文档内容
2024 年中考第三次模拟考试（山西卷）
数学·参考答案
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D C B B C B A D A A
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．
12．32
13．
14．4
15．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（10分）（1）解：
......................................................................................................................2分
； .................................................................................................................................4分
（2）①小刚同学第一步变形用到的乘法公式是 ，............................5分
② 二； ..............................................................................................................................6分
正确解法如下：
................................................................................................7分.............................................................................................8分
． ..............................................................................................................10分
17．（7分）【详解】（1）解：问题：甲、乙两校的人数各是多少？
设：乙校的人数为x人．根据题意可列方程：
.....................................................................................................2分
解得：
经检验， 是原方程的解，且符合题意， ............................................................4分
人 ，
答：甲、乙两校的人数各是900人、1000人． .................................................................5分
问题：甲、乙两校的人均图书册数各是多少？
设：乙校的人均图书册数为x人．根据题意可列方程：
................................................................................................2分
解得：
经检验， 是原方程得解，且符合题意， .............................................................4分
册
答：甲、乙两校的人均图书册数各是20册、18册． ......................................................5分
（两个问题中选择一个解答即可）
（2）解后反思：方程思想 ...........................................................................................7分
18．（8分）【详解】（1）解：由图表②知，90出现的次数最多，故众数为90；
中位数为： ；
故答案为：90； ； ........................................................................................................2分
（2）解： ； .......................4分
答：计算1号参赛试题在第一环节中的得分为 ； ............................................5分
（3）解：几何直观、创新意识、推理能力、模型观念分别有1、2、3、4表示，画出的树状图如下：共有12种等可能结果，其中恰好抽到推理能力、模型观念的结果有2种， ..........................7分
则抽到推理能力、模型观念的概率为： ． .........................................................................8分
19.（8分）解：过点 作 于点 于点 ，如图所示，则四边形 是矩形．
∴ ． .................................................................................................................1分
由题意，可知．BG=GE=CH=2 DH=18, ∠ADE=45°,∠ACG=57°
设 ，则AG=AB+BG=x+2, AE=AG+GE=x+4 ..............................................................2分
．∵ ，
∴DE=AE=x+4，
∴． CG=HE=DE-DH=x-14 ...................................................................................................4分
在 中，∵ ， ...............................................................5分
∴ ，即x+2~1.54x(x-14) ............................................................................6分
解得x≈43.6． ......................................................................................................................7分
答：文峰塔塔身 的高度约为43.6m． ..............................................................................8分
20．（8分）（1）∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ．
∵ ，且 ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
∵ ， ，
∴ ≌ ．
故答案为： ； ............................................................................................................................2分
（2）将 平移至 ，
设正方形的边长为1，根据勾股定理可知 ， ，
，
∴ ，且 ，
∴ 是直角三角形，且 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
故答案为： ； .............................................................................................................................4分
（3）将 平移至 ，
设正方形的边长为1，根据勾股定理，得 ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ 是直角三角形，且 ，
则 ．
∵ ，
∴ ，∴ ． ...........................................................................................8分
21．（8分）（1）解：假设存在这样的矩形，且相邻两边的长分别为 和 ，
根据题意，可得 ， ......................................................................................2分
化简，得 ．
在这里 ， ， ，
． ..................................................................4分
原方程有实数根．
存在满足学校所给条件的矩形． .................................................................................5分
解法二．假设存在这样的矩形，其相邻两边长分别为 ， ，则 ， ，
在同一直角坐标系中 ， 的图象如下： ........................................2分
.....................................................................4分
因为两个函数图象有交点，所以存在满足学校所给条件的矩形． ...........................5分
（2）解：答案不唯一，如：方程和函数是解决实际问题常用的数学模型；数形结合是解决数学问题的一
种常用思想方法；方程和函数之间有着密切的联系等． ................................................3分22．（12分）（1）证明：∵正方形
∴ ，
∵将 沿 折叠，
∴ ，
∵E为 中点，
∴ ，
∴ ，
在 和 中
∴ ， ..........................................................................................3分
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ． .......................................................................................................4分
（2） ，选择图2进行证明．
将 沿 折叠，
则 ，∴ ， .....................................................................................5分
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， .............................................................................................6分
而E为 中点，
∴ ， ..................................................................................................7分
∴ ． ...........................................................................................8分
（3）第一种情况，当点P在点H左侧，如图2，∵ ，E为 中点，
∴ ，而
∴在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ； .....................................................................................................................10分
第二种情况，当点P在点H右侧，如图3，同理可求 ，此时 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
同理可得 ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ．
综上所述， 或 ． .............................................................................................12分
23．（13分）（1）∵一次函数 的图象分别与x轴，y轴交于B，C两点，
令 ，则 ，令 ，则 ，
∴B(4，0)，C (0， )，
把B(4，0)，C (0， )代入 ，
∴ ，解得： ，∴二次函数的解析式为 ； .................................................................3分
（2）∵B(4，0)，C (0， )，
∴OB=4，OC= ，
∴ ，
∴ ，
若∠ABC=2∠ABP，则∠ABP ，
设直线BP交 轴于E，
,
∴OE= ，
∴E(0， )或E (0， )， ..........................................................................5分
1 2
设直线BE 的解析式为 ，
1
∵B(4，0)，
∴ ，∴直线BE 的解析式为 ，
1
解方程 ，
整理得 ，
∴ ，即m的值为 ； .......................................................................................6分
同理可求得直线BE 的解析式为 ，
2
解方程 ，
整理得 ，
∴ ，即m的值为 ； .................................................................................8分
综上，m的值为 或 ； ...........................................................................................9分
（3）由（2）知 ，
∵CD//x轴，
∴ ，即 ，
抛物线 的对称轴为 ，
∴CD=2，
设点M的坐标为( ， )，如图：①当CD、CM为边，CN为对角线时，
则CD=CM=2， MDC是等边三角形，
∴点M在线段C△D的垂直平分线上，
∴ ，
∴点M的坐标为( ， )，
∴点N 的坐标为( ， )；
1
②当CD、DM为边，DN为对角线时，
同理可得点N 的坐标为( ， )；
2
③当CD为对角线时，
根据菱形的对称性知：点M与点N关于对角线CD对称，
∴点N 的坐标为( ， )；
3
综上，点N的坐标为( ， )或( ， )或( ， )． .........................................................13分
