2024 年高考第三次模拟考试
数学 参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个
选项是符合题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
C A B C D A A C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．AC 10．BCD 11．ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
12． 13． 14．2
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
【解析】(1) ,则 ,
故曲线 在 处的切线为 ,即 ,
当 时,此时切线为 ,不符合要求当 时,令 ,有 ,
令 ,有 ,故 ,即 ,故 .........................................................6 分
(2) ,
①当 时, 在 上单调递增,
的最大值是 ,解得 ,舍去;.............................................8分②当 时,由 ,得 ,
当 ,即 时, 时, 时, ,
的单调递增区间是 ,单调递减区间是 ,又 在 上的最大值为
; ..................................................................10分
当 ,即 时, 在 上单调递增, ,
解得 ,舍去.
综上,存在 符合题意,此时 .........................................................................13 分
16.(本小题满分15分)
【解析】（1）因为购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数之比为 ，
所以这10人中，购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为：
， ， ，
故随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率 ．…………6分
（2）（i）从 人中任选2人，有 种选法，其中购票类型相同的有 种选法，则询问的某组被标为B的概率 ．
…………8分
（ii）由题意，5组中恰有3组被标为B的概率
，
所以 ， ，
所以当 时， ，函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减，
所以当 时， 取得最大值，且最大值为 ．
由 ， 且 ，得 ．
当 时，5组中恰有3组被标为B的概率最大，且 的最大值为 ．…15分
17.(本小题满分15 分)
【解析】（1）证明： ，所以 ，
而 ，
所以 ，即O，P， 三点共线．………………6分
（2）连接 ， ， ，所以 ， ，
， ， ，由余弦定理得 ，
同理可得， ．
又 为BD的中点， ， ．
， ，即 ．
如图，以O为原点建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，………………10分
由（1）可得，P为线段 三等分点，
所以 ，
， ， ，
设平面PAB的法向量为 ，则
令 ，则 ， ．………………12分
设直线 与平面PAB所成角为 ，
则 ，直线 与平面PAB所成角的正弦值为 ．………………15分
18.(本小题满分17分)
【解析】(1)设 的平分线与 轴交于点 ，由题意知， ， ，A
所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，
所以直线 的方程为 ………………………………………5分
(2)假设存在两点 关于直线 对称，则 ，所以 ，
设直线 的方程为 ，联立 ，得 ，
则 ，即 , ， .
所以 的中点坐标为 ，因为 的中点在直线 ：
所以 ，所以 ，所以 的中点坐标为 ，与点A重合，矛盾，
所以不存在满足题设条件相异的两点………………………………………………12分
由题意知， ，设与椭圆 共焦点的双曲线 的标准方程为
，设它们的一个交点坐标为 ，
它们的交点为顶点的四边形面积记 ，所以 ，
当且仅当 取得等号，因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以双曲线 的标准方程为 .………………17分
19.(本小题满分17分)【解析】（1）由题意可得 ， ， ，
所以 . ……………………………………5分
（2）假设存在 ，使得 ，
则有 ，
由于 与 的奇偶性相同， 与 奇偶性不同，
又 ， ，
所以 中必有大于等于 的奇数因子，这与 无 以外的奇数因子矛盾，
故不存在 ，使得 .……………………………………………10分
（3）首先证明 时，对任意的 都有 ，
因为 ，
由于 与 均大于 且奇偶性不同，
所以 为奇数，对任意的 都有 ，
其次证明除 形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和，
若正整数 ，其中 ，
则当 时，由等差数列的性质可得：
，
此时结论成立，
当 时，由等差数列的性质可得：，
此时结论成立，
对于数列 ，此问题等价于数列 其相应集合 中满足 有多少项，
由前面证明可知正整数 不是 中的项，
