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2024 年高考第二次模拟考试
高三数学
全解全析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
1.若集合 ， ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出集合 ，然后再逐个分析判断即可.
【详解】由 ，得 ，
解得 或 ，
所以 或 ，
因为 ，
所以 ，
对于A，因为 ，所以 ，所以A错误，
对于B，因为 或 ， ，
所以 ，所以B正确，
对于C，因为 ，所以C错误，
对于D，因为 或 ，所以 ，
因 为，所以 ，所以D错误，
故选：B
2.已知 ， 是关于x的方程 的两个根.若 ，则 （ ）A. B. 1 C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】由 ， 是关于x的方程 的两个根，由韦达定理求出 ，再由复数的模长公式求
解即可.
【详解】法一：由 ， 是关于x的方程 的两个根，得 ，
所以 ，所以 .
法二：由 ， 是关于x的方程 的两个根，得 ，
所以 ，所以 .
故选：C.
3.已知在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝ ，点D在线段BC上，且 ，则
的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据 确定 ，从而可得 ，从而用向量数量积的运算
律即可求解.
【详解】设等腰△ABC在 边上的高为 ，
因为 ，所以 ，
所以 ,所以 ，
所以
.
故选:B.4. 已知向量 ， ，则 是向量 ， 夹角为钝角的（ ）
A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 充分不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】若向量 ， 夹角为钝角，则满足 ，求出 的范围，然后验证充分性与必要性.
【详解】
又因为向量 ， 夹角为钝角
所以满足
所以 且
因为 推不出 且 ，所以充分性不成立
又因为 且 能推出 ，所以必要性成立
所以 是向量 ， 夹角为钝角的必要不充分条件
故选：C
5.一般地，声音大小用声强级 （单位： dB）表示，其计算公式为： ，其中I为声强，
单位 ，若某种物体发出的声强为 ，其声强级约为（ ） （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将声强 代入 中，结合对数的运算化简求值，可得答案.
【详解】由已知得
( ).
故选：A．
6.“绿水青山，就是金山银山”，随着我国的生态环境越来越好，外出旅游的人越来越多.现有两位游客慕名来江苏旅游，他们分别从“太湖鼋头渚、苏州拙政园、镇江金山寺、常州恐龙园、南京夫子庙、扬州瘦西
湖”这6个景点中随机选择1个景点游玩.记事件A为“两位游客中至少有一人选择太湖鼋头渚”，事件B
为“两位游客选择的景点不同”，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据古典概型概率公式求出 ，然后利用条件概率公式即得.
【详解】由题可得 ， ,
所以 .故选D.
7.已知函数 ，若函数 在 上恰有3个零点，则实数 的取
值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知条件及函数零点的定义，列不等式组结合整数限制条件即可求解.
【详解】令 ，则 ，
解得 或 ，
即 或 ，
因 为函数 在 上恰有3个零点，所以 ，
第一个不等式组解得 ，
第二个不等式组解得
所以所求取值范围为 .
故选：D.
8. 已知双曲线 的左右焦点分别为 、 ，过 的直线与曲线 的左右两支分别
交于点 ，且 ，则曲线C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设 ，进而结合双曲线的定义得 ， ， ， ，
进而在 ， 结合余弦定理求得 ，进而得 ，再求离心
率即可.【详解】解：如图，设 ，因为 ,
所以 ，
由双曲线的定义得： ，
所以， ， ， ， ，
所以，在 中， ，
在 中，
因为 ，
所以 ，即 ，
所以
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.为庆祝江西籍航天员邓清明顺利从太空返航，邓清明家乡的某所中学举办了一场“我爱星辰大海”航天
知识竞赛，满分100分，该校高一（1）班代表队6位参赛学生的成绩（单位：分）分别为：84，100，
91，95，95，98，则关于这6位参赛学生的成绩.下列说法正确的是（ ）
A．众数为95 B．中位数为93
C．平均成绩超过93分 D．第 分位数是91
【答案】ACD
【分析】根据题意将成绩排序，结合众数、中位数、平均数、百分位数相关知识求解即可.
【详解】将成绩按从小到大的顺序排序为： ，
对于A，95出现两次，其他数据只出现一次，所以众数为95，故A正确；对于B，中位数为第3,4个数据的平均数，为 ，故B错误；
对于C，平均数为 ，故C正确；
对于D， ，所以第 分位数是第二个数，为91，故D正确.
故选：ACD
10.数列 的通项为 ，它的前 项和为 ，前 项积为 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 数列 是递减数列 B. 当 或者 时， 有最大值
C. 当 或者 时， 有最大值 D. 和 都没有最小值
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据数列的通项得出数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列,然后根据等差数列的
特征分别对每个选项进行分析即可求解.
【详解】因为数列 的通项为 ，则 ，所以数列 是以 为首项，以
为公差的等差数列，因为公差 ，所以数列 是递减数列，故选项 正确；
因为 ，当 时， ；当 时， ，因为 ，所以当 或者
时， 有最大值，故选项 正确；
由 可知： ， ， ，所以当 或者 时， 有最大值，
故选项 正确；
根据数列前30项为正数，从第31项开始为负数可知： 无最小值，
因为 ，当 时， ，但零乘任何数仍得零，所以 有最小值 ，故选项 错误，
故选： .
11.设 为抛物线 的焦点，点 在 上且在 轴上方，点 ， ，若
，则（ ）A. 抛物线 的方程为
B. 点 到 轴的距离为8
C. 直线 与抛物线 相切
D. 三点在同一条直线上
【答案】ACD
【解析】
【分析】由 ，先求设 点坐标，得抛物线方程，再验证每个选项.
【详解】抛物线 的焦点 ，由 ，有 ，
解得 ，
所以抛物线 的方程为 ，A选项正确；
，点 在抛物线上且在 轴上方，到焦点距离为8，到准线 距离也为8，所以点 到
轴的距离为6，B选项错误；
点 在抛物线上且在 轴上方，到 轴的距离为6，有点 横坐标为6，代入抛物线方程，可得 ，
则直线 的方程为 ，
由 消去 得 ， ，所以直线 与抛物线 相
切，C选项正确；
由 ， ， ，得 ，则 三点在同一条直线上，D选
项正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知直线 与圆 交于 两点，则 __________；若
P是圆C上的一点，则 面积的最大值是__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）先求圆心到直线的距离，然后结合垂径定理算出弦长即可；（2）结合上一空，三角形底边长一定，求出圆上一点到直线的距离的最大值，即可得到三角形面积的最
大值．
【详解】由题意可知圆 的圆心坐标为 ，半径 ，
则圆心 到直线 的距离 ，故 ；
因为 是圆 上的一点，所以点 到直线 距离的最大值为 ，
所以 面积的最大值是 ．
故答案为： ； ．
13.《九章算术》是《算经十书》中最重要的一部，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就，内容十分丰
富，在数学史上有其独到的成就．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为“鳖臑”，
将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，几何体P－ABCD为一个阳马，其
中 平面ABCD，若 ， ， ，且PD＝AD＝2AB＝4，则几何体
EFGABCD的外接球表面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】判断出几何体 外接球球心的位置，求得外接球的半径，进而求得外接球的表面积.
【详解】设 ，连接 .
依题意，四边形 是矩形，所以 ，
由于 平面 ， 平面 ，
所以 ，
由于 平面 ，所以 平面 ，
由于 平面 ，所以 ，
由于 ， 平面 ，所以 面 ，
由于 平面 ，所以 .
同理可证得 ，由于 ，所以 都是以 为斜边的直角三角形，
所以几何体 外接球球心是 ，且半径 ，
所以外接球的表面积为 .
故答案为：
14.已知 的三个内角 所对的边分别为 ，且 ，则 面积的最大
值是________；若 分别为 的内切圆和外接圆半径，则 的范围为_________________．
【答案】 ①. ； ②. .
【解析】
【分析】对于第一空，利用余弦定理表示出 ，再表示出 ，再利用 可得答案；
对于第二空，利用 可得答案.
【详解】因 在三角形中，则由三角形三边关系可得 ，又利用余弦定理
有：
，又 ，
则 .
得 ，当且仅当
，即 时取等号.则 面积的最大值是 ；
对于第二空，因 ，则 ，
又 ，
则 ，因 ，
则 .令 ，其中 ，因 ，
则 在 上单调递增，故 ，得 .
故答案为： ； .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分） 如图，三棱柱 的侧棱长为 ，底面是边长为2的等边三角形， 分别
是 的中点， ．
（1）求证：侧面 是矩形；
（2）若 ，求直线 与平面 所成角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接 ，证明 平面 ,根据线面垂直的性质定理证明 ，结合三棱柱性
质，可证明结论；
（2）取 中点O，连接 ，证明 ⊥平面 ，即可建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求得平面 的法向量，根据线面角的向量求法，即可求得答案.
【小问1详解】
由题意 是 的中点，连接 ，
由已知 为等边三角形，所以 ．
由已知 , 平面 ,
,
所以 平面 又 平面ADE，故 ，
因为 ，所以 ，
又侧面 为平行四边形，所以侧面 是矩形 ............................................. 6分
【小问2详解】
取 中点O，连接 ，
由已知得 ，底面 是边长为2的等边三角形，则 ，
因为 ，E为 的中点，
所以 ， 是等边三角形．
故 ，由（1）知 平面 ， 平面 ,
所以是 ， 平面 ,
所以 ⊥平面 ． ............................................. 9分
以O为原点，过点O作 的平行线作为x轴，以 所在直线为y轴，z轴建立空间直角坐标系，
如上图，
故 ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，则 ，故 ，取 ，则 ， ............................................. 10分
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
故 ，
所以直线 与平面 所成角的余弦值为 . .............................................13分
16．（15分） 已知 ， 为椭圆 ： 的左、右焦点.点 为椭圆上一点，当
取最大值 时， .
（1）求椭圆 的方程；
（2）点 为直线 上一点（且 不在 轴上），过点 作椭圆 的两条切线 ， ，切点分别为
， ，点 关于 轴的对称点为 ，连接 交 轴于点 .设 ， 的面积分别为 ，
，求 的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)由已知结合椭圆定义，可求 与 的倍数关系，结合向量相关条件以及椭圆中 ，
即可求得 与 ，也就得出椭圆方程.
(2)利用过椭圆一点的切线方程的推导过程，得出切线方程，进而得出直线 的定点坐标，然后解设
的方程，并与椭圆联立，然后利用韦达定理化简整理出点 的坐标，由此求出 的关系式，利用基本不等式即可求解.
【小问1详解】
依题意有当 为椭圆短轴端点时
最大，此时 ，则
为正三角形，则 .............................................3分
且
，又 ， ， ，
故椭圆方程为 . .............................................5分
【小问2详解】
设 ， ， ，
若 ，则切线方程为 ，
若 ，则在 处的切线的斜率必定存在， .............................................7分
设该切线的方程为 ，
由 可得 ，
整理得 ， ............................................. 8分
故 ，
整理得到： ，故 ，
故切线方程为： ，
故 ： ，
综上， ： ，同理 ： ............................................. 9分
因 ， 都过点 ，则 ，
则 方程为 ，即 过定点 .
故设 方程为 ， ，联立 ，
， ，又 ............................................. 11分
直线 方程为： ，令 得
， .............................................13分
当且仅当 即 ， 时取等号
故 最大值为 . .............................................15分
17．（15分） 现有一种射击训练，每次训练都是由高射炮向目标飞行物连续发射三发炮弹，每发炮弹击
中目标飞行物与否相互独立．已知射击训练有 A，B两种型号的炮弹，对于A型号炮弹，每发炮弹击中目
标飞行物的概率均为p（ ），且击中一弹目标飞行物坠毁的概率为0.6，击中两弹目标飞行物
必坠段；对子B型号炮弹，每发炮弹击中目标飞行物的概率均为q（ ），且击中一弹目标飞行物
坠毁的概率为0.4，击中两弹目标飞行物坠毁的概率为0.8，击中三弹目标飞行物必坠毁．
（1）在一次训练中，使用B型号炮弹，求q满足什么条件时，才能使得至少有一发炮弹命中目标飞行物的
概率不低于 ；
（2）若 ，试判断在一次训练中选用A型号炮弹还是B型号炮弹使得目标飞行物坠毁的概率更大？并说明理由．
【答案】（1）
（2）使用B型号炮弹，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，利用间接法与二项分布的概率公式得到关于 的不等式，解之即可；
（2）先利用二项分布的概率公式求得两种类型的炮弹击毁目标飞行物的概率，再利用作差法与构造函数
法，结合导数比较得两概率的大小，从而得到结论.
【小问1详解】
因为每次训练都是由高射炮向目标飞行物连续发射三发炮弹，
每发炮弹击中目标飞行物与否相互独立，
所以在一次训练中，连发三发B型号炮弹，用 表示命中目标飞行物的炮弹数，
则 （ 服从二项分布），
则 ， .............................................4分
即 ，则 ，即 ，则 ，
又 ，故 ，
所以当 时，才能使得至少有一发炮弹命中目标飞行物的概率不低于 .
.............................................6分
【小问2详解】
在一次训练中，连发三发A型号炮弹，用 表示命中目标飞行物的炮弹数，
则 （ 服从二项分布），，
记事件 为“使用A型号炮弹使得目标飞行物坠毁”，
事件 为“使用B型号炮弹使得目标飞行物坠毁”，
则
， .............................................8分
，
因为 ，所以 ，
则， ............................................. 10分
令 ，则 ，
令 ，即 ，则 ，得 ，
又 ，所以 恒成立， ............................................. 13分
所以 在 上单调递增，
又 ，则 ，
故 ，即 ，
所以使用B型号炮弹使得目标飞行物坠毁的概率更大. ............................................. 15分
【点睛】关键点睛：本题解题的关键点有两次，一次是理解A、B型炮弹击中飞行物的次数服从二项分布，
进而利用二项分布的概率公式求得两种类型的炮弹击毁目标飞行物的概率；二次是利用导数比较两者概率
的大小.
18．（17分） 已知函数 .
（1）若 ，求实数 的取值范围.
（2）求证： .
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据已知条件得 ，进而得出 ，利用不等式的性质及构造函数，利用导数法求
函数的最值即可求解；
（2）根据（1）的结论及已知条件，只需证当 时， 成立即可，转化成求函数的最值，
利用不等式的性质构造函数及法求函数的最值即可求解.
【小问1详解】
因为 ，则 ，即 ，
反之当 时， ， .............................................4分
令 ，则 ，设 ，由于 在 单调递增，且 ，
所以当 时， ，即 ，
当 时 ，即 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
所以 ，即 ，所以 . .............................................9分
【小问2详解】
由（1）可知： ①
下面证明当 时， ②
等价于 ，设 ，.............................................4分
当 时，
当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减,
所以 ，所以②式成立，
由①､②可得： ，当 时取到“ ”，
取 有， ，
所以 ，不等式成立. .............................................17分
【点睛】解决此题的关键第一问根据条件得出 ，进而构造函数，将恒成立问题转化为求函数的最
值，利用导数法求函数的最值即可，第二问的关键根据第一问得 ，进而问题转
化为只需证当 时， 即可，不等式恒成立问题转化为求函数的最值，转而构造函数
利用导数法求函数的最值即可.
19．（17分）约数，又称因数.它的定义如下：若整数 除以整数 除得的商正好是整数而没有余
数，我们就称 为 的倍数，称 为 的约数.设正整数 共有 个正约数，即为.
(1)当 时，若正整数 的 个正约数构成等比数列，请写出一个 的值；
(2)当 时，若 构成等比数列，求正整数 ；
(3)记 ，求证： .
【答案】(1)8.
(2) .
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据题意即可写出a的一个值；
（2）由题意可知 ， ， ， ，结合 构成等比数列，可推
出 是完全平方数，继而可得 ，由此可知 为 ，即
可求得a；
（3）由题意知 ， ，从而可得 ，
采用放缩法以及裂项求和的方法，即可证明结论.
【详解】（1）当 时正整数 的4个正约数构成等比数列，
比如 为8的所有正约数,即 . ......................................... 4分
（2）由题意可知 ， ， ， ，
因为 ，依题意可知 ，所以 ，
化简可得 ，所以 ， ......................................... 9分
因为 ，所以 ，
因此可知 是完全平方数.
由于 是整数 的最小非1因子， 是 的因子，且 ，所以 ，
所以 为 ，
所以 , . ......................................... 11分（3）证明：由题意知 ， ，
所以 ，
因为 ，
所以 .........................................14分
，
因为 ， ，所以 ，
所以 ，
即 . ......................................... 17 分
