50.42
D．60.42
【答案】B
【解题思路】在△BCD中，由正弦定理求出BC，进而在△ABC中求得答案即可.
【解答过程】由题意，在△BCD中，∠CBD =180°−75°−45° =60°，
由正弦定理可知
30
sin 60° =
BC
sin 45° ⇒30
❑√3
2
= BC
❑√2
2
⇒BC =10 ❑√6
.
在△ABC中，易知AB⊥BC ,∠ACB =60°，
于是AB = BC ×tan 60° =10 ❑√6×❑√3=30 ❑√2≈42.42.
故选：B.
8．（2024·全国·模拟预测）已知△ABC是锐角三角形，内角A，B，C 所对应的边分别为a，b，c．若
a
2−b
2=bc，则b
a+c 的取值范围是（ ）
A．(
❑√3
3 ,
❑√2
2 )
B．(2−❑√3,1)
C．(2−❑√3,❑√2−1)
D．(❑√2+1,❑√3+2)
【答案】C
【解题思路】由余弦定理和正弦定理，结合正弦和角公式得到sin B =sin( A −B)，结合△ABC为锐角三
角形，得到A =2B，故π
6 <B<π
4 ，再利用正弦定理得到b
a+c =
1
4 cos
2B+2cos B−1，求出取值范围即
可.
【解答过程】因为a
2−b
2=bc，得a
2=b
2+bc．
由余弦定理得a
2=b
2+c
2−2bc cos A，
所以b
2+bc =b
2+c
2−2bc cos A，即b=c−2bcos A．
由正弦定理得sin B =sinC −2sin Bcos A，
因为C =π−( A + B)，则sinC =sin( A + B)=sin A cos B+cos A sin B，
所以sin B =sin A cos B−cos A sin B，即sin B =sin( A −B)．
因为△ABC是锐角三角形，所以0< A <π
2 ，0<B<π
2 ，所以−π
2 < A −B<π
2 ．
又y =sin x在(−π
2 ,π
2 )上单调递增，所以B = A −B，则A =2B．
因为△ABC是锐角三角形，所以0<B<π
2 ，0< A =2B<π
2 ，0<C =π−3 B<π
2 ，
所以π
6 <B<π
4 ，
由正弦定理得b
a+c =
sin B
sin A +sinC =
sin B
sin 2B+sin(π−3 B) =
sin B
sin 2B+sin3 B
=
sin B
sin 2B+sin 2Bcos B+cos2Bsin B =
1
2cos B+2cos
2B+2cos
2B−1
=
1
4 cos
2B+2cos B−1，
令cos B =t，因为π
6 <B<π
4 ，所以t ∈(
❑√2
2 ,
❑√3
2 )．
y = 4 t
2+2t −1= 4(t + 1
4)
2
−5
4 在t ∈(
❑√2
2 ,
❑√3
2 )上单调递增，
当t =
❑√2
2 时，y =1+ ❑√2，当t =
❑√3
2 时，y =2+ ❑√3，
故b
a+c =
1
4t
2+2t −1
∈(
1
2+ ❑√3 ,
1
1+ ❑√2)=(2−❑√3,❑√2−1)
故选：C．
二、多选题
9．（2025·甘肃金昌·三模）在△ABC中，AB = ❑√7，AC =1，M 为BC 的中点，∠MAC =60°，则下列说
法正确的是（ ）
A．AM = 3
2
B．BC = 4
C．cos B = 13
14
D．C 为钝角
【答案】AC
【解题思路】设BM =CM = x , AM = y，应用余弦定理及cos∠AMB =−cos∠AMC得x
2+ y
2= 4，且
1
2 = 1+ y
2−x
2
2 y
，求得x =
❑√7
2 , y = 3
2
，进而依次判断各项的正误.
【解答过程】在△ABM和△ACM中，设BM =CM = x , AM = y，则cos∠AMB = x
2+ y
2−7
2 xy
，
cos∠AMC = x
2+ y
2−1
2 xy
，
又因为cos∠AMB =−cos∠AMC，可得x
2+ y
2−7
2 xy
=−x
2+ y
2−1
2 xy
，化简为x
2+ y
2= 4①，
在△ACM中，cos60° = 1
2 = 1+ y
2−x
2
2 y
②，
由①②，可得x =
❑√7
2 , y = 3
2，因此AM = 3
2，BC = ❑√7，
在△ABC中，cos B = 7+7−1
2×7
= 13
14 ，又cosC = 1+7−7
2×1×❑√7 =
❑√7
14 >0，所以C 为锐角.
故选：AC.
10．（2025·河北·模拟预测）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a、b、c.若b= 4，∠C =π
3 ，则
（ ）
A．c = ❑√3时，△ABC只存在一个
B．c =2❑√3时，△ABC的面积为2❑√3
C．c =3 ❑√3时，△ABC是锐角三角形
D．c = 4 ❑√3时，△ABC外接圆周长为16π
【答案】BC
【解题思路】对于A，由正弦定理即可判断；对于B，由余弦定理得a=2，再结合三角形面积公式即可求
解；对于C，由正弦定理得sin B = 2
3 <sinC =
❑√3
2 ，B也是锐角，进一步有cosC = 1
2 ,cos B =
❑√5
3 ，结合诱
导公式、两角和的余弦公式即可判断；对于D，由正弦定理即可判断.
【解答过程】对于A，由正弦定理有
c
sinC =
b
sin B ，即
❑√3
❑√3
2
=
4
sin B ，解得sin B =2，此时△ABC不存在；
对于B，由余弦定理有c
2=a
2+b
2−2abcosC，即12=a
2+16−2⋅a⋅4⋅1
2，
即(a−2)
2=0，解得a=2，此时△ABC的面积为1
2 absinC = 1
2 ×2×4×
❑√3
2 =2❑√3，故B 正确；
对于C，由正弦定理有
c
sinC =
b
sin B ，即
3 ❑√3
❑√3
2
=
4
sin B ，解得sin B = 2
3 <sinC =
❑√3
2 ，
因为c =3 ❑√3>b= 4，所以B也是锐角，所以cosC = 1
2 ,cos B =
❑√5
3 ，
所以cos A =−cos(B+C)=sin BsinC −cos BcosC = 2
3 ×
❑√3
2 −1
2 ×
❑√5
3 = 2❑√3−❑√5
6
>0，
所以A也是锐角，所以△ABC是锐角三角形，故C 正确；
对于D，由正弦定理有
c
sinC = 4 ❑√3
❑√3
2
=8=2 R，△ABC外接圆周长为2π R =8π，故D 错误.
故选：BC.
11．（2025·河北邢台·三模）△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则下列说法正确的有
（ ）
A．若a
2+b
2<c
2，则△ABC是钝角三角形
B．若a= ❑√13，b=3，A =π
3 ，则△ABC的周长为7+ ❑√13
C．若A =π
6 ，b
2+c
2−16= ❑√3bc，则△ABC面积的最大值为4+2❑√3
D．若c =2，b=3，A =π
3 ，则BC边上的中线长为
❑√7
2
【答案】AB
【解题思路】由余弦定理得cosC <0，得到△ABC是钝角三角形，可判定A 正确；由余弦定理，列出方
程，求得c = 4，可判定B 正确；由余弦定理和基本不等式，求得bc≤16(2+ ❑√3)，得到△ABC面积的最
大值，可判定C 错误；设BC边上的中线为AD，则2⃗AD =⃗AB+⃗AC，结合向量的运算法则，求得BC边上
的中线长，可判定D 错误.
【解答过程】对于A 中，由余弦定理得cosC = a
2+b
2−c
2
2ab
<0，因为0<C <π，所以∠C为钝角，
所以△ABC是钝角三角形，故A 正确；
对于B 中，由a
2=b
2+c
2−2bc cos A =9+c
2−2×3c cosπ
3 =13，可得c
2−3c−4 =0，
解得c = 4或c =−1（舍去），所以△ABC的周长为7+ ❑√13，所以B 正确；
对于C 中，因为b
2+c
2−16= ❑√3bc≥2bc−16，所以bc≤16(2+ ❑√3)，
当且仅当b=c =2❑√2+2❑√6时取等号，所以S△ABC = 1
2 bc sin A = 1
4 bc≤8+ 4 ❑√3，
所以△ABC面积的最大值为8+ 4 ❑√3，所以C 错误；
对于D 中，设BC边上的中线为AD，则2⃗AD =⃗AB+⃗AC，
两边平方可得4⃗AD
2=⃗AB
2+⃗AC
2+2⃗AB⋅⃗AC =2
2+3
2+2×2×3× 1
2，解得|⃗AD|=
❑√19
2
，所以D 错误.
故选：AB.
三、填空题
12．（2025·安徽合肥·模拟预测）在△ABC中，AB =1, AC =2,cos B+sinC =1，则BC边的长为
.
【答案】3+2❑√21
5
【解题思路】由正弦定理、平方关系及已知得cos B =1−sinC、(2sinC )
2+(1−sinC )
2=1，则有
sinC = 2
5 ,cos B = 3
5，再由余弦定理列方程求BC.
【解答过程】由正弦定理可知：AB
sinC = AC
sin B ，所以sin B =2sinC，又cos B =1−sinC，
所以sin
2B+cos
2B =(2sinC )
2+(1−sinC )
2=1，
又C ∈(0,π )，所以sinC >0，
故sinC = 2
5 ,cos B = 3
5，
由余弦定理可得：cos B = A B
2+ BC
2−A C
2
2 AB⋅BC
= 1+ BC
2−4
2BC
= 3
5，则BC = 3+2❑√21
5
（负值舍）.
故答案为：3+2❑√21
5
.
13．（2025·上海黄浦·三模）三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示
意图，现有A、B、C 三点，且A、B、C 在同一水平面上的投影A
′、B
′、C
′满足∠A
′C
′ B
′ = 45°，
∠A
′ B
′C
′ =60°．由C 点测得B 点的仰角为15°，B B
′与C C
′的差为100；由B 点测得A 点的仰角为45°，
则A、C 两点到水平面的高度差约为 ．（精确到1）
【答案】373
【解题思路】过C 作CH ⊥B B
′，过B 作BD⊥A A
′，进而A A
′−C C
′ = AD +100，易知
AD = DB = A
′ B
′，在△BCH中，求得CH =
100
tan15
° ，进而C
′ B
′ =
100
tan15
° ，在△A
′C
′ B
′中，用正弦定理即
可求得A
′ B
′的长，进而可知A A
′−C C
′的长.
【解答过程】如图，过C 作CH ⊥B B
′，过B 作BD⊥A A
′，
故A A
′−C C
′ = A A
′−(B B
′−BH )= A A
′−B B
′ +100= AD +100，
由题易知△ADB为等腰直角三角形，所以AD = DB．
所以A A
′−C C
′ = AD+100= DB+100= A
′ B
′ +100.
因为∠BCH =15
°，所以CH =C
′ B
′ =
100
tan15
° .
在△A
′C
′ B
′中，由正弦定理得，
A
′ B
′
sin 45
° = C
′ B
′
sin75
° =
100
tan15
°cos15
° = 100
sin15
° ，
而sin15
°=sin(45
°−30
°)=
❑√2
2 ×
❑√3
2 −
❑√2
2 × 1
2 =
❑√6−❑√2
4
，
所以A
′ B
′ =
100×4×
❑√2
2
❑√6−❑√2
=100(❑√3+1)≈273，
所以A A
′−C C
′ = A
′ B
′ +100≈373.
故答案为：373.
14．（2025·福建厦门·三模）锐角△ABC中，角A ,B ,C所对应的边分别为a,b,c，满足a
2=b(b+c)，
a+b=3，则△ABC的周长的取值范围为
.
【答案】(3 ❑√2,3 ❑√3)
【解题思路】由题意得A =2B，结合正弦定理得a+b+c =3+ 12cos
2B−3
2cos B+1 ，根据△ABC是锐角三角形求
出cos B的取值范围，通过换元法即可求解.
【解答过程】因为a
2=b(b+c)，a
2=b
2+c
2−2bc cos A，所以bc =c
2−2bc cos A，故b=c−2bcos A，
所以sin B =sinC −2sin Bcos A =sin ( A + B)−2sin Bcos A =sin A cos B−sin Bcos A，
即sin B =sin ( A −B)，
因为A ,B∈(0,π)，所以A −B∈(−π,π)，sin B =sin ( A −B)>0，
所以A −B∈(0,π)，故B = A −B或B+ A −B =π（舍），即A =2B，
由正弦定理可得
a+b
sin A +sin B =
3
sin A +sin B =
c
sinC ，
所以a+b+c =3+
3sinC
sin A +sin B =3+ 3sin ( A + B)
sin A +sin B =3+ 3(sin A cos B+cos A sin B)
sin A +sin B
=3+ 3(sin 2Bcos B+cos2Bsin B)
sin 2B+sin B
=3+ 6sin Bcos
2B+3(2cos
2B−1)sin B
2sin Bcos B+sin B
=3+ 12cos
2B−3
2cos B+1
，
因为△ABC是锐角三角形，所以{
0<B<π
2
0<2B<π
2
0<C =π−3 B<π
2)
，解得π
6 <B<π
4 ，
令t =2cos B+1∈(❑√2+1,❑√3+1)，
则a+b+c =3+ 12cos
2B−3
2cos B+1 =3+
12(
t −1
2 )
2
−3
t
=3+3t −6=3t −3∈(3 ❑√2,3 ❑√3)，
所以△ABC的周长的取值范围为(3 ❑√2,3 ❑√3).
故答案为：(3 ❑√2,3 ❑√3).
四、解答题
15．（2025·江苏连云港·模拟预测）在△ABC中，点D在边AC上，∠ABD =π
2 ，∠DBC =π
6 ，AB =1
．
(1)若BC =2，求AD；
(2)若AD =2CD，求AD．
【答案】(1)
❑√7
2
(2)2
3
❑√3
【解题思路】（1）在△ABC中，利用余弦定理求得AC = ❑√7，从而得cos∠BAC，进而在Rt△ABC中，
可解AD；
（2）设CD =t，AD =2t，（t >0），借助直角三角形可sin∠CDB =sin∠ADB = AB
AD = 1
2t ，则利用正
弦定理求得BC =1，再用余弦定理求出AC，即可得解.
【解答过程】（1）在△ABC中，∠ABC = 2π
3 ，
由余弦定理，
A C
2= A B
2+ BC
2−2 AB⋅BC ⋅cos∠ABC =1
2+2
2−2×1×2cos 2π
3 =7，
得AC = ❑√7，
所以cos∠BAC = A B
2+ A C
2−BC
2
2 AB⋅AC
= 1+7−4
2×1×❑√7 = 2❑√7
7
．
所以在Rt△ABC中，AD =
AB
cos A =
1
2❑√7
7
=
❑√7
2 ．
（2）设CD =t，AD =2t，（t >0），在△BCD中，
由正弦定理得
CD
sin∠CBD =
BC
sin∠CDB ，又因为sin∠CDB =sin∠ADB = AB
AD = 1
2t ，
代入上式有：
t
sinπ
6
= BC
1
2t
，得BC =1．
由余弦定理得AC = ❑√1+1−2cos 2π
3 = ❑√3，
综上，AD = 2
3 AC = 2
3
❑√3．
16．（2025·天津·高考真题）在△ABC中，角A ,B ,C的对边分别为a,b,c．已知asin B = ❑√3bcos A，
c−2b=1，a= ❑√7．
(1)求A 的值；
(2)求c 的值；
(3)求sin( A +2B)的值．
【答案】(1)π
3
(2)3
(3)4 ❑√3
7
【解题思路】（1）由正弦定理化边为角再化简可求；
（2）由余弦定理，结合（1）结论与已知代入可得关于b的方程，求解可得b，进而求得c；
（3）利用正弦定理先求B，再由二倍角公式分别求sin 2B ,cos2B，由两角和的正弦可得.
【解答过程】（1）已知asin B = ❑√3bcos A，由正弦定理
a
sin A =
b
sin B ，
得asin B =bsin A = ❑√3bcos A，显然cos A ≠0，
得tan A = ❑√3，由0< A <π，
故A =π
3 ；
（2）由（1）知cos A = 1
2，且c =2b+1，a= ❑√7，
由余弦定理a
2=b
2+c
2−2bc cos A，
则7 =b
2+(2b+1)
2−2× 1
2 b(2b+1)=3b
2+3b+1，
解得b=1（b=−2舍去），
故c =3；
（3）由正弦定理
a
sin A =
b
sin B ，且b=1,a= ❑√7,sin A =
❑√3
2 ，
得sin B = bsin A
a
=
❑√21
14 ，且a>b，则B为锐角，
故cos B = 5
14
❑√7，故sin 2B =2sin Bcos B = 5 ❑√3
14 ，
且cos2B =1−2sin
2B =1−2×(
❑√21
14 )
2
= 11
14 ；
故sin( A +2B)=sin A cos2B+cos A sin 2B =
❑√3
2 × 11
14 + 1
2 × 5 ❑√3
14 = 4 ❑√3
7
.
17．（2025·全国·二模）△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c ,b= ❑√2asin(C +π
4 )
(1)求A；
(2)若a=1,△ABC的面积为❑√2，求△ABC的周长.
【答案】(1)A =π
4
(2)2+2❑√2
【解题思路】（1）根据正弦定理和两角和的正弦公式化简计算即可求解；
（2）根据三角形的面积公式求得bc = 4，结合余弦定理计算求得b+c =1+2❑√2，进而得出结果.
【解答过程】（1）由b= ❑√2asin(C +π
4 )得sin B = ❑√2sin A sin(C +π
4 )，
因为sin B =sin( A +C)=sin A cosC +cos A sinC ,
❑√2sin(C +π
4 )=sinC +cosC，
所以sin A cosC +cos A sinC =sin A (sinC +cosC)，即cos A sinC =sin A sinC，
因为C ∈(0,π)，所以sinC >0，所以cos A =sin A，
所以tan A =1，因为A ∈(0,π)，所以A =π
4 ；
（2）因为三角形的面积为❑√2，所以1
2 bcsin A = ❑√2，所以bc = 4，
由余弦定理知a
2=b
2+c
2−2bccos A，即b
2+c
2=1+ 4 ❑√2，
所以(b+c)
2=b
2+c
2+2bc =9+ 4 ❑√2=(1+2❑√2)
2，故b+c =1+2❑√2，
所以三角形的周长为a+b+c =2+2❑√2.
18．（2025·天津·二模）在△ABC中，内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，已知b=2acos(C −π
3 )．
(1)求A；
(2)若b=2❑√3c，且△ABC面积2❑√3，
（ⅰ）求a的值；
（ⅱ）求cos(2B−A)．
【答案】(1)π
6
(2)（ⅰ）2❑√7（ⅱ）−3 ❑√3
14
【解题思路】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得tan A =
❑√3
3 ，结合范围
A ∈(0,π)，可求A的值．
（2）（ⅰ）由已知利用三角形的面积公式可求c的值，进而可求b的值，根据余弦定理可得a的值；（ⅱ）
由余弦定理求得cos B，进而可得sin B，再根据两角差余弦及二倍角公式求解即可.
【解答过程】（1）因为b=2acos(C −π
3 )，
所以b=2a(cosC cos π
3 +sinC sin π
3)，可得：b=acosC + ❑√3asinC，
由正弦定理可得：sin B =sin A cosC + ❑√3sin A sinC，
可得：sin ( A +C)=sin A cosC +cos A sinC =sin A cosC + ❑√3sin A sinC，
因为C ∈(0,π)，所以sinC ≠0，
所以cos A = ❑√3sin A，即tan A =
❑√3
3 ，
因为A ∈(0,π)，所以A =π
6
（2）（ⅰ）因为b=2❑√3c，且S△ABC = 1
2 bc sin A =2❑√3，
解得：c =2，b= 4 ❑√3，
由余弦定理可得：a
2=b
2+c
2−2bccos A = 48+ 4−2×4 ❑√3×2×
❑√3
2 =28，解得：a=2❑√7 ；
（ⅱ）由余弦定理可得cos B = a
2+c
2−b
2
2ac
= 28+ 4−48
2×2❑√7×2 =−2❑√7
7
，
所以sin B =
❑√21
7
，cos2B =2cos
2B−1= 1
7 ，sin 2B =2sin Bcos B =−4 ❑√3
7
，
所以cos(2B−A)=cos2Bcos A +sin 2Bsin A = 1
7 ×
❑√3
2 −4 ❑√3
7
× 1
2 =−3 ❑√3
14 .
19．（2025·海南·模拟预测）在△ABC中，角A , B , C所对应的边分别为a, b, c且满足
c sin A
b−acosC = ❑√3
．
(1)求A的大小；
(2)角A的平分线AD与边BC相交于点D，且AD = ❑√3，求2b+3c的最小值．
【答案】(1)A =π
3
(2)5+2❑√6
【解题思路】（1）利用正弦定理以及两角和差的正弦公式化简即可；
（2）根据S△ABC = S△ABD+ S△ACD得出1
b + 1
c =1，再结合基本不等式即可求解.
【解答过程】（1）由
c sin A
b−acosC = ❑√3得❑√3b−❑√3a cosC =c sin A，
由正弦定理得❑√3sin B−❑√3sin A cosC =sinC sin A，
因为A + B+C =π，所以❑√3sin ( A +C)−❑√3sin A cosC =sinC sin A，
即❑√3sin A cosC + ❑√3cos A sinC −❑√3sin A cosC =sinC sin A，
即sinC (❑√3cos A −sin A)=0，
因为sinC ≠0，所以❑√3cos A −sin A =0，
若cos A =0，则sin A =0矛盾，故cos A ≠0，所以tan A = ❑√3，
而0< A <π，所以A =π
3 ．
（2）因角A的平分线为AD，则∠BAD =∠CAD =π
6 ，
因S△ABC = S△ABD+ S△ACD，且AD = ❑√3，则1
2 ×❑√3bsinπ
6 + 1
2 ×❑√3c sinπ
6 = 1
2 bc sinπ
3 ，
∴
❑√3
4 b+
❑√3
4 c =
❑√3
4 bc，∴1
b + 1
c =1，
则(2b+3c)(
1
b + 1
c)= 2b
c + 3c
b +5≥5+2❑√
2b
c ⋅3c
b =5+2❑√6，
当且仅当¿，即{
b= 2+ ❑√6
2
c = 3+ ❑√6
3 )
时取等号．
所以2b+3c的最小值为5+2❑√6．
