文档内容
2025 年福建中考第三次模拟考试
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．8的相反数是（ ）
A. B. 8 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
【详解】解：8的相反数是 ，
故选A．
【点睛】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．
2．2. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够
与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分
能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行判断即可．
【详解】解：A．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
3．下列运算正确的是……（ ）
A. a²+a³=a6 B. （ab）2 =ab2 C. （a+b）²=a²+b² D. （a+b）（a-b）=a² -b2
【答案】D
【解析】
【分析】根据整式加法判定A；运用积的乘方计算关判定B；运用完全平方公式计算并判定C；运用平方
差公式计算并判定D．
【详解】解：A.a²+a³没有同类项不能合并，故此选项不符合题意；
B.（ab）2 =a2b2，故此选项不符合题意；
C.（a+b）²=a²+2ab+b²，故此选项不符合题意
D.（a+b）（a-b）=a² -b2，故此选项符合题意
故选：D．
【点睛】本题考查整理式加法，积的乘方，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握积的乘方运算法则、完
全平方公式、平方差公式是解题的关键．
4．已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC（∠ABC＝30°，∠BAC＝60°）按如图方式放置，点
A，B分别落在直线m，n上．若∠1＝70°．则∠2的度数为（ ）
A. 30° B. 40° C. 60° D. 70°
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线的性质求得∠ABD，再根据角的和差关系求得结果．
【详解】解：∵m n，∠1=70°，
∴∠1=∠ABD=70°，
∵∠ABC=30°，∴∠2=∠ABD-∠ABC=40°，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，关键是熟练掌握平行线的性质．
5．反比例函数 （ 为常数， ）的图像位于（ ）
A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、二象限 D. 第三、四象限
【答案】A
【解析】
【分析】根据 及反比例函数 （ 为常数， ）的性质即可解答．
【详解】解：∵ 且 ，
∴ ，
∴反比例函数 （ 为常数， ）的图象位于第一、三象限，
故选： ．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
6．不等式组 的解集，在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找
不到确定不等式组的解集．
【详解】解：由﹣x﹣1≤2，得：x≥﹣3，
由0.5x﹣1＜0.5，得：x＜3，
则不等式组的解集为﹣3≤x＜3，
故选：A．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小
取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
7．如图，四边形 是 的内接四边形，若 ，则 的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据圆周角定理求得 的度数，然后根据圆内接四边形的性质求出 的度数即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵四边形 是 的内接四边形，
∴ ，故选：B.
【点睛】此题考查的是圆内接四边形的性质及圆周角定理，比较简单，牢记有关定理是解答本题的关键．
8．为深入落实“立德树人”的根本任务，坚持德、智、体、美、劳全面发展，某学校积极推进学生综合
素质评价改革，某同学在本学期德智体美劳的评价得分如图所示，则该同学五项评价得分的众数，中位数，
平均数分别为（ ）
A. 8，8，8 B. 7，7，7.8 C. 8，8，8.6 D. 8，8，8.4
【答案】D
【解析】
【分析】先从图中读取该同学五项评价得分，再根据众数、中位数、平均数的定义，依次计算即可．
【详解】解：该同学五项评价得分分别为7，8，8，9，10，
出现次数最多的数是8，所以众数为8，
这组数据从小到大排列后，位于中间位置的数是8，所以中位数是8，
平均数为 ，
故选：D．
【点睛】本题考查了众数、中位数、平均数的定义，注意在求一组数据的中位数时，应先将这组数按从小
到大或从大到小的关系排序，再求出这组数的中位数．
9．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到 里远
的城市，所需时间比规定时间多 天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少 天，已知快马的速度
是慢马的 倍，求规定时间，设规定时间为 天，则可列出正确的方程为（ ）
A. B.C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，设规定时间为 天，则慢马送到所需时间为 天，快马送到所
需时间为 天，根据“快马的速度是慢马的 倍，两地间的路程为 里”，列出方程即可．
【详解】解： 设规定时间为 天，
慢马送到所需时间为 天，快马送到所需时间为 天，
快马的速度是慢马的 倍，两地间的路程为 里，
，
故选：B．
10．已知二次函数 ，当 时， 的最小值为 ，则 的值为（ ）
A. 或4 B. 或 C. 或4 D. 或4
【答案】D
【解析】
【分析】分两种情况讨论，并且利用二次函数的性质即可解答．
【详解】解：二次函数 的对称轴为：直线 ，
（1）当 时，当 时， 随 的增大而减小，当 ， 随 的增大而增大，
当 时， 取得最小值，
，
；（2）当 时，当 时， 随 的增大而增大，当 ， 随 的增大而减小，
当 时， 取得最小值，
，
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质以及分类讨论思想是解题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
11．27的立方根为_____．
【答案】3
【解析】
【分析】找到立方等于27的数即可．
【详解】解：∵33=27，
∴27的立方根是3，
故答案为：C．
12．地球与月球的平均距离大约384000km，用科学记数法表示这个距离为 km．
【答案】3.84 105
【解析】 ×
【分析】根据科学记数法的概念可知：用科学记数法可将一个数表示 的形式．
【详解】384000=3.84×105.
故答案是：3.84×105.
【点睛】考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整
数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13．为了落实“双减”政策，东营市某学校对初中学生的课外作业时长进行了问卷调查，15名同学的作业时长统计如下表，则这组数据的众数是____________分钟．
作业时长（单位：分钟） 50 60 70 80 90
人数（单位：人） 1 4 6 2 2
【答案】70
【解析】
【分析】根据众数的定义，人数最多的即为这组数据的众数．
【详解】解：由表可知：
∵6＞4＞2＞2＞1，
∴这组数据的众数是70分钟．
故答案为：70．
【点睛】本题考查了众数的定义，掌握众数的定义是本题关键．
14．如图，在矩形 中， 是 边上一点，且 ， 与 相交于点 ，若 的
面积是 ，则 的面积是______．
【答案】27
【解析】
【分析】根据矩形 的性质，很容易证明 ∽ ，相似三角形面积之比等于对应边比的平
方，即可求出 的面积．
【详解】解： 四边形 是矩形，
，
，
，∽ ，
， ，
： ： ，
： ： ，即 ： ： ，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，综合性比较强，学生要灵活应用．掌握相似
三角形的面积比是相似比的平方是解题的关键．
15．14. 如图，在平面直角坐标系中， AOB的边OB在y轴上，边AB与x轴交于点D，且BD=AD，反比
△
例函数y= (x>0)的图像经过点A，若S =1，则k的值为___________．
OAB
△
【答案】2
【解析】
【分析】作A 过x轴的垂线与x 轴交于C ，证明 ADC≌ BDO，推出S = S =1，由此即可求得答
OAC OAB
△ △
案． △ △
【详解】解：设A(a，b) ，如图，作A 过x轴的垂线与x 轴交于C ，则：AC=b ，OC=a ，AC∥OB，
∴∠ACD=∠BOD=90°，∠ADC=∠BDO，
∴ ADC≌ BDO，
∴△S =S △，
ADC BDO
△ △
∴S =S + S =S + S = S =1，
OAC AOD ADC AOD BDO OAB
△ △ △ △ △ △
∴ ×OC×AC= ab=1，
∴ab=2，
∵A(a，b) 在y= 上，
∴k=ab=2 ．
故答案为：2 ．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关
键是熟练掌握所学的知识，正确作出辅助线进行解题．
16．希腊数学家海伦给出了挖掘直线隧道的方法：如图， 是两侧山脚的入口，从 出发任作线段
，过 作 ，然后依次作垂线段 ，直到接近 点，作 于点
．每条线段可测量，长度如图所示．分别在 ， 上任选点 ，作 ， ，
使得 ，此时点 共线．挖隧道时始终能看见 处的标志即可．
（1） _______km．（2） =_______．
【答案】 ①. 1.8 ②.
【解析】
【分析】（1）由图可知CD＝5.5km，EF＝1km，GJ＝2.7km，代入CD－EF－GJ计算即可得到答案；
（2）连接AB，过点A作AT⊥CB，交CB的延长线于点T，∠ATB＝90°， 共线,得到∠MBQ
＝∠ABT，由题意可知BT和AT的长度，即可求得∠ABT的正切，进一步即可得到答案．
【详解】解：（1）由图可知，CD＝5.5km，EF＝1km，GJ＝2.7km，
∴CD－EF－GJ＝5.5－1－2.7＝1.8（km）；
故答案为：1.8
（2）连接AB，过点A作AT⊥CB，交CB的延长线于点T，∠ATB＝90°，
∵点 共线,
∴∠MBQ＝∠ABT，由题意可知，BT＝DE＋FG－CB－AJ＝4.9＋3.1－3－2.4＝2.6,
AT＝CD－EF－GJ＝5.5－1－2.7＝1.8，
∴tan∠ABT＝ ，
∴tan∠MBQ ＝ ＝ ，
∴k＝ ．
故答案为：
【点睛】此题考查了锐角三角函数、对顶角相等知识，数形结合是解题的关键．
三、解答题（本大题共9个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（8分）计算：计算： ；
【答案】
【解析】
【分析】根据绝对值，零指数幂和特殊角三角形函数值的计算法则求解即可；
【详解】解：（1）原式
；
【点睛】本题主要考查了含特殊角的三角函数值的实数的混合运算，牢记特殊角的三角函数值，是解答本
题的关键．
18．（8 分）已知：如图，点 、 、 、 在一条直线上，且 ， ，
．求证： ．【答案】见解析
【解析】
【分析】根据 证明 ，即可得出答案．
【详解】证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵在 和 中 ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的性质和判定，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．
19．（8分）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ；
【解析】
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把 的值代入计算即可．
【详解】解：原式，
当 时，原式 ．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
20．（8分）【新知学习】在气象学上，“入夏”由两种平均气温与22℃比较来判断：
衢州市2021年5月5日~5月14日的两种平均气温统计表 （单位：℃）
5 6
2021年5月 7日 8日 9日 10日 11日 12日 13日 14日
日 日
（日平均气温） 20 21 22 21 24 26 25 24 25 27
（五天滑动平均气温） … … 21.6 22.8 23.6 24 24.8 25.4 … …
注：“五天滑动平均气温”指某一天及其前后各两天的日平均气温的平均数，如：
(℃)．
已知2021年的 从5月8日起首次连续五天大于或等于22℃，而 对应着 ~ ，其中第一个
大于或等于22℃的是 ，则5月7日即为我市2021年的“入夏日”．
【新知应用】已知我市2022年的“入夏日”为下图中的某一天，请根据信息解决问题：
衢州市2022年5月24日~6月2日的两种平均气温折线统计图（1）求2022年的 .
（2）写出从哪天开始，图中的 连续五天都大于或等于22℃．并判断今年的“入夏日”．
（3）某媒体报道：“夏天姗姗来迟，衢州2022年的春天比去年长．”你认为这样的说法正确吗？为什么？
（我市2021年和2022年的入春时间分别是2月1日和2月27日）
【答案】（1）
（2）5月27日；5月25日
（3）不正确，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据所给计算公式计算即可；
（2）根据图中信息以及（1）即可判断；
（3）根据图表即可得到结论．
【小问1详解】
解： （ ）；
【小问2详解】
解：从5月27日开始， 连续五天都大于或等于22℃．
我市2022年的“入夏日”为5月25日．
【小问3详解】
解：不正确.因为今年的入夏时间虽然比去年迟了18天，但是今年的入
春时间比去年迟了26天，所以今年的春天应该比去年还短．
【点睛】本题主要考查从图表中获取信息，平均数的运算，正确的理解题意是解题的关键．21．（8分）如图，在 中，以AB为直径作 交AC、BC于点D、E，且D是AC的中点，过点D
作 于点G，交BA的延长线于点H．
（1）求证：直线HG是 的切线；
（2）若 ，求CG的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接OD，利用三角形中位线的定义和性质可得 ，再利用平行线的性质即可证明；
（2）先通过平行线的性质得出 ，设 ，再通过解直角三角形求出半
径长度，再利用三角形中位线定理和相似三角形的判定和性质分别求出BC，BG的长度，即可求解．
【小问1详解】
连接OD，，
，
∵D是AC的中点，AB为直径，
，
，
直线HG是 的切线；
【小问2详解】
由（1）得 ，
∴ ，
，
，
设 ，
，
，
在 中， ，
，
解得 ，
∴ ，∵D是AC的中点，AB为直径，
，
，
，
，即 ，
，
．
【点睛】本题考查了切线的判定，三角形中位线的性质，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质
及解直角三角形，熟练掌握知识点是解题的关键．
22．（10分）某文具店购进一批单价为12元的学习用品，按照相关部门规定其销售单价不低于进价，且
不高于进价的1.5倍，通过分析销售情况，发现每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关
系，且当 时， ；当 时， ．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）这种学习用品的销售单价定为多少时，每天可获得最大利润，最大利润是多少元？
【答案】（1）y与x之间的函数关系式为
（2）这种学习用品的销售单价定为16元时，每天可获得最大利润，最大利润是160元．
【解析】
【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为 ，然后代值求解即可；
（2）设每天获得的利润为w元，由（1）可得 ，进而根据二次函数的性质可求解．
【小问1详解】
解：设y与x之间的函数关系式为 ，由题意得：，解得： ，
∴y与x之间的函数关系式为 ；
【小问2详解】
解：设每天获得的利润为w元，由（1）可得：
，
∵ ，且-10＜0，
∴当 时，w有最大值，最大值为160；
答：这种学习用品的销售单价定为16元时，每天可获得最大利润，最大利润是160元．
【点睛】本题主要考查一次函数与二次函数的应用，熟练掌握一次函数与二次函数的图象与性质是解题的
关键．
23．（10分）如图，正方形 的边长为 ，点E在 上， ．正方形内存在匀强磁场，某
种带电粒子以速度 （单位： ）沿着EF方向 从点E射入匀强磁场，在磁场中沿逆时针方向
作匀速圆周运动，该圆与 相切，半径r（单位：m）与 满足关系 （k为常数）．如图1，当
时，粒子恰好从点A处射出磁场．
(1)①求常数k的值；
②若 或6，粒子在磁场中的运动时间分别为 ， ，请比较 ， 的大小．
(2)如图2，若粒子从 边上一点G射出磁场，请用无刻度的直尺和圆规画出粒子运动的弧形路径的圆心
О（保留作图痕迹）．(3)该种粒子能否从边 上射出磁场﹖若能，请求出 的取值范围；若不能，请写出理由．
【答案】(1)① ；② (2)详见解析(3)
【分析】（1）利用公式直接代值求解即可；
（2）画出弧形路径的其中一条弦的垂直平分线与直线AB的交点即可；
（3）做辅助线，构造直角三角形，设未知数，利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）①半径 ．
∵ ，∴ ．
② ， ，
∴
（2）
（3）假设粒子从点D射出磁场时，弧形路径的半径为r，
则有 ，解得 ．
此时， ．
∴若粒子从边 上射出磁场，应满足 ．
24．（13分）如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．取水平线 为 轴，铅垂线 为 轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度 从 点滑出，运动轨迹近似抛物线
．某运动员7次试跳的轨迹如图2．在着陆坡 上设置点 （与 相距
32m）作为标准点，着陆点在 点或超过 点视为成绩达标．
（1）求线段 的函数表达式（写出 的取值范围）．
（2）当 时，着陆点为 ，求 的横坐标并判断成绩是否达标．
（3）在试跳中发现运动轨迹与滑出速度 的大小有关，进一步探究，测算得7组 与 的对应数据，在
平面直角坐标系中描点如图3．
①猜想 关于 的函数类型，求函数表达式，并任选一对对应值验证．
②当v为多少m/s时，运动员的成绩恰能达标（精确到1m/s)？
（参考数据： ， ）
【答案】（1） （8≤x≤40）
（2） 的横坐标为22.5，成绩未达标
（3）①a与 成反比例函数关系， ，验证见解析；②当 m/s时，运动员的成绩恰能达标
【解析】【分析】（1）根据图像得出CE的坐标，直接利用待定系数法即可求出解析式；
（2）将 代入二次函数解析式，由 解出x的值，比较即可得出结果；
（3）由图像可知，a与 成反比例函数关系，代入其中一个点即可求出解析式，根据CE的表达式求出K
的坐标（32，4），代入 即可求出a，再代入反比例函数即可求出v的值．
【小问1详解】
解：由图2可知： ，
设CE： ，
将 代入 ，
得： ，解得 ，
∴线段CE的函数表达式为 （8≤x≤40）．
【小问2详解】
当 时， ，由题意得 ，
解得
∴ 的横坐标为22.5．
∵22.5＜32，
∴成绩未达标．
【小问3详解】
①猜想a与 成反比例函数关系．∴设
将（100，0.250）代入得 解得 ，
∴ ．
将（150，0.167）代入 验证： ，
∴ 能相当精确地反映a与 的关系，即为所求的函数表达式．
②由K在线段 上，得K（32，4），代入得 ，得
由 得 ，
又∵ ，
∴ ，
的
∴当 m/s时，运动员 成绩恰能达标．
【点睛】本题考查二次函数的应用，二次函数与一次函数综合问题，解题的关键在于熟练掌握二次函数的
性质，并能灵活运用二次函数与一次函数的性质解决问题．
25．（13分） 已知，四边形 是正方形， 绕点 旋转（ ）， ，
，连接 ， ．（1）如图 ，求证： ≌ ；
（2）直线 与 相交于点 ．
如图 ， 于点 ， 于点 ，求证：四边形 是正方形；
如图 ，连接 ，若 ， ，直接写出在 旋转的过程中，线段 长度的最小值．
【答案】（1）见解析 （2）①见解析②
【解析】
【分析】 根据 证明三角形全等即可；
根据邻边相等的矩形是正方形证明即可；
作 交 于点 ，作 于点 ，证明 是等腰直角三角形，求出 的最
小值，可得结论．
【小问1详解】
证明： 四边形 是正方形，
， ．
， ．
，
，
在 和 中，≌ ；
【小问2详解】
证明：如图 中，设 与 相交于点 ．
，
．
≌ ，
．
，
．
，
， ，
四边形 是矩形，
．
四边形 是正方形，
， ．
．
又 ，
≌ ．
．矩形 是正方形；
解：作 交 于点 ，作 于点 ，
∵
∴ ≌ ．
．
， ，
最大时， 最小， ．
．
由 可知， 是等腰直角三角形，
．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判
定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
