文档内容
2025 年中考第三次模拟考试（江苏淮安卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一．选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题
目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下列四个实数中，最小的数是（ ）
A．﹣2 B．−√5 C．1 D．
【分析】利用实数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比π左边的数大．2、正数都大于零，
负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值
大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可．
【解答】解：∵−√5＜−2＜1＜ ，
∴最小的数是：−√5． π
故选：B．
【点评】本题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大
小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键．
2．下列运算正确的是（ ）
A．x2+x3＝x6 B．x2•x3＝x6
C．（3x）3÷3x＝9x2 D．（﹣xy2）2＝﹣x2y4
【分析】分别运用同底数幂相乘除、合并同类项、幂的乘方与积的乘方对各选项进行逐一计算即可求解．
【解答】解：∵x2与x3不是同类项不能合并，
∴选项A不符合题意；
∵x2•x3＝x5，
∴选项B不符合题意；
∵（3x）3÷3x＝9x2，
∴选项C符合题意；
∵（﹣xy2）2＝x2y4，
∴选项D不符合题意．
故选：C．
【点评】此题考查了同底数幂相乘除、合并同类项、幂的乘方与积的乘方的运算能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地计算．
3．下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，即可判断出．
【解答】解：A、此图形旋转180°后不能与原图形重合，所以此图形不是中心对称图形，故此选项不符合题
意；
B、此图形旋转180°后不能与原图形重合，所以此图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、此图形旋转180°后能与原图形重合，所以此图形是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、此图形旋转180°后不能与原图形重合，所以此图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．
4．一把直尺和一块直角三角尺（含30°、60°角）如图所示摆放，直尺的一边与三角尺的两直角边 BC、AC
分别交于点D、点E，直尺的另一边过 A点且与三角尺的直角边 BC交于点F，若∠CAF＝42°，则
∠CDE度数为（ ）
A．62° B．48° C．58° D．72°
【分析】先根据平行线的性质求出∠CED，再根据三角形的内角和等于180°即可求出∠CDE．
【解答】解：∵DE∥AF，∠CAF＝42°，
∴∠CED＝∠CAF＝42°，
∵∠DCE＝90°，∠CDE+∠CED+∠DCE＝180°，
∴∠CDE＝180°﹣∠CED﹣∠DCE＝180°﹣42°﹣90°＝48°，故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和等于180°，熟练掌握平行线的性质：两直线平行，
同位角相等是解决问题的关键．
5．将周长为12cm的三角形三条边依次放在一条直线上，其中所标数据正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】对于每一个选项，分别求出该三角形的三边，然后利用三角形三边之间的关系进行判断即可得出答
案．
【解答】解：对于选项A，
依题意得：该三角形的三边分别为：6cm，4cm，2cm，
∵4+2＝6，不符合构成三角形的条件，
∴该选项中所标的数据不正确；
故选项A不符合题意；
对于选项B，
依题意得：该三角形的三边分别为：6cm，3cm，3cm，
∵3+3＝6，不符合构成三角形的条件，
∴该选项中所标的数据不正确；
故选项B不符合题意；
对于选项C，
依题意得：该三角形的三边分别为：7cm，3cm，2cm，
∵3+2＜7，不符合构成三角形的条件，
∴该选项中所标的数据不正确；
故选项C不符合题意；
对于选项D，
依题意得：该三角形的三边分别为：5cm，5cm，2cm，
∵5+2＞5，符合构成三角形的条件，∴该选项中所标的数据正确；
故选项D符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了三角形三边之间的关系，熟练掌握三角形三边之间的关系是解决问题的关键．
6．已知关于x的方程x（x﹣2）+3m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
1 1
A．m＜ B．m＞−
3 3
1 1
C．m＜ 且m≠0 D．m＞− 且m≠0
3 3
【分析】将方程整理为一般式，再由有两个不相等的实数根得出Δ＝（﹣2）2﹣4×1×3m＞0，解之可得．
【解答】解：将方程整理为一般式得x2﹣2x+3m＝0，
根据题意知Δ＝（﹣2）2﹣4×1×3m＞0，
1
解得m＜ ，
3
故选：A．
【点评】本题主要考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣
4ac有如下关系：
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当Δ＜0时，方程无实数根．
7．如图，四边形EFGH是矩形ABCD的内接矩形，且EF：FG＝3：1，AB：BC＝2：1，则tan∠AHE的值
为（ ）
1 3 1 2
A． B． C． D．
5 10 6 7
【分析】先求出△AEH与△BFE相似，再根据其相似比EF：FG＝3：1设出AE、BF的长及AB、BC的长，
AE
求出 的值即可．
AH【解答】解：∵四边形EFGH是矩形ABCD的内接矩形，EF：FG＝3：1，AB：BC＝2：1，
∴∠HEA+∠FEB＝90°，
∵∠FEB+∠EFB＝90°，
∴∠HEA＝∠EFB，
∵∠HAE＝∠B，
∴Rt△HAE∽△EBF，
HA AE HE 1
∴ = = = ，
EB FB EF 3
同理可得，∠GHD＝∠EFB，HG＝EF，
∴△GDH≌△EBF，DH＝BF，DG＝EB，
设AB＝2x，BC＝x，AE＝a，BF＝3a，
则AH＝x﹣3a，AE＝a，
∴tan∠AHE＝tan∠BEF，
a 3a
即 = ，解得：x＝8a，
x−3a 2x−a
a a 1
∴tan∠AHE= = = ．
x−3a 8a−3a 5
故选：A．
【点评】此题比较复杂，解答此题的关键是根据题意求出相似三角形的相似比，根据各边之间的关系列出方
程解答．
8．如图， ABCD中，AB＝2，BC＝3，∠B＝60°，P是BC边上的点（且满足BP＞1）．将△ABP沿AP
折叠，使▱点B落在平面上B处，射线PB′与射线AD交于点E．
甲：当AB′⊥AB时，AB'＝EB'；
乙：当点B落在射线AD上时，四边形ABPB′是菱形；
丙：随点P位置的变化，线段AE的最小值为2．
针对三人的说法，下列判断正确的是（ ）
A．只有乙对 B．甲和丙都对
C．甲、乙对，丙错 D．三人的说法都对【分析】甲：如图所示，当AB′⊥AB时，证明∠B'AD＝∠AEB'＝30°可得结论；
乙：如图所示，当B'落在AD上时，点E和B'重合，证明四边相等即可；
丙：当点P靠近点C时，B'在四边形外部，此时∠AEB'＞90°，推出AE＜AB′＝2，即可判断．
【解答】解：甲：如图所示，当AB′⊥AB时，
∵AB'⊥AB，
∴∠BAB'＝90°，
∵将△ABP沿AP翻折得△AB′P，
∴∠BAP＝∠B'AP＝45°，∠B＝∠AB'P＝60°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BAD＝120°，
∴∠B'AD＝∠BAD﹣∠BAB'＝120°﹣90°＝30°，
∴∠AEB'＝∠AB'P﹣∠B'AD＝60°﹣30°＝30°，
∴∠B'AD＝∠AEB'，
∴B'A＝B'E，
故甲正确；
乙：如图所示，当B'落在AD上时，点E和B'重合，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BAD＝120°，
∵将△ABP沿AP翻折得△AB′P，
∴∠BAP＝∠B'AP＝60°，AB＝AB'，PB＝P'B，
∴△ABP是等边三角形，
∴AB＝BP＝B'P＝AB'，∴四边形ABPB′是菱形，
故乙正确；
丙：如图所示，
当点P靠近点C时，B'在四边形外部，此时∠AEB'＞90°，
∴AE＜AB′＝2，
故丙错误；
故选：C．
【点评】本题考查翻折变换，解答中涉及轴对称的性质，平行四边形的性质，菱形的判定，举反例，熟练掌
握相关知识是解题的关键．
第Ⅱ卷
二．填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请把答案直接写在答题卡相
应位置上）
9．计算√6×√5= √30 ．
【分析】直接根据二次根式的乘法法则计算即可．
【解答】解：√6×√5=√6×5=√30．
故答案为：√30．
【点评】本题考查了二次根式的乘法，关键是熟练掌握二次根式的乘法法则．
10．因式分解：﹣16x2+81y2＝ （ 9 y + 4 x ）（ 9 y ﹣ 4 x ） ．
【分析】用平方差公式因式分解即可．
【解答】解：﹣16x2+81y2
＝81y2﹣16x2＝（9y+4x）（9y﹣4x）．
【点评】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
11．2024年6月25日嫦娥六号顺利返回地球，带回大约2kg的月背样本，实现世界首次月背采样返回，标
志着我国对月球背面的研究又进入了一个新的高度．已知月球到地球的平均距离约为 384000千米，数
据384000用科学记数法表示为 3.84×1 0 5 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变
成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数
当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：384000＝3.84×105．
故答案为：3.84×105．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整
数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．在一个不透明的袋子中装有a个红球和3个白球（它们除了颜色外均相同），若从袋中任意摸出一个
球，记录下颜色后放回，通过大量重复这样的试验后发现，摸到白球的频率稳定在 15%，那么可以推算
a大约是 1 7 ．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，
列出方程求解．
3
【解答】解：由题意可得， = 15%，
3+a
解得，a＝17，
经检验a＝17是原方程的解．
故答案为：17．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键
是根据白球的频率得到相应的等量关系．
π
13．已知等腰△ABC的外心为点O，AO＝1，若其底边长是腰长的√3倍，则 O中劣弧^AB的长为 或
3
⊙
2
π ．
3
【分析】先根据三角形的三边关系判断出该三角形是钝角等腰三角形，再对边 AB分类讨论：（1）当边AB
为腰时，由于O是等腰△ABC的外心，所以可得∠AEB＝90°，BE长，进而可用三角函数得出∠BAE的
度数，进而可得∠AOB的度数，利用弧长公式计算即可得出答案；（2）当边AB为底边长时，利用圆内接四边形的性质和圆周角定理即可得∠AOB得度数，进而利用弧长公式计算即可得出答案；最后综
上作答．
【解答】解：设等腰三角形的腰长为x，则底边长为√3x，
∵x2+x2＜(√3x) 2，
∴该三角形是钝角等腰三角形，
当AB为腰时，此时AB＝AC＝x，BC=√3x，如图，
∵O为等腰△ABC的外心，
∴OA⊥BC，
1 √3
∴∠AEB＝90°，BE= BC= x，
2 2
√3
x
在Rt△ABE中，sin∠BAE BE 2 √3，
= = =
AB x 2
∴∠BAE＝60°，
∵OA＝OB，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
60°×π×1 π
∴ O中劣弧^AB的长为： = ；
180° 3
⊙
当AB为底边长时，如图，由上面可得：∠ACO＝60°，∠ACB＝2∠ACO＝120°，在 O取一点P，连接AP、BP，则∠APB＝180°﹣∠ACB＝180°﹣120°＝60°，
∴⊙∠AOB＝2∠APB＝2×60°＝120°，
120°×π×1 2
∴ O中劣弧^AB的长为： = π．
180° 3
⊙
π 2
故答案为： 或 π．
3 3
【点评】本题主要考查圆的有关性质、弧长公式计算、等腰三角形的分类讨论等，解题关键是对 AB进行分
类讨论．
14．某风景区集体门票的收费标准是25人以内（含25人），每人10元，超过25人的，超过的部分每人5
元．当人数超过25人时，请写出此时应收门票费用y（元）与人数x（人）之间的函数关系式 y ＝
5 x +125 （ x ＞ 25 ） ．
【分析】当x＞25时，根据“应收门票费用＝10×25+5×（购票人数﹣25）”解答即可．
【解答】解：当x＞25时，得y＝10×25+5×（x﹣25）＝5x+125．
故答案为：y＝5x+125（x＞25）．
【点评】本题考查一次函数的应用，理解题意并写出函数关系式是解题的关键．
15．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，称
为平面图形的镶嵌．某工人师傅在铺地板时把四块完全相同的图案（图1）拼成一个如图所示的大图案
（图2），经过测量，AB＝60cm，BC＝100cm，A，C两点间的距离为80cm，阴影部分的面积为
1200 cm2．1
【分析】连接AC，根据勾股定理的逆定理证出∠BAC＝90°，根据阴影部分的面积= ABCD的面积，即
4
▱
可得出答案
【解答】解：如图，连接AC，这四个平面图形都可以拼成平行四边形，
∵AB2+AC2＝602+802＝10000
BC2＝1002＝10000，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
∴阴影部分的面积
1
= ABCD的面积
4
▱
1
= ×60×80
4
＝1200（cm2），
故答案为：1200．
【点评】本题考查了平面镶嵌（密铺），两点间的距离，掌握这四个平面图形都可以拼成平行四边形是解题
的关键．
16．如图，正九边形ABCDEFGHI，点M是EF的中点，连接AM、CG相交于点O．则∠AOG＝ 110 °
．【分析】根据正多边形与圆的相关计算的方法计算∠CAM，∠ACG，再根据三角形的内角和定理进行计算即
可．
【解答】解：如图，设这个正九边形的外接圆为 O′，连接AC，
⊙ 360°
由正多边形的中心角的计算方法可得，这个这个九边形的中心角为 = 40°，
9
1
由圆周角定理可得∠ACG= （40°×3）＝60°，
2
1
∠CAM= （40°×2.5）＝50°，
2
∴∠AOG＝∠CAM+∠ACG＝110°，
故答案为：110°．
【点评】本题考查了正多边形与圆，掌握正多边形与圆的相关计算的方法是正确解答的前提．
三．解答题（共11小题，满分102分）
17．（10分）（1）计算：(−1) 4−2tan60°+(√3−√2) 0+√12；
x−1 x
（2）解不等式： ≥ −2．
3 2
【分析】（1）先化简，然后计算加减法即可；
（2）根据解一元一次不等式的方法解答即可．
【解答】解：（1）(−1) 4−2tan60°+(√3−√2) 0+√12
＝1﹣2√3+1+2√3＝2；
x−1 x
（2） ≥ −2，
3 2
去分母，得：2（x﹣1）≥3x﹣12，
去括号，得：2x﹣2≥3x﹣12，
移项及合并同类项，得：﹣x≥﹣10，
系数化为1，得：x≤10．
【点评】本题考查实数的运算、解一元一次不等式，熟练掌握运算法则和解一元一次不等式的方法是解答本
题的关键．
m m3−m
18．（8分）先化简，再求值：( −1)÷ ，其中m＝2．
m−1 m2−2m+1
【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将m的值代入原式即可求出答案．
m m−1 m(m−1)(m+1)
【解答】解：原式＝（ − ）÷
m−1 m−1 (m−1) 2
m−m+1 m(m+1)
= ÷
m−1 m−1
1 m−1
= •
m−1 m(m+1)
1
=
，
m2+m
当m＝2时，
1
原式=
4+2
1
= ．
6
【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则以及乘除运算法则，本题属
于基础题型．
19．（8 分）如图，矩形 ABCD 中，点 M 在 DC 上，AM＝AB，且 BN⊥AM，垂足为 N，证明：
△ABN≌△MAD．【分析】根据矩形的性质利用AAS即可解决问题．
【解答】证明：在矩形ABCD中，
∵DC∥AB，∠D＝90°，
∴∠DMA＝∠MAB，
∵BN⊥AM，
∴∠D＝∠ANB＝90°，
在△ABN和△MAD中，
{
∠MAB=∠AMD
∠AMB=∠D=90°，
AB=AM
∴△ABN≌△MAD（AAS）．
【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
20．（8分）如图，为了制作宣传海报，某设计师将长方形卡纸ABCD分割成大小相等的左、中、右三个
小长方形栏目，栏目与栏目之间的中缝间距相等；又在每个栏目中划出8个小正方形方格，中间有十字
间隔，竖行两列中间间隔和横向中间间隔宽度比为1：2．已知卡纸的长AB＝320cm，宽AD＝200cm，
求每个栏目之间的中缝间距．
【分析】设小正方形的边长为b，根据题意可得2a+4b＝200，求得a+2b＝100，即每个栏目宽为100cm，即
可求解．
【解答】解：设小正方形的边长为b，
由图知2a+4b＝200，
即a+2b＝100，
∴每个栏目的宽为100cm．320−100×3
则 =10cm，
2
故中缝的宽度为10cm．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，根据题意列出方程，求出每个栏目宽是解题的关键．
21．（8分）甲，乙两人各有两张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片分别标有数字1，3，乙的卡
片分别标有数字2，4．两人进行两轮抽卡片比赛，在第一轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随
机抽一张，并比较所选卡片的数字的大小；在第二轮比赛中，第一轮选出的卡片不再使用，比较各自剩
下的卡片的数字的大小．规定每一轮比赛数字大的人得1分，数字小的人得0分．
（1）求“第一轮比赛后，甲得1分”的概率．
（2）求“两轮比赛结束后，乙得2分”的概率．
【分析】（1）列树状图得出所有等可能的结果，并得出“第一轮比赛后，甲得1分”的结果，运用概率公
式计算即可；
（2）列树状图得出所有等可能的结果和符合条件的结果，运用概率公式计算即可．
【解答】解：（1）列树状图如图：
有4种等可能的结果，其中第一轮比赛后，甲得1分的结果为1种，
1
∴“第一轮比赛后，甲得1分”的概率为 ；
4
（2）列树状图如图：
有4种等可能的结果，其中“两轮比赛结束后，乙得2分”的结果为2种，
2 1
∴“两轮比赛结束后，乙得2分”的概率为 = ．
4 2
【点评】本题考查了树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步
以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．（8分）从甲、乙两名射击选手中选出一名选手参加省级比赛，现对他们分别进行 5次射击测试，成
绩分别为（单位：环）甲：5、6、7、9、8；乙：8、4、8、6、9，
（1）甲运动员5次射击成绩的中位数为 7 环，极差是 4 环；乙运动员射击成绩的众数为 8 环；（2）已知甲的5次成绩的方差为2，通过计算，判断甲、乙两名运动员谁的成绩更稳定．
【分析】（1）根据中位数、极差和众数的定义求解可得；
（2）计算出乙成绩的方差，再根据方差的定义求解可得．
【解答】解：（1）甲运动员5次射击成绩的中位数为7环，极差是4环；乙运动员射击成绩的众数为8环，
故答案为：7、4、8；
4+6+8+8+9
（2）x = =7（环），
乙 5
1 16
∴乙的方差为 ×[（4﹣7）2+（6﹣7）2+（8﹣7）2+（8﹣7）2+（9﹣7）2] = ，
5 5
16
∵ ＞2，
5
∴甲的成绩更稳定．
1
【点评】本题考查了平均数和方差，一般地设 n个数据，x ，x ，…x 的平均数为x，则方差S2= [（x −x
1 2 n n 1
）2+（x −x）2+…+（x −x）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
2 n
23．（8分）去年，我国南方某地一处山坡上一座输电铁塔因受雪灾影响，被冰雪从C处压折，塔尖恰好
落在坡面上的点B处，造成局部地区供电中断，为尽快抢通供电线路，专业维修人员迅速奔赴现场进行
处理，在B处测得BC与水平线的夹角为45°，塔基A所在斜坡与水平线的夹角为30°，A、B两点间的
距离为16米，求压折前该输电铁塔的高度（结果保留根号）．
【分析】根据锐角三角函数和勾股定理，可以分别求得 AD、CD和BC长，然后将它们相加，即可得到压折
前该输电铁塔的高度．
【解答】解：由已知可得，
BD∥EF，AB＝16米，∠E＝30°，∠BDA＝∠BDC＝90°，
∴∠E＝∠DBA＝30°，
∴AD＝8米，∴BD=√AB2−AD2=√162−82=8√3（米），
∵∠CBD＝45°，∠CDB＝90°，
∴∠C＝∠CBD＝45°，
∴CD＝BD＝8√3米，
∴BC=√CD2+BD2=√(8√3) 2+(8√3) 2=8√6（米），
∴AC+CB＝AD+CD+CB＝（8+8√3+8√6）米，
答：压折前该输电铁塔的高度是（8+8√3+8√6）米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用—坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，求出 AD、CD和BC
长．
k 1
24．（8分）如图，点A在反比例函数y= （x＞0）的图象上，AB⊥y轴于点B，tan∠AOB= ，AB＝2．
x 2
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点C在这个反比例函数图象上，连接AC并延长交x轴于点D，且∠ADO＝45°，求点C的坐标．
【分析】（1）根据锐角三角函数求出OB，进而求出点A坐标，最后用待定系数法即可求出k；
（2）过A作AF⊥x轴于F，求出点D坐标，进而求出直线AC的解析式，最后联立双曲线解析式求解，求
出点C的坐标，即可求出点C的坐标．
【解答】解：（1）∵AB⊥y轴于点B，∴∠OBA＝90°，
AB 1
在Rt△OBA中，AB＝2，tan∠AOB= = ，
OB 2
∴OB＝4，
∴A（2，4），
k
∵点A在反比例函数y= （x＞0）的图象上，
x
∴k＝4×2＝8；
8
∴反比例函数的解析式为y= ；
x
（2）如图，过A作AF⊥x轴于F，
∴∠AFD＝90°，
∵∠ADO＝45°，
∴∠FAD＝90°﹣∠CDE＝45°，
∴AF＝DF＝OB＝4，
∵OF＝AB＝2，
∴OD＝6，
∴D（6，0），
设直线AC的解析式为y＝ax+b，
∵点A（2，4），D（6，0）在直线AC上，
{2a+b=4
∴ ，
6a+b=0
{a=−1
∴ ，
b=6
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+6①，
8
由（1）知，反比例函数的解析式为y= ②，
x
{x=2 {x=4
联立①②解得， 或 ，
y=4 y=2
∴C（4，2）．【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了锐角三角函数，待定系数法，等腰直角三角形的性质，解方
程组，作出辅助线求出直线AC的解析式是解（2）的关键．
25．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点O是BC边的中点， O与AB相切于点D，交BC于点
E，连接AO． ⊙
（1）求证：AC是 O的切线；
⊙ 3 DE
（2）连接DE，交AO于点F，并延长DE交AC的延长线于点G，若sin∠OAB= ，求 的值．
5 EG
【分析】（1）根据切线的性质，得出OD⊥AB，过点O作AC的垂线，利用等腰三角形的性质，全等三角
形的判定和性质得出OH＝OD，即圆心O到直线AC的距离等于半径，进而判断AC是 O的切线；
（2）根据等腰三角形的性质以及锐角三角函数的定义可设 OB＝a，进而得到AB＝5a＝A⊙C，再求出AD、
OD、BD，利用平行线分线段成比例定理求出BM，ME即可．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为H，
∵AB与 O相切于点D，
∴OD⊥⊙AB，即∠ODA＝90°，
∵OH⊥AC，
∴∠ODA＝∠OHA＝90°，
∵AB＝AC，点O是BC的中点，
∴∠OAD＝∠OAH，
∵OA＝OA，∴△AOD≌△AOH（AAS），
∴OH＝OD，即圆心O到直线AC的距离等于半径，
∴AC是 O的切线；
（2）解⊙：如图，过点D作DM∥AC，交BC于点M，
DE ME
∴ = ，
EG CE
3 OB
由于AO⊥BC，sin∠OAB= = ，可设OB＝3a，则AB＝5a＝AC，
5 AB
∴OA=√AB2−OB2=4a，
3 OD
又∵sin∠OAB= = ，OA＝4a，
5 OA
12 16 12 3
∴OD= a，AD=√OA2−OD2= a，EC＝3a− a= a，
5 5 5 5
∵DM∥AC，
∵△BDM∽△BAC，
BM BD
∴ = ，
BC BA
54
∴BM= a，
25
81
∴ME＝BC﹣BM﹣EC= a，
25
DE ME 81 5 27
∴ = = × = ．
EG CE 25 3 5
【点评】本题考查切线的判定和性质，等腰三角形的性质，圆周角定理以及解直角三角形，掌握切线的判定
方法，圆周角定理以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提，理解平行线分线段成比例定理是解决
问题的关键．
26．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣ax﹣2a与x轴负半轴交于点A，与y轴负半轴交于点B，OB＝2OA．
（1）求a的值；
（2）过点B作BC∥x轴交抛物线对称轴于点C，经过C任作一条直线交抛物线于D，E两点，F为线段DE
3
中点，当点F到y轴的距离为 时，求直线DE的表达式；
2
（3）若点M（t﹣1，m），N（1﹣t，n）在抛物线上，且分别位于x轴的两侧，求t的取值范围．
【分析】（1）令y＝ax2﹣ax﹣2a＝0，则x＝﹣2或1，即点A（﹣1，0），则OB＝2OA＝2，则点B（0，﹣
2），进而求解；
1
（2）联立上式和抛物线的表达式并整理得：x2﹣（k+1）x+ k＝0，则x +x ＝k+1，当点F到y轴的距离为
2 1 2
3 3 1 1
，即x = = （x +x ）= （k+1），即可求解；
2 F 2 2 1 2 2
（3）当点M在x轴下方时，则点N在x轴的上方，即m＝t2﹣3t＜0且n＝t2﹣t﹣2＞0，即可求解；当点N在
x轴下方时，则点M在x轴的上方，同理可解．
【解答】解：（1）令y＝ax2﹣ax﹣2a＝0，则x＝﹣2或1，
即点A（﹣1，0），
则OB＝2OA＝2，则点B（0，﹣2），
则﹣2a＝﹣2，
则a＝1；
（2）由（1）知y＝x2﹣x﹣2，
1 1
则抛物线的对称轴为直线x= ，则点C（ ，﹣2），
2 21
设直线DE的表达式为：y＝k（x− ）﹣2，
2
1
联立上式和抛物线的表达式并整理得：x2﹣（k+1）x+ k＝0，
2
则x +x ＝k+1，
1 2
3 3 1 1
∵当点F到y轴的距离为 ，即x ＝± = （x +x ）= （k+1），
2 F 2 2 1 2 2
解得：k＝2或﹣4，
1 1
则直线DE的表达式为：y＝2（x− ）﹣2＝2x﹣3或y＝﹣4（x− ）+2＝﹣4x+2；
2 2
（3）将点M、N的坐标代入抛物线的表达式得：m＝（t﹣1）2﹣（t﹣1）﹣2＝t2﹣3t，n＝t2﹣t﹣2，
当点M在x轴下方时，则点N在x轴的上方，
即m＝t2﹣3t＜0且n＝t2﹣t﹣2＞0，
解得：2＜t＜3；
当点N在x轴下方时，则点M在x轴的上方，
即m＝t2﹣3t＞0且n＝t2﹣t﹣2＜0，
解得：﹣1＜t＜0，
综上，2＜t＜3或﹣1＜t＜0．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的图象和性质、解不等式、根和系数关系的运用
等，分类求解是解题的关键．
27．（14分）综合与实践
背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的
数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法．
（1）把两个全等的直角三角形如图 1 放置，其三边长分别为 a、b、c．显然，∠DAB＝∠B＝90°，
AC⊥DE．用含a、b、c的式子分别表示出梯形ABCD、四边形AECD、△EBC的面积，再探究这三个1 1
图形面积之间的关系，可得到勾股定理．上述图形的面积满足的关系式为 （ a 2 + a b ） = （ a b ﹣ b 2 ）
2 2
1
+ c 2 ，经化简，可得到勾股定理a2+b2＝c2．
2
知识运用：
（2）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），
AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A、B，AD＝24千米，BC＝16千米，则两个村庄的距离为 8√26
千米（直接填空）；
（3）在（2）的条件下，要在AB上建造一个供应站P，使得PC＝PD，求出AP的距离；
（4）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式√x2+9+√(16−x) 2+81的最小值（0＜x＜16）．
1 1
【分析】（1）根据∠DAB＝∠B＝90°得四边形 ABCD为直角梯形，则 S梯形ABCD =
2
（AD+BC）•AB =
2
1 1 1
（a+b）•a =
2
（a2+ab），根据AB＝a，AE＝b得BE＝AB﹣AE＝a﹣b，则S△EBC =
2
BC•BE =
2
（ab﹣
1 1 1
b2），由AC⊥DE，则S△ADE =
2
DE•AF，S△CDE =
2
DE•CF，进而得S四边形AECD ＝S△ADE +S△CDE =
2
DE•AC
1 1 1 1
=
2
c2，再根据S梯形ABCD ＝S△EBC +S四边形AECD 得
2
（a2+ab）=
2
（ab﹣b2）+
2
c2，据此可得出答案；
（2）连接CD，作CE⊥AD于点E，根据AD⊥AB，BC⊥AB得到BC＝AE，CE＝AB，从而得到DE＝AD﹣
AE＝24﹣16＝8千米，利用勾股定理求得CD两地之间的距离；
（3）连接CD，作CD的垂直平分线角AB于P，P即为所求；设AP＝x千米，则BP＝（40﹣x）千米，分别
在Rt△APD和Rt△BPC中，利用勾股定理表示出CP和PD，然后通过PC＝PD建立方程，解方程即可；
（4）根据轴对称﹣最短路线的求法即可求出
【解答】解：（1）依题意得：AD＝AB＝a，AE＝BC＝b，AC＝DE＝c，∠ADE＝∠BAC，
∵∠DAB＝∠B＝90°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD为直角梯形，
1 1 1
S梯形ABCD =
2
（AD+BC）•AB =
2
（a+b）•a =
2
（a2+ab），
∵AB＝a，AE＝b，∴BE＝AB﹣AE＝a﹣b，
1 1
∴S△EBC ＝BC•BE =
2
b（a﹣b）=
2
（ab﹣b2），
∵AC⊥DE，
1 1
∴S△ADE =
2
DE•AF，S△CDE =
2
DE•CF，
1 1 1
∴S△ADE +S△CDE =
2
DE（AF+CF）=
2
DE•AC =
2
c2，
1
∴S四边形AECD ＝S△ADE +S△CDE =
2
c2，
∵S梯形ABCD ＝S△EBC +S四边形AECD ，
1 1 1
∴ （a2+ab）= （ab﹣b2）+ c2，
2 2 2
整理得：a2+b2＝c2；
1 1 1
故答案为： （a2+ab）= （ab﹣b2）+ c2；
2 2 2
（2）如图2，连接CD，作CE⊥AD于点E，
∵AD⊥AB，BC⊥AB，
∴四边形ABCE是矩形，
∴BC＝AE＝16千米，CE＝AB＝40千米，
∴DE＝AD﹣AE＝24﹣16＝8千米，
∴CD=√DE2+CE2=√92+402=8√26（千米），
∴两个村庄的距离为8√26千米．
故答案为：8√26；
（3）如图3所示：设AP＝x千米，则BP＝（40﹣x）千米，
在Rt△ADP中，DP2＝AP2+AD2＝x2+242，
在Rt△BPC中，CP2＝BP2+BC2＝（40﹣x）2+162，
∵PC＝PD，
∴x2+242＝（40﹣x）2+162，
解得x＝16，
即AP＝16千米；
（4）如图4，
先作出点 C 关于 AB 的对称点 F，连接 DF，过点 F 作 EF⊥AD 与 E，即：DF 就是代数式
√x2+9+√(16−x) 2+81的最小值．
代数式√x2+9+√(16−x) 2+81的几何意义是线段AB上一点到点D，C的距离之和，
而它的最小值就是点C的对称点F和点D的连线与线段AB的交点就是它取最小值时的点，
从而构造出了以AB为一条直角边，AD和BC的和为另一条直角边的直角三角形，斜边就是最小的值，
∴代数式√x2+9+√(16−x) 2+81的最小值为：√DE2+EF2=√(AD+BC) 2+AB2=√(9+3) 2+162=20．
【点评】此题是四边形是三角形综合题，主要考查了证明勾股定理，勾股定理的应用，轴对称﹣最短路线问题以及线段的垂直平分线等，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角
三角形DEF是解本题的难点．
