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2025 年高考第一次模拟考试
高三数学（上海卷）01
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．已知全集 ，集合 ，则 ．
2．已知 为虚数单位，复数 ，则复数 的虚部为 ．
3．不等式 的解集为 ．
4．已知函数 ，若 ，则实数 ．
5．已知 ，且 在第二象限，则 ．
6．已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 ．
7．直线 和 的夹角为 ．（用反三角形式表示）
8．已知二项式 的展开式中，前三项的二项式系数之和为37，则展开式中的第五项为
．
9．在 中， 是 边的中点.若 ， ， ，则 ．
10．已知抛物线 的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点．若
为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为 ．
11．上海市奉贤区奉城镇的古建筑万佛阁（图1）的屋檐下常系挂风铃（图2），风吹铃动，悦耳清脆，亦称惊鸟铃，一般一个惊鸟铃由铜铸造而成，由铃身和铃舌组成，为了知道一个惊鸟铃的质量，可以通
过计算该惊鸟铃的体积，然后由物理学知识计算出该惊鸟铃的质量，因此我们需要作出一些合理的假
设：
假设1：铃身且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥；
假设2：两圆锥的轴在同一条直线上；
假设3：铃身内部有一个挂铃舌的部位的体积忽略不计．
截面图如下（图3），其中 ， ， ，则制作 个这样的惊鸟铃的铃
身至少需要 千克铜．（铜的密度为 ）（结果精确到个位）
12．等差数列 ， ，存在正整数 ，使得 ， ，若集合 有4个
不同元素，则 的可能取值有 个．
二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正
确选项)
13．“ ”是“ ”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
14．为了了解高一、高二、高三学生的身体状况，现用分层随机抽样的方法抽出一个容量为1200的样本，
三个年级学生数之比依次为 ，已知高一年级共抽取了240人，则高三年级抽取的人数为（ ）
A．240 B．300 C．360 D．400
15．如图，两个共底面的正四棱锥（底面ABCD是正方形，顶点E、F与正方形ABCD的中心的连线与底
面ABCD垂直）组成一个八面体 ，且该八面体的各棱长均相等，则（ ）A．异面直线AE与BC所成的角为
B．
C．平面 平面CDF
D．直线AE与平面BDE所成的角为
16．将曲线 ( )与曲线 ( )合成的曲线记作 ．设 为实数，斜率为 的直线
与 交于 两点， 为线段 的中点，有下列两个结论：①存在 ，使得点 的轨迹总落在某个椭
圆上；②存在 ，使得点 的轨迹总落在某条直线上，那么（ ）．
A．①②均正确 B．①②均错误
C．①正确，②错误 D．①错误，②正确
三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)
17．如图，在四棱锥 中，底面 是边长为1的正方形， ， 、 分别是 、
的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)若二面角 的大小为 ，求直线 与平面 所成角的大小.18．已知函数 ．
(1)求函数 的最小正周期和单调区间；
(2)若关于 的方程 在 上有两个不同的实数解，求实数 的取值范围．
19．学校为了解学生对“公序良俗”的认知情况，设计了一份调查表，题目分为必答题和选答题．其中必
答题是①、②、③共三道题，选答题为④、⑤、⑥、⑦、⑧、⑨、⑩共七道题，被调查者在选答题中
自主选择其中 道题目回答即可．现从④、⑥、⑧、⑩四个题目中至少选答一道的学生中随机抽取
名学生进行调查，他们选答④、⑥、⑧、⑩的题目数及人数统计如表：
选答④、⑥、⑧、⑩的题目数 1道 2道 3道 4道
人数
(1)现规定：同时选答④、⑥、⑧、⑩的学生为“公序良俗”达人．学校还调查了这 位学生的性别
情况，研究男女生中“公序良俗”达人的大概比例，得到的数据如下表：
“公序良俗” 非“公序良俗”
性别 总计
达人 达人
男性
女性
总计
请完成上述 列联表，并根据小概率值 的独立性检验，分析“公序良俗”达人与性别是否
有关．
(2)从这 名学生中任选 名，记 表示这 名学生选答④、⑥、⑧、⑩的题目数之差的绝对值，求
随机变量 的分布和数学期望．参考公式： ，其中 ．附表见上图．
20．已知点 在双曲线 的一条渐近线上， 为双曲线的左、右焦点且 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)过点 的直线 与双曲线 恰有一个公共点，求直线 的方程；
(3)过点 的直线 与双曲线左右两支分别交于点 ，求证： .21．设函数 的定义域为D，对于区间 ，当且仅当函数 满足以下①②两个
性质中的任意一个时，则称区间 是 的一个“美好区间”．
性质①：对于任意 ，都有 ；性质②：对于任意 ，都有 ．
(1)已知 ， ．分别判断区间[0,2]和区间 是否为函数 的“美好区间”，
并说明理由；
(2)已知 且 ，若区间 是函数 的一个“美好区间”，求
实数 的取值范围；
(3)已知函数 的定义域为 ，其图像是一条连续不断的曲线，且对于任意 ，都有
．求证：函数 存在“美好区间”，且存在 ，使得 不属于函数
的任意一个“美好区间”．
