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2025 年高考第一次模拟考试 ②若 ，其中 ，则 ；
③若 ，其中 ，则 ；
高三数学（新高考Ⅰ卷）
④若 ，其中 ，则 的最小值为 .
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
其中所有真命题的个数是（ ）
注意事项：
A．1 B．2 C．3 D．4
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 9．甲乙两名同学参加系列知识问答节目，甲同学参加了5场，得分是3，4，5，5，8，乙同学参加了7场，
得分是3，3，4，5，5，7，8，那么有关这两名同学得分数据下列说法正确的是（ ）
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
A．得分的中位数甲比乙要小 B．两人的平均数相同
第一部分（选择题 共58分） C．两人得分的极差相同 D．得分的方差甲比乙小
10．已知函数 的定义域为 ，则（ ）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
A． B．
求的。 C． 是奇函数 D． 是偶函数
11．已知圆 ，圆 分别是圆 与圆 上的点，则（ ）
1．已知全集 ，集合 ， 或 ，则 （ ）
A．若圆 与圆 无公共点，则
A． B． C．（－3，3] D．（2，3]
B．当 时，两圆公共弦所在直线方程为
2．下列命题是真命题的是（ ）
C．当 时，则 斜率的最大值为
A．两个四棱锥可以拼成一个四棱柱 B．正三棱锥的底面和侧面都是等边三角形
C．经过不共线的三个点的球有且只有一个 D．直棱柱的侧面是矩形
D．当 时，过 点作圆 两条切线，切点分别为 ，则 不可能等于
3．记等差数列 的前 项和为 ，则 （ ）
第二部分（非选择题 共92分）
A．120 B．140 C．160 D．180
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
4．已知角 的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点 ，且 ，则实
12．在 的展开式中， 的系数为 ．
数 的值是（ ）
A． 和 B． C． D． 13．与圆台的上、下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球，若圆台的上下底面半径为 ， ，且
，则它的内切球的体积为 .
5．点 到双曲线 的一条渐近线的距离为（ ）
14．椭圆 的左､右顶点分别为 ，点 在椭圆上第一象限内，记
A． B． C． D．
，存在圆 经过点 ，且 ，则椭圆 的离心率为
.
6．已知数列 是公比为 的等比数列， 是数列 的前 项和，则 （ ） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）如图，四面体 中， 是 的中点， ，
A．1 B． C． D．3
7．已知平行六面体 中， ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
(1)求异面直线AB与CD所成角余弦值的大小；
8．闵可夫斯基距离又称为闵氏距离，是两组数据间距离的定义.设两组数据分别为 和 (2)求点E到平面ACD的距离.
，这两组数据间的闵氏距离定义为 ，其中q表示阶数.现有下列四个
命题：
①若 ，则 ；19．（17分）复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等
16．（15分）已知函数 ．
人的工作，此概念逐渐为数学家所接受.形如 的数称为复数，其中 称为实部， 称为虚部，
(1)求函数 的单调区间；
i称为虚数单位， .当 时， 为实数；当 且时， 为纯虚数.其中 ，叫做复数 的
(2)若 恒成立，求 的最小值．
模.设 ， ， ， ， ， ， 如图，点 ，复数 可用点
表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， 轴叫做实轴， 轴叫做虚轴.显然，
实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.按照这种表示方法，每一个复数，有复平
面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.一般地，任何一
17．（15分）11分制乒乓球比赛规则如下：在一局比赛中，每两球交换发球权，每赢一球得1分，先得11 个复数 都可以表示成 的形式，即 ，其中 为复数 的模， 叫做复数
分且至少领先2分者胜，该局比赛结束：当某局比分打成10∶10后，每球交换发球权，领先2分者胜，该
局比赛结束现有甲、乙两人进行一场五局三胜、每局11分制的乒乓球比赛，比赛开始前通过抛掷一枚质地
的辐角，我们规定 范围内的辐角 的值为辐角的主值，记作 . 叫做复数
均匀的硬币来确定谁先发球假设甲发球时甲得分的概率为 ，乙发球时甲得分的概率为 ，各球的比赛结 的三角形式.
果相互独立，且各局的比赛结果也相互独立．
(1)若每局比赛甲获胜的概率 ，求该场比赛甲获胜的概率.
(2)已知第一局目前比分为10∶10，求
（ⅰ）再打两个球甲新增的得分 的分布列和均值；
（ⅱ）第一局比赛甲获胜的概率 ；
(1)设复数 ， ，求 、 的三角形式；
(2)设复数 ， ，其中 ，求 ；
18．（17分）如图，小明同学先把一根直尺固定在画板上面，把一块三角板的一条直角边紧靠在直尺边沿， (3)在 中，已知 、 、 为三个内角 的对应边.借助平面直角坐标系及阅读材料中所给复数相
再取一根细绳，它的长度与另一直角边相等，让细绳的一端固定在三角板的顶点A处，另一端固定在画板 关内容，证明：
上点F处，用铅笔尖扣紧绳子（使两段细绳绷直），靠住三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，这时
① ；
笔尖在平面上画出了圆锥曲线C的一部分图象.已知细绳长度为3，经测量，当笔尖运动到点P处，此时，
， .设直尺边沿所在直线为a，以过F垂直于直尺的直线为x轴，以过F垂直于a的 ② ， ， .
垂线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系. 注意：使用复数以外的方法证明不给分
(1)求曲线C的方程；
(2)斜率为k的直线 过点 ，且与曲线C交于不同的两点M，N，已知k的取值范围为(0,2)，若
，求 的范围.
