文档文本内容
2025 年高考第一次模拟考试
高三数学（上海卷）01·全解全析
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．已知全集 ，集合 ，则 ．
【答案】
【解析】因为 ， ，
所以 .
故答案为： .
2．已知 为虚数单位，复数 ，则复数 的虚部为 ．
【答案】 /0.1
【解析】 ，
所以复数 的虚部为 .
故答案为： .
3．不等式 的解集为 ．【答案】
【解析】不等式 可化为 ，
即 ，解得 ，
所以原不等式的解集为 ．
故答案为：
4．已知函数 ，若 ，则实数 ．
【答案】 或
【解析】若 ，则 ，解得： ；若 ，则 ，解得： ；
综上所述： 或 .
故答案为： 或 .
5．已知 ，且 在第二象限，则 ．
【答案】
【解析】因为 ，且 在第二象限，
所以 ，
所以 ，
所以 ，故答案为：
6．已知随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 ．
【答案】
【解析】解法一： .
解法二： .
故答案为：
7．直线 和 的夹角为 ．（用反三角形式表示）
【答案】
【解析】易知 的斜率为 ，设其倾斜角为 ，可得 ；
又易知 的倾斜角为 ，
因此所求夹角为 ，
易知 ，因此 .
故答案为：
8．已知二项式 的展开式中，前三项的二项式系数之和为37，则展开式中的第五项为
．
【答案】
【解析】解：已知二项式 的展开式中，
前三项的二项式系数之和为 ，则 ，
故展开式中的第五项为 ，9．在 中， 是 边的中点.若 ， ， ，则 ．
【答案】
【解析】如图所示，
由题意得，因为 ， ， ，
所以由余弦定理，线段AB与AC的夹角余弦值为： ，
所以 ，
又D是BC中点，所以 ，
所以 .
故答案为： .
10．已知抛物线 的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点．若
为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为 ．
【答案】
【解析】因为 为等边三角形，则|PM|=|PF|，
由抛物线的定义得PM垂直于抛物线的准线，
m2 p
设P(m, )，则点M(m,- )，
2p 2
{ m2 p
+ =4
2p 2
又由焦点 ， 是等边三角形，所以 ，
√ p p 2
❑( + ) +m2=4
2 2{m2=12
解得 ，因此抛物线方程为 .
p=2
故答案为： .
11．上海市奉贤区奉城镇的古建筑万佛阁（图1）的屋檐下常系挂风铃（图2），风吹铃动，悦耳清脆，亦
称惊鸟铃，一般一个惊鸟铃由铜铸造而成，由铃身和铃舌组成，为了知道一个惊鸟铃的质量，可以通过计
算该惊鸟铃的体积，然后由物理学知识计算出该惊鸟铃的质量，因此我们需要作出一些合理的假设：
假设1：铃身且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥；
假设2：两圆锥的轴在同一条直线上；
假设3：铃身内部有一个挂铃舌的部位的体积忽略不计．
截面图如下（图3），其中 ， ， ，则制作 个这样的惊鸟铃的铃身至
少需要 千克铜．（铜的密度为 ）（结果精确到个位）
【答案】
【解析】由题意可知，圆锥 的底面半径为 ，高为 ，
圆锥 的底面半径为 ，高为 ，因为 ，
所以，制作 个这样的惊鸟铃的铃身至少需要 千克铜.
故答案为： .
12．等差数列 ， ，存在正整数 ，使得 ， ，若集合 有4个
不同元素，则 的可能取值有 个．
【答案】4
【解析】设等差数列 的首项为 ，公差为 ，则 ， ，
由题意，存在正整数 ，使得 ，又集合 有4个不同元素，得 ，
当 时， ，即 ，
，或 （舍），
，取 ，则 ，在单位圆上的4个等分点可取到4个不同的正弦值，即集合
可取4个不同元素；
当 ， ，即 ，
，在单位圆上的5个等分点不可能取到4个不同的正弦值，故舍去；
同理可得：当 ， ， ，集合 可取4个不同元素；
当 时， ，单位圆上至少9个等分点取4个不同的正弦值，必有至少3个相等的正弦值，不符
合集合 的元素互异性，故不可取应舍去.
故答案：4.
二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正
确选项)
13．“ ”是“ ”的（ ）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
【答案】A
【解析】若 ，则 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以充分性成立；
若 ，例如 ，则 ，符合题意，
但 ，即必要性不成立；
综上所述：“ ”是“ ”的充分非必要条件.
故选：A.
14．为了了解高一、高二、高三学生的身体状况，现用分层随机抽样的方法抽出一个容量为1200的样本，
三个年级学生数之比依次为 ，已知高一年级共抽取了240人，则高三年级抽取的人数为（ ）
A．240 B．300 C．360 D．400
【答案】C
【解析】依题意可得 ，解得 ，
所以高三年级抽取的人数为 人.
故选：C
15．如图，两个共底面的正四棱锥（底面ABCD是正方形，顶点E、F与正方形ABCD的中心的连线与底
面ABCD垂直）组成一个八面体 ，且该八面体的各棱长均相等，则（ ）
A．异面直线AE与BC所成的角为
B．
C．平面 平面CDFD．直线AE与平面BDE所成的角为
【答案】B
【解析】因为 ，所以 （或其补角）即为异面直线AE与BC所成的角，
又 ，所以 ，即异面直线AE与BC所成的角为 ，A错误；
连接AC交BD于点O，则点O为正方形 的中心，连接EF，
根据正棱锥的性质可知EF必过点O，且 平面 ，
所以 ，又 ， ，OE， 平面ACE，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，B正确；
由对称性可知 ， ，所以四边形 为平行四边形，
所以 ，又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
同理 平面 ，又 ，AF， 平面 ，
所以平面 平面 ，C错误；
由 ， ，得 ，在正方形ABCD中， ，
又 平面 ，所以 平面 ，
所以 即为直线AE与平面 所成的角，
设该八面体的棱长为2，则 ，
所以 ，所以 ，D错误.
故选：B.
16．将曲线 ( )与曲线 ( )合成的曲线记作 ．设 为实数，斜率为 的直线
与 交于 两点， 为线段 的中点，有下列两个结论：①存在 ，使得点 的轨迹总落在某个椭圆上；
②存在 ，使得点 的轨迹总落在某条直线上，那么（ ）．
A．①②均正确 B．①②均错误
C．①正确，②错误 D．①错误，②正确【答案】C
【解析】设 ， ， ，则 .
对①，当 时， ， ，易得 ，故两式相减有 ，易得此时 ，
故 ，所以 ，即 .代入 可得
，所以 ，故存在 ，使得点 的轨迹总落在椭圆
上.故①正确；
对②， ， .由题意，若存在 ，使得点 的轨迹总落在某条直线上，则
， ，
两式相减有 ，即 ，又 ，故
，即 ，又 ，故若存在 ，使得点 的轨迹总落在某条
直线上，则 为常数.即为定值，因为分子分母 次数不同，故若为定
值则 恒成立，即 ，无解.即不存在 ，使得点 的轨迹总
落在某条直线上
故选：C
三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)
17．如图，在四棱锥 中，底面 是边长为1的正方形， ， 、 分别是 、
的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)若二面角 的大小为 ，求直线 与平面 所成角的大小.
【解析】（1）证明：取线段 、 的中点分别为 、 ，连接 、 、 ，
则 ， ， （1分）
又底面 是正方形，即 ，
则 ，即四边形 为平行四边形，
则 ， （4分）
又 在平面 外， 平面 ，
故 平面 .（6分）
（2）取线段 的中点为 点，连接 、 ，
又 ，底面 是边长为 的正方形，
则 ，且 ， ，
又二面角 的大小为 ，
即平面 平面 ， （7分）
又 平面 ，平面 平面 ，
则 平面 ，
则 是直线 与平面 所成角， （9分）
在 中， ，
即 ，
故直线 与平面 所成角的大小为 . （14分）
18．已知函数 ．
(1)求函数 的最小正周期和单调区间；(2)若关于 的方程 在 上有两个不同的实数解，求实数 的取值范围．
【解析】（1） ，
则函数 的最小正周期 ； （1分）
令 ，解得 ，
可得函数 的单调递增区间为 · （3分）
令 ，解得 ，
可得因数 的单调递减区间为 ； （6分）
（2）由（1）可知， 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
当 ， ， 由 增大到1，
当 ， ， 由1减小到 ， （12分）
若关于 的方程 在 上有两个不同的实数解，则实数 的取值范围为 （14
分）
19．学校为了解学生对“公序良俗”的认知情况，设计了一份调查表，题目分为必答题和选答题．其中必
答题是①、②、③共三道题，选答题为④、⑤、⑥、⑦、⑧、⑨、⑩共七道题，被调查者在选答题中自主
选择其中 道题目回答即可．现从④、⑥、⑧、⑩四个题目中至少选答一道的学生中随机抽取 名学生
进行调查，他们选答④、⑥、⑧、⑩的题目数及人数统计如表：
选答④、⑥、⑧、⑩的题目数 1道 2道 3道 4道人数
(1)现规定：同时选答④、⑥、⑧、⑩的学生为“公序良俗”达人．学校还调查了这 位学生的性别情况，
研究男女生中“公序良俗”达人的大概比例，得到的数据如下表：
“公序良俗” 非“公序良俗”
性别 总计
达人 达人
男性
女性
总计
请完成上述 列联表，并根据小概率值 的独立性检验，分析“公序良俗”达人与性别是否有关．
(2)从这 名学生中任选 名，记 表示这 名学生选答④、⑥、⑧、⑩的题目数之差的绝对值，求随机
变量 的分布和数学期望．
参考公式： ，其中 ．附表见上图．
【解析】（1）这100位学生中，“公序良俗”达人有20人，由此补全列联表如下：
“公序良俗” 非“公序良俗”
性别 总计
达人 达人
男性 13 30 43
女性 7 50 57
总计 20 80 100
（2分）
零假设 ：“公序良俗”达人与性别无关，
可得 ，
所以根据小概率值 的独立性检验，我们可推断 不成立，即认为“公序良俗”达人与性别有关．
（6分）（2）由题意，随机变量 的可能有 ， ， ， ，
可得 ， （7分）
， （8分）
， （9分）
， （10分）
所以 的分布列如下：
0 1 2 3
所以数学期望 . （14分）
20．已知点 在双曲线 的一条渐近线上， 为双曲线的左、右焦点且 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)过点 的直线 与双曲线 恰有一个公共点，求直线 的方程；
(3)过点 的直线 与双曲线左右两支分别交于点 ，求证： .
【解析】（1）设双曲线 的渐近线为 ，
因为点 在双曲线的一条渐近线上，所以 ，
又 ，故 ，
又 解得 ，故双曲线 的方程为 . （4分）
（2）如图，当直线斜率不存在时， ，满足题意； （5分）
如图，当斜率存在时，由双曲线的性质结合看图可得，
当直线过点 且平行于双曲线的渐近线 时，直线与双曲线也只有一个公共点，
此时， ， （7分）
此时直线方程为： ，即
综上：直线的方程为 或 . （10分）
（3）由题，直线斜率存在，
设直线方程为 ，即 ，A(x ,y ),B(x ,y )，
1 1 2 2
联立 ，整理得： ，
则
由弦长公式：令 ，则 ,
则 , ，则 （12分）
令 , 与 同正负. ，此时 ，则
，即 单调递增，
则 ，且 ， （13分）
则 ，使得
则当 ，即 ，则 单调递减.
当 ，即 ，则 单调递增.
则 在 出取得最小值 ,且 ，
故
即 ，原命题得证. （18分）
21．设函数 的定义域为D，对于区间 ，当且仅当函数 满足以下①②两个
性质中的任意一个时，则称区间 是 的一个“美好区间”．
性质①：对于任意 ，都有 ；性质②：对于任意 ，都有 ．
(1)已知 ， ．分别判断区间[0,2]和区间 是否为函数 的“美好区间”，并
说明理由；(2)已知 且 ，若区间 是函数 的一个“美好区间”，求实数
的取值范围；
(3)已知函数 的定义域为 ，其图像是一条连续不断的曲线，且对于任意 ，都有
．求证：函数 存在“美好区间”，且存在 ，使得 不属于函数
的任意一个“美好区间”．
【解析】（1）区间[0,2]和区间 都是函数 的“美好区间”，理由如下：
由 ，
当x∈[0,2]时， ，所以区间[0,2]是函数 的“美好区间”
当 时， ，不是 的子集，
所以区间 不是函数 的“美好区间” （4分）
（2）记 ，
若区间 是函数 的一个“美好区间”，则 或
由 ，可得 ，
所以当 或 时， ，则 的单调递增区间为： ， ；
当 时， ，则 的单调递增区间为： ，
且 ， ， ，得到 在 的大致图像如下：（5分）
(i)当 时， 在区间 上单调递减，且 ，
所以 ，则 ，即对于任意 ，都有 ，满足性质②,
故当 时，区间 是函数 的一个“美好区间”； （6分）
(ii)当 ， 在区间 上单调递减，在 上单调递增，此时 ，
所以 ， ，则当 时，区间 不是函数 的一个“美
好区间”； （7分）
(iii)当 时， 在区间 上单调递减，在 上单调递增，且 ，此时
，
所以 ， ，则当 时，区间 不是函数 的一个“美
好区间”； （8分）
(iv)当 时， 在区间 上单调递减，在 上单调递增，且 ，此时 ，
因为 ，则要使区间 是函数 的一个“美好区间”，则 ，即 ，
构造函数 ，则 ，
由于 ，所以 恒成立，则 在区间 上单调递增，
所以 ，则 ，不满足题意，
故当 时，区间 不是函数 的一个“美好区间”，
综上，实数 的取值范围是 （10分）
（3）对于任意区间 ，记 ，
因为对于任意 ，都有 ，
所以 在区间 上单调递减，故 ，
因为 ，即 的长度大于 的长度，故 不满足性质①，
所以若 为 的“美好区间”必满足性质②，即 ，
即只需要 或 ，
由 显然不恒成立，所以存在常数 使得 ，
如果 ，取 ，则区间 满足性质②；
如果 ，取 ，则区间 满足性质②；
综上，函数 一定存在“美好区间”；
记 ，则 的图象连续不断，下证明 有零点，
由于 在 上单调递减，则 在 上是减函数，记
若 ，则 是 的零点；
若 ，则 ，记 ， ，由零点存在定理，可知存在 ，使得 ；
若 ，则 ，记 ， ，
由零点存在定理，可知存在 ，使得 ；
综上， 有零点 ，即 ，
因为 所有“美好区间” 都满足性质②，故 ，否则 与性质②矛盾；
即存在，使得不属于函数的任意一个“美好区间”，证毕. （18分）
