文档内容
2024 年中考第二次模拟考试（山西卷）
数学·参考答案
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A A B D D C D D A D
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．
12．
13．
14．4
15．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（10分）【解析】（1）
.........................................................................3分
； ..........................................................................................5分
（2）任务一：①等式的性质；...............................................................6分
②二，3； .....................................................................................8分
③判定解是否是增根 ..................................................................9分
任务二： .................................................................................10分
17．（7分）【解析】（1）解：直线 与 相切，理由如下：
连接 ，
是直径，
，
，
，
，
...................................................................................2分
，
，即 ，
直线 与 相切； .....................................................................................3分
（2）解：连接 ， 交于点G，
，
，
， ，
，
， .........................................................................................................4分
设 半径为r，则 ，
在 中， ，
在 中， ，， ...........................................................................................................5分
解得 或 （舍），
，
在 中， ，
． ..........................................................................................7分
18．（8分）
【解析】（1）设打折前每个篮球的售价是 元，则打折后每个篮球的售价是 元，
由题意，得 ，解得 .................................................................2分
经检验， 是原方程的解，且符合题意
答：打折前每个篮球的售价是120元； .........................................................................4分
（2）设购买篮球 个，则购买足球 个
设购买50个篮球和足球的总费用为 元
由题意，得 ..................................................6分
随着 的增大而减小
又
当 时， 取得最小值，最小值为学校预算的1800元不够用
（元）
该学校至少还需要再添加2000元． ...............................................................................8分
19．（9分）
【解析】（1）“ 组”所对应的扇形的圆心角是: ，
故答案为： ； .........................................................................................................2分
（2） ，并补全频数分布直方图如图，
故答案为： ； ...............................................................................................................4分
（3）由（ ）得： ，即抽取 名学生，
即中位数排在第 ， 位的平均数，为 ，
故答案为： ； ...................................................................................................6分
（4）甲： ， ....................................................................................7分
乙： ， .......................................................................................8分
∵ ，
∴乙将获得“环保之星”称号． ..................................................................................9分
20．（8分）
【解析】解：任务一：如图①，延长 与 交于点N，过点A作 于点P，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 为矩形，∴ ， .............................................................................................................................1分
根据题意可得 ， ， ， ，
在 中， ， ...........................................................2分
∴ ，
在 中， ， ............................................................3分
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .................................................................................4分
∵ ，
∴ ，
∴通达桥拱门的高度 约为 ； ............................................................................5分
任务二：测量方案如图②所示，需要测量的数据有 的度数， 的度数， 之间的距离．解 可得 ，解 可得 ， ................................6分
则 ，
∴需要测量的数据有 的度数， 的度数， 之间的距离． ........................8分
21．（8分）
【解析】（1）解：按照上面的解题思路，完成数学问题的剩余部分如下：
∵ ，
∴当 时， 取最大值，最大值为1； ..............................................2分
（2）令 ， 两数的和为定值 ，
设 ， ，
则 ，
∴当 时， 取最大值为 ，此时 ，
∴若 ， 两数的和为定值，则 ， 满足 时， 的值最大．
故答案为： ； ..........................................................................................4分
（3）解决这个物理问题主要体现的数学思想是模型思想．
故选：C； .................................................................................................6分
（4）由以上结论可知，当 时， 取最大值，
∴ ，
∴ ．
故答案为：3.75． .........................................................................................8分
22．（12分）
【解析】解： ；
证明：如图1，过点A作 ，交 的延长线于点 ．
∵四边形 为正方形， ，
∴ ， ，∴ ，
∴ ， ...............................................................................................2分
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ． ..........................................................................................4分
故答案为：
变式迁移：如图2，连 ，过点A作 于点 ．
∵四边形 为菱形，
∴ ， ,
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ...............................................................................................6分
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，在 中， ，
∵ ， .................................................................................................7分
∴ ，
在 中， ，
又∵ ， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ； ..........................................................................................8分
拓展应用：
如图3，以 为对称轴作 的轴对称图形 ，以 为对称轴作 的轴对称图形 ，延
长 、 交于点G．
∵ ，
由轴对称的性质得 ， ，
，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是正方形， ....................................................................................................9分
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ， ................................................................................................10分
在 中，根据勾股定理得 ， .......................................11分
解得 （不合题意，舍去），∴ ． ...............................................................................................................12分
故答案为：12 ....................................................................................................................12分
23．（13分）
【解析】（1）解：把 ， 代入抛物线解析式 中得
，解得 ，
∴抛物线的解析式为 ． .....................................................................3分
（2）解：如图所示，过点D作 轴于E，过点P作 轴于F，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ； ............................................................................................................4分
在 中，当 时，解得 或 ，
∴ ，
设直线 解析式为 ，
∴ ，∴ ，
∴直线 解析式为 ，
设 ，
∴ ，
∴ ， ...............................................................................5分
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ........................................................................................................7分
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 或 ，
∴点P的坐标为 或 ； ......................................................................................9分（3）解：如图，过点 作 轴交抛物线与点 ，过点 作 与于点 ，
轴，
，
，
，
，
， ...............................................................................................................10分
， ...............................................................................................................11分
设 ，
，
，
，
，
解得： 或 （舍）
，
点 的坐标为 ． ..........................................................................................................13分
【点睛】本题考查了待定系数法求出抛物线的解析式，二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，
一元二次方程的应用等知识，利用数形结合的思想解决问题是解题关键．
