2024—2025 学年度下学期高三第二次模拟考试
数学参考答案
一．1. C 2. D 3. C 4. C 5. B 6. A 7. A 8. A
8.解析：设∠ =
2
∴∠ = − ,∠ = − ,∠ = +
2 3 6
∵∠ = , =2, = 3
2
∴ =1
在△ 中， = ，即 3 =
sin∠ sin∠ sin sin 2 −
3 3
2
∴ =2sin − = 3cos +sin
3
同理，在△ 中， = 2 3 sin + = 3 cos +sin
3 6 3
∴△ 的边长 = + = 3cos +sin + 3 cos +sin = 2 21 sin + 其中
3 3
2 3
tan =
3
∵ ∈ 0, ∴ + = 时， 取得最大值为2 21
2 2 3
∴ = 3 2 ≤ 3 × 28 = 7 3,故A正确.
△
4 4 3 3
二．9. AB 10. ABD 11. AD
11.解析：因为 =4，且在圆 2+ 2 =8上，所以 2,2 ,
又因为点 在抛物线 ： 2 =2 上，所以 =1，
因此抛物线方程 ： 2 =2 ，故A正确；
设 , , , , 1 ,0 ，且过 , , 的直线方程 : = + 1
1 1 2 2
2 2
1
= +
2，整理得： 2−2 −1=0, + =2 , =−1
1 2 1 2
2 =2
又因为在点 处的切线方程 : = + ，
1 1 1
同理在点 处的切线方程 : = + ，
2 2 2
= + = 1 2 =− 1
所以 1 1，解得 2 2，所以点 − 1 ,
2 = + 2 = 1+ 2 = 2
2
所以点 的横坐标为− 1，即− ，故B错
2 2
因为过 , , 的直线方程的倾斜角 = ，所以 : − − 1 =0,
4 2
1
− − =0
2 ，整理得： 2−2 −1=0, + =2, =−1
1 2 1 2
2 =2
1
{#{QQABDQQwwgC4gAbACJ4LUwVQCUuQsIKhLWokQQAaKAQLAQNABIA=}#}所以 = 2 − = 2 + 2−4 =4，
1 2 1 2 1 2
又因为 − 1 ,1 ，
2
1 1
− −1−
所以点 到直线 的距离是 = 2 2 = 2，
2
所以 = 1 ×4× 2=2 2，故C错；
△
2
设过 , , 的直线方程 : = −1
= −1
，整理得： 2 2−2 +1 + 2 =0， =1，所以 = 1，
2 =2 1 2 2 1
又因为 2 = −1 2+ 2 = 2+1，同理， 2 = −1 2+ 2 = 2+1，
1 1 1 2 2 2
所以 2+4 2 = 2+1+4 2+4= 2+ 4 +5 ≥2 4+5=9，
1 2 1 2
1
当且仅当 2 = 4，即 = 2, = 2，故D正确.
1 1 2 1 2 2
三．12. 15 13. 1 ,1 14.259 3
4 3
四．15.解：（1） = =2. ………………………………2分
1 1
− =2 ∈ ∗
+1
∴ =2+2 −1 =2 .∴ =4 2.………………………………4分
当 =1时， = =4；
1 1
当 ≥ 2时， = − =8 −4，
−1
且 满足上式，所以 =8 −4. …………………………………………………8分
1
（2） = 1 = 1 = 1 ∙ 1
+1 8 −4 8 +4 16 2 −1 2 +1
= 1 × 1 1 − 1 = 1 1 − 1 …………………………………………10分
16 2 2 −1 2 +1 32 2 −1 2 +1
1 1 1 1 1 1
= + +⋯+ = 1− + − +⋯+ −
1 2
32 3 3 5 2 −1 2 +1
1 1
= 1− =
32 2 +1 16 2 +1
∴数列 的前 项和为 …………………………………………………13分
16 2 +1
16.解：
（1）图1中，连接 , 交于点
∵ 为 中点∴ =2=
又∵ ∥ ∴四边形 是菱形∴ ⊥ ………………………………………………2分
所以，图2中， ⊥ , ⊥
， ⊂平面 .
∩ =
∴ ⊥平面 又 ⊂平面 .∴ ⊥ . ………………………………………5分
（2）以 中点 为坐标原点， 为 轴， 为 轴，过点 做垂直于平面 的直线为 轴，
建立空间直角坐标系.
2
{#{QQABDQQwwgC4gAbACJ4LUwVQCUuQsIKhLWokQQAaKAQLAQNABIA=}#}可求得： (0,1,0)， (0, 1 , 3 )， (− 3, 1 ,0)， (− 3,0,0)， =( 3,1,0).
2 2 2
1 3 1
则： =(0,− , ). =( 3, ,0) ……………………………………………………8分
2 2 2
设平面 的法向量 =( , , )
由 • = • =0
1 3
− + =0 = 3
有 2 2 ∴
3 + 1 =0 =−2 3
2
3
令 = 3，则 =(− ,3, 3). …………………………………………………………12分
2
设 与平面 所成的角为 ，
• − 3 +3 51
则 = < , > = = 2 = .
• 3 34
2× +9+3
4
51
所以直线 与平面 所成的角的正弦值为 . ………………………………………15分
34
17.解：
（1）由题意：10×2 =10 +10×0.045.
又(2 + +0.02+0.045)×10=1.
解得 =0.005 , =0.025, ………………………………………………………………2分
平均值为：50×0.05+60×0.25+70×0.45+80×0.2+90×0.05=69.5, …………3分
设中位数为：10 ×0.2+65= 40 +65 ≈69.4 .……………………………………………5分
0.45 9
（2）
性别
志愿者 合计
男生 女生
想去冰上赛区 35 20 55
不想去冰上赛区 25 40 65
合计 60 60 120
…………………………………………………………………………………………………6分
3
{#{QQABDQQwwgC4gAbACJ4LUwVQCUuQsIKhLWokQQAaKAQLAQNABIA=}#}2 = ( − )2 = 120×(35×40−25×20)2 ≈7.552> 6.635 ………………………9分
( + )( + )( + )( + ) 60×60×55×65
所以有99%的把握认为候选人想去冰上赛区与性别有关. ………………………………10分
（3）男生被抽中的人数 可能取值为2，3，4.
( =2)= 4 2 2 2 = 2 , ( =3)= 4 3 2 1 = 8 , ( =4)= 4 4 = 1.
6 4 5 6 4 15 6 4 15
的分布列为：
2 3 4
2 8 1
5 15 15
………………………………………………………………………………………………13分
=2× 2 +3× 8 +4× 1 = 8. …………………………………………………………15分
5 15 15 3
18.解：
（1）当 =0时， = ln −2 2，则 = ' =2 ln −3 ，………………1分
1 =−3，求导得 ' =2ln −1，则 ' 1 =−1，
所以曲线 在 1, 1 处的切线方程为 + +2=0．…………………………………3分
（2）（i） = ' =2 ln −3 − ，且定义域 ∈ 0,+∞ .
因为若 有两个极值点，所以 , 是方程2 ln −3 − =0的两个正根，
1 2
即2 ln −3 = ， 2ln −3 = . …………………………………………………5分
令ℎ = 2ln −3 ，则ℎ' =2ln −1，
所以，当ℎ' >0时， > ；当ℎ' <0时，0< <
因此，当 ∈ 0, 时，ℎ 单调递减；当 ∈ ,+∞ 时，ℎ 单调递增，…………7分
所以当 = 时，ℎ 有最小值ℎ =−2 ，2ln −3=0时， = 3 2
又因为 0< < 3 2 时，2ln −3<0，所以当 0< < 3 2 时，ℎ <0
所以 ∈ −2 ,0 . …………………………………………………………………………9分
（ii）由（i）可知 =ℎ ，且ℎ =0时， = ，又 < ，所以 < <
2 1 2 2
令 =ℎ +2 − ，…………………………………………………………….…11分
2 2 2
' =2ln −2， ' 单调递增，
2 2 2
且 ' =0，所以 ∈ , 时， ' <0， ∈ , 时， ' >0
2 2 2 2
所以 在 , 单调递减，在 , 单调递增，…………………………………13分
2
所以 ≥ =2 −3 +2 − =0
2
4
{#{QQABDQQwwgC4gAbACJ4LUwVQCUuQsIKhLWokQQAaKAQLAQNABIA=}#}即ℎ +2 − ≥0，ℎ +2 ≥ …………………………………………………15分
2 2 2 2
又因为0< < ，所以 > −
1 2 2 1
所以ℎ +2 > − ，即 − < +2 . ………………………………………17分
2 2 1 2 1
19.解：
（1）因为 = = 3，所以 2 = 3 2，所以 2 = 1 2，………………………………1分
2 4 4
椭圆 方程为： 2 + 4 2 =1
2 2
又因为点 2, 2 在椭圆 上，带入得： 2 + 2 =1
2 2 2
所以 2 =4, 2 =1
椭圆 方程为： 2 + 2 =1……………………………………………………………3分
4
（2）（i）折叠前可知 − 3，0 ，所以直线 方程为： = 3 + 3
1
3
因为直线 与椭圆 交于 ， 两点，所以 = 3 3 + 3 ，解得 1 =0 或 2 =− 8 7 3 ，
2 + 2 =1 1 =1 =− 1
2
4 7
又因为点 在 轴上方，所以 0,1 ， − 8 3 ,− 1 ………………………………………5分
7 7
折叠后，建立空间直角坐标系：以 为 轴，以 轴的负半轴反方向为y轴，以折后 轴的正半
2
轴为 轴，可得： ' 0,0,1 ， − 8 3 ,− 1 ,0
7 7
2 2
所以 ' = − 8 3 −0 + − 1 −0 + 0−1 2 = 242 = 11 2. …………………7分
7 7 49 7
（ii）折叠前△ 的周长为4 =8，
2
折叠后△ ' 的周长为 3 ×8=6，
2 4
∴ − ' =8−6= 2.…………………………………8分
在图①中，设 , , , ，直线 的方程为 = − 3，
1 1 2 2
= − 3
联立 2 + 2 =1 ，得 2+4 2−2 3 −1=0，
4
+ = 2 3 , ⋅ =− 1 ，∆=12 2+4 2+4 =16 2+16> 0， ………9分
1 2 2+4 1 2 2+4
= − 2+ − 2 = 1+ 2 −
1 2 1 2 1 2
= 1+ 2 + 2−4 · = 4 2+1 ，…………………………………11分
1 2 1 2 2+4
5
{#{QQABDQQwwgC4gAbACJ4LUwVQCUuQsIKhLWokQQAaKAQLAQNABIA=}#}建空间直角坐标系后，可得 ' ,0, , , ,0 ，
1 1 2 2
' = − 2+ 2+ 2 = − 2+ 2+ 2
1 2 1 2 1 2 1 2
= 2 + 2−4 + + 2−2
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2
= 2 2 3 −4 − 1 + 2 3 −2 − 1
2+4 2+4 2+4 2+4
= 16 4+30 2+8 ………………………………………………………………………………13分
2+4
又因为 − ' =2，
所以4 2+1
−
16 4+30 2+8
=2
2+4 2+4
整理得：6 4+23 2−4=0， 6 2−1 2+4 =0…………………………………15分
所以 2 = 1 ，因此 =± 6，又倾斜角为锐角，
6 6
所以存在直线 ，直线方程为： − 6 + 3=0…………………17分
6
6
{#{QQABDQQwwgC4gAbACJ4LUwVQCUuQsIKhLWokQQAaKAQLAQNABIA=}#}
