2024 年高考第三次模拟考试
数学 全解全析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一个选项是符合题目要求的．
1．已知集合 ， ， ，则集合P的子集共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．8个
1．【答案】C
【解析】因为 ， ，
所以 ，所以 ，则集合P的子集共有 个．故选C.
2.古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分隔率，黄金
分割率的值也可以 用2sin18°表示，即 ,设 ,则 （ ）
A. B. C. D.
2.【答案】A
【解析】
故选A.
3.若 的展开式中的 的系数为 ,则实数 （ ）
A.8. B.7 C.9 D.10
3.【答案】B.
【解析】由题意知， 的系数为 ,解得 ,
故选 B.
4.甲、乙、丙、丁、戊5位同学报名参加学校举办的三项不同活动，每人只能报其中一项活
动，每项活动至少有一个人参加，则甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．【答案】C
【解析】先将5名志愿者分成3组，第一类分法是3，1，1，第二类分法是2，2，1，再分配
到三项活动中，总安排数为 ，甲、乙、丙三位同学所报活动各不相
同排列数为 ，设过件 为甲、乙、丙三个同学所报活动各不相同，
．故选C.
5.设 为正项等差数列 的前 项和．若 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
5.【答案】D
【解析】由等差数列的前 项和公式，可得 ，可得 ，
又由 且 ，
所以 ，
当且仅当 时，即 时，等号成立，
所以 的最小值为 .
故选：D.6.已知函数 ，若沿 轴方向平移 的图象，总能保证平移后的
曲线与直线 在区间 上至少有2个交点，至多有3个交点，则正实数 的取值范围为
（ ）
A. B. C. D.
6.【答案】A
【解析】由题知， ，若沿 轴方向平移，考点其任意性，不妨设得到的
函数 ，令 ，即 ，由正弦曲线性质知， 至少
有2解，至多有3解，则自变量 的区间长度在 到 之间，耶 ，那 ，
选A.
7.已知 ,则（ ）
A. B. C. D.
7.【答案】A
【解析】设 则 在 上单调递减,
所以 ,所以所以 ,故选 A.
8.已知正方体 的棱长为 为线段 上的动点，则三棱锥 外接球
半径的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8.【答案】C
【解析】如图，连接 ，交 于点 ，易多 为 的外心。
進接 ．交于点 ，易知 平而 三棱锥 的外接球球心 在 上。
设 的外接四四心为 平面 ，且 。
设 的外接圆半径为 ．三棱锥 的外接球半径为 。
设 ．
又 ．
．
设 ，设 ．则 ．
又 易知 ．故选C.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.
全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9．已知复数 ,下列说法正确的有（ ）
A.若 ,则
B.若 ,则
C.若 ,则 或
D.若 ,则
9.【答案】AC
【解析】 ,则 ,A对.
,则 i 满足条件， ,B错.
, 或 ,C对.
令 ，
则
不一定为0，D错，选AC.
10.已知抛物线 y的焦点为 ,准线为 ,过F的直线与抛物线C交于A,B两点， 为线
段AB中点， 分别为A,B,M在 上的射影，且 ,则下列结论中正确的是
A.F的坐标为(1,0)B.
C. 四点共圆
D.直线AB的方程为
10.【答案】BCD.
【解析】F的坐标为(0,1),故A错.
过点B作BN垂直于AA',N为垂足，如图所示(点A在第一
象限时)
设 则
所以 ,直线AB的方程为
同理(点 在第二象限时):直线AB的方程为
故D正确.
由题意可知 所以 .故B正确.
因为
所以
又因为
所以 ,即
所以 四点共圆，故C正确.
所以选BCD.11.对于 满足 ，且对于 ．恒有
．则（ ）
A． B． C． D．
11．【答案】ABD
【解析】令 代入 及 ，得 ，
所以 ，令 代入 ，得
，答案A正确；由 ，得 ，进而得，
，所以，
BD正确，C错误．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布 ．质量指标介于99至101之间的产
品为良品，为使这种产品的良品率达到 ，则需调整生产工艺，使得 至多为
（若 ，则
2.【答案】
1
【解析】因为 ，且 ，所以 ，
又质量指标介于99至101之间的产品为良品，且该产品的良品率达到 ，所以 ， ， ，即 ，解得 ，
所以 至多为 ．
故答案为： ．
13. 中， ,分别为角 的对边，若 ， ，则 的面积S
的最小值为
13.【答案】
【解析】已知 ;且 由余弦定理得 ,
整理得3 ,解得 12或 .(当 时， ,故舍去),
(当 时取等号).从而S ,即 面积S的最小值为
.
14.函数 在 范围内极值点的个数为
14.【答案】2
【解析】 .
当 时， ；当 时， ；
当 时， 和 均为单调减函数，又 在 上是单调增函数，根据复合函数单调性可知 为减函数 ，又
，
故函数 在该区间上存在一个零点，该零点为函数 的极值点；
从而函数 在 内一共有2个极值点.
三、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分) 己知函数 ,其中 .
(I)若曲线 在 处的切线在两坐标轴上的截距相等,求 的值;
(II)是否存在实数 ,使得 在 上的最大值是-3?若存在,求出 的值;若不存在,说明理
由.
15.【答案】（1） （2）存在 符合题意,此时
【解析】(I) ,则 ,
故曲线 在 处的切线为 ,即 ,
当 时,此时切线为 ,不符合要求当 时,令 ,有 ,
令 ,有 ,故 ,即 ,故 .........................................................6 分
(II) ,
①当 时, 在 上单调递增,的最大值是 ,解得 ,舍去;.........................................................8分
②当 时,由 ,得 ,
当 ,即 时, 时, 时, ,
的单调递增区间是 ,单调递减区间是 ,又 在 上的最大值为
; ..................................................................10分
当 ,即 时, 在 上单调递增, ,
解得 ,舍去.
综上,存在 符合题意,此时 .........................................................................13 分
16.(本小题满分15分)某景区的索道共有三种购票类型，分别为单程上山票、单程下山票、双
程上下山票．为提高服务水平，现对当日购票的120人征集意见，当日购买单程上山票、单
程下山票和双程票的人数分别为36、60和24．
（1）若按购票类型采用分层随机抽样的方法从这120人中随机抽取10人，再从这10人中随
机抽取4人，求随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率．
（2）记单程下山票和双程票为回程票，若在征集意见时要求把购买单程上山票的2人和购买
回程票的m（ 且 ）人组成一组，负责人从某组中任选2人进行询问，若选出的2
人的购票类型相同，则该组标为A，否则该组标为B，记询问的某组被标为B的概率为p．
（i）试用含m的代数式表示p；
（ii）若一共询问了5组，用 表示恰有3组被标为B的概率，试求 的最大值及此时
m的值．16．【答案】（1） （2）（i） （ii）
【解析】（1）因为购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数之比为 ，
所以这10人中，购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为：
， ， ，
故随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率 ．…………6分
（2）（i）从 人中任选2人，有 种选法，其中购票类型相同的有 种选法，则
询问的某组被标为B的概率 ．…………8分
（ii）由题意，5组中恰有3组被标为B的概率
，
所以 ， ，
所以当 时， ，函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减，
所以当 时， 取得最大值，且最大值为 ．
由 ， 且 ，得 ．
当 时，5组中恰有3组被标为B的概率最大，且 的最大值为 ．…………15分17.(本小题满分15分)如图，在平行六面体 中， ， ，
， ，点P满足 ．
(1)证明：O，P， 三点共线；
(2)求直线 与平面PAB所成角的正弦值．
17．【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）证明： ，所以 ，
而 ，
所以 ，即O，P， 三点共线．………………6分
（2）连接 ， ， ，所以 ， ，
， ， ，
由余弦定理得 ，
同理可得， ．
又 为BD的中点， ， ．
， ，即 ．
如图，以O为原点建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ，………………10分
由（1）可得，P为线段 三等分点，
所以 ，
， ， ，
设平面PAB的法向量为 ，则
令 ，则 ， ．………………12分
设直线 与平面PAB所成角为 ，
则 ，
直线 与平面PAB所成角的正弦值为 ．………………15分
18.(本小题满分17分)
已知椭圆 的左右焦点分别为 ,点 在椭圆 上，且在第一象限内，满足
(1)求 的平分线所在的直线 的方程；(2)在椭圆 上是否存在关于直线 对称的相异的两点，若存在，请找出这两点；若不存在请
说明理由；
(3)已知双曲线 与椭圆 有共同的焦点，且双曲线 与椭圆 相交于 ,若四边形
的面积最大时，求双曲线 的标准方程。
18．【答案】（1） （2）不存在 （3）
【解析】(1)设 的平分线与 轴交于点 ，由题意知， ， ，A
所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，
所以直线 的方程为 ………………………………………5分
(2)假设存在两点 关于直线 对称，则 ，所以 ，
设直线 的方程为 ，联立 ，得 ，
则 ，即 , ， .
所以 的中点坐标为 ，因为 的中点在直线 ：
所以 ，所以 ，所以 的中点坐标为 ，与点A重合，矛盾，
所以不存在满足题设条件相异的两点………………………………………………12分
由题意知， ，设与椭圆 共焦点的双曲线 的标准方程为
，设它们的一个交点坐标为 ，
它们的交点为顶点的四边形面积记 ，所以 ，当且仅当 取得等号，因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以双曲线 的标准方程为 .………………17分
19.(本小题满分17分)已知数列 ，记集合
.
（1）若数列 为 ，写出集合 ；
（2）若 ，是否存在 ，使得 ？若存在，求出一组符合条件的 ；
若不存在，说明理由；
（3）若 ，把集合 中的元素从小到大排列，得到的新数列为 ， 若
，求 的最大值．
19【答案】（1）
（2）不存在 ，使得 成立
（3）
【解析】（1）由题意可得 ， ， ，
所以 . ……………………………………5分
（2）假设存在 ，使得 ，
则有 ，
由于 与 的奇偶性相同， 与 奇偶性不同，又 ， ，
所以 中必有大于等于 的奇数因子，这与 无 以外的奇数因子矛盾，故不存在 ，使得 .……………………………………………10分
（3）首先证明 时，对任意的 都有 ，
因为 ，
由于 与 均大于 且奇偶性不同，
所以 为奇数，对任意的 都有 ，
其次证明除 形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和，
若正整数 ，其中 ，
则当 时，由等差数列的性质可得：
，此时结
论成立，
当 时，由等差数列的性质可得：
，此时结
论成立，
对于数列 ，此问题等价于数列 其相应集合 中满足 有多少项，
由前面证明可知正整数 不是 中的项，
