文档文本内容
2024 年上海高考数学第三次模拟考试
数学·全解全析
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷由选择题、填空题和解答题三大题组成，共21题。答卷前，考生务必将自己的姓名、
准考证号填写在答题卡上。
2.本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择
题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．
3.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．
4．测试范围：高考全部内容
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在
答题纸的相应位置直接填写结果．
1．方程 的解集为 ，方程 的解集为 ，已知 ，
则 ， ， ．
【分析】根据 即可得出 ，且 ，从而得出关于 ， 的方程组，解出 ，
即可得出集合 ， ，然后进行并集的运算即可．
【解答】解： ；
， ；
；
解得 ；
则方程 可以化简为 ，解得 或 ， ， ；
方程 可以化简为 ，解得 ，或1， ， ；
， ， ．故答案为： ， ， ．
【点评】考查交集、并集的定义及运算，一元二次方程的解法，元素与集合的关系．
2．复数 满足 ，则 ．
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．
【解答】解： ，
则 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
3．若 是直线 的一个法向量，则直线 的倾斜角大小为 ．
【分析】先求出直线 的斜率 ，由此能求出直线 的倾斜角大小．
【解答】解： 是直线 的一个法向量，
直线 的斜率 ，
则直线 的倾斜角大小为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查直线的倾斜角的求法，考查直线的法向量、直线的斜率、直线的倾斜角等基础知
识，考查运算求解能力，是基础题．
4．已知随机变量 服从正态分布 ， ，若 ，则 0.4
．
【分析】根据正态分布的均值和方差画出略图，利用正态分布图的对称性即可求得．
【解答】解：由 可得 ，
则 ，故 ，所以 ．
故答案为：0.4．
【点评】本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
5．某研究所收集、整理数据后得到如下列表：
2 3 4 5 6
3 7 9 10 11
由两组数据可以得到线性回归方程为 ，则 0. 4 ．
【分析】求出样本中心点 ，代入回归方程即可求解．
【解答】解：根据题意可得， ， ，
又 ，所以 ，
故答案为：0.4．
【点评】本题考查线性回归直线方程的性质，方程思想，属基础题．
6．底面半径都是3且高都是4的圆锥和圆柱的全面积之比为 ．
【分析】直接求出圆锥或圆柱的全面积，即可确定二者的比值．
【解答】解：由题意，圆柱与圆锥的底面半径 ，圆柱与圆锥的高 ，
则圆锥的母线长为 ，
则圆锥的全面积为： ；
圆柱的全面积为： ．
圆锥的全面积与圆柱的全面积之比为： ．
故答案为： ．
【点评】本题考查圆锥、圆柱的全面积，正确应用面积公式是解题的关键，考查计算能力，是基础
题．
7．若多项式 ，则 1 5 ．【分析】根据二项展开式定理，分别求出 ， 的展开式，即可得出结论．
【解答】解： ，
，
所以 ， ， ，
所以 ，
故答案为：15．
【点评】本题考查二项式定理，属于基础题．
8．高三年级某8位同学的体重分别为45，50，55，60，70，75，76，80（单位： ，现在从中
任选3位同学去参加拔河，则选中的同学中最大的体重恰好为这组数据的第70百分位数的概率是
．
【分析】先求出第70百分位数，再结合古典概型的概率公式，即可求解．
【解答】解： ，
则第70百分位数为75，
故选中的同学中最大的体重恰好为这组数据的第70百分位数的概率是 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查古典概型的概率公式，属于基础题．
9．已知数列 是等比数列，且 ．设 ，数列 的前 项和为 ，则
．
【分析】根据等比数列的性质求得 ，根据等差数列的性质求得 ．
【解答】解：因为 为等比数列， ，所以 ，
又 ，可得 （为常数），
为等差数列，
所以 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了等差数列和等比数列的性质，属于中档题．
10．已知函数 ，若 ，且函数 的部分图象如图所
示，则 等于 ．
【分析】根据 的图象特点可确定 的性质，由此可得 的取值．
【解答】解：由图可知，函数 过点 和点 ，
即 ，又因为 ，所以 ，
结合正弦型函数的性质可知， ，解得 ，
所以 ，解得 ，因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，即 ， ，
解得 ， ，因为 ，所以 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查三角函数的性质，属于中档题．
11．人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术．在人脸识别中，主要
应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．设 ，
， ， ，则曼哈顿距离 ，余弦距离 ， ， ，
其中 为坐标原点）．已知点 ， ，则 的最大值
为 ．
【分析】根据题意作出示意图形，可得点 在正方形 的边上运动，结合题意分析 ，
的最大值，即可求出本题的答案．
【解答】解：设 ，由题意得： ，即 ，
而 表示的图形是正方形 ，其中 、 、 、 ．
即点 在正方形 的边上运动， ， ，
可知：当 ， 取到最小值时， ， 最大，相应的 有最
大值．
因此，点 有如下两种可能：
①点 为点 ，则 ，可得 ， ；②点 在线段 上运动时，此时 与 同向，取 ，则 ，
．
因为 ，所以 的最大值为 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查直线的方程及其应用、平面向量的夹角与数量积等知识，考查了计算能力、
图形的理解能力，属于中档题．
12．已知实数 ， 满足 ，则 的最小值为 ．
【分析】设 ． ，可知 是定值，
即可利用基本不等式的性质求解．
【解答】解：设 ， ，可知 ，
则 ．
当且仅当 ，即 ，也即 ， 时取等号．
故答案为：【点评】本题主要考查了基本不等式性质的构造，确定 是定值
是解题的关键，属于中档题．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分）每题有且
仅有一个正确选项，考生应在答题纸相应编号位置将代表正确选项的小方格涂黑。
13．“ ”是“ ”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断．
【解答】解： “ ” “ ， ，或 ， ”，
“ ” “ ”，又“ ” “ ”，
“ ”是“ ”的必要而不充分条件．
故选： ．
【点评】本题考查必要条件、充分条件和充要条件的判断，解题时要认真审题，注意三角函数性质
的合理应用．
14．如图，在三棱柱 中， 、 分别是 、 的中点， 为 的重心，则A． B．
C． D．
【分析】根据向量的数乘及加、减运算求解即可．
【解答】解：
．
故选： ．
【点评】本题主要考查空间向量及其线性运算，属于基础题．
15．下列有关事件的说法正确的是
A．若 （A） （B） ，则事件 ， 为对立事件
B．事件 ， 中至少有一个发生的概率一定比 ， 中恰有一个发生的概率大
C．若 ， 为互斥事件，则 （A） （B）
D．若事件 ， ， 满足条件 （A） ． 和 为互斥事件，则
【分析】利用互斥事件，对立事件的定义判断 ，利用举实例判断 ，利用条件概率公式判断 ．
【解答】解： ，若事件 ， 发生在不同的试验中，可能满足 （A） （B）
，但事件 ， 不对立， 错误，
，抛掷一个骰子，设事件 出现点数不超过 ， 出现点数不小于 ，则 与 为互斥
事件，
则事件 与事件 中至少有一个发生的概率 ，
与 中恰有一个发生的概率 ， 错误，
，若 ， 为互斥事件，则 （A） （B） ， 正确，
，若 （A） ， 和 为互斥事件，则 ， 错误，故选： ．
【点评】本题考查对立事件、互斥事件的定义，条件概率公式的运用，属于中档题．
16．若 在曲线 上，若存在过 的直线交曲线 于 点，交直线 于 点，满
足 或 ，则称 点为“ 点”，那么下列结论中正确的是
A．曲线 上所有点都是 点
B．曲线 上仅有有限多个点是 点
C．曲线 上所有点都不是 点
D．曲线 上有无穷多个点（但不是全部）是 点
【分析】设出 ，利用相似三角形求得 和 的关系，设出 的方程与椭圆方程联
立求得 的表达式，利用判别式大于0求得 和 的不等式关系，最后联立①②③求得 的范
围，进而通过 时， ，故此时不存在 点，进而求得 点的横坐标取值范围，
判断出题设的选项即可．
【解答】解：由题意， 、 的位置关系对称，
于是不妨设 ，（此时 ．
由相似三角形， ，
即 ，①
设 ，
与椭圆联立方程组， ，
消 得 ，
解得 ，②△ ， ，③
联立①②，得 ，而 ，
即 ，即 ，
而当 时， ，
故此时不存在 点，
又因为 的位置可以和 互换（互换后即 ，
所以 点的横坐标取值为 ， ， ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系问题，属于中档题．
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步
骤．
17．（14 分）如图①，在梯形 中， ， ， ， ，
，将 沿边 翻折至△ ，使得 ，如图②，过点 作一平面与
垂直，分别交 ， 于点 ， ．
（1）求证： 平面 ；
（2）求点 到平面 的距离．
【分析】（1）利用勾股定理可得 ，进而证得 平面 ，所以 ，又因为
，利用线面垂直的判定定理即可证得 平面 ；
（2）过点 作 ，垂足为 ，可证得 平面 ，即垂线段 的长度即为点 到
平面 的距离，再利用三角形相似求出 的长即可．【解答】证明：（1）如图①， ， ， ， ，
， ，
如图②， ， ， ，
，
，
，且 ， ， 平面 ，
平面 ，
又 平面 ， ，
平面 ，且 平面 ， ，
又 ，且 ， 平面 ，
平面 ．
解：（2）过点 作 ，垂足为 ，由（1）知 平面 ，
而 平面 ，
，
且 ， ， 平面 ， 平面 ，
则垂线段 的长度即为点 到平面 的距离，
在△ 中， ， ， ，
，
，
由已知得 ，则 ，
由（1）知 ，
， ，即点 到平面 的距离为 ．
【点评】本题主要考查了线面垂直的判定定理，考查了点到平面距离的求解，属于中档题．
18．（14分）已知函数 ．
（1）求 的最小正周期以及单调增区间；
（2）在 中，若 ， ，求 周长的取值范围．
【分析】（1）运用三角函数的恒等变换，可得 ，再结合三角函数的周期公式和
单调性，即可求解．
（2） 由 ，可推得 ，再结合余弦定理和不等式公式，即可求解．
【解答】解：（1）
，
，
令 ， ，解得 ， ，
的单调递增区间为 ．
（2） ，
，
为三角形的内角，
，
由余弦定理可得， ，
，即 ，又 ，
，
，当且仅当 时，等号成立，
又 ，
， ，
周长的取值范围为 ， ．
【点评】本题主要考查了余弦定理的运用，考查了学生对三角函数基础知识的综合运用，属于中档
题．
19．（14分）在测试中，客观题难度的计算公式为 ，其中 为第 题的难度， 为答对该
题的人数， 为参加测试的总人数．现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题．
测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如表所示：
题号 1 2 3 4 5
0.9 0.8 0.7 0.6 0.4
考前预估难度
测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下：
题号 1 2 3 4 5
实测答对人数 16 16 14 14 4
（Ⅰ）根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数；
（Ⅱ）从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，记这2名学生中第5题答对的人数为 ，求 的
分布列和数学期望；
（Ⅲ）试题的预估难度和实测难度之间会有偏差．设 为第 题的实测难度，请用 和 设计一
个统计量，并制定一个标准来判断本次测试对难度的预估是否合理．
【分析】（Ⅰ）由20人中答对第5题的人数为4人，求出第5题的实测难度为0.2，由此能估计
240人中实测答对人数．
（Ⅱ） 的可能取值是0，1，2．分别求出相应概率，由此能求出 的分布列和数学期望．
（Ⅲ）将抽样的20名学生中第 题的实测难度，作为240名学生第 题的实测难度．由题设条件推
导出该次测试的难度预估是合理的．【解答】解：（Ⅰ）因为20人中答对第5题的人数为4人，因此第5题的实测难度为 ．
（2分）
所以，估计240人中有 人实测答对第5题． （3分）
（Ⅱ） 的可能取值是 0，1，2． （4 分） ； ；
． （7分） 的分布列为：
0 1 2
（8分） ． （10分）
（Ⅲ）将抽样的20名学生中第 题的实测难度，作为240名学生第 题的实测难度．
定义统计量 ，其中 为第 题的预估难度．并规定：若
， 则 称 本 次 测 试 的 难 度 预 估 合 理 ， 否 则 为 不 合 理 ． （ 11 分 ）
． （12分）
因为 ，
所以，该次测试的难度预估是合理的． （13分）
注：本题答案不唯一，学生可构造其它统计量和临界值来进行判断．如“预估难度与实测
难度差的平方和”，“预估难度与实测难度差的绝对值的和”，“预估难度与实测难度差的绝
对值的平均值”等，学生只要言之合理即可．
【点评】本题考查概率的求法及应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查推理
论证能力、运算求解能力，考查化归转化思想、函数与方程思想，是中档题．20．（18分）已知椭圆 与抛物线 在第一象限交于点 ，
， ， 分别为 的左、右顶点．
（1）若 ，且椭圆 的焦距为2，求 的准线方程；
（2）设点 是 和 的一个共同焦点，过点 的一条直线 与 相交于 ， 两点，与
相交于 ， 两点， ，若直线 的斜率为1，求 的值；
（3）设直线 ，直线 分别与直线 交于 ， 两点， 与 的面积分别为
， ，若 的最小值为 ，求点 的坐标．
【分析】（1）由题意，根据焦距和 求出椭圆方程和 ，从而得到 ，求出准线方
程；
（2）先得到 ， 和直线方程，分别联立后，得到相应的弦长，从而分两向
量方向相同和相反求出答案；
（ 3 ） 由 三 点 共 线 得 到 和 ， 从 而 表 达 出 ， ， 得 到
，换元后得到 ，结合二次函数图象性质求出最小值，
得到方程，求出 ，进一步求出点 的坐标．
【解答】解：（1）因为椭圆 的焦距为2，所以 ，
解得 ，
则 ，
解得 ，
则椭圆 ，
因为 ， 在第一象限， ，
所以 ，
所以 ，
将点 的坐标代入 中，
解得 ，
则 的准线方程为 ；
（2）因为点 是 和 的一个共同焦点，
所以 ，
解得 ， ，
则 ， ，
此时直线 的方程为 ，
联立 ，消去 并整理得 ，
设 ， ， ， ，由韦达定理得 ， ，
所以 ，
联立 ，消去 并整理得 ，
设 ， ， ， ，
由韦达定理得 ， ，
所以 ，
若 方向相同，
此时 ，
若 方向相反，
此时 ，
故 ；
（3）因为 ， ， ， 三点共线，所以 ，
解得 ，
同理，由 ， ， ， 三点共线，
可得 ，
此时
，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
又 ，
则 ，
因为 ，
令 ，
此时 ，
所以 ，其中 ，
因为 ，
所以 的开口向下，对称轴为 ，
其中 ，
故当 时， 取得最大值，
最大值为 ，
则 的最小值为 ，
令 ，
解得 ，负值舍去，
所以 ，
解得 ，
此时 ，
又 ，
所以 ，
故点 的坐标为 ．【点评】本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于
中档题．
21．（18分）已知函数 满足 ，当 时， ．
（1）当 ， 时，求函数 的图像与 轴所围成的图形面积；
（2）当 ， 时，求函数 的最大值；
（3）当 ， 时，函数 与 的图像有交点，将从左向右的交点的横坐标依
次记为 ， ， ， ，数列 是否可能为等比数列，若可能，请求出对应的 值，
若不可能请说明理由．
【分析】（1）根据函数 的特点，分段求面积即可；
（2）估算 的范围 ，函数 的最大值为当 时的最大值与 中
较大者，求最值即可；
（3）分 和 两种情况讨论， 时直线 交各段函数的最高点，
此时 ，符合题意；当 时，求得 ， ， ，利用 求解即可．
【解答】解：（1）因为函数 满足 ，
又因为当 ， 时，函数 的图象与 轴所围成的图形面积为：，
当 ， 时，函数 的图象与 轴所围成的图形面积为：
，
当 ， 时，函数 的图象与 轴所围成的图形面积为：
，
当 ， 时，函数 的图像与 轴所围成的图形面积为：
，
此时函数 的图像与 轴所围成的图形面积为： ．
（2）当 时， ， （2） ，
由 可得：
当 ， 时，当 时取 ；
当 ， 时，当 时取 ；
当 ， 时，当 时取 ；
经计算可知， ，且 ，
所以当 ， 时，函数 的最大值为
当 时的最大值与 中较大者，
当 时 ，
，而 ，
所以当 ， 时，求函数 的最大值为 ．
（3）由 ，函数 与 的图象有交点，则 ，
由（2）知，当 ， 时，当 时取 ；
所以当 时，直线交各段函数 ，满足等比数列的通项公式，成立；
当 时，设 时，设 和 的交点为 ， ，
且 ， ，
当 时，设两交点为 ， ，
由此时 ，
所以 ， ，
当 时，设交点为 ， ，
且 ， ，
若 为等比数列，由前三项可得： ，
所以 ，解得 或 ，均舍去，
所以存在 ，使得数列 为等比数列．
【点评】本题考查数列与函数的综合应用，考查综合应用知识的能力和计算能力，属难题．
