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2024 年上海高考数学第二次模拟考试
高三数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷由选择题、填空题和解答题三大题组成，共21题。答卷前，考生务必将自己的姓名、
准考证号填写在答题卡上。
2.本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择
题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．
3.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．
4．测试范围：高考全部内容
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答
题纸的相应位置直接填写结果．
1．已知 ， ， ， 为虚数单位），且 ，则 ．
2．若集合 ， ，则使得 成立的所有 的值组成的
集合是 ．
3．已知随机变量 ，若 ，则 ．
4．若关于 的不等式 的解集为空集，则实数 的取值范围是 ．
5．在 的展开式中各项的系数和是 ．
6．曲线 在点 处的切线方程为 ．
7．函数 ，则 的最大值为 ．
8．某新能源汽车销售公司统计了某款汽车行驶里程 （单位：万千米）对应维修保养费用 （单
位：万元）的四组数据，这四组数据如表：
行驶里程 万千米 1 2 4 5
0.50 0.90 2.30 2.70
维修保养费用 万元
若用最小二乘法求得回归直线方程为 ，则估计该款汽车行驶里程为6万千米时的维修保养费是 ．
9．如图所示，已知一个半径为2的半圆面剪去了一个等腰三角形 ，将剩余部分绕着直径
所在直线旋转一周得到一个几何体，其中点 为半圆弧的中点，该几何体的体积为 ．
10．平面向量 ， 满足， ， ，则 与 夹角的最大值为 ．
11．已知椭圆 与双曲线 有共同的焦点 、 ，椭圆 的离心率为 ，双曲线 的离心率
为 ，点 为椭圆 与双曲线 在第一象限的交点，且 ，则 的最大值为 ．
12．已知等差数列 满足：
，则正整数
的最大值为 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分）每题有且
仅有一个正确选项，考生应在答题纸相应编号位置将代表正确选项的小方格涂黑。
13．已知平面 ， ，直线 ， 满足 ， ，则“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14．已知等比数列 中， ，公比 ，则下列说法正确的是
A．数列 是等比数列
B．数列 不是等比数列
C．数列 是等比数列D．数列 是单调递减数列
15．从商业化书店到公益性城市书房，再到“会呼吸的文化森林”——图书馆，建设高水平、现代
化、开放式的图书馆一直以来是大众的共同心声．现有一块不规则的地，其平面图形如图 1所示，
（百米），建立如图2所示的平面直角坐标系，将曲线 看成函数 图象的一部
分， 为一次函数图象的一部分，若在此地块上建立一座图书馆，平面图为直角梯形 （如
图 ，则图书馆占地面积（万平方米）的最大值为
A． B． C． D．
16．已知定义在 上的函数 ，对于给定集合 ，若对任意 ， ，当 时都有
，则称 是“ 封闭”函数．已知给定两个命题：
：若 是“ 封闭”函数，则 是“ 封闭”函数．
：若 是“ ， 封闭”函数 ，则 在区间 ， 上严格减．
则下列正确的判断为
A． 是真命题， 是真命题 B． 是假命题， 是真命题
C． 是真命题， 是假命题 D． 是假命题， 是假命题
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步
骤．17．（14分）如图，在三棱柱 中， 是边长为2的等边三角形， ，平
面 平面 ．
（1）证明： ；
（2）若 为 的中点，直线 与平面 所成的角为 ，求直线 与平面 所成的
角的正弦值．
18．（14分）挑选空间飞行员可以说是“万里挑一”，要想通过需要五关：目测、初检、复检、
文考（文化考试）、政审．若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根据分析甲、乙、丙
三位同学通过复检关的概率分别是0.5、0.6、0.75，能通过文考关的概率分别是0.6、0.5、0.4，由
于他们平时表现较好，都能通过政审关，若后三关
之间通过与否没有影响．
（1）求甲被录取成为空军飞行员的概率；
（2）求甲、乙、丙三位同学中恰好有一个人通过复检的概率．
19 ． （ 14 分 ） 在 中 ， 内 角 ， ， 所 对 的 边 分 别 为 ， ， ， 且
．
（1）求 ；
（2）若 ， 的面积为 ，求 的周长．20．（18分）已知椭圆 的离心率为 ， 轴被抛物线 截
得的线段长与 长轴长的比为 ．
（1）求 、 的方程；
（2）设 与 轴的交点为 ，过坐标原点 的直线 与 相交于点 、 ，直线 、 分别
与 相交于 、 ．
（ⅰ）设直线 、 的斜率分别为 、 ，求 的值；
（ⅱ）记 、 的面积分别是 、 ，求 的最小值．
21．（18分）三个互不相同的函数 ， 与 在区间 上恒有
或恒有 ，则称 为 与 在区间 上的“分割函数”．
（ 1 ） 设 ， ， 试 分 别 判 断 、 是 否 是 与
在区间 上的“分割函数”，请说明理由；
（2）求所有的二次函数 （用 表示 ， ，使得该函数是 与
在区间 上的“分割函数”；
（3）若 ， ， ，且存在实数 ， ，使得 为 与 在区
间 ， 上的“分割函数”，求 的最大值．
