2024 年高考第二次模拟考试
高三数学 参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个
选项是符合题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
B D C B D B B C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．AC 10．ACD 11．BC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
12．240 13．0 14．5
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）【解析】
【小问1详解】
对于任意的 都有 ,
当 时， ，两式相减得 ，即
，
进而得 ， .............................................4分
当 时， ，故 ，
所以数列 是以首项为1，公比为 的等比数列，
所以 .............................................6分
【小问2详解】
当 为奇数时， ，且 ，当 为偶数时， ，且 ，
因此当 为大于1的奇数时， 的前n项中的最大值为 ，最小值为 ，
此时 ，
因此当 为偶数时， 的前n项中的最大值为 ，最小值为 ，此时 ， .............................................10分
当 时， ，
因此 的前20项和
.............................................13分
16．（15分）【解析】
【小问1详解】
设ξ表示1条灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量，
则 0.2， ，
X的取值范围是 ，
，
，
，
，
，
，
，
X的分布列为
X 10 11 12 13 14 15 16
P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04
............................................. 6分
【小问2详解】由（1）可知 ，
，故 . .............................................9分
【小问3详解】
由（2）可知 .
在灯带安全使用寿命期内，当 时，设购买替换灯珠所需总费用为u元，当 时，设购
买替换灯珠所需总费用为v元，则 ，
，
故以购买替换灯珠所需总费用的期望值为依据， 比 的方案更优。 ................... 13
分
17．（15分）【解析】(1)在平面 中作 于 ,
因为平面 平面 ,
且平面 平面 ,
所以 平面 ,从而 .
.............................................4分
在三棱柱 中, 平面 平面ABC,
所以 .
又因为 ,所以 平面 ,因此 .
.............................................7分
(2)由(1)可知, 两两垂直,如图,以 为原点建立空间直角坐标系.
则 .
设 ,
则 . .............................................9分
设平面PBC的一个法向量为 ,
因为 ,
所以 即
则有令 ,得 .10分
而平面 的一个法向量可以是 ,
则 ,解得 ,
即 为棱 的三等分点, . .............................................15分
18．（17分）【解析】（1）依题意，设切点 ，求导得 ，
则 ，解得 ，又 ， ，则 ，
所以实数a的值为2. ............................................. 6分
（2）依题意， 的定义域为 ，
求导得 ，
则 有两个不等的正根 ，且是 的变号零点，
令 ，求导得 ，
当 时， ，当 时， ，
于是函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
由函数 有两个零点，得 ，解得 ， ...........................9分
此时 ，令 ，求导得 ，
当 时， ，
当 时， ，函数 在 上递增，在 上递减，
则 ，即 ， ，
因此当 时，函数 必有两个零点 ，且是变号零点，由 ，得 ，
由 ，得 ，令 ，则 ，
于是 ，解得 ， ， ............................................. 13
分因此要证 ，只需证 ，
即 ，只证 ，
令 ， ， .............................................15分
求导得 ，
因此函数 在 上单调递增， ，
所以 . .............................................17分
19．（17分）【解析】(1)方法(1)特殊值法,令 ,且 ,解得 .
,椭圆 的方程为 , ............................................. 5分
方法(2)设 ,由题意 (常数),整理得：
,故 ,又 ,解得: .
,椭圆 的方程为 . ............................................. 5分
(2)(1) ,又 ,
(或由角平分线定理得),令 ,则 ,设 ,
则有 ,又直线 的斜率 ,则
代人 得: ,即 ,
. ............................... 11分(2)由(1)知, ,由阿波罗尼斯圆定义知,
S,T,F在以B,D为定点的阿波罗尼斯圆上,设该圆圆心为 ,半径为 ,与直线 的另一个交点为 ,则
有 ,即 ,解得: .
又 ,故 13分
又 ,
,
解得:
直线 的方程为 .
............................... 17分
