辽宁省协作体2024-2025学年高三下学期第二次模拟考试数学试卷答案250421_2025年4月_250424辽宁协作校2024-2025学年度高三第二次模拟考（全科）

2024—2025 学年度下学期高三第二次模拟考试 数学参考答案 一．1. C 2. D 3. C 4. C 5. B 6. A 7. A 8. A 8.解析：设∠ = 2 ∴∠ = − ,∠ = − ,∠ = + 2 3 6 ∵∠ = , =2, = 3 2 ∴ =1 在△ 中， = ，即 3 = sin∠ sin∠ sin sin 2 − 3 3 2 ∴ =2sin − = 3cos +sin 3 同理，在△ 中， = 2 3 sin + = 3 cos +sin 3 6 3 ∴△ 的边长 = + = 3cos +sin + 3 cos +sin = 2 21 sin + 其中 3 3 2 3 tan = 3 ∵ ∈ 0, ∴ + = 时， 取得最大值为2 21 2 2 3 ∴ = 3 2 ≤ 3 × 28 = 7 3,故A正确. △ 4 4 3 3 二．9. AB 10. ABD 11. AD 11.解析：因为 =4，且在圆 2+ 2 =8上，所以 2,2 , 又因为点 在抛物线 ： 2 =2 上，所以 =1， 因此抛物线方程 ： 2 =2 ，故A正确； 设 , , , , 1 ,0 ，且过 , , 的直线方程 : = + 1 1 1 2 2 2 2 1 = + 2，整理得： 2−2 −1=0, + =2 , =−1 1 2 1 2 2 =2 又因为在点 处的切线方程 : = + ， 1 1 1 同理在点 处的切线方程 : = + ， 2 2 2 = + = 1 2 =− 1 所以 1 1，解得 2 2，所以点 − 1 , 2 = + 2 = 1+ 2 = 2 2 所以点 的横坐标为− 1，即− ，故B错 2 2 因为过 , , 的直线方程的倾斜角 = ，所以 : − − 1 =0, 4 2 1 − − =0 2 ，整理得： 2−2 −1=0, + =2, =−1 1 2 1 2 2 =2 1 {#{QQABDQQwwgC4gAbACJ4LUwVQCUuQsIKhLWokQQAaKAQLAQNABIA=}#}所以 = 2 − = 2 + 2−4 =4， 1 2 1 2 1 2 又因为 − 1 ,1 ， 2 1 1 − −1− 所以点 到直线 的距离是 = 2 2 = 2， 2 所以 = 1 ×4× 2=2 2，故C错； △ 2 设过 , , 的直线方程 : = −1 = −1 ，整理得： 2 2−2 +1 + 2 =0， =1，所以 = 1， 2 =2 1 2 2 1 又因为 2 = −1 2+ 2 = 2+1，同理， 2 = −1 2+ 2 = 2+1， 1 1 1 2 2 2 所以 2+4 2 = 2+1+4 2+4= 2+ 4 +5 ≥2 4+5=9， 1 2 1 2 1 当且仅当 2 = 4，即 = 2, = 2，故D正确. 1 1 2 1 2 2 三．12. 15 13. 1 ,1 14.259 3 4 3 四．15.解：（1） = =2. ………………………………2分 1 1 − =2 ∈ ∗ +1 ∴ =2+2 −1 =2 .∴ =4 2.………………………………4分 当 =1时， = =4； 1 1 当 ≥ 2时， = − =8 −4， −1 且 满足上式，所以 =8 −4. …………………………………………………8分 1 （2） = 1 = 1 = 1 ∙ 1 +1 8 −4 8 +4 16 2 −1 2 +1 = 1 × 1 1 − 1 = 1 1 − 1 …………………………………………10分 16 2 2 −1 2 +1 32 2 −1 2 +1 1 1 1 1 1 1 = + +⋯+ = 1− + − +⋯+ − 1 2 32 3 3 5 2 −1 2 +1 1 1 = 1− = 32 2 +1 16 2 +1 ∴数列 的前 项和为 …………………………………………………13分 16 2 +1 16.解： （1）图1中，连接 , 交于点 ∵ 为 中点∴ =2= 又∵ ∥ ∴四边形 是菱形∴ ⊥ ………………………………………………2分 所以，图2中， ⊥ , ⊥ ， ⊂平面 . ∩ = ∴ ⊥平面 又 ⊂平面 .∴ ⊥ . ………………………………………5分 （2）以 中点 为坐标原点， 为 轴， 为 轴，过点 做垂直于平面 的直线为 轴， 建立空间直角坐标系. 2 {#{QQABDQQwwgC4gAbACJ4LUwVQCUuQsIKhLWokQQAaKAQLAQNABIA=}#}可求得： (0,1,0)， (0, 1 , 3 )， (− 3, 1 ,0)， (− 3,0,0)， =( 3,1,0). 2 2 2 1 3 1 则： =(0,− , ). =( 3, ,0) ……………………………………………………8分 2 2 2 设平面 的法向量 =( , , ) 由 • = • =0 1 3 − + =0 = 3 有 2 2 ∴ 3 + 1 =0 =−2 3 2 3 令 = 3，则 =(− ,3, 3). …………………………………………………………12分 2 设 与平面 所成的角为 ， • − 3 +3 51 则 = < , > = = 2 = . • 3 34 2× +9+3 4 51 所以直线 与平面 所成的角的正弦值为 . ………………………………………15分 34 17.解： （1）由题意：10×2 =10 +10×0.045. 又(2 + +0.02+0.045)×10=1. 解得 =0.005 , =0.025, ………………………………………………………………2分 平均值为：50×0.05+60×0.25+70×0.45+80×0.2+90×0.05=69.5, …………3分 设中位数为：10 ×0.2+65= 40 +65 ≈69.4 .……………………………………………5分 0.45 9 （2） 性别 志愿者 合计 男生 女生 想去冰上赛区 35 20 55 不想去冰上赛区 25 40 65 合计 60 60 120 …………………………………………………………………………………………………6分 3 {#{QQABDQQwwgC4gAbACJ4LUwVQCUuQsIKhLWokQQAaKAQLAQNABIA=}#}2 = ( − )2 = 120×(35×40−25×20)2 ≈7.552> 6.635 ………………………9分 ( + )( + )( + )( + ) 60×60×55×65 所以有99%的把握认为候选人想去冰上赛区与性别有关. ………………………………10分 （3）男生被抽中的人数 可能取值为2，3，4. ( =2)= 4 2 2 2 = 2 , ( =3)= 4 3 2 1 = 8 , ( =4)= 4 4 = 1. 6 4 5 6 4 15 6 4 15 的分布列为： 2 3 4 2 8 1 5 15 15 ………………………………………………………………………………………………13分 =2× 2 +3× 8 +4× 1 = 8. …………………………………………………………15分 5 15 15 3 18.解： （1）当 =0时， = ln −2 2，则 = ' =2 ln −3 ，………………1分 1 =−3，求导得 ' =2ln −1，则 ' 1 =−1， 所以曲线 在 1, 1 处的切线方程为 + +2=0．…………………………………3分 （2）（i） = ' =2 ln −3 − ，且定义域 ∈ 0,+∞ . 因为若 有两个极值点，所以 , 是方程2 ln −3 − =0的两个正根， 1 2 即2 ln −3 = ， 2ln −3 = . …………………………………………………5分 令ℎ = 2ln −3 ，则ℎ' =2ln −1， 所以，当ℎ' >0时， > ；当ℎ' <0时，0< < 因此，当 ∈ 0, 时，ℎ 单调递减；当 ∈ ,+∞ 时，ℎ 单调递增，…………7分 所以当 = 时，ℎ 有最小值ℎ =−2 ，2ln −3=0时， = 3 2 又因为 0< < 3 2 时，2ln −3<0，所以当 0< < 3 2 时，ℎ <0 所以 ∈ −2 ,0 . …………………………………………………………………………9分 （ii）由（i）可知 =ℎ ，且ℎ =0时， = ，又 < ，所以 < < 2 1 2 2 令 =ℎ +2 − ，…………………………………………………………….…11分 2 2 2 ' =2ln −2， ' 单调递增， 2 2 2 且 ' =0，所以 ∈ , 时， ' <0， ∈ , 时， ' >0 2 2 2 2 所以 在 , 单调递减，在 , 单调递增，…………………………………13分 2 所以 ≥ =2 −3 +2 − =0 2 4 {#{QQABDQQwwgC4gAbACJ4LUwVQCUuQsIKhLWokQQAaKAQLAQNABIA=}#}即ℎ +2 − ≥0，ℎ +2 ≥ …………………………………………………15分 2 2 2 2 又因为0< < ，所以 > − 1 2 2 1 所以ℎ +2 > − ，即 − < +2 . ………………………………………17分 2 2 1 2 1 19.解： （1）因为 = = 3，所以 2 = 3 2，所以 2 = 1 2，………………………………1分 2 4 4 椭圆 方程为： 2 + 4 2 =1 2 2 又因为点 2, 2 在椭圆 上，带入得： 2 + 2 =1 2 2 2 所以 2 =4, 2 =1 椭圆 方程为： 2 + 2 =1……………………………………………………………3分 4 （2）（i）折叠前可知 − 3，0 ，所以直线 方程为： = 3 + 3 1 3 因为直线 与椭圆 交于 ， 两点，所以 = 3 3 + 3 ，解得 1 =0 或 2 =− 8 7 3 ， 2 + 2 =1 1 =1 =− 1 2 4 7 又因为点 在 轴上方，所以 0,1 ， − 8 3 ,− 1 ………………………………………5分 7 7 折叠后，建立空间直角坐标系：以 为 轴，以 轴的负半轴反方向为y轴，以折后 轴的正半 2 轴为 轴，可得： ' 0,0,1 ， − 8 3 ,− 1 ,0 7 7 2 2 所以 ' = − 8 3 −0 + − 1 −0 + 0−1 2 = 242 = 11 2. …………………7分 7 7 49 7 （ii）折叠前△ 的周长为4 =8， 2 折叠后△ ' 的周长为 3 ×8=6， 2 4 ∴ − ' =8−6= 2.…………………………………8分 在图①中，设 , , , ，直线 的方程为 = − 3， 1 1 2 2 = − 3 联立 2 + 2 =1 ，得 2+4 2−2 3 −1=0， 4 + = 2 3 , ⋅ =− 1 ，∆=12 2+4 2+4 =16 2+16> 0， ………9分 1 2 2+4 1 2 2+4 = − 2+ − 2 = 1+ 2 − 1 2 1 2 1 2 = 1+ 2 + 2−4 · = 4 2+1 ，…………………………………11分 1 2 1 2 2+4 5 {#{QQABDQQwwgC4gAbACJ4LUwVQCUuQsIKhLWokQQAaKAQLAQNABIA=}#}建空间直角坐标系后，可得 ' ,0, , , ,0 ， 1 1 2 2 ' = − 2+ 2+ 2 = − 2+ 2+ 2 1 2 1 2 1 2 1 2 = 2 + 2−4 + + 2−2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 = 2 2 3 −4 − 1 + 2 3 −2 − 1 2+4 2+4 2+4 2+4 = 16 4+30 2+8 ………………………………………………………………………………13分 2+4 又因为 − ' =2， 所以4 2+1 − 16 4+30 2+8 =2 2+4 2+4 整理得：6 4+23 2−4=0， 6 2−1 2+4 =0…………………………………15分 所以 2 = 1 ，因此 =± 6，又倾斜角为锐角， 6 6 所以存在直线 ，直线方程为： − 6 + 3=0…………………17分 6 6 {#{QQABDQQwwgC4gAbACJ4LUwVQCUuQsIKhLWokQQAaKAQLAQNABIA=}#}