第1 讲 集合·分类训练（解析卷）
答案速查表
1
2
3
4
5
D
C
D
B
C
6
7
8
9
10
C
A
(-2,0)
C
B
11
12
13
14
15
BCD
BC
17
A
C
16
17
18
19
20
B
C
D
D
C
21
22
23
24
25
D
C
C
4
A
26
27
28
29
30
B
C
C
B
A
31
32
33
34
35
BC
ABD
C
C
1
2
36
37
38
39
40
-1
C
C
C
31
41
42
43
44
45
C
ABC
BD
D
C
46
47
48
8
30
B
考点一：集合的表示与基本运算
考法1：解不等式或求函数定义域/值域进行集合运算
1.（2026·八省T8·4 月联考）（单选）已知集合A ={-2,-1,0,1}，B ={x∣2 x
2+3 x ≤0}，则
A ∩B =（ ）
A. {-2,-1,0}
B. {-2,1}
C. {0,1}
D. {-1,0}
【答案】D
【解析】由2 x
2+3 x ≤0，得- 3
2 ≤x ≤0，即B =[- 3
2 ,0].
∵A ={-2,-1,0,1}，
∴A ∩B ={-1,0}.
对应选项D.
【点拨】解一元二次不等式求出集合B 的范围，再与离散集合A 求交集即可.
2.（单选）已知集合A ={x∣( x -2)(4 - x)>0}，B ={x∣
1
3- x >0}，则(∁R A )∪(∁R B)=（
）
A. (2,3)
B. [3,4 ]
C. (-∞,2]∪[3,+∞)
D. (-∞,3]∪[ 4 ,+ ∞)
【答案】C
【解析】A ={x∣( x -2)(4 - x)>0}={x∣2< x<4}，即A =(2,4)；
B ={x∣
1
3- x >0}={x∣x<3}，即B =(-∞,3).
∴∁R A =(-∞,2]∪[ 4 ,+∞)，∁R B =[3,+∞).
∴(∁R A )∪(∁R B)=(-∞,2]∪[3,+ ∞).
对应选项C.
【点拨】注意补集运算时端点值的取舍，开区间的补集端点为闭.
3.（2026·八省T8·4 月联考）（单选）已知集合M ={x∣log3 x<2}，N ={x∣❑√x -2<3}，则
M ∩N =（ ）
A. (-∞,9)
B. (-∞,11)
C. (0,11)
D. [2,9)
【答案】D
【解析】M ={x∣log3 x<2}={x∣0< x<9}，即M =(0,9)；
N ={x∣❑√x -2<3}={x∣2≤x<11}，即N =[2,11).
∴M ∩N =[2,9).
对应选项D.
【点拨】求解对数不等式和偶次根式不等式时，必须优先保证真数大于0 和被开方数非负.
4.（2026·江西南昌·一模）（单选）已知集合A ={x∣sin x ≥1
2}，B ={x∣0≤x ≤π }，则
A ∩B =（ ）
A. [0, π
6 ]∪[ 5 π
6 ,π ]
B. [ π
6 , 5 π
6 ]
C. [0, π
3 ]∪[ 2π
3 ,π ]
D. [ π
3 , 2π
3 ]
【答案】B
【解析】由sin x ≥1
2及x∈[0,π ]，结合正弦函数图象可得π
6 ≤x ≤5 π
6 .
∴A ∩B =[ π
6 , 5 π
6 ].
对应选项B.
【点拨】结合正弦函数的图象或三角函数线，在给定区间内直接读出三角不等式的解集.
5.（2025·江西上进·4 月联考）（单选）已知集合A ={x∈Z ∣
3
2 x -1 ∈Z}，
B ={x∣log2 x<2}，则A ∩B =（ ）
A. {2}
B. {1}
C. {1,2}
D. {0,1,2}
【答案】C
【解析】∵
3
2 x -1 ∈Z且x∈Z，
∴2 x -1=1或2 x -1=-1或2 x -1=3或2 x -1=-3，解得x =1或x =0或x =2或x =-1.
∴A ={-1,0,1,2}.
由log2 x<2，得0< x<2
2= 4，即B ={x∣0< x<4}.
∴A ∩B ={1,2}.
对应选项C.
【点拨】利用整除性质求出集合A 的整数元素，结合对数不等式求出集合B 的范围.
6.（2026·江西宜春十校·二模）（单选）设集合A ={x∣| x|≤1}，B ={ y ∣y =e
x}，则A ∩B =
（ ）
A. ∅
B. (-1,0)
C. (0,1]
D. [-1,1]
【答案】C
【解析】解绝对值不等式| x|≤1得-1≤x ≤1，即A =[-1,1].
指数函数y =e
x的值域为y >0，即B =(0,+ ∞).
∴A ∩B =(0,1].
对应选项C.
【点拨】认清集合的代表元素，集合B 的代表元素是y，实质是求指数函数的值域.
7.（2026·福建龙岩·二模）（单选）若集合A ={ y ∣y = x
2}，B ={x∣2
x≤8}，则A ∩B =（
）
A. [0,3]
B. (3,+∞)
C. (0,3]
D. (-∞,3]
【答案】A
【解析】A ={ y ∣y = x
2}={ y ∣y ≥0}=[0,+ ∞).
B ={x∣2
x≤8}={x∣x ≤3}=(-∞,3].
∴A ∩B ={x∣0≤x ≤3}=[0,3].
对应选项A.
【点拨】区分集合的代表元素，集合A 求的是二次函数的值域，集合B 求的是指数不等式的解集.
8.（2026·山东潍坊·一模）（填空）若集合M ={x∣-2< x<2}，N ={x∣2
x<1}，则M ∩N =
＿＿＿＿＿＿.
【答案】(-2,0)
【解析】M ={x∣-2< x<2}，即M =(-2,2).
N ={x∣2
x<1}={x∣x<0}，即N =(-∞,0).
∴M ∩N =(-2,0).
【点拨】解指数不等式求出集合N，再与集合M 求交集.
考法2：利用Venn 图或容斥原理求集合运算
9.（2026·河北唐山·一模）（单选）已知全集U及其两个非空真子集M , N，则
∁U( M ∪N )=（ ）
A. ∅
B. M ∩N
C. (∁U M )∩(∁U N )
D.
(∁U M )∪(∁U N )
【答案】C
【解析】根据德·摩根定律，∁U( M ∪N )=(∁U M )∩(∁U N ).
对应选项C.
【点拨】直接应用德·摩根定律（De Morgan's laws）展开即可.
10.（单选）已知集合M ={x∣x( x -2)<0}, N ={x∣x -1<0}，则下列Venn 图中阴影部分可
以表示集合{x∣1≤x<2}的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】解x( x -2)<0得0< x<2，即M =(0,2).
解x -1<0得x<1，即N =(-∞,1).
目标集合为{x∣1≤x<2}=[1,2).
选项A 中Venn 图中阴影部分表示M ∩N =(0,1)，不符合题意；
选项B 中Venn 图中阴影部分表示M ∩(∁R N )=[1,2)，符合题意；
选项C 中Venn 图中阴影部分表示N ∩(∁R M )=(-∞,0]，不符合题意；
选项D 中Venn 图中阴影部分表示M ∪N =(-∞,2)，不符合题意.
对应选项B.
【点拨】先解不等式求出集合M 和N，再将目标集合用M 和N 的运算表示出来，最后对应Venn
图.
11.（2025·江西萍乡·一模）（多选）已知全集U ={1,2,3,4 ,5,6}，集合A ⊆U ,B⊆U，且
满足：A ∩B ={3,5}，(∁U A )∩(∁U B)={2,4}，则下列说法正确的为（ ）
A. 4∈A
B. 6∈A ∪B
C. 集合A可能是{1,3,5,6}
D.
(∁U A )∪(∁U B)={1,2,4 ,6}
【答案】BCD
【解析】由题意知(∁U A )∩(∁U B)=∁U( A ∪B)={2,4}，
∴A ∪B ={1,3,5,6}.
对于A，∵A ∪B ={1,3,5,6}，且4∉A ∪B，∴4∉A，A 选项错误；
对于B，∵A ∪B ={1,3,5,6}，∴6∈A ∪B，B 选项正确；
对于C，已知A ∩B ={3,5}，这意味着3,5既属于A 又属于B.若A ={1,3,5,6}，当B ={3,5}时，
A ∪B ={1,3,5,6}，∁U A ={2,4 }，∁U B ={1,2,4 ,6}，此时满足所有已知条件，故C 选项正确；
对于D，∵(∁U A )∪(∁U B)=∁U( A ∩B)，又A ∩B ={3,5}，∴
(∁U A )∪(∁U B)=∁U( A ∩B)={1,2,4 ,6}，D 选项正确.
对应选项BCD.
【点拨】利用德·摩根定律将补集的交并运算转化为交并集的补集运算，结合全集分析各元素归属.
12.（2026·湖南天壹名校联盟·5 月模拟）（多选）若U ={x∣x<10, x∈N }，
A ∩(∁U B)={1,9}，(∁U A )∩(∁U B)={4 ,6,7}，A ∩B ={3}，则下列命题为真命题的是（
）
A. 0∈A
B. A的真子集个数为7
C. {9}⊆A
D. 6∉∁U( A ∪B)
【答案】BC
【解析】U ={x∣x<10, x∈N }={0,1,2,3,4 ,5,6,7,8,9}.
由A ∩(∁U B)={1,9}，(∁U A )∩(∁U B)=∁U( A ∪B)={4 ,6,7}，A ∩B ={3}，
作出Venn 图可知，A ={1,3,9}，B ={0,2,3,5,8}.
故0∉A，A 错误；9∈A，即{9}⊆A，C 正确；
集合A 的真子集个数为2
3-1=7个，故B 正确；
∵∁U( A ∪B)={4 ,6,7}，∴6∈∁U( A ∪B)，D 错误.
对应选项BC.
【点拨】画出Venn 图，根据各部分的交并补关系将全集中的元素逐一填入对应区域是解题的关键.
13.（2026·浙江温州·二模）（填空）card( A )表示有限集合A中元素的个数，已知
card( A ∪B)=25，card( A )=22，card(B)=20，则card( A ∩B)=＿＿＿＿＿＿.
【答案】17
【解析】根据容斥原理，card( A ∩B)=card( A )+card(B)-card( A ∪B)=22+20-25=17.
【点拨】直接应用集合的容斥原理公式求解.
考法3：已知集合运算结果逆求参数
14.（2026·江苏南京盐城·一模）（单选）设全集U ={1,2,3,4 }，集合A ={1,a-2}，
∁U A ={3,4}，则a=（ ）
A. 4
B. 5
C. 7
D. 9
【答案】A
【解析】∵U ={1,2,3,4 }，∁U A ={3,4}，
∴A ={1,2}.
又A ={1,a-2}，
∴a-2=2，解得a= 4.
对应选项A.
【点拨】根据补集的定义，集合A 与它的补集构成全集，从而确定集合A 的元素.
15.（2025·河北衡水中学·综合素质评价）（单选）设集合M ={1,3,a+2}, N ={1,a
2}，若
M ∩N ={1,4 }，则a=（ ）
A. -2
B. 0
C. 2
D. ±2
【答案】C
【解析】集合M ={1,3,a+2}, N ={1,a
2}，而M ∩N ={1,4 }，
则4∈M且4∈N，即a+2= 4且a
2= 4，解得a=2.
经验证，当a=2时，M ={1,3,4 }, N ={1,4}，满足M ∩N ={1,4}.
∴a=2.
对应选项C.
【点拨】根据交集结果列出方程，求出参数后必须代回原集合检验是否满足元素的互异性.
16.（2026·湖南长沙师大附中·一模）（单选）已知a,b∈R，集合A ={1, a
b}，B ={a,b}，
若A ∩B ={2}，则b=（ ）
A. 1
B. 2
C. 2或1
D. 1
2
【答案】B
【解析】已知集合A ={1, a
b}，B ={a,b}，且A ∩B ={2}，
∴2∈A，即a
b =2，a=2b，此时A ={1,2}.
又2∈B，即a=2或b=2.
若a=2，则b=1，此时B ={2,1}，则A ∩B ={1,2}，与A ∩B ={2}矛盾，舍去.
若b=2，则a= 4，此时B ={4 ,2}，A ∩B ={2}，符合条件.
综上所述，b=2.
对应选项B.
【点拨】由交集元素确定参数关系，求出参数后必须检验交集是否恰好为已知集合.
考点二：集合间的关系与参数求解
考法4：解不等式或方程求集合并计算子集个数
17.（2025·深圳中学·一阶测试）（单选）已知集合A ={x∈Z ∣x
2-2 x -3<0}，则集合A的
子集个数为（ ）
A. 3
B. 4
C. 8
D. 16
【答案】C
【解析】由x
2-2 x -3<0解得-1< x<3.
又x∈Z，∴A ={0,1,2}，集合A中有3个元素.
则集合A的子集个数为2
3=8.
对应选项C.
【点拨】先解一元二次不等式，结合整数集限制求出集合元素，再利用子集个数公式2
n求解.
18.（2026·山东名校联盟·5 月核心素养评估）（单选）已知集合A ={x∈Z ∣-1< x ≤2}，则
集合A的子集个数为（ ）
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
【答案】D
【解析】集合A ={x∈Z ∣-1< x ≤2}={0,1,2}，集合A中有3个元素.
则集合A的子集个数为2
3=8.
对应选项D.
【点拨】列举出集合中的所有整数元素，再根据元素个数计算子集数量.
19.（2026·广东广州·一模）（单选）集合A ={x∈Z ∣x
2-2 x ≤0}的子集个数为（ ）
A. 3
B. 4
C. 7
D. 8
【答案】D
【解析】解不等式x
2-2 x ≤0得0≤x ≤2.
∵x∈Z，∴集合A ={0,1,2}，有3个元素.
则集合A的子集个数为2
3=8.
对应选项D.
【点拨】解不等式并筛选整数解，熟记n个元素的集合有2
n个子集.
20.（2026·安徽淮南·二模）（单选）已知集合A ={x∈Z ∣1
2 <2
x<8}，B⊊A，则符合条件
的集合B的个数为（ ）
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
【答案】C
【解析】集合A ={x∈Z ∣1
2 <2
x<8}={x∈Z ∣2
-1<2
x<2
3}={x∈Z ∣-1< x<3}.
∵x∈Z，∴x可能的取值为0,1,2，即集合A ={0,1,2}.
∵B是A的真子集，
∴集合B的个数为2
3-1=7.
对应选项C.
【点拨】真子集个数公式为2
n-1，注意审题是求真子集个数.
21.（2025·河北保定·二模）（单选）已知集合A ={( x , y)∣y =( x -1)( x -5)}，
B ={( x , y)∣y
2= 4 x }，则A ∩B的真子集个数为（ ）
A. 3
B. 4
C. 7
D. 15
【答案】D
【解析】因为y =( x -1)( x -5)的对称轴为x =3，顶点为(3,- 4)，且过点(1,0),(5,0).
当x =3时，y
2= 4 x上的点为(3,±2❑√3).
作y =( x -1)( x -5)，y
2= 4 x的图象，由图可知，y =( x -1)( x -5)的图象与抛物线y
2= 4 x有4个不
同的交点.
则A ∩B有4个元素，从而A ∩B的真子集的个数为2
4-1=15.
对应选项D.
【点拨】将集合交集问题转化为两曲线交点个数问题，利用数形结合法画出草图判断交点数.
22.（2026·山东师大附中·3 月阶段检测）（单选）已知集合A ={x∈Z ∣| x|<4}，
B ={x∣y = ❑√2 x -1}，则A ∩B的子集个数为（ ）
A. 2
B. 4
C. 8
D. 16
【答案】C
【解析】集合A ={x∈Z ∣| x|<4 }={-3,-2,-1,0,1,2,3}.
B ={x∣y = ❑√2 x -1}={x∣2 x -1≥0}={x∣x ≥1
2 }.
∴集合A ∩B ={1,2,3}，共有3个元素.
∴子集个数为2
3=8.
对应选项C.
【点拨】求函数定义域得到集合B，列举法表示集合A，求交集后计算子集个数.
23.（2025·山东名校考试联盟·二模）（单选）已知集合A ={( x , y )∣y =e
x , x ∈R }，
B ={( x , y)∣y = x +a, x∈R}，A ∩B有且只有2个子集，则实数a=（ ）
A. -e
B. -1
C. 1
D. e
【答案】C
【解析】令e
x = x +a，则a=e
x - x.
记g( x)=e
x - x，则g
'( x)=e
x -1.
当x>0时，g
'( x)>0，g( x)在(0,+ ∞)单调递增；
当x<0时，g
'( x)<0，g( x)在(-∞,0)单调递减.
且当x→+ ∞时，g( x)→+ ∞；x→-∞时，g( x)→+∞，g（0）=1.
因此a=e
x - x只有一个实数根时，a= g（0）=1.
由于A ∩B有且只有2个子集，则A ∩B只有一个元素，故a= g（0）=1.
对应选项C.
【点拨】集合交集只有一个元素，等价于两函数图象只有一个交点，利用导数研究函数单调性与
最值求解.
24.（2024·江西吉安六校协作体·5 月联考）（填空）设集合A ={1,2,3,4}，
B ={x∣5
4 ≤x<4}，则集合A ∩B的子集个数为＿＿＿＿＿＿.
【答案】4
【解析】由题意可得A ∩B ={2,3}，
故A ∩B的子集个数为2
2= 4.
【点拨】先求出交集中的元素，再利用子集个数公式求解.
考法5：判断集合关系或根据包含关系求参数
25.（2026·蚌埠·二模）（单选）已知集合A ={2,5,8}，B ={a-1,2}，则“a=6”是“
A ∩B = B”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 充要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也
不必要条件
【答案】A
【解析】若A ∩B = B，则B⊆A.
又因为集合A ={2,5,8}，B ={a-1,2}，
∴a-1=5或a-1=8，解得a=6或a=9.
∴“a=6”是“A ∩B = B”的充分不必要条件.
对应选项A.
【点拨】将交集结果转化为子集关系，求出参数的所有可能值，再判断充分必要性.
26.（2026·山东德州·二模）（单选）已知集合A ={x∣-1≤x ≤3}，B ={x∣( x +1)( x -3)≥0}，
则（ ）
A. A ∩B =∅
B. A ∪B = R
C. A ⊆B
D. B⊆A
【答案】B
【解析】解不等式( x +1)( x -3)≥0得x ≤-1或x ≥3，即B =(-∞,-1]∪[3,+ ∞).
又A =[-1,3]，
∴A ∩B ={-1,3}，A ∪B = R，A ⊈B，B⊈A.
对应选项B.
【点拨】解一元二次不等式求出集合B，再结合数轴判断集合间的关系.
27.（2026·山东烟台·二模）（单选）已知集合A ={1,m}，B ={1,3,m
2}，若A ⊆B，则实数
m的值为（ ）
A. 0或-1
B. 0或1
C. 0或3
D. 1或3
【答案】C
【解析】∵A ={1,m}，B ={1,3,m
2}，A ⊆B，
∴m=3或m=m
2，解得m=3或m=0或m=1.
当m=1时，A ={1,1}，不满足集合元素的互异性，舍去；
当m=0时，A ={1,0},B ={1,3,0}，满足A ⊆B；
当m=3时，A ={1,3},B ={1,3,9}，满足A ⊆B.
综上，m=0或m=3.
对应选项C.
【点拨】根据子集关系列出方程，求出参数后必须检验集合元素的互异性.
28.（2026·山东菏泽·一模）（单选）已知集合A ={1,2}，B ={1,3,log2m}，若A ⊆B，则m
的值为（ ）
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8
【答案】C
【解析】∵A ={1,2}，B ={1,3,log2m}，A ⊆B，
∴2∈B，即log2m=2，解得m= 4.
对应选项C.
【点拨】根据子集定义，集合A 中的元素必须都在集合B 中，从而建立方程求解.
29.（单选）设M ={x∣x = k
2 ,k ∈Z}，N ={x∣x =k + 1
2 ,k ∈Z}，则（ ）
A. M ⊊N
B. N ⊊M
C. M = N
D. M ∩N =∅
【答案】B
【解析】∵x =k + 1
2 = 2k +1
2
，k ∈Z，
∴集合N是由所有奇数的一半组成.
而集合M是由所有整数的一半组成，
∴N ⊊M.
对应选项B.
【点拨】通过对表达式变形，分析集合中元素的奇偶性特征，从而判断包含关系.
30.（单选）已知集合A ={x∣| x|≤1}，B ={x∣2 x -a<0}，若A ⊆B，则实数a的取值范围
是（ ）
A. (2,+ ∞)
B. [2,+∞)
C. (-∞,2)
D. (-∞,2]
【答案】A
【解析】集合A ={x∣| x|≤1}={x∣-1≤x ≤1}，B ={x∣x< a
2}.
要使A ⊆B，只需1< a
2，解得a>2.
对应选项A.
【点拨】将集合包含关系转化为区间端点的不等式关系，注意端点值是否能取等号.
31.（多选）若非空集合M , N , P满足：M ∩N = N , M ∪P = P，则（ ）
A. P⊆M
B. M ∩P = M
C. N ∪P = P
D. M ∩∁P N =∅
【答案】BC
【解析】由M ∩N = N可得：N ⊆M.
由M ∪P = P，可得M ⊆P，则推不出P⊆M，故选项A 错误；
由M ⊆P可得M ∩P = M，故选项B 正确；
∵N ⊆M且M ⊆P，∴N ⊆P，则N ∪P = P，故选项C 正确；
由N ⊆M可得：M ∩∁P N不一定为空集，故选项D 错误.
对应选项BC.
【点拨】熟练掌握交集、并集与子集关系的等价转化：A ∩B = A ⇔A ⊆B，A ∪B = B⇔A ⊆B.
32.（2024·江西上饶六校联盟·5 月模拟）（多选）设集合A ={x∣3 x
2-2 x -1=0}，
B ={x∣ax -1=0}，若A ∪B = A，则a的值可以为（ ）
A. 1
B. 0
C. - 1
3
D. -3
【答案】ABD
【解析】集合A ={x∣3 x
2-2 x -1=0}={- 1
3 ,1}.
由A ∪B = A可得B⊆A，则分B =∅或B ={- 1
3 }或B ={1}或B ={- 1
3 ,1}四种情况.
当B =∅时，a=0；
当B ={- 1
3 }时，满足- 1
3 a-1=0，解得a=-3；
当B ={1}时，满足a-1=0，解得a=1；
当B ={- 1
3 ,1}时，显然不符合条件.
∴a的值可以为-3,0,1.
对应选项ABD.
【点拨】将并集关系转化为子集关系，特别注意不要遗漏集合为空集的情况.
考法6：利用集合相等与互异性求参数
33.（2025·河南金科新未来·5 月联考）（单选）设集合A ={1,ln a}，B ={0,a}，若A = B，
则a=（ ）
A. -1
B. 0
C. 1
D. e
【答案】C
【解析】若A = B，则必有a=1，同时a=1也满足ln a=0，故a=1.
对应选项C.
【点拨】根据集合相等对应元素相等，求出参数后验证是否满足所有条件.
34.（2026·湖北楚天协作体·二模）（单选）如果集合A ={x∣a x
2- 4 x -1=0}只有一个元素，
则实数a的值是（ ）
A. 0或4
B. 4
C. 0或- 4
D. 0
【答案】C
【解析】集合A ={x∣a x
2- 4 x -1=0}，表示关于x的方程a x
2- 4 x -1=0的解集.
当a=0时，解得x =- 1
4 ，则A ={- 1
4 }，符合题意；
当a≠0时，Δ=(- 4)
2- 4 a×(-1)=0，解得a=- 4，此时A ={- 1
2 }，符合题意.
综上可得a=0或a=- 4.
对应选项C.
【点拨】对于含参的一元二次方程解集问题，必须分类讨论二次项系数是否为零.
35.（2025·广东衡水金卷·3 月联考）（填空）设集合A ={a,b}，B ={2a,2a
2}，若A = B，则
ab=＿＿＿＿＿＿.
【答案】1
2
【解析】由题意得{
a=2a
2
b=2a 或{
a=2a
b=2a
2，
解得{
a= 1
2
b=1
或{
a=0
b=0.
当{
a=0
b=0时，不满足集合元素的互异性，舍去；
当{
a= 1
2
b=1
时，满足集合元素的互异性，故ab= 1
2.
【点拨】集合相等需考虑元素对应的两种情况，求出解后务必检验元素的互异性.
36.（2026·山东德州·一模）（填空）设集合A ={1,a,b}，B ={a
2,a,ab}，若A = B，则
a
3+b
3=＿＿＿＿＿＿.
【答案】-1
【解析】∵A ={1,a,b},B ={a
2,a,ab}, A = B，
∴a≠1且b≠1且a≠0且a≠b.
∴{
a
2=1
ab=b或{
a
2=b
ab=1.
当{
a
2=1
ab=b时，∵a≠1且b≠1，∴{
a=-1
b=0 ，∴a
3+b
3=-1.
当{
a
2=b
ab=1时，解得{
a=1
b=1，∵a≠1且b≠1，∴{
a=1
b=1不成立.
综上可得，a
3+b
3=-1.
【点拨】同样是集合相等问题，注意利用元素的互异性排除无效解.
考点三：集合的新定义与综合探究
考法7：理解集合新运算求元素或集合
37.（单选）对于两个非空实数集合A和B，我们把集合{x∣x =a+b,a∈A ,b∈B}记作
A * B. 若集合A ={0,1},B ={0,-1}，则A * B中元素的个数为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】C
【解析】A ={0,1},B ={0,-1}，则A * B ={0,-1,1}，则A * B中元素的个数为3.
对应选项C.
【点拨】理解新定义运算规则，列举出所有可能的和，注意集合元素的互异性进行去重.
38.（单选）定义集合A + B ={x + y ∣x∈A 且 y ∈B}. 已知集合A ={2,4 ,6}，B ={-1,1}，
则A + B中元素的个数为（ ）
A. 6
B. 5
C. 4
D. 7
【答案】C
【解析】根据题意，因为A ={2,4 ,6}，B ={-1,1}，所以A + B ={1,3,5,7}.
对应选项C.
【点拨】与上一题类似，列举求和并去重.
39.（单选）对于集合A ,B，定义A - B ={x∣x∈A , 且 x∉B}. 若
A ={x∣x =2k +1,k ∈N }，B ={x∣x =3k +1,k ∈N }，将集合A - B中的元素从小到大排列
得到数列{an}，则a7+a30=（ ）
A. 55
B. 76
C. 110
D. 113
【答案】C
【解析】因为A ={1,3,5,7,9,11,⋯},B ={1,4 ,7,10,13,16,19,22,25,⋯}，
所以A - B ={3,5,9,11,15,⋯}，所以a7=21.
A - B相当于集合A中除去x =6n-5(n∈N
*)形式的数，其前45项包含了15个这样的数，所以
a30=89.
则a7+a30=110.
对应选项C.
【点拨】理解差集定义，找出被剔除元素的规律（既是奇数又是被3 除余1 的数，即被6 除余
1），从而确定数列中的项.
40.（2026·广东东莞·一模）（填空）已知集合A ={( x , y)∣x
2+ y
2≤1, x , y ∈Z }，
B ={( x , y)∣| x|≤2,| y |≤1, x , y ∈Z }，定义集合
A ⊕B ={( x1+ x2, y1+ y2)∣( x1, y1)∈A ,( x2, y2)∈B}，则A ⊕B中元素的个数为＿＿＿＿＿
＿.
【答案】31
【解析】由题意，A ={(0,0),(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)}，
B ={( x , y)∣x∈{-2,-1,0,1,2}, y ∈{-1,0,1}}.
对于集合A ⊕B，其横坐标x1+ x2∈{-3,-2,-1,0,1,2,3}，纵坐标y1+ y2∈{-2,-1,0,1,2}.
但当x1+ x2=±3时，y1+ y2只能取-1,0,1，
所以A ⊕B中元素的个数为7×5-2×2=31.
【点拨】列举出集合A 和B 中的整点，分析横纵坐标相加后的取值范围，注意排除不可能取到的
组合.
考法8：基于集合新定义判断性质或求参数
41.（2026·福建厦门·适应性测试）（单选）已知A1, A2,⋯, An,⋯均为有限实数集，记An中
的最大元素为xn.∀n∈N
*，An+1= An∪{a+ xn∣a∈An}，若A1={-2,3}，则（ ）
A. A2={-2,1,3,6}
B. x7=384
C. A8中所有元素的平均数为191
D. A6中所有元素的和为3008
【答案】C
【解析】设An中元素有kn个，所有元素和为Sn，平均数为X n.
所以x1=3，S1=1，则A2={-2,1,3,6}，k2= 4，S2=8，故选项A 错误；
易得xn+1=2 xn，所以xn=3×2
n-1，x7=3×2
6=192，故选项B 错误；
因为增加的数一定是3的倍数，-2被3整除的余数不等，故元素中不会出现重复，所以kn+1=2kn，
所以kn=2
n.
又Sn+1= Sn+ Sn+ kn⋅xn=2Sn+3×2
2n-1，两边除以kn+1=2
n+1，得X n+1- X n=3×2
n-2，
累加得X n= 1
2 +3×2
-1+3×2
0+⋯+3×2
n-2=3×2
n-1-1，所以X 8=191，故选项C 正确；
Sn=kn⋅X n=3×2
2n-1-2
n，所以S6=3008，故选项D 错误.
对应选项C.
【点拨】根据递推关系逐步写出集合元素，寻找最大元素、元素个数及元素和的递推规律.
42.（2025·福建福九联盟·5 月联考）（多选）若非空实数集X中存在最大元素M和最小元
素m，则定义Δ( X )= M -m.据此，下列命题中不正确的是（ ）
A. 若X ={-1,1},Y ={0,b}，且Δ( X )= Δ(Y )，则b=2
B. 若X ={x∣f ( x)≥g( x), x∈[-1,1]}, Δ( X )=2，则对任意x∈[-1,1]，都有
f ( x)≥g( x)
C. 若X =[a,a+2],Y ={ y ∣y = x
2, x∈X }，则存在实数a，使得Δ(Y )<1
D. 若X =[a,a+2],Y =[b,b+3]，则对任意的实数a，总存在实数b，使得Δ( X ∪Y )=3
【答案】ABC
【解析】A 选项，由X ={-1,1},Y ={0,b}，可得Δ( X )=2，Δ(Y )=|b|，因为Δ( X )= Δ(Y )，所
以|b|=2，b=±2，故A 错误；
B 选项，由Δ( X )=2知，-1∈X且1∈X，则f （1）≥g（1）且f (-1)≥g(-1)，但是
f （0）≥g（0）不一定成立，例如：f ( x)= x
2-1，g( x)=- x
2，f (-1)= g(-1)=0，
f （0）=-1，g（0）=0，故B 错误；
C 选项，由X =[a,a+2]，Y ={ y ∣y = x
2, x∈X }，当a+2≤0，即a≤-2时，
Δ(Y )=a
2-(a+2)
2=- 4 a- 4≥4；当-2<a≤-1时，可得Δ(Y )=a
2≥1；当-1<a<0时，可得
Δ(Y )=(a+2)
2>1；当a≥0时，可得Δ(Y )=(a+2)
2-a
2= 4 a+ 4≥4，所以不存在实数a，使得
Δ(Y )<1，故C 错误；
D 选项，由X =[a,a+2]，Y =[b,b+3]，取b=a，可得Δ( X ∪Y )= Δ([a,a+3])=3，对任意实数
a，总存在b使之成立，故D 正确.
对应选项ABC.
【点拨】理解集合“极差”的新定义，结合二次函数的性质、集合的并集运算进行分类讨论.
43.（多选）由无理数引发的数学危机一直延续到19 世纪. 直到1872 年，德国数学家戴德
金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数
理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续
2000 多年的数学史上的第一次大危机. 所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非
空的子集M与N，且满足M ∪N =Q，M ∩N =∅，M中的每一个元素都小于N中的每一个
元素，则称( M , N )为戴德金分割. 试判断下列选项中，可能成立的是（ ）
A. M ={x∣x<0}, N ={x∣x>0}是一个戴德金分割
B. M没有最大元素，N有一个最小元素
C. M有一个最大元素，N有一个最小元素
D. M没有最大元素，N也没有最小元素
【答案】BD
【解析】对于A，因为M ={x∣x<0}, N ={x∣x>0}，M ∪N ={x∣x≠0}≠Q，故A 错误；
对于B，若M ={x∈Q∣x<0}, N ={x∈Q∣x ≥0}，则满足戴德金分割，此时M没有最大元素，
N有一个最小元素0，故B 正确；
对于C，若M有一个最大元素，设为a，N有一个最小元素，设为b，则a<b，则
M ={x∈Q∣x ≤a}, N ={x∈Q∣x ≥b}，而(a,b)内也有有理数，则M ∪N ≠Q，故C 错误；
对于D，若M ={x∈Q∣x<❑√2}，N ={x∈Q∣x ≥❑√2}，则满足戴德金分割，此时M没有最大元
素，N也没有最小元素，故D 正确.
对应选项BD.
【点拨】深刻理解戴德金分割的定义，结合有理数的稠密性进行判断.
考法9：结合计数原理与新定义求集合个数或最值
44.（单选）设集合X ={a1,a2,a3,a4}⊆N
*，定义：集合
Y ={ai+a j∣ai,a j∈X ,i, j∈N
*,i≠j}，集合S ={x⋅y ∣x , y ∈Y , x≠y }，集合
T ={
x
y ∣x , y ∈Y , x≠y}，分别用|S|,|T |表示集合S ,T中元素的个数，则下列结论可能成
立的是（ ）
A. |S|=6
B. |S|=16
C. |T |=9
D. |T |=16
【答案】D
【解析】不妨设1≤a1<a2<a3<a4，则ai+a j的值为a1+a2,a1+a3,a1+a4,a2+a3,a2+a4,a3+a4，显
然，a1+a2<a1+a3<a1+a4<a2+a4<a3+a4，所以集合Y 中至少有以上5 个元素，不妨设
x1=a1+a2, x2=a1+a3, x3=a1+a4, x4=a2+a4, x5=a3+a4，则显然
x1 x2< x1 x3< x1 x4< x1 x5< x2 x5< x3 x5< x4 x5，则集合S中至少有7 个元素，所以|S|=6不可能，故
排除A 选项；
其次，若a1+a4≠a2+a3，则集合Y 中至多有6 个元素，则|S|max =C6
2=15<16，故排除B 项；
对于集合T，取X ={1,3,5,7}，则Y ={4 ,6,8,10,12}，此时
T ={
1
3 , 2
5 , 1
2 , 2
3 , 3
5 , 3
4 , 4
5 , 4
3 ,2, 5
6 , 5
4 , 5
3 , 5
2 , 6
5 , 3
2 ,3}，|T |=16，故D 项正确；
对于C 选项而言，∀i≠j , xi≠x j，则xi
x j
与x j
xi
一定成对出现，(
xi
x j
-1)(
x j
xi
-1)<0，所以|T |一定
是偶数，故C 项错误.
对应选项D.
【点拨】利用极端假设法和举反例法，结合组合数计算集合元素的最值.
45.（单选）已知集合A ,B满足A ∪B ={1,2,3}，若A ≠B，且[ A 且B ],[ B且A ]表示两个不
同的“AB互衬对”，则满足题意的“AB互衬对”个数为（ ）
A. 9
B. 4
C. 27
D. 8
【答案】C
【解析】当A =∅时，集合B可以为{1,2,3}；
当A ={1}时，集合B可以为{2,3},{1,2,3}；
当A ={2}时，集合B可以为{1,3},{1,2,3}；
当A ={3}时，集合B可以为{1,2},{1,2,3}；
当A ={1,2}时，集合B可以为{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}；
当A ={1,3}时，集合B可以为{2},{1,2},{2,3},{1,2,3}；
当A ={2,3}时，集合B可以为{1},{1,2},{1,3},{1,2,3}；
当A ={1,2,3}时，集合B可以为∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}.
故满足题意的“AB互衬对”个数为27.
对应选项C.
【点拨】按集合A 的元素个数分类讨论，列举出所有满足条件的集合B.
46.（2026·山东九五协作体·一模）（填空）已知A ,B ,C为集合M ={1,2,⋯,n}(n∈N
*)的
非空子集，满足：
①A ∩B = A ∩C = B∩C =∅，A ∪B∪C = M；
②{x∈M ∣x =3k ,k ∈N
*}⊆A，B中元素均为奇数，C中元素均为偶数；
③A ,B ,C中所有元素的和分别为S1,S2,S3，且S1= S2= S3.
则正整数n的最小值为＿＿＿＿＿＿.
【答案】8
【解析】由①知A ,B ,C构成M的一个划分.
由②知B中全为奇数，C中全为偶数，A中包含M中所有3的倍数.
由③知S1= S2= S3，设总和为S，则S =3 S1.
由于S = n(n+1)
2
必须是3的倍数，故n只能是3k或3k +2的形式.
从小到大检验：
若n=2，S =3，S1=1，M ={1,2}，A含3的倍数（无），B全奇，C全偶，无法满足S1= S2= S3=1；
若n=3，S =6，S1=2，M ={1,2,3}，A必含3，此时S1≥3>2，不符；
若n=5，S =15，S1=5，M ={1,2,3,4 ,5}，A必含3，还需元素和为2，只能取2，即A ={2,3}.剩
下奇数1,5给B，S2=6≠5，不符；
若n=6，S =21，S1=7，M ={1,2,3,4 ,5,6}，A必含3,6，此时S1≥9>7，不符；
若n=8，S =36，S1=12，M ={1,2,3,4 ,5,6,7,8}. A必含3,6，还需元素和为3，可取1,2，此时
A ={1,2,3,6}.剩下奇数5,7给B，S2=12.剩下偶数4 ,8给C，S3=12.满足条件.
故正整数n的最小值为8.
【点拨】利用集合的划分性质，结合元素和被3 整除的特征，从小到大检验n 的可能取值.
47.（2025·江西三新教研共同体·3 月联考）（填空）已知集合A ={1,3,4 ,5}，
U ={1,2,3,⋯,19}，集合U的子集B ={a1,a2,a3,a4,a5}，若对于任意的1≤i< j≤5,i, j∈Z，
都有|ai-a j|∉A，则符合条件的集合B的个数为＿＿＿＿＿＿.
【答案】30
【解析】不妨设a1<a2<a3<a4<a5，再设bk =ak +1-ak，k =1,2,3,4，B中元素由a1和有序数组
(b1,b2,b3,b4)决定.
b1+b2+b3+b4=a5-a1≤19-1=18，bk∉{1,3,4 ,5}，b1,b2,b3,b4中任意相邻几个之和也不属于
{1,3,4 ,5}，否则会出现a j-ai∈A.
若b1,b2,b3,b4中没有2，或只有1个2，则一定有b1+b2+b3+b4>18，不符合题意.
若b1,b2,b3,b4中有3个2或4个2，不满足(b1,b2,b3,b4)中任意相邻几个之和也不属于{1,3,4 ,5}，
所以b1,b2,b3,b4中有2个2.
考虑(b1,b2,b3,b4)的排列情况和a1的取值情况：
若b1,b2,b3,b4由2,2,6,6组成，则B的个数为3×3=9；
若b1,b2,b3,b4由2,2,6,7组成，则B的个数为6×2=12；
若b1,b2,b3,b4由2,2,6,8组成，则B的个数为6×1=6；
若b1,b2,b3,b4由2,2,7 ,7组成，则B的个数为3×1=3.
故符合条件的集合B的个数为9+12+6+3=30.
【点拨】将集合元素的差值转化为差分数列，通过分析差分数列的取值限制，利用排列组合求解.
考法10：结合数列性质求集合元素最值
48.（单选）已知集合A满足：①A ⊆N，②∀x , y ∈A , x≠y，必有| x - y |≥2，③集合A
中所有元素之和为100，则集合A中元素个数最多为（ ）
A. 11
B. 10
C. 9
D. 8
【答案】B
【解析】对于条件①A ⊆N，②∀x , y ∈A , x≠y，必有| x - y |≥2，
若集合中所有的元素是由公差为2 的等差数列构成，例如{0,2,4 ,6,8,10,12,14 ,16,18,20}，集
合中有11 个元素，
又0+2+ 4+6+8+10+12+14 +16+18+20=110>100，
0+2+ 4+6+8+10+12+14+16+18=90<100，
则该集合满足条件①②，不符合条件③，
故符合条件③的集合A中元素个数最多不能超过10 个，
故若要集合A满足：①A ⊆N，②∀x , y ∈A , x≠y，必有| x - y |≥2，③集合A中所有元素之和
为100，最多有10 个元素，
例如A ={0,2,4 ,6,8,10,12,15,18,25}.
对应选项B.
【点拨】利用极值思想构造满足间距最小的数列，计算其前n 项和，从而确定元素个数的上限.
