文档文本内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
2025 年高考第一次模拟考试
高三数学（新高考Ⅰ卷）·参考答案
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1
2
3
4
5
6
7
8
A
D
C
B
A
D
B
C
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9
10
11
BCD
ABC
BC
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12．60
13．
14．
15．【答案】(1)
(2)
【解析】（1）取AC 的中点M，连结OM、ME、OE，
由E 为BC 的中点知
，
则直线OE 与EM 所成的角就是异面直线AB 与CD 所成的角，（2 分）
在
中，
，
因为
是直角
斜边AC 上的中线，则
，
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
可得
，（5 分）
所以异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为
.（6 分）
（2）设点E 到平面ACD 的距离为
因为
，即
，（8 分）
在
中，
，可得
，（9 分）
且
，（10 分）
可得
，（12 分）
所以点E 到平面ACD 的距离为
（13 分）
16．【答案】(1)答案见详解(2)
【解析】（1）
（
），（1 分）
当
时，由于
，所以
恒成立，从而
在
上递增；（2 分）
当
时，
，
；
，
，
从而
在
上递增，在
递减；（4 分）
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
综上，当
时，
的单调递增区间为
，没有单调递减区间；
当
时，
的单调递增区间为
，单调递减区间为
.（6 分）
（2）令
，要使
恒成立，
只要使
恒成立，也只要使
.（7 分）
，（8 分）
若
，
，所以
恒成立，（9 分）
当
时，
，当
时，
，
可知
在
内单调递增，在
内单调递减，（10 分）
所以
，解得：
，
可知
的最小值为
；（12 分）
若
，
，所以
恒成立，（13 分）
当
时，
，当
时，
，
可知
在
内单调递减，在
内单调递增，（14 分）
所以
在
内无最大值，且当
趋近于
时，
趋近于
，不合题意；
综上所述：
的最小值为
.（15 分）
17．【答案】(1)
(2)（ⅰ）分布列见详解，
；（ⅱ）
【解析】（1）因为甲每局获胜的概率均为
，根据五局三胜制的规则，
设甲获胜时的比赛总局数为
，因为每局的比赛结果相互独立，
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以
的所有可能取值为
，（1 分）
可得
；（4 分）
故该场比赛甲获胜的概率P= P(Y =3)+ P(Y = 4)+ P(Y =5)= 64
81.（5 分）
（2）（ⅰ）依题意，
的所有可能取值为
（6 分）
设打成
后甲先发球为事件
，则乙先发球为事件
，且
，（7 分）
所以P( X =0)= P( A)⋅P( X =0| A)+ P( A)⋅P( X =0| A)= 1
2 × 1
3 × 1
2 + 1
2 × 1
2 × 1
3 = 1
6 ，（8 分）
（9 分）
P( X =2)= P( A)⋅P( X =2| A)+ P( A)⋅P( X =2| A)= 1
2 × 2
3 × 1
2 + 1
2 × 1
2 × 2
3 = 1
3.（10 分）
所以
的分布列为
0
1
2
故
的均值为E (X )=0× 1
6 +1× 1
2 +2× 1
3 = 7
6 ；（12 分）
（ⅱ）设第一局比赛甲获胜为事件
，则P(B| X =0)=0, P(B| X =1)= P(B), P(B| X =2)=1.
由（ⅰ）知，P(X =0)= 1
6 , P(X =1)= 1
2 , P(X =2)= 1
3，（13 分）由全概率公式，得
P(B)= P(X =0) P(B| X =0)+ P(X =1) P(B| X =1)+ P(X =2) P(B| X =2)= 1
6 ×0+ 1
2 P(B)+ 1
3 ,（14
分）
解得P(B)= 2
3，即第一局比赛甲获胜的概率
.（15 分）
18．【答案】(1)
；(2)
【解析】（1）由题意，笔尖到点
的距离与它到直线
的距离相等，所以笔尖留下的轨迹为以
为焦点，
直线
为准线的抛物线，设其方程为
，则
，（2 分）
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
因为
，
，且
，可得
，
由
，可得点
的横坐标为
，（4 分）
又由抛物线的准线方程为
，则
，解得
，（6 分）
所以曲线
的轨迹方程为
.（7 分）
（2）假设存在
，使得
，设
，直线的方程为
，（9 分）
联立方程组
，整理得
，且
，（10 分）
则
，则
，（11 分）
可得
，（12 分）
由
，可得
，即
，所以
，（13 分）
令
，则
，（14 分）
所以
，且
，即
，解得
或
，（16 分）
所以存在
，使得
成立.（17 分）
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
19．【答案】(1)
，
(2)
；(3)证明见解析
【解析】（1）
,（2 分）
；（5 分）
（2）设
，
的模为
，
的模为
，
，
对于
有
，
，（6 分）
对于
有
，
，（7 分）
所以
，
（8 分）
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以
，（9 分）
，故
,即
的角的终边在
轴上，（10 分）
又
，所以
，即
（11 分）
（3）如图建立平面直角坐标系，在复平面内，过原点
作
的平行线，过
作
的平行线，交于点
，
则
，所以
，
即
，
即
（13 分）
根据复数的定义，实部等于实部，虚部等于虚部，可得
，
所以
，
，（14 分）
同理
，
，
，
，（16 分）
所以
，
，
，
.（17 分）
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
8
