文档文本内容
2024 年高考第二次模拟考试
数学（文科）·参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C B B D B D C D A B B D
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13． 14． 15． 16．
三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．(12分）
【详解】（1）因 ，由正弦定理可得： ，
即 .
因 ，故 ，则有 ，即 ，
因 ，故 ......................................................6分
（2）因为 为角平分线，所以 ，
所以 .
因 ， ， ，则 ，
即 ，所以 .....................................................9分
又由余弦定理可得： ，
把 ， 分别代入化简得： ，
解得： 或 （舍去），所以 ......................................................12分
18．(12分）【详解】（1）样区野生动物平均数为 ，
地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为 ...................................................4
分
（2）样本 (i=1，2，…，20)的相关系数为
...................................................9分
（3）由（2）知各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积有很强的正相关性，
由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从俄各地块间这种野生动物的数量差异很大，
采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构得以执行，提高了样本的代表性，
从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计....................................................12分
19．(12分）
【详解】
（1） ， 平面 ， 平面 ，所以，点 是平面
和平面 的一个公共点，同理可知，点 也是平面 和平面 的公共点，则平面
和平面 的交线为 ，
平面 ， 平面 ，所以，点 也是平面 和平面 的
公共点，由公理三可知， ，因此， 、 、 三点共线；...................................................6
分
（2）如下图所示：设 ，过点 作 交 于点 ，
下面证明平面 平面 .
、 分别为 、 的中点， ，
平面 ， 平面 ， 平面 .
又 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，
， 、 平面 ，因此，平面 平面 .
下面来确定点 的位置：
、 分别为 、 的中点，所以， ，且 ，则点 为 的中
点，
易知 ，即 ，又 ，所以，四边形 为平行四边形，
，
四边形 为正方形，且 ，则 为 的中点，所以，点 为 的中点，
，
因此，线段 上是否存在点 ，且 时，平面 平面
...................................................12分
20．(12分）
【详解】（1）当 时，函数 ，则 ，切点坐标为 ，，则曲线 在点 处的切线斜率为 ，
所求切线方程为 ，即 .....................................................5分
（2） ，函数定义域为R，
，
① ， 解得 或 ， 解得 ，
所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
② ， 解得 或 ， 解得 ，
所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
③ ， 恒成立， 在 上单调递增.
综上，当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增.....................................................12分
21．(12分）
【详解】（1）抛物线的准线为 ，
由抛物线的定义知， ，又 ，所以 ，
所以抛物线C的方程为 ；.....................................................4分
（2）由（1）知， ，
设 ，
则 ，设直线 ，
由 可得 ，
，
则 ，直线 ，代入抛物线方程可得 ，
，所以 ，同理可得 ，
由斜率公式可得 ，
，
又因为直线OP、OQ的倾斜角分别为 ，所以 ，
若要使 最大，需使 最大，则 ，设 ，
则 ，
当且仅当 即 时，等号成立，
所以 的最大值为 ......................................................12分
22．（10分）
【详解】（1）由曲线 的参数方程为 （ 为参数），得 ，
， ，即 （为焦点在 轴上的椭圆）....................................................4分
（2）设直线 的倾斜角为 ，直线 过点
直线 的参数方程为 （ 为参数），
将直线 的参数方程代入 ，可得 ，
，
设 ， 两点所对的参数为 ， ，
曲线 与 轴交于 两点，
在曲线 的内部， 一正一负，
，而 ， ，
， ， ，
解得 ， 为直线 的倾斜角， ，
， ， 或 ，
直线 的倾斜角为 或 .....................................................10分
选修4-5：不等式选讲
23．（10分）
【详解】（1）不等式 可化为 或 ，
由 ，可得 ，解得 或 ；
由 ，可得 ，解得 ，
所以不等式 的解集为 ．....................................................4分（2）由题意，知 ，
当 时， ，
因 在 上单调递减，则 ；
当 时， ，
因 在 上单调递增，在 上单调递减，故 在 无最小值，但是 ；
当 时， ，
因 在 上单调递增，则 .
综上，当 时，函数 取得最小值2，即 ，所以 ，
因 ，所以 ，当且仅当 时等号成立，
故 ．..................................................10分
