第17 讲 幂指对比较大小 · 讲义（解析卷）
一、考情分析......................................................................................................................................1
二、知识清单......................................................................................................................................2
三、典题精讲......................................................................................................................................3
考点一：利用指数、对数函数单调性直接比较..................................................................3
考点二：引入媒介值与估算法..............................................................................................3
考点三：特殊值法与不等式性质..........................................................................................5
考点四：构造函数与同构法..................................................................................................5
考点五：数形结合法..............................................................................................................7
考点六：进阶技巧（放缩法、泰勒展开与不定方程）......................................................7
四、高考真题......................................................................................................................................9
一、考情分析
1. 考查频次与题型
年份
题号与题
型
分
值
考察类
型
考察内容与方式
2026
无
-
-
-
2025
第8 题 单
选题
5 分
直接
给出多变量对数连等式，考查利用引入参数法或数形结
合思想比较变量大小
2024
无
-
-
-
近三年全国一卷中，幂指对比较大小的考查频率不高，但一旦出现，往往以中档或偏
难的单选题形式呈现，侧重考查对数方程的转化与数形结合思想的灵活运用.
2. 命题角度与特色
核心考点：主要考查对数式、指数式的大小比较，常伴随多变量的连等式或不等式.
命题趋势：从单纯的数值估算比较，向方程根的比较、函数交点横纵坐标的比较转变，
强调同构思想与引入媒介值.
试题特点：计算量通常不大，但思维要求高，需要灵活运用指数函数、对数函数的单
调性和图象特征，或借助特殊值法进行排除.
3. 备考策略
· 熟练掌握指数函数、对数函数的图象与性质，特别是底数对函数图象变化趋势的影
响.
· 强化“引入媒介值（如0、1 等）”和“设常数（如连等式设参数k）”的解题技巧，
能够熟练进行指对互化.
· 培养数形结合意识，在遇到复杂的指对数连等式时，能迅速将其转化为函数图象的
交点问题进行直观判断.
二、知识清单
1. 利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定 a、b、
c 的大小。
2. 指、对、幂大小比较的常用方法：
①底数相同，指数不同时，如 a
x1 和 a
x2，利用指数函数 y =a
x 的单调性；
②指数相同，底数不同，如 x1
a 和 x2
a 利用幂函数 y = x
a 单调性比较大小；
③底数相同，真数不同，如 loga x1 和 loga x2 利用对数函数 loga x 单调性比较大小；
④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量 0、1 或者其它能判断大小关系的中间量，
借助中间量进行大小关系的判定。
3. 转化为两函数图象交点的横坐标
4. 特殊值法
5. 估算法
6. 放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法
7. 常见函数的麦克劳林展开式
① e
x =1+ x + x
2
2! +⋯+ x
n
n! +
e
θx
(n+1)! x
n+1.
② sin x = x - x
3
3! + x
5
5! -⋯+(-1)
n
x
2n+1
(2n+1)! +o( x
2n+2).
③ cos x =1- x
2
2! + x
4
4! - x
6
6! +⋯+(-1)
n
x
2n
(2n)! +o( x
2n).
④ ln(1+ x)= x - x
2
2 + x
3
3 -⋯+(-1)
n x
n+1
n+1 +o( x
n+1).
⑤ 1
1- x =1+ x + x
2+⋯+ x
n+o( x
n).
⑥ (1+ x)
n=1+nx + n(n-1)
2!
x
2+o( x
2).
【易错提醒】
· 指数函数 y =a
x 与对数函数 y = loga x 的单调性严格依赖于底数 a 与 1 的大小关
系：当 a>1 时单调递增，当 0<a<1 时单调递减.在化同底比较大小时，切勿忽略底数所
在的区间.
· 幂函数 y = x
α 在 (0,+∞) 上的单调性由指数 α 的符号决定：α >0 时单调递增，
α <0 时单调递减.
【防坑警示】
· 在利用导数构造函数比较大小时，常用的放缩不等式（切线不等式）需牢记等号成
立的条件：对于任意 x∈R，e
x≥x +1（当且仅当 x =0 时取等号）；对于任意 x>0，
ln x ≤x -1（当且仅当 x =1 时取等号）.
三、典题精讲
考点一：利用指数、对数函数单调性直接比较
考法1：利用指数、对数函数单调性直接比较
例1.（2025·安徽·皖北）若a= log26,b= log49,c = 3
2，则（ ）
A. a>2c
B. b<c
C. a+b>4
D. a-b<1
【答案】C
【思路】观察各选项及已知条件，由于b的底数为4，可利用对数的运算性质将其化为以2为底的对
数，从而与a同底.对于c，可将其转化为以2为底的对数，然后利用对数函数y = log2 x的单调性分
别比较大小，并对选项中的代数式进行运算验证.
【解析】∵b= log49>log48= 3
2 =c，a= log26<log28=3=2c，∴A，B 均错误.又
b= log49= log23，∴a-b= log26- log23= log22=1，a+b= log26+ log23= log218>log216= 4，
∴C 正确，D 错误.故选C.
【规律】利用对数函数单调性直接比较大小时，核心在于“化同底”.通过对数运算性质将不同底
的对数化为同底对数，再将常数转化为同底的对数，最后借助对数函数的单调性即可得出结论.
【考点一 方法总结】
· 利用指数函数和对数函数的单调性比较大小时，首要步骤是观察底数.若底数相同，
直接利用单调性比较指数或真数；若底数不同，需通过对数运算性质或指数幂的运算法则
化为同底.
· 对于常数与对数或指数的比较，应将常数转化为与待比较数同底的对数或指数形
式，再利用单调性进行判断.
考点二：引入媒介值与估算法
考法2：引入0、1 等常数媒介值比较
例2.（2025·河北·石市）已知a=2
0.6，b=0.5
0.8，c = log20.9，则a,b,c的大小关系为
（ ）
A. a<b<c
B. b<a<c
C. b<c<a
D. c<b<a
【答案】D
【思路】面对不同类型的函数值（指数与对数），直接比较较为困难.可以寻找合适的常数作为媒
介值.观察发现，a和b是指数形式，可以与1进行比较；c是对数形式，可以与0进行比较.通过确定
它们各自所在的区间，即可得出大小关系.
【解析】∵y = log2 x单调递增，∴c = log20.9<log21=0.∵y =2
x单调递增，∴a=2
0.6>2
0=1.∵
y =0.5
x单调递减，∴b=0.5
0.8<0.5
0=1，且b>0.∴a>b>c.故选D.
【规律】引入常数媒介值（通常是0或1）是比较幂指对大小的常用且高效的方法.当遇到不同类型
的数时，先判断其正负（与0比较），再判断其是否大于1（与1比较），往往能快速将它们分层.
考法3：引入其他媒介值或估算法比较
例3.已知a=2
3
4 ,b=3
1
2 ,c = log34 ,d = log45，则a,b,c ,d的大小关系为（ ）
A. b>a>d >c
B. b>c>a>d
C. b>a>c>d
D. a>b>d >c
【答案】C
【思路】题目中包含四个数，既有指数又有对数.对于指数部分a和b，可以通过化为同指数来比较
大小，并寻找一个有理数媒介值来界定它们的下限.对于对数部分c和d，可以利用基本不等式或换
底公式寻找它们与同一媒介值的关系，进而将四个数串联起来.
【解析】依题意，a=2
3
4 =8
1
4，b=3
1
2 =9
1
4，∵9>8，∴b>a.又a=2
3
4 >2
2
3（因为3
4 > 2
3），即a>4
1
3，
而4
1
3 >( 27
8 )
1
3 = 3
2，∴a> 3
2.
又c = log34<log33
3
2 = 3
2，∴a>c.
∵log43>0,log45>0，且log43+ log45= log415<log416=2，
∴log43⋅log45<(
log43+ log45
2
)
2
<1，∴log45<
1
log43 = log34，即d <c.
由此可得b>a> 3
2 >c>d.故选C.
【规律】当常规的0和1无法区分大小时，需要引入其他有理数媒介值（如1
2、3
2等）.同时，在比
较两个结构相似的对数时，利用对数加法结合基本不等式进行放缩，是突破难题的核心技巧.
【考点二 方法总结】
· 遇到不同类型的数（如指数与对数混搭）时，优先考虑引入常数媒介值（如0或1
）.通过判断各数与0和1的大小关系，快速实现初步分层.
· 当多个数均位于同一区间（如都大于1）且无法直接比较时，需寻找更精细的有理
数媒介值（如1
2、3
2、4
5 等）.寻找媒介值的方法通常是观察指数幂的临界状态或对数真数
的平方/立方关系.
· 对于结构相似的对数乘积或大小比较，灵活运用基本不等式（如ab≤( a+b
2
)
2）进
行放缩，结合对数加法运算，能够有效建立不等关系.
考点三：特殊值法与不等式性质
考法4：利用特殊值代入或不等式性质比较
例4.（2026·安徽·淮北）已知ln a>ln b>0,c>0，则（ ）
A. 2
a<2
b
B. ab+1>a+b
C. loga2>logb2
D. b+c
a+c < b
a
【答案】B
【思路】由对数不等式ln a>ln b>0，结合对数函数的单调性，可以确定a与b的范围及大小关系.
然后，针对各个选项，利用指数函数的单调性、作差比较法、换底公式以及不等式的基本性质进
行逐一判定.
【解析】由ln a>ln b>0，得a>b>1.∵y =2
x在R上单调递增，∴2
a>2
b，故A 错误.∵
ab+1-(a+b)=a(b-1)-(b-1)=(a-1)(b-1)，又a>1,b>1，∴(a-1)(b-1)>0，即
ab+1>a+b，故B 正确.由换底公式得loga2=
1
log2a ,logb2=
1
log2b，∵log2a>log2b>0，∴
1
log2a <
1
log2b，即loga2<logb2，故C 错误.∵b+c
a+c - b
a = a(b+c)-b(a+c)
a(a+c)
= c(a-b)
a(a+c)，又
a>b>1,c>0，∴c(a-b)
a(a+c) >0，即b+c
a+c > b
a，故D 错误.故选B.
【规律】处理含参不等式判断题时，作差法是最根本的方法，通过因式分解或通分判断差值的符
号.对于对数底数不同的情况，换底公式是将其转化为同底对数进行比较的利器.
【考点三 方法总结】
· 在处理抽象的含参不等式选择题时，若题目条件较为宽泛，可直接选取符合条件
的特殊值代入各选项进行验证，快速排除错误选项.
· 严格证明代数式大小关系时，作差法是首选.将两式相减后，通过通分、因式分解
等手段将差值化为连乘或连除的形式，进而根据已知条件判断各因式的正负.
· 面对底数和真数均不相同的对数比较，务必熟练运用换底公式，将其统一转化为
同底对数或同真数对数，再结合单调性进行判断.
考点四：构造函数与同构法
考法5：构造单一函数利用导数单调性比较
例5.（2026·安徽·阜阳）已知函数f ( x)= ln x
❑√x ,a= f (e),b= f(
9
2),c = f （7），则（ ）
A. a>b>c
B. b>a>c
C. b>c>a
D. c>b>a
【答案】A
【思路】题目直接给出了具体的函数解析式，且需要比较的三个数都是该函数在不同自变量处的
函数值.这提示我们需要利用导数来研究函数f ( x)的单调性，求出单调区间，然后判断自变量e、9
2、
7的大小关系及其在单调区间内的位置，进而比较函数值的大小.
【解析】∵f ( x)= ln x
❑√x ( x>0)，∴f
'( x)=
1
x ⋅❑√x -
1
2❑√x ln x
x
= 2- ln x
2 x ❑√x
.令f
'( x)>0，得0< x<e
2；令
f
'( x)<0，得x>e
2.∴f ( x)在(0,e
2)上单调递增，在(e
2,+ ∞)上单调递减.∵e≈2.718,e
2≈7.389，∴
0<e< 9
2 <7<e
2.∴f (e)<f(
9
2)<f （7），即a<b<c.故选A.
【规律】当所比较的数呈现出明显的统一函数结构时，构造单一函数并利用导数研究其单调性是
标准动作.关键在于准确求导，划分单调区间，并正确估算自变量的值以确定其所处的单调区间.
考法6：利用同构法构造函数比较
例6.（2026·山东·济南）已知正实数a,b,c满足ae
a=b ln b=c
3，则（ ）
A. a<c<b
B. c<a<b
C. b<a<c
D. a<b<c
【答案】A
【思路】观察等式ae
a=b ln b，发现两边结构相似，可以将其变形为同构形式.通过对数恒等式将b
转化为e
ln b，从而构造出函数f ( x)= x e
x，利用其单调性得到a与ln b的关系.接着，对于c，可以通
过作差法并构造新函数，利用导数证明不等式恒成立，从而比较a,b,c的大小.
【解析】由ae
a=b ln b，且a,b,c为正实数，可得b>1，则ae
a=e
ln bln b.令f ( x)= x e
x( x >0)，则
f ( x)在(0,+∞)上单调递增.∵f (a)= f (ln b)，∴a= ln b，即b=e
a.∵a>0，∴b=e
a>a+1>a，即
b>a.又c
3=ae
a，∴c
3-a
3=ae
a-a
3=a(e
a-a
2).设h( x)=e
x - x
2( x>0)，则h
'( x)=e
x -2 x，设
u( x)=e
x -2 x，则u
'( x)=e
x -2.当x∈(0,ln 2)时，u
'( x)<0，h
'( x)单调递减；当x∈(ln 2,+∞)
时，u
'( x)>0，h
'( x)单调递增.∴h
'( x)≥h
'(ln 2)=2-2ln 2>0，故h( x)在(0,+∞)上单调递增，
h( x)>h（0）=1>0，即e
a>a
2恒成立.∴c
3-a
3=a(e
a-a
2)>0，即c>a.又
b
3-c
3=e
3a-ae
a=e
a(e
2a-a)，设φ( x)=e
2 x - x( x >0)，φ
'( x)=2e
2 x -1>1>0，∴φ( x)在(0,+∞)
上单调递增，φ( x)>φ（0）=1>0，即e
2a>a恒成立.∴b
3-c
3=e
a(e
2a-a)>0，即b>c.由此可得
a<c<b.故选A.
【规律】同构法的核心在于“求同存异”，通过指数与对数的相互转化（如x =e
ln x），将等式两
边凑成完全相同的函数结构形式，进而利用该函数的单调性直接得出变量之间的关系.
【考点四 方法总结】
· 当待比较的数值可以抽象为同一个函数在不同自变量处的取值时，直接构造该函
数并利用导数求解单调区间.重点在于准确估算自变量的大小，确保它们落在已知的单调
区间内.
· 面对结构不对称的连等式或不等式，需利用指对数恒等式（如 x =e
ln x 或 x = ln e
x
）进行变形，强行凑出相同的代数结构，从而构造出单一函数（同构法）.
· 在同构转化后，若仍需比较两个函数值，可采用作差法构造辅助函数，通过二次
求导证明辅助函数恒大于或小于零，进而得出大小关系.
考点五：数形结合法
考法7：结合函数图象交点或反函数特征比较
例7.已知a>1，x1, x2, x3为函数f ( x)=a
x- x
2的零点，x1< x2< x3，若x1+ x3=2 x2，则
（ ）
A. x3
x2
<2ln a
B. x3
x2
=2ln a
C. x3
x2
>2ln a
D. x3
x2
与2ln a大小关系不确定
【答案】C
【思路】函数的零点问题可转化为两个函数图象的交点问题.由a
x = x
2两边取对数，可转化为直线
与对数型曲线的交点.结合已知等式x1+ x3=2 x2，利用指数运算性质将其转化为关于交点横坐标的
关系式，进而求出比值.最后，利用导数求出临界相切时的斜率，结合数形结合进行比较.
【解析】∵x1, x2, x3为函数f ( x)=a
x - x
2的零点，∴a
x1= x1
2，a
x2= x2
2，a
x3= x3
2.结合图象易知
x1<0< x2< x3.∵x1+ x3=2 x2，∴a
x1+ x3=a
2 x2，即x1
2 x3
2=( x2
2)
2= x2
4.∵x1<0, x3>0，∴x1 x3<0，∴
x1 x3=- x2
2.将x1=2 x2- x3代入，得(2 x2- x3)x3=- x2
2，即x3
2-2 x2 x3- x2
2=0.两边同除以x2
2，得
(
x3
x2)
2
-2 x3
x2
-1=0.解得
x3
x2
= ❑√2+1（负根舍去）.又a
x= x
2⇔x ln a=2ln| x|，即直线y = x ln a与曲
线y =2ln| x|有三个交点.设过原点与曲线y =2ln x( x>0)相切的直线切点为(t ,2ln t )，则切线斜
率k = 2
t ，切线方程为y -2lnt = 2
t ( x -t ).将原点(0,0)代入得-2ln t =-2，解得t =e，此时k = 2
e .由
图象可知，要使直线与曲线有三个交点，需满足0<ln a< 2
e ，即2ln a< 4
e .∵e>2.7，∴4
e < 4
2.7 <1.5.
而❑√2+1>2.4，∴
x3
x2
>2ln a.故选C.
【规律】处理复杂方程的根的问题，数形结合是首选.通过分离变量，将方程转化为两个常见函数
图象的交点，利用导数研究相切的临界状态，可以直观地确定参数的取值范围或数值大小关系.
【考点五 方法总结】
· 当遇到超越方程的根或零点问题时，务必将其转化为两个熟悉函数图象的交点问
题.在同一坐标系中画出草图，通过交点的横纵坐标位置直观判断大小关系.
· 在数形结合中，常需利用导数求解曲线的切线方程，特别是过原点的切线，以确
定函数图象相交或相切的临界条件，从而精准界定参数的取值范围.
考点六：进阶技巧（放缩法、泰勒展开与不定方程）
考法8：利用放缩法比较大小
例8.（2026·山东·济宁）设a=e
- 4
5 ,b= ln 5
2 ,c = 3
5，比较a，b，c的大小，并说明理由.
【答案】b>c>a
【思路】题目要求比较指数、对数与有理数的大小.由于数值较为特殊，直接计算或寻找媒介值比
较困难.此时应联想到常用的切线放缩不等式（如e
x≥x +1及其变体，以及对数函数的放缩），通
过构造函数或直接应用这些经典不等式，将复杂的超越数转化为有理数进行比较.
【解析】比较a与c：令f ( x)=e
x -( x +1)，当x≠0时，e
x> x +1.
∴e
4
5 > 4
5 +1= 9
5 =1.8.
∴e
- 4
5 < 5
9 ≈0.555.∵5
9 < 3
5，∴a<c.
比较b与c：令g( x)= ln x - 2( x -1)
x +1
，当x>1时，g
'( x)= 1
x -
4
( x +1)
2 = ( x -1)
2
x( x +1)
2 >0，∴
g( x)>g（1）=0.
∴ln 2.5> 2(2.5-1)
2.5+1
= 3
3.5 = 6
7 ≈0.857.
∵6
7 > 3
5，∴b>c.
由此可得b>c>a.
【规律】熟记并灵活运用经典放缩不等式（如e
x≥x +1，ln x ≤x -1，ln x ≥2( x -1)
x +1
等）是解决此
类问题的捷径.在应用时，注意自变量的取值范围及等号成立的条件.
考法9：利用泰勒展开比较大小
例9.a=2ln1.01,b= ln1.02,c = ❑√1.04 -1，则a,b,c的大小关系为＿＿＿＿＿＿.
【答案】b<c<a
【思路】观察三个数，它们的值都非常接近0，且分别涉及对数函数和根式.对于a和b，可以利用
对数的运算性质直接比较.对于c，由于其与b的差异极其微小，常规的放缩可能不够精确.此时需要
借助泰勒展开式的思想，构造多项式函数进行更高精度的逼近和比较.
【解析】a=2ln1.01= ln(1+0.01)
2= ln1.0201，∵y = ln x在(0,+∞)上单调递增，且1.0201>1.02，
∴a>b.令f ( x)= ln(1+ x)- x + 1
2 x
2( x>0)，则f
'( x)=
1
1+ x -1+ x = x
2
1+ x >0，∴f ( x)在(0,+∞)上
单调递增，f (0.02)>f （0）=0，即ln1.02>0.02- 1
2 ×0.02
2=0.0198.又
c = ❑√1.04 -1=(1+0.04)
1
2 -1.令g( x)=(1+ x)
1
2 -1- 1
2 x + 1
8 x
2( x>0)，则
g
'( x)= 1
2 (1+ x)
- 1
2 - 1
2 + 1
4 x，g
″( x)=- 1
4 (1+ x)
- 3
2 + 1
4 >0，∴g
'( x)在(0,+∞)上单调递增，
g
'( x)> g
'（0）=0，∴g( x)在(0,+∞)上单调递增，g(0.04)>g（0）=0，∴
❑√1.04 -1>0.02- 1
8 ×0.04
2=0.0198.∴b<c<a.
【规律】当数值差异极小时，一阶导数（即切线放缩）往往失效，需要利用二阶导数甚至更高阶
导数构造多项式（本质是泰勒展开）进行高精度放缩.通过保留更多的项，可以更准确地估算函数
值.
考法10：结合不定方程比较大小
例10.已知实数a,b，满足a= log23+ log64 ,3
a+ 4
a=5
b，则关于a,b下列判断正确的是（
）
A. a<b<2
B. b<a<2
C. 2<a<b
D. 2<b<a
【答案】D
【思路】处理对数式a时，可利用换底公式将其化简，并通过作差法判断出a与2的大小关系.面对
指数方程3
a+ 4
a=5
b，观察到3
2+ 4
2=5
2这一经典勾股数关系，这启发我们两边同除以5
x构造指数型
函数f ( x)=(
3
5)
x
+(
4
5)
x
，借助该函数的单调性即可顺利比较出a与b的大小.
【解析】∵a= log23+ log64 = log23+
2
log26 = log23+
2
1+ log23.∴
a-2= log23+
2
1+ log23 -2= (log23)
2- log23
1+ log23
.∵log23>1，∴(log23)
2>log23，∴a-2>0，即a>2.
∵3
a+ 4
a=5
b，且a>2，∴5
b=3
a+ 4
a>3
2+ 4
2=25=5
2，∴b>2.构造函数f ( x)=(
3
5)
x
+(
4
5)
x
，则f ( x)
在R上单调递减.∵f （2）=(
3
5)
2
+(
4
5)
2
=1，且a>2，∴f (a)<f （2）=1，即(
3
5)
a
+(
4
5)
a
<1，
∴3
a+ 4
a<5
a.又3
a+ 4
a=5
b，∴5
b<5
a，∴b<a.由此可得2<b<a.故选D.
【规律】处理形如A
x+ B
x =C
y（其中A
2+ B
2=C
2）的不定方程比较大小问题时，两边同除以C
x构
造单调递减的指数型函数是标准解法.结合已知变量与临界值（通常是2）的大小关系，利用单调
性即可顺利得出结论.
【考点六 方法总结】
· 熟记并灵活运用经典放缩不等式（如 e
x≥x +1，ln x ≤x -1，ln x ≥2( x -1)
x +1
等）是
解决此类问题的捷径.在应用时，注意自变量的取值范围及等号成立的条件.
· 当数值差异极小时，一阶导数（即切线放缩）往往失效，需要利用二阶导数甚至
更高阶导数构造多项式（本质是泰勒展开）进行高精度放缩.通过保留更多的项，可以更
准确地估算函数值.
· 处理形如 A
x+ B
x=C
y（其中 A
2+ B
2=C
2）的不定方程比较大小问题时，两边同除
以 C
x 构造单调递减的指数型函数是标准解法.
四、高考真题
1.（2025·全国一卷）若实数x , y , z满足2+ log2 x =3+ log3 y =5+ log5 z，则x , y , z的大小关系
不可能是（ ）
A. x> y > z
B. x> z> y
C. y > x> z
D. y > z> x
【答案】B
【解析】法一：设2+ log2 x =3+ log3 y =5+ log5 z =m，所以
令m=2，则x =1, y =3
-1= 1
3 , z =5
-3= 1
125，此时x> y > z，A 有可能.
令m=5，则x =8, y =9, z =1，此时y > x> z，C 有可能.
令m=8，则x =2
6=64 , y =3
5=243, z =5
3=125，此时y > z> x，D 有可能.
故选B.
法二：设2+ log2 x =3+ log3 y =5+ log5 z =m，所以，x =2
m-2, y =3
m-3, z =5
m-5.
根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根.
作出函数y =2
x -2, y =3
x -3, y =5
x -5的图象，以上方程的根分别是函数y =2
x -2, y =3
x -3, y =5
x -5的图
象与直线x =m的交点纵坐标，如图所示：
易知，随着m的变化可能出现：x> y > z，y > x> z，y > z> x，z> y > x.
故选B.
