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2024 年高考数学第二次模拟考试
数学·参考答案
一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B D C D B B C C B D
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11． 12． 13. 14. 4 /0.5
15.①②④
三、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
16．（本题13分）
【详解】（1）过点 作 ⊥ ，交 的延长线于点 ，连接 ，
因为平面 平面 ，交线为 ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，..................................1分
因为 ， ， ，
所以四边形 的面积 ，..................................2分
因为四棱锥 的体积为1，
所以 ，解得 ，..................................2分
因为 平面 ，所以 ⊥ ， ⊥ ，
因为 ， 为钝角，..................................3分
由勾股定理得 ，
所以 ，..................................4分
又 ， ，故四边形 为矩形，
所以 ，..................................5分
由勾股定理得 ，
故 ；..................................6分（2）由（1）知， 两两垂直，以 为坐标原点，
所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，
，设 ， ，
则 ，解得 ，..................................7分
故 ，..................................8分
设平面 的法向量为 ，
，
令 ，得 ，故 ，..................................10分
设直线PE与平面 所成角为 ，
所以 ...................................12分直线PE与平面PBD所成角的正弦值为 ...................................13分
17．（本题13分）
【详解】（1）选条件①
由题设 .所以 .
因为 ，所以 .所以 .所以 .
选条件②.
由题设 ...................................1分
， ，..................................2分
， ， ，....................3分
整理得 ...................................5分
因为 ，所以 .所以 .所以 ...................................6分
（2）由（1） ................................8分
令 ，..................................9分
所以 在 单调递增，在 单调递减，..................................10分
于是，当且仅当 ，即 时， 取得最大值1；..................................11分
当且仅当 ，即 时， 取得最小值 .又 ，即 时， ..................................12分
所以 的取值范围是 ...................................13分
18．（本题14分）
【详解】（1）依题意，甲投中的概率为 ，乙投中的概率为 ，.................1分
于是得 ，解得 ， .................2分
X的所有可能值为0，2，3，5，
， ，
， ， .................5分
所以X的分布列为：
0 2 3 5
（2）设甲、乙都选择方案A投篮，投中次数为 ，都选择方案B投篮，投中次数为 ，
则 ， ，.................6分
则两人都选择方案A投篮得分和的均值为 ，
都选择方案B投篮得分和的均值为 ，
则 ，.................7分
，.................8分
若 ，即 ，解得 ；.................9分若 ，即 ，解得 ；.................10分
若 ，即 ，解得 . .................11分
所以当 时，甲、乙两位同学都选择方案A投篮，得分之和的均值较大；
当 时，甲、乙两位同学都选择方案A或都选择方案B投篮，得分之和的均值相等；
当 时，甲、乙两位同学都选择方案B投篮，得分之和的均值较大...................14分
19．（本题15分）
【详解】（1）由题意可得 ，解得 ，.................2分
所以 的标准方程为 ；.................4分
（2）点 到直线 的距离 ，.................5分
设 ，联立方程组 ，
整理得 ，.................7分
则 ，即 ，.................8分
，.................10分所以 ，.................12分
则 的面积 ，.................14分
得 ，又 ， （由 三点不共线可得），
所以 的取值范围是 ．.................15分
20．（本题15分）
【详解】（1） ，.................2分
所以曲线 在点 处的切线方程 ，.................3分
即 ．.................4分
（2） ，.................5分
令 ，则 ，.................6分
令 ，则 ，.................7分
当 时， ，
则 ，.................8分
当 时， 在 上单调递减，当 时， 在 上单调递增，
在 上单调递增，且 ，.................9分
所以，当 时， 在 上单调递减，
当 时， 在 上单调递增，所以 ．所以 成立，
当 时，当 时， 在 上单调递减， ，
在 上单调递减，.................10分
因为 ，所以 在 上单调递减，此时 ，舍去．
当 时，当 时， ，.................11分
在 上单调递减， 在 上单调递增， ，
舍去；.................12分
当 时，当 时， 在 上单调递增，
在 上单调递减，
在 上单调递增，此时， ，舍去，.............14分
综上， ．.................15分
21．（本题15分）若无穷数列 的各项均为整数．且对于 ， ，都存在 ，使
得 ，则称数列 满足性质P．
(1)判断下列数列是否满足性质P，并说明理由．
① ， ，2，3，…；
② ， ，2，3，…．
(2)若数列 满足性质P，且 ，求证：集合 为无限集；
(3)若周期数列 满足性质P，求数列 的通项公式．
【详解】（1）对①，取 ，对 ，则 ，可得 ，
显然不存在 ，使得 ，
所以数列 不满足性质P；.................1分
对②，对于 ，则 ， ，
故
，因为 ，.................2分
则 ，且 ，
所以存在 ， ，
使得 ，
故数列 满足性质P；.................3分
（2）若数列 满足性质 ，且 ，则有：
取 ，均存在 ，使得 ，
取 ，均存在 ，使得 ，
取 ，均存在 ，使得 ，
故数列 中存在 ，使得 ，即 ，.................5分
反证：假设 为有限集，其元素由小到大依次为 ，
取 ，均存在 ，使得 ，
取 ，均存在 ，使得 ，取 ，均存在 ，使得 ，
即 这与假设相矛盾，故集合 为无限集..................6分
（3）设周期数列 的周期为 ，则对 ，均有 ，
设周期数列 的最大项为 ，最小项为 ，
即对 ，均有 ，.................7分
若数列 满足性质 ：
反证：假设 时，取 ，则 ，使得
，
则 ，即 ，
这对 ，均有 矛盾，假设不成立；则对 ，均有 ；.................8分
反证：假设 时，取 ，则 ，使得
，.................9分
这与对 ，均有 矛盾，假设不成立，即对 ，均有 ；
综上所述：对 ，均有 ，.................9分
反证：假设1为数列 中的项，由（2）可得： 为数列 中的项，.................10分
∵ ，即 为数列 中的项，
这与对 ，均有 相矛盾，即对 ，均有 ，同理可证： ，.......11
分∵ ，则 ，
当 时，即数列 为常数列时，设 ，故对 ，都存在 ，
使得 ，解得 或 ，即 或 符合题意；.................12分
当 时，即数列 至少有两个不同项，则有：
①当 为数列 中的项，则 ，即 为数列 中的项，但 ，不成
立；
②当 为数列 中的项，则 ，即 为数列 中的项，但 ，不成立；
③当 为数列 中的项，则 ，即 为数列 中的项，但 ，不成立；
综上所述： 或 ..................15分
