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2024 年中考第二次模拟考试（无锡卷）
数学·参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题
目要求的）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D D D A D B D A D A
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）
11． 12． 13．3 14．
15．48或 16. 17. 18. y
三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（8分）解：（1）
………………………………………………3分
；………………………………………………4分
（2）
把①代入②得： ，………………………………………………5分
解得 ，………………………………………………6分
把 代入①得： ．………………………………………………7分
故方程组的解 ．………………………………………………8分
20．（8分）解：（1） ，
方程两边同乘最简公分母 ，得 ，………………………1分
解得 ，………………………2分检验：把 代入最简公分母 ，………………………3分
原方程的解为 ；………………………4分
（2）解： ，
解不等式 得： ，………………………6分
解不等式 得： ，………………………7分
∴不等式组的解集为： ．………………………8分
21．（8分）【详解】（1）解：如图，四边形 即为所求；
………………………………4分
（2）解：如图，四边形 即为所求．
………………………………8分
22．（8分）【详解】（1）证明：在 中， ，
， ．…………………………1分
是 对角线 的中点，
，
，……………………………………2分
．
又 ，
四边形 是平行四边形，…………………………3分，
四边形 是菱形．……………………………………4分
（2） 四边形 是菱形，
．………………………………5分
又 是 的中点，
．……………………………………6分
，
，……………………………………7分
，
，
．……………………………………8分
23．（8分）【详解】解：画树状图如下：
…………………………6分
共有9种等可能的结果，小优和小秀看同一部电影的可能性有三种，
故看同一场电影的概率为 ．………8分
24．（8分）【详解】（1）解： （分），
∴班长给乙的打分是8，故答案为：8；………………………………1分
补全图形如图所示：……………………3分
（2）解：∵ ，
∴ ………………4分
…………………5分
∵ ，
∴ …………………………………………………………6分
即评委对乙同学的评价更一致；
（3）解：各评委的评分占比为 ，
甲： （分），…………………………7分
乙： （分）．
∵
∴甲被选中．………………………………8分
25．（8分）【详解】（1）解：连结 ，如图所示：
，………………………………1分在 中，由勾股定理可得 ， ………………………………2分
；………………………………3分
（2）解：过 点作 的平行线，与 的延长线相较于点 ，如图所示：
，
，
在 和 中，
，
，………………………………5分
由（1）知 ， ，
， ，
在 中，由勾股定理可得 ；………………………………6分
（3）解：如图所示：
由（1）可知 ， ，
在 中， ，，
………………………………7分
由题意可得，圆心 运动的路径长为 的长度 ．………………………………8分
26．（10分）【详解】（1）解：如图，过点B作 于点E，
在 中 ，
∴ ，…………………………2分
在 中， ， ，
∵ ，
∴ ．
答： ． …………………………5分
（2）解：如图，过点D作 于点F，旋转后点D的对应点为 ，过点 作 于点G，过
点D作 于点H，…………………………6分
在 中， ，
∴ ，…………………………7分
∴ ，…………………………8分
在 中， ,
∴ ，
∴ ，∴ ，即云梯 大约旋转了 ．…………………………9分
…………………………10分
27.(10分) 【详解】解：（1）问题背景：作图如图．
………………………………1分
由中心对称的性质知 ，
．………………………………2分
在 中， ，
，
即 ，
．……………………………………3分
（2）尝试运用： ．
理由如下：如图，延长 到点 ，使得 ，
延长 交 与点 ，连接 ，由前面知， ，
，
，
，…………………………4分
，
，
，
，
，
，
，
．……………………5分
，
，
，
，
；…………………………………………6分
（3）迁移拓展：如图，延长 到点 ，使得 ，延长 交 与点 ，连接 ，
由（1）可知： ，
，
，………………………………7分
又由（2）可知 ，，
………………………………8分
，
,……………………………………9分
又 ，
,
，
即 ．………………………………………………10分
28.（10分）
【详解】（1）解：把 ， 代入 得：
，
解得： ，
∴抛物线的函数表达式为 ；……………………2分
（2）解：过点B作 交 于点E，如图所示：
∵ ，
∴四边形 为平行四边形，∴ ，
∵ 轴，
∴ 轴，
∴ ，
∴ 为直角三角形，……………………………………3分
把 代入 得出 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为： ，
把 代入得： ，
解得： ，
∴直线 的解析式为： ，………………………………4分
设 ， ，
∴ ，
∴，
∵ ，
∴当 时， 有最大值，且最大值为 ；…………………………5分
（3）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴抛物线沿 方向平移 个单位时，沿x轴、y轴移动的距离为： 个单位，…………6分
∵抛物线 ，
∴抛物线沿 方向平移 个单位后新抛物线的解析式为：
，…………………………………………7分
把 代入 得： ，
把 代入 得： ，
解得： ， ，∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
当 轴时，连接 并延长交x轴于点K，交 于点L，如图所示：
∴ ，
∴ 轴，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴此时直线 与直线 所成夹角为 ，符合题意，……………………………………8分
根据折叠可知， ，
∴ ，
∴设 ，则 ，
∴ ，
设直线 的解析式为： ，
把 代入 得： ，
解得： ，
∴直线 的解析式为： ，
令 ，解得： ， （舍去），
∴点 的横坐标为 ；…………………………………………………………9分
当 轴时，连接 并延长交y轴于点K，交 于点L，如图所示：
∵ ， ，
∴ ，
∴此时直线 与直线 所成夹角为 ，符合题意，
根据折叠可知， ，
∴ ，
∴设 ，则 ，
∴ ，
设直线 的解析式为： ，
把 代入 得： ，
解得： ，
∴此时直线 的解析式为： ，
令 ，
解得： ， （舍去），∴此时点 的横坐标为 ；
综上分析可知，点 的横坐标为 或 ．……………………………10分
