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2024 年上海高考数学第三次模拟考试
10．已知函数 ，若 ，且函数 的部分图象如图所示，则
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
等于 ．
注意事项：
1．本试卷由选择题、填空题和解答题三大题组成，共21题。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证
号填写在答题卡上。
2.本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答
题纸上，在试卷上作答一律不得分．
3.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．
4．测试范围：高考全部内容
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在
11．人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术．在人脸识别中，主要应用距
答题纸的相应位置直接填写结果．
离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．设 ， ， ， ，
1．方程 的解集为 ，方程 的解集为 ，已知 ，则
则 曼 哈 顿 距 离 ， 余 弦 距 离 ， ， ， 其 中
．
为坐标原点）．已知点 ， ，则 的最大值为 ．
2．复数 满足 ，则 ．
3．若 是直线 的一个法向量，则直线 的倾斜角大小为 ．
12．已知实数 ， 满足 ，则 的最小值为 ．
4．已知随机变量 服从正态分布 ， ，若 ，则 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分）每题有且仅有一
5．某研究所收集、整理数据后得到如下列表：
个正确选项，考生应在答题纸相应编号位置将代表正确选项的小方格涂黑。
2 3 4 5 6
3 7 9 10 11 13．“ ”是“ ”的
由两组数据可以得到线性回归方程为 ，则 ．
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
6．底面半径都是3且高都是4的圆锥和圆柱的全面积之比为 ． C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．若多项式 ，则 ． 14．如图，在三棱柱 中， 、 分别是 、 的中点， 为 的重心，则
8．高三年级某8位同学的体重分别为45，50，55，60，70，75，76，80（单位： ，现在从中任选3位
同学去参加拔河，则选中的同学中最大的体重恰好为这组数据的第70百分位数的概率是 ．
9．已知数列 是等比数列，且 ．设 ，数列 的前 项和为 ，则 ．（1）求证： 平面 ；
（2）求点 到平面 的距离．
A． B．
C． D．
18．（14分）已知函数 ．
15．下列有关事件的说法正确的是
（1）求 的最小正周期以及单调增区间；
A．若 （A） （B） ，则事件 ， 为对立事件
（2）在 中，若 ， ，求 周长的取值范围．
B．事件 ， 中至少有一个发生的概率一定比 ， 中恰有一个发生的概率大
C．若 ， 为互斥事件，则 （A） （B）
D．若事件 ， ， 满足条件 （A） ． 和 为互斥事件，则
19．（14分）在测试中，客观题难度的计算公式为 ，其中 为第 题的难度， 为答对该题的人数，
16．若 在曲线 上，若存在过 的直线交曲线 于 点，交直线 于 点，满足 为参加测试的总人数．现对某校高三年级 240名学生进行一次测试，共5道客观题．测试前根据对学生
的了解，预估了每道题的难度，如表所示：
或 ，则称 点为“ 点”，那么下列结论中正确的是 题号 1 2 3 4 5
0.9 0.8 0.7 0.6 0.4
考前预估难度
A．曲线 上所有点都是 点
测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下：
B．曲线 上仅有有限多个点是 点 题号 1 2 3 4 5
实测答对人数 16 16 14 14 4
C．曲线 上所有点都不是 点
（1）根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数；
D．曲线 上有无穷多个点（但不是全部）是 点
（2）从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，记这2名学生中第5题答对的人数为 ，求 的分布列和
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
数学期望；
17．（14分）如图①，在梯形 中， ， ， ， ， ，将 （3）试题的预估难度和实测难度之间会有偏差．设 为第 题的实测难度，请用 和 设计一个统计量，
沿边 翻折至△ ，使得 ，如图②，过点 作一平面与 垂直，分别交 ， 并制定一个标准来判断本次测试对难度的预估是否合理．
于点 ， ．
20．（18分）已知椭圆 与抛物线 在第一象限交于点 ， ， ，分别为 的左、右顶点．
（1）若 ，且椭圆 的焦距为2，求 的准线方程；
（2）设点 是 和 的一个共同焦点，过点 的一条直线 与 相交于 ， 两点，与 相交于 ，
两点， ，若直线 的斜率为1，求 的值；
（3）设直线 ，直线 分别与直线 交于 ， 两点， 与 的面积分别为 ， ，
若 的最小值为 ，求点 的坐标．
21．（18分）已知函数 满足 ，当 时， ．
（1）当 ， 时，求函数 的图像与 轴所围成的图形面积；
（2）当 ， 时，求函数 的最大值；
