文档内容
2025 年中考押题预测卷
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．（本题3分）据统计，2024直播电商月实现网络零售额超408亿元，表现亮眼，408亿用科学记数法表
示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为 的形式，其中 ，n为整数，
确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解∶ 408亿 ，
故选∶C．
2．（本题3分）“巳巳如意”图案是2025年乙巳蛇年春晚的主题图案，将两个“巳”字对称摆放，恰似
中国传统的如意纹样．双巳合璧，事事如意，饱含喜庆美满的家国祝福．下列“巳”字图案既是轴对称图
形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个
平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的
定义：把一个图形绕着某一个点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做
中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项不合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故D选项符合题意．
故选：D．
3．（本题3分）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了合并同类项、积的乘方、单项式乘多项式、完全平方公式，据此相关性质内容进行逐
项分析，即可作答．
【详解】解：A、 ，故该选项不符合题意；
B、 ，故该选项不符合题意；
C、 ，故该选项符合题意；
D、 ，故该选项不符合题意；
故选：C
4．（本题3分）小明五一假期在某博物馆看到了如图1所示的展品，了解到它是我国古代官仓、粮栈、米
行等进行粮食计量的必备工具——米斗，凝聚着中国人上千年的智慧和匠心精神，且有着吉祥的寓意，是
丰饶富足的象征．其示意图（不记厚度）如图2所示，则其俯视图为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】本题考查了简单几何体的三视图．根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
【详解】解：俯视图是从上面看得到的图形，如图
故选：A．
5．（本题3分）如图，一个平面镜 放置在两个互相平行的挡板 和 之间，平面镜 与挡板 形成
的锐角为 ．一支激光笔从点 处发出的光束投射到平面镜上的点 处，反射光束投射到挡板 上的点
处．设光束 所在直线与挡板 的交点为 ，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，延长 交n于K，由三角形的外角性质得到
，由平行线的性质推出 ．
【详解】解：延长 交n于K，
∵平面镜 与挡板n形成的锐角为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故选：A．
6．（本题3分）在物理实验课上，小明在进行温度与金属导体电阻之间的关系实验中发现，某种金属导体的电阻R（单位： ）与温度t（单位： ）之间存在一次函数关系，于是对不同温度下该导体的电阻进行
了记录，如下表：
t（ ） 0 10 20 30 40
5 5.08 5.16 5.24 5.32
则R与t之间的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用等知识点，先根据表中数据利用待定系数法，熟练掌握一次
函数的性质是解决此题的关键．
【详解】解：∵电阻R（单位：Ω）与温度t（单位： ）之间存在一次函数关系，
∴设 ,
将表中数值代入得，
∴ ,
∴ ，
∴ ，
故选：B．
7．（本题3分）如图，正五边形 的内切圆 分别切 ， 于点 ， ．若 为优弧 上的
一点，连接 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了正多边形的内角和、圆的切线的性质、圆周角定理等知识，熟练掌握圆的切线的性质和圆周角定理是解题关键．连接 ，先根据正五边形的内角和可得 ，再根据圆的切线
的性质可得 ，然后根据五边形的内角和可得 的度数，最后根据圆周角定理求解即可
得．
【详解】解：如图，连接 ，
∵五边形 是正五边形，
∴ ，
∵正五边形 的内切圆 分别切 ， 于点 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴在五边形 中， ，
由圆周角定理得： ，
故选：B．
8．（本题3分）若点 ， 三点都在反比例函数 的图象上，其中 ，
则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在
的象限及其增减性，再由各点横坐标的值即可得出结论，熟知反比例函数函数图象上各点的坐标一定适合
此函数的解析式是解答此题的关键．【详解】解：∵反比例函数 中，
，
∴函数图象的两个分支分别位于二四象限，且在每一象限内， 随 的增大而增大，
，
∴ ，在第二象限，点 在第四象限，
，
故选：D．
9．（本题3分）小明在2025年春节去看电影，他想在《射雕英雄传：侠之大者》《哪吒：魔童闹海》
《封神：战火西岐》《唐探1900》《蛟龙行动》《熊出没：重启未来》这六个电影中选取两个去观看，他
选取背面完全相同的六张卡片，在正面分别写上片名，然后背面向上，洗匀后随机抽取两张，则小明抽中
《哪吒》和《熊出没》的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查列表法或画树状图法求简单随机事件的概率，列举出所有等可能出现的结果是正确解答
的关键．用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
先列表共有30种等可能的结果，其中小明抽中《哪吒》和《熊出没》的结果有2种，再由概率公式求解即
可．
【详解】解：把《射雕英雄传：侠之大者》《哪吒：魔童闹海》《封神：战火西岐》《唐探1900》《蛟龙
行动》《熊出没：重启未来》这六个电影卡片分别记为A、B、C、D、E、F， 列表如下：
第二张 第一
A B C D E F
张
A B,A C,A D,A E,A F,AB A,B C,B D,B E,B F,B
C A,C B,C D,C E,C F,C
D A,D B,D C,D E,D F,D
E A,E B,E C,E D,E F,E
F A,F B,F C,F D,F E,F
共有30种等可能结果，其中小明抽中《哪吒》和《熊出没》的结果有2种，
∴小明抽中《哪吒》和《熊出没》的概率是 ．
故选：B．
10．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，坐标轴刚好为矩形 的两条对称轴，边 ， 分别
与x轴、y轴交于点E和F，以E为旋转中心，将矩形 绕点E顺时针旋转，使 的对应边且 经
过点F．若点C的坐标 ，则点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设 与x轴的交点为M，过 点作 轴于点N，先证明 ，得到
，设 ， ，根据题意，得 ， ，解得 ，
得到 即 ，利用三角函数解答即可．
【详解】解：∵坐标轴刚好为矩形 的两条对称轴，边 ， 分别与x轴、y轴交于点E和F，点C的坐标 ，
∴ ， ，
∵以E为旋转中心，将矩形 绕点E顺时针旋转，使 的对应边且 经过点F．
∴ ， ，
设 与x轴的交点为M，过 点作 轴于点N，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ， ，
根据题意，得 ， ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 在第二象限，
∴ ，
故选：D．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，旋转的性质，三角函数的应用，
熟练掌握性质和三角函数的应用是解题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．（本题3分）在古希腊时期，有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非
常好听，于是驻足倾听，他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用数学的方式表达
出来，后来人们将这个数 称为黄金分割数．请比较大小： 1（用“ ”、“ ”或“
”填空）
【答案】
【分析】本题考查的是实数的大小比较，不等式的性质，由 可得 ，从而可得答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：
12．（本题3分）如图是用若干个相同的小正方形拼成的图案．第1个图案中有4个小正方形，第2个图
案中有7个小正方形，第3个图案中有10个小正方形，······，依此规律，第n个图案中小正方形的个数为
（用含 的代数式表示）．【答案】
【分析】本题考查了图形的变化规律、列代数式，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律．根据图形
的变化规律可知，从第二个图形起每个图形都比前一个多3个小正方形，以此即可找到图形规律．
【详解】解：第1个图案有4个正方形，即 ，
第2个图案有7个正方形，即 ，
第3个图案有10个正方形，即 ，
……
以此类推，第 个图案有 个正方形，
故答案为： ．
13．（本题3分）2025年春晚吉祥物“巳（sì）升升”，是从中华传统文化中寻找的灵感，整体造型参考
甲骨文中的“巳”字，其形象既憨态可掬，又富有古意．某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物，已知A
款吉祥物的单价比B款吉祥物的单价高20元．若顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款
吉祥物的数量相同，则A款吉祥物的单价为 元．
【答案】
【分析】本题考查了分式方程的应用，设A款吉祥物的单价为 元，则 款吉祥物的单价为 元，根
据“顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同”列出分式方程，解方程
即可得解．
【详解】解：设A款吉祥物的单价为 元，则 款吉祥物的单价为 元，
由题意可得： ，
解得： ，
经检验， 是所列方程的解，且符合题意，
故答案为： ．14．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，直线 分别与 轴、 轴交于点 ，以 为
边作菱形 ，其中点 在 轴的正半轴上，点 在第一象限内，则点 的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、勾股定理以及菱形的性质，求出 的长是解题的关键．
求出点A，B的坐标，进而可得出 ， 的长，在 中，利用勾股定理可求出 的长，再利用菱
形的性质，即可求出结论．
【详解】解：解：当 时， ，
∴点B的坐标为
∴ ；
当 时， ，
解得： ，
∴点A的坐标为 ，
∴ ，
在 中， ， ， ，
∴ ，
又∵四边形 为菱形，
∴ ，
∴
故答案为： ．
15．（本题3分）如图，在 中， ， ， ．在 的上方作 ，使， 交 于点E．若 ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】过点 作 于点 ，交 于点 ，先解直角三角形可得 ，设
，则 ， ，在 中，利用勾股定理可得 的值，从而可得 的长，
再解直角三角形求出 的长，从而可得 的长，然后证出 ，利用相似三角形的性
质可得 ，从而可得 ，代入 计算即可得．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ，交 于点 ，
∵在 中， ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，设 ，则 ， ，
在 中， ，即 ，
解得 或 （不符合题意，舍去），
∴ ， ，
在 中， ， ，
∴ ， ，
∵ ， ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质、一元二次
方程的应用等知识，综合性较强，通过作辅助线，构造直角三角形和相似三角形是解题关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（本题10分）（1）计算：（2）化简：
【答案】（1） ；（2）
【分析】本题考查了实数的运算，分式的运算，解题的关键是：
（1）根据零指数幂的意义，算术平方根的定义，绝对值的意义等计算即可；
（2）先计算括号内，同时把除法转化为乘法，最后约分即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
．
17．（本题7分）山西老陈醋已经有3000年的生产历史，被誉为“天下第一醋”．某专卖店欲销售 度
和 度的陈醋共2000桶，其零售价如下表所示，若能全部售出，且总销售收入不低于88000元，则该专
卖店最少售出 度的陈醋多少桶？
类别 单价
度 40元/桶
度 48元/桶
【答案】该专卖店最少售出 度的陈醋1000桶
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，正确建立不等式是解题关键．设该专卖店售出 度的陈醋
桶，则售出 度的陈醋 桶，根据全部售出，且总销售收入不低于88000元建立不等式，解不等
式，求出 的最小正整数解即可得．【详解】解：设该专卖店售出 度的陈醋 桶，则售出 度的陈醋 桶，
由题意得： ，
解得 ，
∵ 为正整数，
∴ 的最小值为1000，
答：该专卖店最少售出 度的陈醋1000桶．
18．（本题10分）第十四届中国（北京）国防信息化装备与技术博览会（简称“CNTE2025”）将于2025
年6月12日-14日在北京的中国国际展览中心隆重举办．某校随机抽取了七、八年级的部分同学进行了
“国防知识知多少”的测试，规定满分为10分，8分及以上为优秀．
【数据整理】李丽同学对各分值的人数进行了收集、整理，绘制了如下的统计图：
【数据分析】李丽同学对两个年级的成绩进行了如下分析：
平均 中位 众 优秀
数/分 数/分 数/分 率
七年
8 c
级
八年
8.375 9
级
请根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空： ___________， ___________， ___________， ___________．
(2)小颖同学也参加了测试，她说：“这次测试我的成绩是8分，在我们年级属于中游水平．”你认为小颖
同学可能是哪个年级的学生？请简述你的理由．
(3)若该校七年级共有600名学生，假设全部参加此次测试，请你估计七年级测试成绩高于平均数的人数．
【答案】(1) ， ，8，
(2)小颖同学可能是七年级的学生．理由见解析(3)估计七年级测试成绩高于平均数的人数约为210人．
【分析】本题考查了统计表、中位数、众数等知识，熟练掌握中位数、众数的定义，用样本估计总体等知
识是解答此题的关键．
（1）根据平均数、中位数、众数的定义直接求解即可；
（2）根据中位数的定义判断即可；
（3）利用样本估计总体求解即可．
【详解】（1）解： ，
因为七年级数据中，数据8分出现15次，出现次数最多，所以这组数据的众数是8，
即 ，
因为八年级数据中，中间的两个数是8，9，所以中位数 ，
，
故答案为： ， ，8， ；
（2）解：推测小颖同学可能是七年级的学生．
因为小颖的分数在年级属于中游略偏上，即小颖的分数大于或等于七年级的中位数，所以成绩在中游略偏
上，
故答案为：七；
（3）解：由原数据可得七年级高于 的同学有14（人），
（人），
估计七年级测试成绩高于平均数的人数约为210人．
19．（本题7分）2025年哈尔滨第九届亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”以东北虎为原型设计，寓意“哈
尔滨欢迎您”，深受市民和游客喜爱．某特许商品零售店推出吉祥物毛绒玩偶，每件进价35元．根据市场
调研，若售价定为50元时，每天可售出200件，售价每下降1元，销量增加20件．
(1)若商家决定降价销售，设每件降价x元 ，求每日销量y（件）与x（元）的函数关系式；
(2)在（1）条件下，若商家要想获利3080元，且让顾客获得更大实惠，则这种玩偶每件应降价多少元？
【答案】(1)
(2)这种玩偶每件应降价 元
【分析】本题考查了求一次函数解析式，一元二次方程的应用，根据题意列一元二次方程是解题的关键．（1）根据题意列函数解析式即可；
（2）设这种玩偶每件应降价 元，根据题意列方程得 ，解得 或 ，
为了让顾客获得更大实惠，则这种玩偶每件应降价 元．
【详解】（1）解：根据题意：每件降价x元 ，
每日销量y（件）与x（元）的函数关系式为 ；
（2）解：设这种玩偶每件应降价 元，
根据题意列方程得 ，
解得： 或 ，
为了让顾客获得更大实惠，
这种玩偶每件应降价 元．
20．（本题7分）山西应县木塔，主体使用材料为华北落叶松，斗拱使用榆木．整个建筑由塔基、塔身、
塔刹三部分组成，设计科学严密，构造完美，艺术精巧，外形稳重庄严．某数学兴趣小组利用所学知识开
展以“测量应县木塔的高度”为主题的活动，并写出如下报告：
课
测量应县木塔的高度
题
测
量
无人机、测角仪、秒表等
工
具
测
量
示
意
图
测
如图，测量小组使无人机在点 处以6.8m/s的速度竖直上升20s飞行至点 处，
量
在点 处测得塔顶 的俯角为 ，然后沿水平方向向左飞行至点 处，在点 处
过
测得塔顶 和点 的俯角均为
程
说
点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点A，E在同一水平线上，
明
请根据上述报告数据，求应县木塔 的高度．（结果精确到1m；参考数据： ，， ）
【答案】66m
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握是解答本题的关键．
根据题意求出 ，再根据等腰直角三角形的性质求出 ，延长 ，交 的延长线于点 ，设
，则 ，求出 的长，根据正切的定义列出方程，解方程得到答案．
【详解】解：如解图，延长 ，交 的延长线于点 ，则四边形 为矩形．
，
由题意，可知 ，
在 中， ，
，
设 ，则 ，
在 中， ，
，
，
在 中， ， ，
，
，
解得 ，
答：应县木塔DE的高度约为66m．
21．（本题9分）阅读与思考
下面是小宇同学的数学小论文（部分），请仔细阅读并完成相应的任务．
运用“坐标法”解决几何问题“坐标法”是一种重要的数学方法，常常用代数知识解决几何问题．其步骤如下：首先根据图形特点，在平面上建立坐标系，然后运用函数（或
方程）知识研究几何图形，最后把图形性质用几何语言叙述，从而得到原先几何问题的
答案．
如图1，在边长为6的正方形 中，点 ， 分别在 ， 上， 且
， ，垂足为 ， 是对角线 的中点，连接 ，则 的长为
______．
解：如图2，以 为原点， 所在直线为 轴，建立平面直角坐标系．
四边形 是正方形，边长为6，
， ．
， ，
，
， ， ， ．
设直线 的表达式为 ，
则 ，解得 ，
直线 的表达式为 ．
设直线 的表达式为
，则 ，解得 ，
直线 的表达式为 ．
由 得 ，
．
为 中点，
，．
通过上述过程，我们发现，用“坐标法”解决几何问题，关键是根据图形特点，建立适
当的坐标系。
任务：
(1)上面小论文中的分析过程，运用的数学思想有______（多选）．
A．统计思想 B．数形结合思想 C．函数思想 D．转化思想
(2)请用“坐标法”解答以下问题：
如图，在正方形 中， ，点 ， 分别在 ， 的延长线上，且 ， 为 的中
点，连接 ， 相交于点 ，连接 交 于点 ，连接 ，求 的长．
【答案】(1)BCD
(2)
【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，勾股定理，正方形的性质，正确理解题意建立坐标系是解
题的关键．
（1）根据材料中分析过程可知：运用的数学思想有：数形结合思想，函数思想，转化思想即可解答；
（2）仿照题意以B为原点， 所在直线为x轴，建立直角坐标系，先分别求出 ， ，
， ，再根据两点中点坐标公式得到 ， ，求出直线 的解析式，进而求出点H
的坐标，最后根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：根据材料中分析过程可知运用的数学思想有：数形结合思想，函数思想，转化思想，
故选：BCD．
（2）解：如图，以 为原点，过 点平行于 的直线为 轴，建立平面直角坐标系．正方形 的边长为 ， ，
， ．
为 的中点，
．
设直线 的表达式为 ，将 代入，
得 ，解得 ，
直线 的表达式为 ．
令 得 ，
．
．
22．（本题12分）综合与实践
问题情境：山西窑洞是山西省的传统民居之一，窑洞窗户上部是圆窗（可近似看成抛物线的一部分），下
部是座窗及门，圆窗的窗棂设计通常具有对称的特点，综合实践小组计划为一款外形为抛物线的圆窗内部
设计窗棂，已知圆窗的跨度 ，高 ．
设计效果1：如图1，四边形 ，四边形 ，四边形 为正方形，且点I，C，D，L在 上，
点H，F，E，K在
抛物线上，点G在 上，点J在 上，整体图形关于抛物线的对称轴直线 成轴对称图形．问题解决1：以 所在直线为x轴， 所在直线为y轴建立平面直角坐标系．
（1）在图1中画出平面直角坐标系，并求抛物线的函数表达式；
（2）分别求出线段 ， 的长；
设计效果2：在正方形 内部，通过增加12条窗棂构造出如图2所示的图案，其中以点C，D，E，F
为顶点的四边形为全等的正方形，中间是一个较大的正方形，交叉部分为四个全等的小正方形，
问题解决2：如图2，最小正方形的边长为0.5的整数倍，请直接写出12条窗棂长度和的最小值．
【答案】问题解决1：（1）画图见解析， ；（2） ， ；
问题解决2：
【分析】问题解决1：（1）以 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，由题意可
得 ， ， ， ，设抛物线的函数表达式为 ，利用待定系
数法求解即可；
（2）设 ， ，由正方形的性质结合对称性可得则 ， ， ，
，再代入抛物线的解析式计算即可得解；
问题解决2：由（2）可得正方形 的边长为 ，设已知图2中最小正方形的边长为 （ 为整数），
中间一个较大的正方形的边长为 ， 条窗棂长度和为 ，由题意可得它们是全等的正方形，边长为
，这里 ，从而得出 ，再由一次函数的性质即可
得解．
【详解】问题解决1：（1）以 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，如图所示：
，
∵圆窗的跨度 ，高 ，∴ ， ， ， ，
设抛物线的函数表达式为 ，
把 代入得： ，
解得： ，
∴抛物线的函数表达式为 ；
（2）∵四边形 、 为正方形，且圆窗的窗棂设计具有对称的特点，
∴设 ， ，则 ， ， ， ，
∵ 、 在抛物线上，
∴ ， ，
解得： 或 （不符合题意，舍去）； 或 （不符合题意，舍去）
∴ ， ；
问题解决2：由（2）可得正方形 的边长为 ，
设已知图2中最小正方形的边长为 （ 为整数），中间一个较大的正方形的边长为 ， 条窗棂长度
和为 ，
∵在正方形 内部，以点C，D，E，F为顶点的四边形为全等的正方形，
∴它们是全等的正方形，边长为 ，这里 ，
∴ ，
∵ ， 为正整数，
∴ 随着 的增大而增大，
∴当 时， 取得最小值，最小值为 ，
即 条窗棂长度和的最小值为 ．
【点睛】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用、正方形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用
是解此题的关键．23．（本题13分）综合与探究
如图，抛物线 经过点 ，与y轴交于点C，作直线 ．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)若P是抛物线 上的一点，设点P的横坐标为 ， 的面积为S，求S关于
m的函数表达式．当m为何值时，S有最大值，并求出S的最大值．
(3)若点M是抛物线 上的一点，过点M作 交x轴于点N，是否存在点M，使得以
B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)当 时，S有最大值，S的最大值为
(3)存在，点M的坐标为 或 或
【分析】（1）将点A、B坐标直接代入函数解析式即可得出答案；
（2）过点P作x轴的垂线交线段 于Q，再根据 ，根据二次函数的性质即可得答案；
（3）分两种情况：①当四边形 为平行四边形时，②当四边形 为平行四边形时，分别求解即
可得答案．
【详解】（1）将点 代入 得，
，解得 ，∴该抛物线的解析式为 ；
（2）过点P作 轴，交 于点Q，
如图，抛物线 与y轴交点 ，
设直线 的解析式为 ，
则 ，解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ 的面积为 ，
∴当 时，S有最大值，S的最大值为 ；
（3）存在．
①如图2，当四边形 为平行四边形时， ．
∵抛物线 的对称轴为直线 ，点 ．∴点 ；
②如图3，当四边形 为平行四边形时，过点M作 轴于点Q．
∵ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ， ．
设点 ，
∴ ，解得 ， ，
∴点 或 ，
综上所述，点M的坐标为 或 或 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质，分类讨论是解题的关键．
