文档文本内容
第03 讲复数的概念与运算
（知识清单+4 典例精讲+4 方法技巧+分层训练）
近3 年考查情况
题型
分值
复数的乘法运算、复数的模
单项选择题
5
复数的除法运算、共轭复数
单项选择题
5
复数的加减运算、复数的模
单项选择题
5
复数的乘法运算、共轭复数的性质
单项选择题
5
复数的除法运算、共轭复数概念
单项选择题
5
复数的混合运算、复数的模
单项选择题
5
【知识点01】复数的有关概念
(1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a 是复数的实部，b 是复数的虚部，i 为虚数单
位.
(2)复数的分类：
复数z＝a＋bi(a，b∈R)
复数{
实数(b＝0),
虚数(b≠0)(
a
当＝0时为纯虚数).
(3)复数相等：
a＋bi＝c＋di⇔a ＝
c 且
b ＝
d (a，b，c，d∈R).
(4)共轭复数：
a＋bi 与c＋di 互为共轭复数⇔a ＝
c ，
b ＝－
d (a，b，c，d∈R).
(5)复数的模：
向量⃗OZ的模叫做复数z＝a＋bi 的模或绝对值，记作| z | 或| a ＋
b i| ，即|z|＝|a＋bi|＝❑√a
2＋b
2(a，b∈R).
【例1】已知复数z =(m
2−4 m)+(m
2−6m+8)i（m∈R）是纯虚数，求实数m的值。
解析：根据纯虚数的定义（实部为0，虚部不为0）分步求解：
第一步，由纯虚数实部为0，得m
2−4 m=0，因式分解得m(m−4)=0，解得m=0或m= 4；
第二步，由纯虚数虚部不为0，得m
2−6m+8≠0，因式分解得(m−2)(m−4)≠0，解得m≠2且m≠4；
第三步，综合得m=0（验证：当m=0时，z =0+8i=8i，为纯虚数，符合题意）。
答案：m=0
【知识点02】复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)
复平面内的点Z(a，b).
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)
平面向量⃗OZ.
【例2】已知复数z =1+2i，求：（1）复平面内对应点的坐标；（2）复数z的模；（3）向量OZ
→
的坐标。
解析：结合复数几何意义及模的公式求解：
（1）由z =1+2i，实部a=1，虚部b=2，故复平面内对应点的坐标为(1,2)；
（2）代入模的公式，| z|=
❑√1
2+2
2= ❑√1+ 4 = ❑√5；
（3）向量OZ
→与复数z一一对应，坐标为(1,2)。
答案：（1）(1,2)；（2）❑√5；（3）(1,2)
【知识点03】复数的四则运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则：
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝( a ＋
c ) ＋
( b ＋
d )i ；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝( a －
c ) ＋
( b －
d )i ；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝( ac
－
bd
) ＋
( ad
＋
bc
)i ；
④除法：
z1
z2
＝a＋bi
c＋d i ＝(a＋bi)(c−d i)
(c＋d i)(c−d i)
＝ac＋bd
c
2＋d
2 ＋bc−ad
c
2＋d
2i(c＋di≠0).
(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行.
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2 可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即⃗OZ ＝⃗O Z1＋⃗O Z2，⃗
Z1Z2＝⃗O Z2－⃗O Z1.
【例3】计算3−2i
2+i 的值。
解析：采用分母实数化方法，乘以分母的共轭复数2−i，分步化简：
第一步，分母实数化：3−2i
2+i = (3−2i)(2−i)
(2+i)(2−i) ；
第二步，化简分子：(3−2i)(2−i)=3×2−3×i−2i×2+2i×i =6−3i−4i+2i
2=6−7i−2= 4−7i（注意
i
2=−1）；
第三步，化简分母：(2+i)(2−i)=2
2−i
2= 4−(−1)=5；
第四步，整理得：4−7i
5
= 4
5 −7
5 i。
答案：4
5 −7
5 i
【题型一】复数的概念辨析与分类
【例1】（2025·全国一卷·高考真题）
的虚部为（ ）
A．
B．0
C．1
D．6
【答案】C
【分析】根据复数代数形式的运算法则以及虚部的定义即可求出.
【详解】因为
，所以其虚部为1，
故选：C.
【例2】（2026·甘肃武威·模拟预测）已知a，b 都是实数，且
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】A
【分析】根据复数的运算列出方程计算即可.
【详解】因为
，所以
，所以
，则
．
【例3】（2026·重庆渝中·模拟预测）若复数
满足
，则
的虚部为______.
【答案】
【详解】由
可得
，
则
，
故
的虚部为
.
【变式1】（2026·河南新乡·三模）复数
的实部为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．
【答案】A
【详解】
，故所求实部为
.
【变式2】（2026·河北保定·三模）复数
的实部与虚部的和为（ ）
A．
B．
C．
D．3
【答案】D
【分析】将复数进行化简写成
的形式，实部为
，虚部为
，进行计算即可．
【详解】由
可知：实部为2，虚部为1，故和为3．
【变式3】（2026·宁夏银川·三模）已知复数
，其中为虚数单位，则复数
的模为________.
【答案】
【详解】由于
，
，
，
，故每四个连续的项之和为
，
，则
，
由于
，
，故
，所以
.
【题型二】复数的几何意义应用
【例4】（2026·云南昆明·二模）在复平面内，复数
对应的点的坐标是
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题意得
，所以
.
【例5】（多选）（2024·湖北荆州·三模）已知复数
，则下列命题正确的是（ ）
A．若
为纯虚数，则
B．若
为实数，则
C．若
在复平面内对应的点在直线
上，则
D．
在复平面内对应的点不可能在第三象限
【答案】BD
【分析】首先得到复数的实部与虚部，再根据复数的类型求出参数的值，即可判断A、B，根据复数的几何意义判断
C、D.
【详解】复数
的实部为
，虚部为
，
复数
在复平面内对应的点的坐标为
，
对于A：若
为纯虚数，则
，解得
，故A 错误；
对于B：若
为实数，则
，解得
，则
，故B 正确；
对于C：若
在复平面内对应的点在直线
上，
所以
，解得
或
，故C 错误；
对于D：令
，即
，不等式组无解，
所以
在复平面内对应的点不可能在第三象限，故D 正确.
故选：BD.
【例6】（2024·安徽·模拟预测）若复数
在复平面内对应的点位于第三象限，则实数
的取值范围
是__________.
【答案】
【分析】由实部和虚部都小于零解不等式组求出即可.
【详解】由题意得，
，解得
，
∴实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
【变式1】（2026·湖南郴州·模拟预测）若复数z 满足
，则复平面内表示复数z 的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【详解】
，则
，则
，复平面内表示复数z 的点
位于第二象限.
【变式2】（多选）（2026·安徽合肥·模拟预测）若复数
，则下列选项正确的有（ ）
A．
B．
的共轭复数为
C．
为实数
D．
在复平面内对应的点位于第四象限
【答案】ACD
【分析】对 A ，先对复数
分母有理化化简得到标准形式，再利用复数模长公式计算模长；对 B ，根据共轭复数
定义（实部不变、虚部变号），由化简后的
直接写出其共轭复数，判断正误；对 C ，先代入化简后的
，计算
并化简，再与
相加，判断结果是否为实数；对 D ，计算
得到新复数，根据复数与复平面内点的一一对应关系，
写出对应点坐标，判断所在象限.
【详解】由题意
，
对于A：
，故A 正确；
对于B：
的共轭复数为
，故B 错误：
对于C：
，为实数，故C 正确；
对于D：
，在复平面内对应的点为
，位于第四象限，故D 正确．
【变式3】（2025·云南昆明·模拟预测）若复数
满足
，则在复平面内，复数
所对应的点位于第_____
象限.（填“一、二、三、四”中的一个）
【答案】一
【分析】先设
，再根据复数相等列方程，解得
，最后根据复数几何意义得到答案.
【详解】设
，故
，则
解得
，
，故在复平面内，复数
所对应的点为
，位于第一象限.
故答案为：一.
【题型三】复数的四则运算
【例7】（2024·全国甲卷·高考真题）设
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】D
【分析】先根据共轭复数的定义写出
，然后根据复数的乘法计算.
【详解】依题意得，
，故
.
故选：D
【例8】（多选）（2026·山东日照·二模）设
为复数（i 为虚数单位），下列命题正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】AC
【分析】根据共轭复数的定义可判断A；举反例可判断B；根据虚数单位的性质可判断C；根据复数的除法以及复数
模的公式可判断D.
【详解】设复数
，则共轭复数
，
对于A：若
，则虚部
，
此时
，
，故
，A 正确；
对于B：取
，则
，但
，B 错误；
对于C：由
得
，复数范围内解得
，C 正确；
对于D：对
，化简得
，故
，D 错误.
【例9】（2026·四川遂宁·模拟预测）设
、
为共轭复数，若
，
，则
__________ .
【答案】
【分析】设
，则
，进而可得
，得到
，
可得
，
再结合模长公式求解．
【详解】设
，则
，
所以
，则
，可得
，
因为
，且
，
所以
，故
，故
，则
．
【变式1】（2026·四川资阳·模拟预测）已知是虚数单位，
，则复数z 的共轭复数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据复数四则运算求得
，进而求得
的共轭复数.
【详解】依题意，
，
所以
，
所以
.
【变式2】（多选）（2026·山东菏泽·二模）已知复数
，则下列结论正确的有（ ）
A．
的虚部是
B．
的共轭复数是
C．
在复平面内对应的点在第一象限
D．
【答案】BCD
【详解】已知复数
，先化简：
.
A：
的虚部为，不是，A 错误.
B：
的共轭复数
，B 正确.
C：
对应复平面内点
，在第一象限，C 正确.
D：
，
，
，所以
，D 正确.
【变式3】（2026·浙江·三模）在复平面内，i 为虚数单位，
对应的复数是
，
对应的复数是
，则
对应的复数是_____.
【答案】
【详解】复平面上的向量加法与复数加法法则一致，即对应坐标相加，
因为
，
所以
对应的复数是
.
【题型四】复数的综合应用
【例10】（2026·贵州贵阳·二模）若复数z 满足
（其中i 是虚数单位），则
（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】B
【详解】由
可得
，
即
，
故
.
【例11】（多选）（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知复数
，其中
，是虚数单位，
则（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
为纯虚数，则
D．若
，则
【答案】BC
【详解】对A，若
，则
，则
，错误；
对B，
，正确；
对C，若
为纯虚数，则
，解得
，正确；
对D，若
，则
，解得
或
，错误.
【例12】（2026·福建泉州·模拟预测）对于复数
，
，定义
♥
为
的实部.若
，
♥
，则
可以为
____________.（写出一个满足条件的答案）
【答案】（答案不唯一，满足
即可）
【详解】设
，则
，因此
，
因为
♥
，所以
，所以
，
题目要求写一个满足的条件所以令
，解得
.
【变式1】（2026·青海西宁·二模）已知复数
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．4
D．
【答案】A
【分析】结合复数的乘方求出
，进而求出
，结合复数的几何意义求解即可.
【详解】因为
，
，
，所以
.
，
所以
.
【变式2】（多选）（2026·湖南永州·三模）已知复数
，则（ ）
A．
B．
的虚部为
C．
在复平面内对应的点位于第二象限D．
为方程
的一个根
【答案】AD
【分析】根据复数除法的运算得到
，再由复数的相关知识逐一判断即可．
【详解】解：
，
，故A 正确；
的虚部为
，故B 错误；
在复平面内对应的点为
，位于第三象限，故C 错误；
方程
的根为
，
是方程
的一个根，故D 正确．
【变式3】（2026·山东菏泽·一模）已知复数
，
.
(1)当
时，求
；
(2)设
，记
（
表示复数z 的虚部）.将
图象上所有点的横坐标扩大为原来的2 倍（纵坐标不
变）得到函数
的图象，求
的单调递增区间.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据复数的除法求解即可；
（2）利用复数的乘法及三角函数图象的变换求出
，再由正弦型三角函数的单调性求解即可.
【详解】（1）当
时，
所以
.
（2）因为
，所以
，
所以
，
将
图象上所有点的横坐标扩大为原来的2 倍（纵坐标不变）得
，
令
，
解得
，
所以
的单调递增区间是
【解题大招01】纯虚数、实数的快速判定技巧
【例1】已知复数z =(m
2−4)+(m
2−5m+6)i（m∈R），求：（1）z为实数时m的值；（2）z为纯虚数时m
的值。
解析：严格套用快速判定技巧，分步求解，避免失误：
（1）z为实数
虚部为
⇔
0，即m
2−5m+6=0；
因式分解得(m−2)(m−3)=0，解得m=2或m=3（无需额外验证，虚部为0 即可满足实数条件）。
（2）z为纯虚数
实部为
⇔
0 且虚部不为0；
① 实部为0：m
2−4 =0，解得m=2或m=−2；
② 虚部不为0：m
2−5m+6≠0，解得m≠2且m≠3；
综合①②，得m=−2（验证：当m=−2时，z =0+20i=20i，为纯虚数，符合题意）。
答案：（1）m=2或m=3；（2）m=−2
易错注意：判断纯虚数时，务必验证“虚部不为0”，避免误将m=2代入（此时虚部为0，z =0为实数，非纯虚
数）。
【解题大招02】复数模的简化计算技巧
【例2】已知复数z1=3−4i，z2=1+2i，求| z1
z2
|的值。
解析：套用简化公式，无需化简z1
z2
，直接计算模的比值，步骤更简洁：
第一步，计算| z1|：代入基础公式，| z1|=
❑√3
2+(−4)
2= ❑√9+16=5；
第二步，计算| z2|：代入基础公式，| z2|=
❑√1
2+2
2= ❑√1+ 4 = ❑√5；
第三步，套用简化公式：| z1
z2
|=| z1|
| z2| = 5
❑√5 = ❑√5（分母有理化，化简结果）。
答案：❑√5
易错注意：简化公式仅适用于“模的乘除”，不适用于模的加减（即| z1+ z2|≠| z1|+| z2|），避免误用公式。
【解题大招03】复数除法“分母实数化”快速运算技巧
【例3】计算2−3i
2+i 的值，用快速技巧求解。
解析：严格套用3 步技巧，简化运算步骤：
第一步，找共轭：分母2+i的共轭复数为2−i；
第二步，算分母：2
2+1
2= 4 +1=5（直接套用公式，无需展开）；
第三步，化简分子：(2−3i)(2−i)=2×2−2×i−3i×2+3i×i= 4−2i−6i+3i
2；
代入i
2=−1，合并实部、虚部：4−8i−3=1−8i；
最后约分：1−8i
5
= 1
5 −8
5 i（化为a+bi标准形式）。
答案：1
5 −8
5 i
易错注意：分子展开时，注意符号运算（负负得正），避免出现−3i×(−i)=−3的错误（正确应为3i
2=−3）。
【解题大招04】复数综合题“分步拆解”技巧
【例4】已知复数z = m−3i
1+i （m∈R）的共轭复数´z为纯虚数，求m的值及| z|。
解析：按分步拆解技巧求解，思路清晰，避免失误：
第一步，化简复数z（分母实数化）：
z = (m−3i)(1−i)
(1+i)(1−i) = m−mi−3i+3i
2
2
= (m−3)−(m+3)i
2
；
第二步，求共轭复数´z：共轭复数虚部符号相反，即´z = (m−3)+(m+3)i
2
；
第三步，根据“´z为纯虚数”的条件求解m：
纯虚数需满足“实部为0 且虚部不为0”，即{m−3=0
m+3≠0；
解得m=3（验证：m=3时，´z = 0+6i
2
=3i，为纯虚数，符合题意）；
第四步，求| z|：将m=3代入z，得z = 0−6i
2
=−3i，故| z|=
❑√0
2+(−3)
2=3。
答案：m=3，| z|=3
易错注意：共轭复数的虚部符号易混淆，牢记“共轭复数，实部不变，虚部变号”，避免将´z的虚部仍写为
−(m+3)。
【基础过关】（共8 题）
一、单选题
1．（2026·贵州安顺·模拟预测）已知复数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先进行复数的除法运算，再根据共轭复数的概念得到
，进而由复数的乘法运算，即可得出结果.
【详解】因为
所以
所以
.
2．（2024·全国甲卷·高考真题）若
，则
（ ）
A．
B．
C．10
D．
【答案】A
【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解.
【详解】由
，则
.
故选：A
3．（2026·河北保定·二模）已知
，其中
是实数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
，
，解得
.
.
4．（2026·山东聊城·模拟预测）已知为虚数单位，复数
满足
，则
（ ）
A．14
B．16
C．20
D．24
【答案】C
【详解】因为
，
所以
，
所以
，故
.
二、多选题
5．（2025·山东聊城·模拟预测）若为虚数单位，
，点
在幂函数
的图象上，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】由幂函数定义求出
，代入点
求出
，利用复数的四则运算判断各项.
【详解】由幂函数定义可知，
，得
，A 错误.
将点
代入幂函数
，得
，B 正确.
因
，C 正确.
由
，D 错误.
故选：BC.
6．（2026·江西宜春·一模）已知复数
，其中
，是虚数单位，则（ ）
A．当
时，
为纯虚数
B．当
时，
C．当
时，
D．当
时，
【答案】BCD
【详解】对A：当
时，
，故A 错误；
对B：当
时，
，故B 正确；
对C：当
时，
，此时
，故C 正确；
对D：当
时，
，
所以
，故D 正确.
三、填空题
7．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）若
为实数，且复数
为纯虚数，则
的值为______．
【答案】2
【分析】由纯虚数的概念知，实部为0，虚部不为0，取交集即可得
的值.
【详解】由纯虚数的概念知，
可得
故答案为：2
四、解答题
8．（2024·贵州贵阳·二模）在复数集中有这样一类复数：
与
，我们把它们互称为共轭复
数，
时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点.它们还有如下性质：
（1）
（2）
（当
时，为纯虚数）
（3）
（4）
（5）
.
（6）两个复数和差积商（分母非零）的共轭复数，分别等于两个复数的共轭复数的和差积商
､
､
､
､
､
､
.
请根据所学复数知识，结合以上性质，完成下面问题：
(1)设
.求证：
是实数；
(2)已知
，求
的值；
(3)设
，其中
是实数，当
时，求
的最大值和最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
，
【分析】（1）根据复数和共轭复数的性质即可证明；
（2）设
，则
，由已知
，
，
列等式即可求解；
（3）设复数设
的三角形式，利用三角函数值域即可求解.
【详解】（1）设
，
，
，
且
，
是实数；
（2）设
，则
，
，
，
，
①
又
，
②，
联立①②，解得
，
；
（3）
，设
，
则
，
，
，
.
【拔高选练】（共6 题）
一、单选题
1．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）若为虚数单位，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
，
，
，
，
.
2．（2026·吉林延边·三模）若复数z 满足
，则z 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【分析】根据复数的运算法则，求得
，结合复数的几何意义，即可求解.
【详解】由复数z 满足
，可得
，
则复数
在复平面内对应的点为
，位于第二象限.
二、多选题
3．（2026·山东济南·模拟预测）已知方程
在复数范围内有n 个根，且这n 个根在复平面内对应的点n 等分单位
圆．下列复数是方程
的根的是（ ）
A．1
B．i
C．
D．
【答案】ACD
【详解】
，A 正确；
，B 错误；
依题意方程的个根在复平面内对应的点九等分单位圆，
已知是其中一个根，则个根的幅角依次为
，
即根为
，
当
时，有
，C 正确；
当
时，有
，D 正确.
4．（2026·福建龙岩·三模）已知复数
满足
，则（ ）
A．
B．
在复平面内所对应的点在第三象限
C．若
，则
的最大值为
D．
和
是方程
在复数范围内的两个根
【答案】ABD
【分析】根据复数的运算、几何意义以及复数的模求解即可.
【详解】
.
选项A：
.
选项B：
在复平面内所对应的点
在第三象限.
选项C：若
，则
在以点
为圆心，1 为半径的圆上，原点到圆心的距离为
，
因此圆上点到原点的最大距离为
.
选项D：解方程
，判别式
，
根
为 正好是
和
，因此二者是方程的两个根.
三、填空题
5．（2026·广东广州·模拟预测）已知数列
（为虚数单位），则
的前
项和
为___________．
【答案】
【分析】利用复数的乘方运算化简数列的通项，再利用分组求和法，结合等差、等比数列的前
项和公式求解.
【详解】数列
中，
，
显然数列
为等比数列，
是等差数列，
所以
.
6．（2026·安徽铜陵·模拟预测）在复平面中，已知
，
，复数
，
对应的点分别为
，
，且满足
，则
的最大值为______．
【答案】
【分析】根据复数的几何意义，由
，分析得
是边长为
的等边三角形，写出坐标再利
用数量积的运算性质，将所求问题转化为平面向量数量积的最值问题.
【详解】因为复数
对应的点为
，且
，
所以
是边长为
的等边三角形，
为坐标原点，设
，
则
的坐标为
或
，
因为
，
，则
，
当
时，
，
令
，由辅助角公式得
，
，故
，
因此
，
故
取得最大值：
；
当
时，
，
令
，由辅助角公式得
，
，故
，
因此
，故
取得最大值：
；
综上所述，
的最大值为
.
【错题复盘】（共5 题）
一、单选题
1．（2026·山西运城·二模）设正数
，
分别是复数
的实部、虚部，且
，则
的最小值
为（ ）
A．
B．
C．
D．4
【答案】A
【分析】根据复数的乘法可得
，再利用基本不等式可求
的最小值.
【详解】依题意得
，
因为
，所以
，
所以
，即
，
所以
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
故
的最小值为
．
2．（2026·湖南邵阳·一模）已知在复平面内，
为等边三角形，点
为坐标原点，点
对应的复数为
，
点
在第二象限，则点
对应的复数的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先根据点
对应的复数求出其坐标，再利用等边三角形的性质求出点
的坐标，最后根据复数的几何意义得
到点
对应的复数，进而求出其虚部.
【详解】已知点
对应的复数为
，根据复数的几何意义，所以点
的坐标为
.
所以向量
.又因为
为等边三角形，
所以
，且
.
又因为
，所以
，即
.
设
，则
.
又因为
而
，联立方程组可得
或
.
由题可知点
在第二象限，所以
即点
的坐标为
.
即点
对应的复数为
.所以虚部为
.
故选：C.
二、多选题
3．（2026·湖南浙江·模拟预测）若复数
，为虚数单位，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．
在复平面内对应的点位于第四象限
D．若复数
满足
，则
的最小值为
【答案】BCD
【详解】
.
对于A：
，A 错误.
对于B：
，B 正确.
对于C：
在复平面内对应的点为
，位于第四象限，C 正确.
对于D：
表示复数
在复平面内对应单位圆上的点，
表示单位圆上的点到点
的距离.
点
到原点的距离为
，所以单位圆上的点到点
的最小距离为
，D 正确.
三、填空题
4．（2026·广东茂名·一模）已知关于
的方程
的两根在复平面
上对应的点分别为
和
，若
是等边三角形，则
__________.
【答案】
【分析】由题可知，方程的两根应为虚根，可设方程
的两复根为
，
，根据
条件可得边长之间关系式，进而得解.
【详解】根据题意设方程的两虚根为
，
，
为实数，
方程的两根在复平面上对应的点分别为
和
，
轴，
又
是等边三角形，高为2，则
，
解得
，则
；
则
.
故答案为
．
四、解答题
5．（2024·河北·模拟预测）（1）在复数范围内解方程
；
（2）设
，
且
，证明：
；
（3）设复数数列
满足：
，且对任意正整数
，均有
.证明：对任意正偶数
，均有
.
【答案】（1）
，
，
；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【分析】（1）将方程因式分解，借助求根公式即可求；
（2）方法一，设复数的代数形式，计算即可；方法二，设复数的三角形式，计算即可；
（3）将已知化简可得
，利用等比数列通向公式即可求出
，结合等比数列求和公式即可证明.
【详解】（1）由
得
，即
，
由
解得
，
由
，利用二次方程求根公式得
，即
，
所以
的根为
，
，
.
（2）方法一：证明：由
，
，
可设
，
，
.
所以
；
，
故
.
方法二：
选学内容方法
由
，
且
，
可设
，
.
则
，
，
则
（3）由于
，且对任意正整数
，均有
，故
整理得
，
解得
.
因此
，故
进而由
得，
①
因为
为偶数，
又
利用①得
所以对任意正偶数
，均有
.
【点睛】关键点点睛：本题（3）的关键是将已知变形求出
，将问题转化成数列问题.
