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2024 年高考第二次模拟考试
高三数学 参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个
选项是符合题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
B C B C A D D B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．ACD 10．ABC 11．ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
12．①. ②. 13． 14． ①. ； ②. .
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）【解析】【小问1详解】由题意 是 的中
点，连接 ，
由已知 为等边三角形，所以 ．
由已知 , 平面 ,
,
所以 平面 又 平面ADE，故 ，
因为 ，所以 ，
又侧面 为平行四边形，所以侧面 是矩形
............................................. 6分
【小问2详解】
取 中点O，连接 ，
由已知得 ，底面 是边长为2的等边三角形，则 ，
因为 ，E为 的中点，
所以 ， 是等边三角形．
故 ，由（1）知 平面 ， 平面 ,
所以是 ， 平面 ,所以 ⊥平面 ． ............................................. 9分
以O为原点，过点O作 的平行线作为x轴，以 所在直线为y轴，z轴建立空间直角坐
标系，如上图，
故 ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
故 ，取 ，则 ， ............................................. 10
分
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
故 ，
所以直线 与平面 所成角的余弦值为 . .............................................13分
16．（15分）【解析】【小问1详解】
依题意有当 为椭圆短轴端点时 最大，此时 ，则
为正三角形，则 .............................................3分
且
，又 ， ， ，
故椭圆方程为 . .............................................5分
【小问2详解】
设 ， ， ，
若 ，则切线方程为 ，若 ，则在 处的切线的斜率必定存在， .............................................7分
设该切线的方程为 ，
由 可得 ，
整理得 ， ............................................. 8分
故 ，
整理得到： ，故 ，
故切线方程为： ，
故 ： ，
综上， ： ，同理 ： ............................................. 9分
因 ， 都过点 ，则 ，
则 方程为 ，即 过定点 .
故设 方程为 ， ，
联立 ，
， ，又 ............................................. 11分
直线 方程为： ，令 得
， .............................................13分当且仅当 即 ， 时取等号
故 最大值为 . .............................................15分
17．（15分）【解析】【小问1详解】因为每次训练都是由高射炮向目标飞行物连续发射三发炮
弹，
每发炮弹击中目标飞行物与否相互独立，
所以在一次训练中，连发三发B型号炮弹，用 表示命中目标飞行物的炮弹数，
则 （ 服从二项分布），
则 ， .............................................4分
即 ，则 ，即 ，则 ，
又 ，故 ，
所以当 时，才能使得至少有一发炮弹命中目标飞行物的概率不低于 .
.............................................6分
【小问2详解】
在一次训练中，连发三发A型号炮弹，用 表示命中目标飞行物的炮弹数，
则 （ 服从二项分布），，
记事件 为“使用A型号炮弹使得目标飞行物坠毁”，
事件 为“使用B型号炮弹使得目标飞行物坠毁”，
则
， .............................................8分
，因为 ，所以 ，
则
， ............................................. 10分
令 ，则 ，
令 ，即 ，则 ，得 ，
又 ，所以 恒成立， ............................................. 13分
所以 在 上单调递增，
又 ，则 ，
故 ，即 ，
所以使用B型号炮弹使得目标飞行物坠毁的概率更大. ............................................. 15分
18．（17分）【解析】【小问1详解】因为 ，则 ，即 ，
反之当 时， ， .............................................4分
令 ，则 ，
设 ，由于 在 单调递增，且 ，
所以当 时， ，即 ，
当 时 ，即 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
所以 ，即 ，所以 . .............................................9分
【小问2详解】
由（1）可知： ①
下面证明当 时， ②
等价于 ，设
，.............................................4分
当 时，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减,
所以 ，所以②式成立，
由①､②可得： ，当 时取到“ ”，
取 有， ，
所以 ，不等式成立. .............................................17
分
19．（17分）【解析】（1）当 时正整数 的4个正约数构成等比数列，
比如 为8的所有正约数,即 . ......................................... 4分
（2）由题意可知 ， ， ， ，
因为 ，依题意可知 ，所以 ，
化简可得 ，所以 ， ......................................... 9分
因为 ，所以 ，
因此可知 是完全平方数.
由于 是整数 的最小非1因子， 是 的因子，且 ，所以 ，
所以 为 ，
所以 , . ......................................... 11分
（3）证明：由题意知 ， ，
所以 ，
因为 ，
所以 .........................................14分
，
因为 ， ，所以 ，
所以 ，
即 . ......................................... 17 分
