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2025 年高考第一次模拟考试
高三数学（新高考Ⅰ卷）·参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
A D C B A D B C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
BCD ABC BC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．60 13． 14．
15．【答案】(1) (2)
【解析】（1）取AC的中点M，连结OM、ME、OE，
由E为BC的中点知 ，
则直线OE与EM所成的角就是异面直线AB与CD所成的角，（2分）
在 中， ，
因为 是直角 斜边AC上的中线，则 ，可得 ，（5分）
所以异面直线AB与CD所成角的余弦值为 .（6分）
（2）设点E到平面ACD的距离为
因为 ，即 ，（8分）
在 中， ，可得 ，（9分）
且 ，（10分）
可得 ，（12分）
所以点E到平面ACD的距离为 （13分）
16．【答案】(1)答案见详解(2)
【解析】（1） （ ），（1分）
当 时，由于 ，所以 恒成立，从而 在 上递增；（2分）
当 时， ， ； ， ，
从而 在 上递增，在 递减；（4分）综上，当 时， 的单调递增区间为 ，没有单调递减区间；
当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .（6分）
（2）令 ，要使 恒成立，
只要使 恒成立，也只要使 .（7分）
，（8分）
若 ， ，所以 恒成立，（9分）
当 时， ，当 时， ，
可知 在 内单调递增，在 内单调递减，（10分）
所以 ，解得： ，
可知 的最小值为 ；（12分）
若 ， ，所以 恒成立，（13分）
当 时， ，当 时， ，
可知 在 内单调递减，在 内单调递增，（14分）
所以 在 内无最大值，且当 趋近于 时， 趋近于 ，不合题意；
综上所述： 的最小值为 .（15分）
17．【答案】(1) (2)（ⅰ）分布列见详解， ；（ⅱ）
【解析】（1）因为甲每局获胜的概率均为 ，根据五局三胜制的规则，
设甲获胜时的比赛总局数为 ，因为每局的比赛结果相互独立，所以 的所有可能取值为 ，（1分）
可得 ；（4分）
64
故该场比赛甲获胜的概率P=P(Y =3)+P(Y =4)+P(Y =5)= .（5分）
81
（2）（ⅰ）依题意， 的所有可能取值为 （6分）
设打成 后甲先发球为事件 ，则乙先发球为事件 ，且 ，（7分）
1 1 1 1 1 1 1
所以P(X=0)=P(A)⋅P(X=0|A)+P(A)⋅P(X=0|A)= × × + × × = ，（8分）
2 3 2 2 2 3 6
（9分）
1 2 1 1 1 2 1
P(X=2)=P(A)⋅P(X=2|A)+P(A)⋅P(X=2|A)= × × + × × = .（10分）
2 3 2 2 2 3 3
所以 的分布列为
0 1 2
1 1 1 7
故 的均值为E(X)=0× +1× +2× = ；（12分）
6 2 3 6
（ⅱ）设第一局比赛甲获胜为事件 ，则P(B|X=0)=0,P(B|X=1)=P(B),P(B|X=2)=1.
1 1 1
由（ⅰ）知，P(X=0)= ,P(X=1)= ,P(X=2)= ，（13分）由全概率公式，得
6 2 3
1 1 1
P(B)=P(X=0)P(B|X=0)+P(X=1)P(B|X=1)+P(X=2)P(B|X=2)= ×0+ P(B)+ ,（14
6 2 3
分）
2
解得P(B)= ，即第一局比赛甲获胜的概率 .（15分）
3
18．【答案】(1) ；(2)
【解析】（1）由题意，笔尖到点 的距离与它到直线 的距离相等，所以笔尖留下的轨迹为以 为焦点，
直线 为准线的抛物线，设其方程为 ，则 ，（2分）因为 ， ，且 ，可得 ，
由 ，可得点 的横坐标为 ，（4分）
又由抛物线的准线方程为 ，则 ，解得 ，（6分）
所以曲线 的轨迹方程为 .（7分）
（2）假设存在 ，使得 ，设 ，直线 的方程为 ，（9分）
联立方程组 ，整理得 ，且 ，（10分）
则 ，则 ，（11分）
可得 ，（12分）
由 ，可得 ，即 ，所以 ，（13分）
令 ，则 ，（14分）
所以 ，且 ，即 ，解得 或 ，（16分）
所以存在 ，使得 成立.（17分）19．【答案】(1) ，
(2) ；(3)证明见解析
【解析】（1）
,（2分）
；（5分）
（2）设 ， 的模为 ， 的模为 ， ，
对于 有 ， ，（6分）
对于 有 ， ，（7分）
所以 ， （8分）所以 ，（9分）
，故 ,即 的角的终边在 轴上，（10分）
又 ，所以 ，即 （11分）
（3）如图建立平面直角坐标系，在复平面内，过原点 作 的平行线，过 作 的平行线，交于点 ，
则 ，所以 ，
即 ，
即 （13分）
根据复数的定义，实部等于实部，虚部等于虚部，可得 ，
所以 ， ，（14分）
同理 ， ，
， ，（16分）
所以 ， ， ， .（17分）
