2024 年高考第二次模拟考试
高三数学 全解全析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
1.设集合 ，则 （ ）
A． B． C. ,或 D．
【答案】B
【分析】先化简集合，再利用集合的交并补运算求解即可，
【详解】由题意得 ， ，又
则 ，故选：B.
2.关于复数 与其共轭复数 ，下列结论正确的是（ ）
A.在复平面内，表示复数 和 的点关于虚轴对称
B.
C. 必为实数， 必为纯虚数
D.若复数 为实系数一元二次方程 的一根，则 也必是该方程的根
【答案】.D
【解析】对于选项A，表示复数 和 的点关于实轴对称，故错误：对于选项B､选项C，当 时均不
成立，故错误.故选D
3.已知向量 ， ，若 与 共线，则向量 在向量 上的投影向量为（
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由向量 ， ，若 与 共线，则 ，所以 ，
，所以向量 在向量 上的投影向量为：
，
故选：C4. “ ”是“ ”（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】当 时，由 ，可得 ，
当 时，由 ，得 ；
所以“ ”不是“ ”的充分条件.
因为 ，所以 ，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B.
【点睛】本题考查不等式性质与充分、必要条件的判定，还考查了理解辨析问题的能力，属于基础题.
5.有甲、乙等五人到三家企业去应聘，若每人至多被一家企业录用，每家企业至少录用其中一人且甲、乙
两人不能被同一家企业录用，则不同的录用情况种数是（ ）
A.60 B.114 C.278 D.336
【答案】D
【解析】命题意图 本题考查排列与组合的应用.
录用3人，有 种情况；录用4 人，有 种情况；录用 5 人，有
种情况.所以共有336种.
6.已知 ： ，点 ，若 上总存在 ， 两点使得 为等边
三角形，则 的取值范围是（ ）
A. B.C. D.
【答案】B
【解析】 的标准方程为 ，
圆心坐标为 ，半径为 .
因为 ，所以 .
所以 .
要使 上总存在 ， 两点使得 为等边三角形，
则 上存在一点 ，使得 ,
当 与 相切时， 最大，此时 ，
故 ，即 ，
整理得 ，解得 .
故选:B.
7.已知 中， ， ， 是边 上的动点．若 平面 ， ，且
与面 所成角的正弦值的最大值为 ，则三棱锥 的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】三棱锥 中，PA⊥平面ABC，设直线PQ与平面ABC所成角为 ，
∵ 的最大值是 ，∴ ，解得 ，
即PQ的最小值为 ， 的最小值是1，即A到BC的距离为1，直角三角形△ABQ中，AB＝2，所以∠ 60°,又∠BAC＝60°，
所以 重合，则∠ACB＝90°，
则△ABC的外接圆圆心M为AB的中点，
又PA⊥平面ABC，从而外接球的球心O为PB的中点，
外接球的半径 ，
三棱锥 的外接球的表面积 ．
故选：B．
8.在 中，角 所对的边分别为 ，且 ，则下列结论错误的是（ ）
A.
B.若 ，则 为直角三角形
C.若 为锐角三角形， 的最小值为1
D.若 为锐角三角形，则 的取值范围为
【答案】C
【解析】对于 中，由正弦定理得 ，由 ，得
.即 ，由 ，则 ，故 ，
所以 或 ，即 或 （舍去），即 正确：
对于 ，结合 和正弦定理知 ，又 ，
故 ，B正确；对于 ，在锐角 中， ，即
.
故 ，C错误；
对于 ，在锐角 中，由 .
由对勾函数性质知， ，D正确；故选C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知函数 为函数 的一个极值点，则（ ）
A． B．
C． D．
9．AC【解析】由 ， ，有 ， ，
，A正确，B错误； 是函数图象的对称轴，C正确； 是函数的对称中心，D错误，
选AC．
10.已知双曲线 的左、右焦点别为 ， ，过点 的直线l与双曲线 的
右支相交于 两点，则（ ）
A. 若 的两条渐近线相互垂直，则B. 若 的离心率为 ，则 的实轴长为
C. 若 ，则
D. 当 变化时， 周长的最小值为
【答案】ACD
【解析】依题意， ，
A选项，若双曲线的两条渐近线相互垂直，所以 ，故A正确；
B选项，若 的离心率为 ，
解得 ，所以实轴长 ，故B错误；
C选项，若 ，则 ，
整理得 ，故C正确；
D选项，根据双曲线的定义可知， ，
两式相加得 ，
所以 周长为 ，
当 时， 取得最小值 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 周长的最小值为 ，故D正确.
故选：ACD
11.在棱长为2的正方体 中， 分别是棱 的中点，则（ ）
A． 与 是异面直线B．存在点 ，使得 ，且 平面
C． 与平面 所成角的余弦值为
D．点 到平面 的距离为
【答案】BC
【解析】A选项，以 作坐标原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，
，
则 ，由于 ，故 与 平行，A错误；
B选项，设 ，因为 ，所以 ，
即 ，解得 ，故 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，
令 ，则 ，则 ，
因为 ，故 ， 平面 ，
故存在点 ，使得 ，且 平面 ，B正确；
C选项，平面 的法向量为 ，
故 与平面 所成角的正弦值为 ，
则 与平面 所成角的余弦值为 ，C正确；
D选项，设平面 的法向量为 ，
则 ，
令 ，则 ，故 ，则点 到平面 的距离为 ，D错误.
故选：BC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.若二项式 的展开式中二项式系数之和为64，则二项展开式中系数最大的项为
【答案】240
【解析】
【详解】因为二项式 的展开式中二项式系数之和为64，
所以 ，得 ，所以二项式为 ，
则二项式展开式的通项 ，
令第 项的系数最大，则 ，解得 ，
因为 ，所以 ，则二项展开式中系数最大的项为 ，所以填240
13.若函数 的图像上存在两条互相垂直的切线，则实数 是__________.
【答案】0
【解析】注意到， .
若函数 上存在两条切线垂直，则存在 、 ，使得.
故答案为0
14. 已知 是实数，满足 ，当 取得最大值时， _________。
【答案】5
【解析】 ．
．
．
取等条件： 或
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知数列 的前n项和为 ，且对于任意的 都有 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）记数列 的前n项中的最大值为 ，最小值为 ，令 ，求数列 的前20项和
．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据 可得 是以公比为 的等比数列，进而可求解，
（2）根据数列 的通项性质可对 分奇偶，进而可得 ， ，分组求和即可求解.
【小问1详解】对于任意的 都有 ,
当 时， ，两式相减得 ，即
，
进而得 ， ...................................................4分
当 时， ，故 ，
所以数列 是以首项为1，公比为 的等比数列，
所以 .............................................6分
【小问2详解】
当 为奇数时， ，且 ，当 为偶数时， ，且 ，
因此当 为大于1的奇数时， 的前n项中的最大值为 ，最小值为 ，此时
，
因此当 为偶数时， 的前n项中的最大值为 ，
最小值为 ，此时 ， .............................................10分
当 时， ，
因此 的前20项和
.............................................13分
16．（15分）灯带是生活中常见的一种装饰材料，已知某款灯带的安全使用寿命为5年，灯带上照明的灯
珠为易损配件，该灯珠的零售价为4元/只，但在购买灯带时可以以零售价五折的价格购买备用灯珠，该灯
带销售老板为了给某顾客节省装饰及后期维护的支出，提供了150条这款灯带在安全使用寿命内更换的灯
珠数量的数据，数据如图所示.以这150条灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的频率代替1条灯带更换
的灯珠数量发生的概率，若该顾客买1盒此款灯带，每盒有2条灯带，记X表示这1盒灯带在安全使用寿
命内更换的灯珠数量，n表示该顾客购买1盒灯带的同时购买的备用灯珠数量.（1）求 的分布列；
（2）若满足 的n的最小值为 ，求 ；
（3）在灯带安全使用寿命期内，以购买替换灯珠所需总费用的期望值为依据，比较 与 哪
种方案更优.
【答案】（1）分布列见解析；
（2）13； （3） 更优
【解析】
【分析】(1)由条件确定随机变量 的可能取值，再求其取各值的概率，由此可得分布列；
(2)根据分布列结合条件求n的最小值；
(3)分别计算 与 时购买替换灯珠所需总费用的期望值，比较大小确定结论.
【小问1详解】
设ξ表示1条灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量，
则 0.2， ，
X的取值范围是 ，
，
，
，
，
，
，
，
X的分布列为X 10 11 12 13 14 15 16
P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04
............................................. 6分
【小问2详解】由（1）可知 ，
，
故 . .............................................9分
【小问3详解】
由（2）可知 .
在灯带安全使用寿命期内，当 时，设购买替换灯珠所需总费用为u元，当 时，设购买替换灯
珠所需总费用为v元，则 ，
，
故以购买替换灯珠所需总费用的期望值为依据， 比 的方案更优。 ................................. 13
分
17．（15分）如图,在三棱柱 中,直线 平面ABC,平面 平面 .
(1)求证: ;
(2) 若 , 在 棱 上 是 否 存 在 一 点 , 使 二 面 角
的余弦值为 ?若存在,求 的值;若不存在,请说明理由.
17.【解析】(1)在平面 中作 于 ,
因为平面 平面 ,
且平面 平面 ,
所以 平面 ,从而 ..............................................4分
在三棱柱 中, 平面 平面ABC,
所以 .
又因为 ,所以 平面 ,因此 .
.............................................7分
(2)由(1)可知, 两两垂直,如图,以 为原点建立空间直角坐标系.
则 .
设 ,
则 . .............................................9分
设平面PBC的一个法向量为 ,
因为 ,
所以 即
则有
令 ,得 .10分
而平面 的一个法向量可以是 ,
则 ,解得 ,
即 为棱 的三等分点, . .............................................15分
18．（17分）已知函数 ．
(1)若直线 与函数 的图象相切，求实数a的值；
(2)若函数 有两个极值点 和 ，且 ，证明： ．（e为自然对数的底
数）．
【答案】(1)2；(2)证明见解析.
【分析】（1）求出函数 的导数，利用导数的几何意义结合已知求出a的值.（2）求出函数 及其导数，确定 有两个极值点的条件，再由 变形并构造函数，
利用导数推理论证即得.
【详解】（1）依题意，设切点 ，求导得 ，
则 ，解得 ，又 ， ，则 ，
所以实数a的值为2. ............................................. 6分
（2）依题意， 的定义域为 ，
求导得 ，
则 有两个不等的正根 ，且是 的变号零点，
令 ，求导得 ，
当 时， ，当 时， ，
于是函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
由函数 有两个零点，得 ，解得 ， .............................................9分
此时 ，令 ，求导得 ，
当 时， ，
当 时， ，函数 在 上递增，在 上递减，
则 ，即 ， ，
因此当 时，函数 必有两个零点 ，且是变号零点，由 ，得 ，
由 ，得 ，令 ，则 ，
于是 ，解得 ， ， ............................................. 13分
因此要证 ，只需证 ，
即 ，只证 ，
令 ， ， .............................................15分
求导得 ，因此函数 在 上单调递增， ，
所以 . .............................................17分
【点睛】思路点睛：涉及函数的双零点问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，
都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数.
19．（17分）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中.
阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点 与两定点Q,P的距离之比
是一个常数，那么动点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线PQ上.已知动
点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为 ,定点分别为椭圆 的右焦点
与右顶点A,且椭圆C的离心率为
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)如图，过右焦点F斜率为 的直线 与椭圆 相交于 ,D(点B在 轴上方),点S,T是椭圆 上异
于B,D的两点，SF平分 平分
（1）求 的取值范围；
（2）将点S、F、T看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若△SFT外接圆的
面积为 ,求直线 的方程.
19.【答案】(1) (2)(1) (2)
【解析】(1)方法(1)特殊值法,令 ,且 ,解得 .,椭圆 的方程为 , ............................................. 5分
方法(2)设 ,由题意 (常数),整理得：
,故 ,又 ,解得: .
,椭圆 的方程为 . ............................................. 5分
(2)(1) ,又 ,
(或由角平分线定理得),令 ,则 ,设 ,
则有 ,又直线 的斜率 ,则
代人 得: ,即 ,
. ............................... 11分
(2)由(1)知, ,由阿波罗尼斯圆定义知,
S,T,F在以B,D为定点的阿波罗尼斯圆上,设该圆圆心为 ,半径为 ,与直线 的另一个交点为 ,则有
,即 ,解得: .
又 ,故 13分
又 ,
,解得: 直线 的方程为 .
