2025 年中考第三次模拟考试（安徽卷）
数学·全解全析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符
合题目要求）
1．−2025的绝对值的是（ ）
1 1
A． B．− C．2025 D．−2025
2025 2025
1．【答案】C
【详解】解：−2025的绝对值的是2025，
故选：C．
2．2025年1月29号《哪吒之魔童闹海》在我国首映，截止3月10号全球累计票房已超过149亿元，目前
位列全球影史票房第6名．其中149亿用科学计数法表示为（ ）
A．14.9×109 B．1.49×109 C．1.49×1010 D．0.149×1011
2．【答案】C
【详解】解：149亿=14900000000，
14900000000=1.49×1010，
故选：C．
3．一个长方体被挖去一个几何体后的三视图如图所示，则被挖去的几何体为（ ）
A． B． C． D．
3．【答案】A
【详解】根据三视图可得被挖去的几何体的主视图，左视图和俯视图都是正方形，则被挖去的几何体
为正方体，
故选：A4．下列计算正确的是（ ）
1
A．√12=3√2 B．(−a2) 2 =−a4 C．3ab−ab=2 D．2−2=
4
4．【答案】D
【详解】解：A、√12=2√3，故原式错误，不符合题意；
B、(−a2) 2 =a4，故原式错误，不符合题意；
C、3ab−ab=2ab，故原式错误，不符合题意；
1
D、2−2=
，故原式正确，符合题意；
4
故选：D．
5．已知扇形的半径为3，圆心角为120°，则这个扇形的面积为（ ）
A．9π B．6π C．3π D．2π
5．【答案】C
120×π×32
【详解】解：扇形的半径为3，圆心角为120°，则这个扇形的面积为： =3π；
360
故选：C．
nπr2
【点睛】本题考查了扇形面积计算，解题关键是熟记扇形面积公式：S= ．
360
k
6．一次函数y=x+b(b≠0)的图象与反比例函数y= (k≠0)的图象交于点A(m,2)，与x轴交于点
x
B(−1,0)，则k的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
6．【答案】B
【详解】解：一次函数y=x+b(b≠0)的图象与x轴交于点B(−1,0)，
∴−1+b=0，
∴b=1，
∴一次函数的解析式为y=x+1，
把A(m,2)代入上式，得m+1=2，
∴m=1，
∴A(1,2)，
k k
把A(1,2)代入y= (k≠0)得2= ，
x 1∴k=2，
故选：B．
7．生活中的衣架可以近似看成一个等腰△ABC，如图所示，其中AB=AC，BC=40cm，∠ABC=30°
，则高AD的长度为（ ）
20
A．10cm B．10√3cm C． √3cm D．20√3cm
3
7．【答案】C
【详解】解：∵AB=AC，AD⊥BC，
1
∴DC= BC，
2
∵BC=40cm，
1
∴BD= BC=20cm，
2
∵AB=AC，∠ABC=30°，AD⊥BC，
∴AB=2AD，BD2+AD2=AB2，
∴(2AD) 2−AD2=202，
20√3
∴AD= cm，
3
故选C．
8．已知实数 a，b，c满足：a+b+c=0，c>0，3a+2b+c>0，则下列结论正确的是（ ）
b
A．a+b>0 B．2a+b<0 C．0<a<c D．−2< <−1
a
8．【答案】D
【详解】解：∵a+b+c=0，
∴a+b=−c，
∵c>0，
∴−c<0，
∴a+b<0，故A错误；∵a+b+c=0，
∴c=−a−b，
∴3a+2b+c=3a+2b−a−b=2a+b>0，故B错误；
∵3a+2b+c>0，
∴3a+2b+c=a+2a+2b+c=a+2(a+b+c)−c=a−c>0，
∴a>c，
∵c>0，
∴a>0，
∴0<c<a，故C错误；
∵2a+b>0，a>0，
b
∴ >−2，
a
又∵a+b<0，a>0，
b
∴ <−1，
a
b
∴−2< <−1，故D正确；
a
故选：D．
9．如图，在正六边形ABCDEF中，点G，H分别为BE，CF上的点，若△DGH为等边三角形，满足上
述条件的△DGH的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
9．【答案】D
【详解】解：如图，连接AD，记对角线交点为点O，360°
∴半径OA=OB=OC=OD=OE=OF，∠DOC=∠DOE= =60°，
6
∴△OCD为等边三角形，
∴DC=DO，∠ODC=∠OCD=60°，
将DH绕点D顺时针旋转60°交BE于点G，即∠HDG=60°，
∴∠CDH=∠ODG，
∵∠HCD=∠GOD=60°，
∴△HCD≌△GOD(ASA)，
∴DH=DG，
∵∠HDG=60°，
∴△DGH为等边三角形，
∴当点H在移动时，有无数个等边△DGH，
故选：D．
10．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，点P从D点出发，沿DA→AB→BC运动，过点P
作直线CD的垂线，垂足为点Q，设点P运动的路程为x，△DPQ的面积为y，则下列图象能正确反映
y与x之间的函数关系的是（ ）
A． B．C． D．
10．【答案】D
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，AB=2，∠ABC=60°，
∴AD=AB=DC=BC=2，∠D=∠ABC=60°，
∴当点P到点A时，x=2；当P到点B时，x=4；当P到点C时，x=6，
①当点P在AD上，即0<x≤2时，如下图所示
此时PD=x，
√3 1
∴PQ=PD·sin∠D=PD·sin60°= x，DQ=PD·cos∠D=PD·cos60°= x，
2 2
1 1 √3 1 √3
∴y= DQ·PQ= × x× x= x2(0<x≤2)，此时图象为开口上的抛物线的一部分；
2 2 2 2 8
②当点P在AB上，即2<x≤4时，如下图所示，过点A作AE⊥DC于E，
此时PA=x−AD=x−2，∠AEQ=∠PQE=∠APQ=90°，
∴四边形AEQP为矩形，
在Rt△ADE中，AE=AD·sin∠D=AD·sin60°=√3，DE=AD·cos∠D=1，
∴AP=EQ=x−2，PQ=AE=√3，
∴DQ=DE+EQ=1+x−2=x−1，
1 1 √3 √3
∴y= DQ·PQ= ×√3(x−1)= x− (2<x≤4)，此时图象为逐渐上升的一条线段；
2 2 2 2
③当点P在BC上，即4<x≤6时，如下图所示，此时CP=AD+AB+BC−x=6−x，
∵AD∥BC，
∴∠BCQ=∠ADC=60°，
√3 1
∴PQ=CP·sin∠BCQ= (6−x)，CQ=CP·cos∠BCQ= (6−x)，
2 2
1 1
∴DQ=DC+CQ=2+ (6−x)=5− x，
2 2
1 √3 15√3
∴y= DQ·PQ= x2−2√3x+ (4<x≤6)，此时图象为开口上的抛物线的一部分；
2 8 2
综上：符合题意的图象为D，
故选：D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）
3
11．代数式 有意义时，x应满足的条件是 ．
3−x
11．【答案】x≠3
【详解】解：由题意得3−x≠0，
解得：x≠3．
故答案为：x≠3．
12．著名的欧拉公式 eiπ+1=0,将自然常数e(又叫做欧拉数)与虚数单位i、圆周率π、自然数1和0这五个最
重要的常数联系在一起，被誉为数学中最美的公式之一，其中e≈2.718，试比较大小： √5
e(填“>”“=”或“<”)．
12．【答案】<
【详解】解：∵2.7182≈7.388>5
∴√5<e
故答案为：<．
13．“四大发明”是中国古代劳动人民的重要创造，具体指印刷术、造纸术、火药和指南针四项发明．小
北从主题为《四大发明》的四段影片中随机选取两段观看，选取的两段影片恰好是“造纸术”和“印
刷术”的概率为 ．1
13．【答案】
6
【详解】解：设以印刷术、造纸术、火药和指南针为主题四段影片分别用A、B、C、D表示，
根据题意画树状图如下：
共有12种等可能的结果，选取的两段影片是“造纸术”和“印刷术”即为A和B的结果数有2种，
2 1
∴选取的两段影片恰好是“造纸术”和“印刷术”的概率为 = ，
12 6
1
故答案为： ．
6
14．如图，两个正方形ABCD和AEFG的顶点A重合，C,B,E三点在同一条直线上，连接AC．
（1）若∠BEF=α，则∠CAG= ．（用含α的式子表示）；
（2）分别连接DE，BG，M为BG的中点，连接AM，若AB=1，AE=√5，则AM的长为 ．
√10
14．【答案】 45°−α
2
【详解】解：（1）∵正方形AGFE，
∴∠AEF=∠EAG=90°，
∴∠AEB+∠BEF=90°,∠AEB+∠EAG=90°，
∴∠EAG=∠BEF=α，
∵正方形ABCD，
∴∠CAB=45°，
∴∠CAG=∠CAB−∠GAB=45°−α．
故答案为：45°−α．
（2）如图：连接EG，AG与BC的交点为P，连接PM、CG，过点M作AB的垂线，垂足为N，则∠BNM=90°，
由（1）可得：∠CAG=45°−α，
在正方形ABCD中，AC=√AB2+BC2=√2AB=√2，
在正方形AGFE中，EG=√AE2+AG2=√2AE=√10，
∵在正方形AGFE中，∠FEG=45°，
∴∠PEG=∠BEF−∠FEG=∠BEF−45°，
∴∠PEG=∠CAG，即∠PEG=∠PAC，
∵∠APC=∠EPG，
∴△APC∽△EPG，
AP AC
∴ = ，
EP EG
AP √2
∴ = ，即EP=√5AP，
EP √10
√5
在Rt△EAP中，AE2+AP2=EP2，即5+AP2=5AP2，解得：AP= ；
2
1
在Rt△ABP中，BP=√AP2+AB2=
，
2
1
∴BP= BC，即点P为BC的中点，
2
∵M为BG的中点，
∴PM为△ABG的中位线，
1 1
∴PM∥AB，PM= AB= ，
2 2
∵∠ABC=90°，
∴∠MPB=∠ABC=90°，
∵∠BNM=90°，∴∠BBP=180°−∠ABC=90°，
∴四边形BPMN为矩形，
1 1
∴MN=BP= ，BN=PM= ，
2 2
3
∴AN=AB+BN= ，
2
∴AM=√AN2+M N2=
√ (3) 2
+
(1) 2
=
√10
．
2 2 2
√10
故答案为： ．
2
三、（本大题共2个小题，每小题8分，满分16分）
15．解一元二次方程： x2+6x=7.
15．【答案】x =1,x =−7
1 2
【详解】解：x2+6x=7
∴x2+6x−7=0，
∴(x−1)(x+7)=0，
∴x−1=0或x+7=0，
解得：x =1,x =−7．
1 2
16．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系xOy，△ABC的顶点
均为格点（网格线的交点），A,B,C的坐标为A(−4,2)，B(−2,4)，C(2,4)．
(1)将△ABC绕点O顺时针旋转90°，得到△A′B′C′，画出△A′B′C′（其中C的对应点为C′）；
(2)在所给的网格图内将△ABC补成一个四边形，使得四边形ABCD为轴对称图形，画出四边形ABCD；
(3)在所给的网格图中的平面直角坐标系的第三象限内找一个格点E．使得CE平分∠ACC′，写出点E
的坐标．
16．【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析，点E的坐标为(−2,−4)（不唯一）
【详解】（1）解：如图：△A′B′C′即为所求．
（2）解：如图：四边形ABCD即为所求．
（3）解：如图：点E即为所求，点E的坐标为(−2,−4)（不唯一）．四、（本大题共2个小题，每小题8分，满分16分）
17．为拓展学生视野，提升学生综合实践能力，某中学组织全校师生开展研学活动，租用甲，乙两种客车
15辆，除一辆甲种客车有3个空座位，其余客车全部满座，且总租金为7600元．甲，乙客车的载客
量和租金如下表所示：
甲种客车 乙种客车
载客量（人/辆） 45 60
租金（元/辆） 400 600
该校一共多少师生参加此次研学活动？
17．【答案】该校一共792名师生参加此次研学活动
【详解】解：设租用甲种客车x辆，乙种客车y辆，
由题意，得：¿，
解得¿，
7×45+8×60−3=792（名），
∴该校一共792名师生参加此次研学活动．
18．数学兴趣小组开展探究活动，研究了“相邻两个正整数的积N能否表示为x2−x（x为正整数）”的问
题．
(1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（n为正整数）：
x2−x（x为正整
N
数）
1×2
22−2 32−3
2×33×4
42−4
4×5 52−5
5×6 62−6
… …
n(n+1) _________
按上表规律，完成下列问题：
（I）6×7=（__________）❑ 2−__________；
（II）n(n+1)=__________（用含n的式子表示）
（III）证明（II）中的结论．
(2)兴趣小组还猜测：像1×4，2×5，3×6，4×7，…这些形如n(n+3)（n为正整数）的正整数N不
能表示为x2−x（x为正整数）．师生一起研讨，分析过程如下：
假设n(n+3)=x2−x，其中x为正整数．
分下列两种情形分析：
若x为奇数，设x=2k+1，其中k为正整数，
①则x2−x=(2k+1) 2−(2k+1)=4k2+4k+1−2k−1=4k2+2k=2k(2k+1)为相邻两个
正整数的积，矛盾．故x不可能为奇数．
若x为偶数，设x=2k，其中k为正整数，
②则x2−x=(2k) 2−2k=__________为相邻两个正整数的积，矛盾．故x不可能为偶数．由
可知，猜测正确．
阅①读②以上内容，请在情形 的横线上填写所缺内容．
②
18．【答案】(1)（I）7，7；（II）(n+1) 2−(n+1)；（III）见解析
(2)2k(2k−1)
【详解】（1）（1）（I）6×7=72−7，
故答案为；7，7；
（II）n(n+1)=(n+1) 2−(n+1)，
故答案为：(n+1) 2−(n+1)
（III）∵n(n+1)=n2+n，(n+1) 2−(n+1)=n2+2n+1−n−1=n2+n，
∴n(n+1)=(n+1) 2−(n+1)．（2）解：②若x为偶数，
设x=2k，其中k为正整数，
则x2−x=(2k) 2−2k=2k(2k−1)为相邻两个正整数的积，矛盾．故x不可能为偶数，
故答案为2k(2k−1)．
五、（本大题共2个小题，每小题10分，满分20分）
19．数学综合实践小组用所学的数学知识来解决实际问题，报告如下：
项目 设计遮阳篷前挡板
合肥位于中国华东地区，安徽省中部，是中
国四大“科教之城”之一．据合肥市政府统
计，夏季6月至8月的日照时间相对较长，平
素材1
均每天日照时长可达8小时左右，夏季总日
照时长大约720小时左右，为有效遮挡阳
光，一般在门前安装遮阳棚．
前挡板
我市某景点的游客服务中心，为了方便旅游
高峰期间游客遮阳，在服务窗口外安装了遮
阳篷，结果发现旅游高峰期正午时纳凉面积
素材2
不够，为增加服务窗口外的纳凉区域，计划
在遮阳篷前端加装一块前挡板（前挡板垂直
于地面），抽象模型如图1．
测量数据如下，并画出了侧面示意图，如图
2，未安装遮阳板之前，遮阳篷AB长为3.5m
，其与墙面的夹角∠BAD=60°，AD =5m
测量数据 ，正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角
∠BFE）约为65°，DF为阴凉区宽度；若加
装前挡板BC后，阴凉区宽度DF相应增大，
如图3．
目标一：求出未增加遮阳板之前的阴凉区宽度DF的值；
解决问题
目标二：若想阴凉区宽度达到2m，求增加的遮阳板BC的值．
运算过程 请完成目标一和目标二，并给出对应的计算过程．
（结果精确到0.1m，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，√3≈1.73）
19．【答案】目标一：1.5m；目标二：1.1m
【详解】解：目标一：如图1，过点B作BM⊥AD，垂足为M，过点F作FN⊥BM，垂足为N，在Rt△ABM中，∵ AB=3.5，∠BAM=60°，
1
∴ AM=AB⋅cos60°=3.5× =1.75，
2
1.73
BM=AB⋅sin60°≈3.5× ≈3.03，
2
∵ AD=5，
∴DM≈3.25，
∴NF≈3.25．
在Rt△BNF中，∠NBF=65°，
NF 3.25
∴BN= ≈ ≈1.52，
tan65° 2.14
∴ NM≈3.03−1.52=1.51，
∴FD≈1.51m≈1.5m；
目标二：如图2，过点C作CG⊥AD，垂足为G，
由题意可知，DF=2，
∴MN=2，∴BN≈1.03，
∴CQ≈1.03，
在Rt△CQF中，∠QCF=65°，
∴QF=tan65°×CQ≈2.14×1.03≈2.20，
∴ MG=DM−QF≈3.25−2.20=1.05≈1.1，
∴ BC的长约为1.1m．
20．如图，在⊙O中，点C是直径AB上方半圆上的一个点，直径AB平分非直径弦CD于点G，点E是
A´C上一点（不与A、C重合），过点E作EF⊥AB,EH⊥OC，垂足分别为F、H，连接FH．
(1)求证：∠OCD+∠FEH=90°；
(2)若CD=3，求FH的长．
20．【答案】(1)见解析
3
(2)
2
【详解】（1）解：∵直径AB平分非直径弦CD，
∴CD⊥AB，即∠CGO=90°．
∴∠OCD+∠COG=90°
∵EF⊥AB,EH⊥OC，
即∠EFO=∠EHO=90°，
∴∠AOC+∠FEH=180°，
∵∠AOC+∠COG=180°，
∴∠COG=∠FEH，
∴∠OCD+∠FEH=90°；
（2）解：如图，连接OE，∵∠EFO=∠EHO=90°，
即∠EFO+∠EHO=180°，
∴O、F、E、H四点是在以OE为直径的圆上，
∵∠CGO=90°，
∴O、C、G三点是在以OC为直径的圆上，
∵OE=OC，
∴以OE为直径的圆和以OC为直径的圆是等圆，
∵∠COG=∠FEH，即F´H=C´G，
1 3
∴FH=CG= CD= ．
2 2
六、（本题满分12分）
21．【问题背景】为了进一步了解葡萄的生长情况，某校“综合与实践”小组先后去甲和乙两个葡萄种植
基地进行实践活动．
【现场学习】根据葡萄的生长规律，现阶段正常生长的葡萄应满足每串果穗质量不低于0.5kg．
【收集数据】为对比了解两个基地葡萄穗的生长情况，下面是该小组在两地收集的部分数据．在甲基
地随机抽取20串葡萄穗，并将0.5kg作为1串葡萄穗的标准质量，记录每一串葡萄穗质量与标准
质量的差值如下：−0.18 −0.02 −0.04 −0.09 −0.13 0.06 0.02 0.04 0.09 −0.01 −0.12
0.01 −0.13 0.04 0.07 0.03 −0.02 −0.03 −0.04 −0.03
【整理数据】将甲基地随机抽取的20串葡萄穗质量数据整理如下表，在乙基地随机抽取20串葡萄
穗，其质量绘制成频数分布直方图，部分信息如下：
区间 A B C D E F
葡萄穗
质量/ 0.30~0.35 0.35~0.40 0.40~0.45 0.45~0.50 0.50~0.55 0.55~0.60
kg
频数 1 1 7 5【分析数据】
(1)请你计算在甲基地随机抽取的葡萄穗中质量超过0.5kg的占比为______%，表格中葡萄穗质量在
0.35~0.40 kg的频数为______；
(2)根据以上数据，请你对甲、乙两基地果穗质量情况作出对比分析；
(3)为了增加数据的准确性，再次抽取了一些葡萄穗进行测重，其中甲基地第二次抽取的葡萄穗的最大
质量为0.43kg，将甲基地第二次抽取的葡萄穗的质量数据和甲基地第一次抽取的葡萄穗的质量数据合
并后，发现甲基地葡萄穗质量的中位数所在区间没有改变，则第二次甲基地最多抽取了多少串葡萄
穗？
21．【答案】(1)40，3
(2)见解析
(3)第二次甲基地最多抽取了9串葡萄穗
【详解】（1）解：由数据可得，在甲基地随机抽取的葡萄穗中质量超过0.5kg的有8个，
8
∴占比为 ×100%=40%，
20
∴质量在0.35~0.40kg的频数为20−1−1−7−8=3．
故答案为：40，3；
（2）甲基地果穗质量在0.45kg以上所占比例高于乙基地，说明甲基地葡萄生长情况优于乙基地（答
案不唯一）；
（3）∵1+3+1=5，1+3+1+7=12，第一次在甲基地共抽取了20串葡萄穗，
∴甲基地第一次抽取的葡萄穗质量数据的中位数落在D区间，
∵两次数据合并后中位数所在区间没有改变，甲基地第二次抽取的葡萄穗的最大质量为0.43kg，
∴甲基地两次抽取所得的数据合并后中位数在D区间，第二次抽取的葡萄穗质量在A,B,C区间，
∴(7+5+3)−(1+3+1)−1=9（串），
∴第二次甲基地最多抽取了9串葡萄穗．
七、（本题满分12分）22．如图1，点F是四边形BCDE边BE上一动点．且DF∥BC，∠CBE=∠DEB，过点B作BA交DF的
延长线于点A，连接AE，AB=AE．
(1)求证：△AED≌△CDF；
(2)如图2，连接DB交CF于点G．
①若CG=DE．求证：∠ABE=∠DBE；
AE
②若AE∥BD．求 的值．
BD
22．【答案】(1)见解析
√5−1
(2)①见解析；②
2
【详解】（1）证明：∵DF∥BC，BA∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，∠CBE=∠DFE，
∴AB=CD，∠ABC=∠CDF，
∵AB=AE，
∴AE=CD，∠ABE=∠AEB，
∵∠CBE=∠DEB，
∴∠DFE=∠DEB，∠AED=∠AEB+∠DEB=∠ABE+∠CBE=∠ABC，
∴DF=DE，∠CDF=∠AED，
在△AED和△CDF中，
¿
∴△AED≌△CDF(SAS)；
（2）①连接EG，
∵△AED≌△CDF，
∴∠EDA=∠DFC，
∴DE∥CF，∵CG=DE，
∴四边形CDEG是平行四边形，
∴CD=≥，CD∥≥¿，
∵BA∥CD，AB=CD，
∴AB=≥，AB∥≥¿，
∴四边形AEGB是平行四边形，
∵AB=AE，
∴四边形AEGB是菱形，
∴∠ABE=∠DBE；
②∵△AED≌△CDF，
∴∠EDA=∠DFC，
∵DF∥BC，
∴∠CBF=∠DFE，∠BCF=∠CFD，
∴∠FCB=∠EDF，
∴△BCF∽△FDE，
BC BF
∴ = ，
DF EF
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD，
DF EF
∴ = ，
AD BF
∵AE∥BD，
∴△EAF∽△BDF，
AE AF EF
∴ = = ，
BD DF BFAF DF
∴ = ，
DF AD
∵AD=AF+DF，
AF DF
∴ = ，
DF AF+DF
∴DF²=AF²+AF⋅DF，
两边同时除以DF²得：
( AF) 2 AF
∴1= + ，
DF DF
AF √5−1 AF −√5−1
解得： = 或 = （舍去），
DF 2 DF 2
AE AF √5−1
∴ = = ．
BD DF 2
【点睛】本题考查了平行四边形、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定
与性质，根据相关知识证明和等量代换列式求解是解题的关键．
八、（本题满分14分）
23．已知抛物线C :y =ax2−2x过点(2,0)，抛物线C :y =−(x−t) 2+t2−2t（其中t为常数）．
1 1 2 2
(1)求a的值和C 的顶点坐标．
1
(2)已知无论t为何值，C 与C 总交于一个定点，这个定点的坐标为________；
1 2
(3)当t=3时，平移抛物线C ，使其顶点在抛物线C 上．平移后的抛物线与y轴交点记为A，顶点为
1 2
P(m,n)，点O为坐标原点．当0<m<1时，求△POA面积的最大值．
23．【答案】(1)a=1，顶点坐标为(1,−1)
(2)(1,−1)
3
(3)
4
【详解】（1）解：将(2,0)代入y =ax2−2x得：0=4a−4，
1
解得a=1，
∴y =x2−2x=(x−1) 2−1，
1
顶点坐标为(1,−1)；
（2）解：联立¿得，−(x−t) 2+t2−2t=x2−2x
整理得x2−(t+1)x+t=0
Δ=(t+1) 2−4t=(t−1) 2≥0
∴两个图形一定有交点，
y =−(x−t) 2+t2−2t
2
整理得y =−x2+2t(x−1)
2
∴当x=1时，无论t取何值y =−1，
2
由（1）得，y =x2−2x的顶点坐标为(1,−1)，
1
∴C 与C 总交于一个定点的坐标为(1,−1)，
1 2
故答案为：(1,−1)；
（3）解：
如图所示，
当t=3时，抛物线C :y =−x2+6x−6，
2 2
平移之后顶点坐标为P(m,n)，即P(m,−m2+6m−6)
∴平移之后y =(x−m) 2+n=x2−2mx+6m−6
1
∴A(0,6m−6)
OA=6−6m
1 1
∴S = OA⋅x = (6−6m)m=−3m2+3m，此二次函数抛物线开口向下，
△POA 2 p 21 1
可求顶点横坐标为m= ，0< <1，
2 2
∴顶点纵坐标为最大值
1 3
当m= 时，代入二次函数得S = ，
2 △POA 4
3
∴△POA面积的最大值
4
