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2025 年中考第三次模拟考试（内蒙古卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．（本题3分）随着我国航天领域的快速发展，从“天宫一号”发射升空，到天和核心舱归位，我国正式
迈入了“空间站时代”．下面是有关我国航天领域的图标，其图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个
平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的
定义：把一个图形绕着某一个点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做
中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项符不合题意；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C选项合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意．
故选：C．
2．（本题3分）如图，烧杯内液体表面 与烧杯下底部 平行，光线 从液体中射向空气时发生折射，
光线变成 ，点 在射线 上．已知 ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】本题主要考查平行线的性质，根据 ，点 在射线 上，可求出 ，
根据 ，即可求解．
【详解】解：∵ ，点 在射线 上， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
故选：C．
3．（本题3分）如图，用雷达图展示小智参与趣味数学活动过程中探索学习、动手操作、沟通合作、创新、
问题解决五项能力的分项得分，分别按 进行综合评价，他的综合得分为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】C
【分析】此题考查了加权平均数，根据加权平均数的定义进行解答即可．
【详解】解： ，
故选：C
4．（本题3分）二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小
满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、
大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在冬季的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了根据概率公式求概率，根据二十四个节气中，立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒，
共六个节气在冬季，计算即可得解，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
【详解】解：∵二十四个节气中，立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒，共六个节气在冬季，
∴从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在冬季的概率为 ，故选：A．
5．（本题3分）若 图象上有三个点 ， ， ，则 ， ， 大小关系是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了比较反比例函数函数值的大小，解题的关键在于熟知对于反比例函数
，当 时，反比例函数图象经过第一、三象限，在每个象限内y随x增大而减小，当
时，反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大．
先证明 ，进而得到反比例函数 的图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随x增
大而增大，据此即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴反比例函数 的图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大，
∵ ， ， 都在反比例函数图象上，且 ，
∴ ，
故选：C．
6．（本题3分）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，积的乘方以及合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键．根
据运算法则进行计算即可．【详解】解： ，故选项A正确；
，故选项B错误；
和 不是同类项，无法进行计算，故选项C错误；
和 不是同类项，无法进行计算，故选项D错误；
故选A．
7．（本题3分）如图，在等边 中， ，点 在边 上， ，则 长为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，关键是通过添加辅助线，构造直角三角形，过点
作 点于H，利用等边三角形的性质得到 ， ，解直角三角形求出
， ，设 ，则 ，根据 求出 的值，进而得到
，即可解答．
【详解】解：如图，过点 作 ，则 ，
为等边三角形， ，
， ，
，
，
设 ，则 ，
， ，
，即 ，
，
解得： ，
则 ，
，
故选：B．
8．（本题3分）如图，已知顶点为 的抛物线 过 ，则下列结论：① ；
②对于任意的 ，均有 ；③ ；④若 ，则 ；⑤ ；⑥
不等式 的解集为 ；其中正确的个数为（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求函数解析式；先利用待定系数法求出抛物线的解析式
为 ，即 ，则可对①③⑤进行判断；当 时， 有最小值 可对②进行判
断；利用利用抛物线的对称性得到当 或 时， ，利用函数图象得到抛物线不在直线
的下方所对应的自变量的范围可对④进行判断；通过解方程 抛物线与直线
的交点的横坐标分别为 、 ，写出抛物线在直线上方所对应的自变量的范围可对⑥进行判断，熟练利
用二次函数性质是解题的关键．
【详解】解：设抛物线解析式为 ，
把 代入得 ，
解得 ，所以⑤正确，
，
即 ，
， ， ，
，所以①正确；
， ，
，所以③正确；当 时， 有最小值 ，
对于任意的 ，均有 ，所以②错误；
抛物线的对称轴为直线 ，
当 或 时， ，
当 时， 或 ，所以④错误；
解方程 得 ， ，
抛物线与直线 的交点的横坐标分别为 、 ，
当 或 时， ，
不等式 的解集为 或 ，所以⑥错误．
故选：B．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
9．（本题3分）设α、β是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则α+β﹣αβ＝ ．
【答案】2
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．
【详解】解：∵α、β是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，
∴根据根与系数的关系得α+β＝﹣1，αβ＝﹣3，
所以α+β﹣αβ＝﹣1﹣（﹣3）＝2．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根于
系数的关系．
10．（本题3分）如图，在扇形 中， ， ， 的平分线交弧 于点 ，过
点 作 于点 ， 于点 ，则图中阴影部分的面积为 ．【答案】
【分析】本题考查了正方形的判定与性质，角平分线的性质，扇形的面积公式，勾股定理，掌握扇形的面
积公式是解题的关键．
根据 ， ， 以及角平分线的性质即可得到四边形 是正方形，进而根据
正方形的性质得到 ，最后利用扇形的面积公式减去正方形的面积即可解答．
【详解】解：∵ 是 的角平分线， ， ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴四边形 是正方形，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
11．（本题3分）如图，土坡 是一个梯形， ，斜坡 长130米，坡度是 ，沿 走
上平台，可以坐电梯直达矩形观景台 顶部 ，在点 观察坡底点 ，俯角是 ，则观景台的垂直
高度 为 米．
【答案】70
【分析】此题考查解直角三角形的应用，勾股定理，以及平行线的性质：根据正切定理设
，勾股定理求出 ，由平行线的性质得出 ，求出
米，即可得到答案．【详解】解：如图，
∵斜坡 长130米，坡度是 ，
∴ ，
设 ，
∵ ，
∴ ，
解得 或 （舍去），
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ （米）．
故答案为：70．
12．（本题3分）如图，已知在矩形 中，连接 ， ，将矩形 绕点C旋转，使
点B恰好落在对角线 上的点 处，点A、D分别落在点 处，边 分别与边 交于点M、
N， ，那么线段 的长为 ．
【答案】15
【分析】连接 ，作 于 ，设 ， ，则 ，由旋转的性质可得：， ， ，证明 ，得出 ，由勾股
定理得出 ，推出 ，证明 ，求出 ， ，得到
，证明 ，得出 ，求出 ，结合 得到关于
的方程，求出 的值即可得解．
【详解】解：如图，连接 ，作 于 ，
四边形 为矩形，
， ， ，
，
设 ， ，
， ，
，
由旋转的性质可得： ， ， ，
， ，
，
∴
，
，
，
，，
，
，
∴
，
， ，
，
， ，
∴
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：15．
【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟
练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
三、解答题（本大题共6个小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
13．（本题10分）（1）解方程： ；（2）解不等式：
【答案】（1） ， ；（2） ．
【分析】（1）可利用配方法解一元二次方程；
（2）先求出每一个不等式的解集，再取它们的解集的公共部分即可得不等式组的解集．
本题主要考查了解一元二次方程和解不等式组，熟练掌握解一元二次方程的方法以及解不等式组的方法是
解题的关键．
【详解】（1）
，
，
，（4分）
，
， ，（5分）
（2）
由①得： ，（2分）
由②得： ，（4分）
∴原不等式的解集为： ．（5分）
14．（本题10分）【问题提出】
共享单车不仅极大地方便人们的短途出行，而且低碳环保，受到用户的喜爱．某社区周边有5个共享单车
停车区，总计投放180辆的共享单车，某数学兴趣小组发现每天早高峰期间经常会出现有些停车区的单车
不够用，而有些停车区的单车使用率低的现象，为探究早高峰期间共享单车的合理投放方案，同学们展开
了研究．
【开展研究】
该数学兴趣小组分工合作在早高峰期间到每个停车区对行人使用共享单车的情况、人流量进行数据收集，结果如下表．
表一：经过停车区的行人使用单车情况的抽样调查数据
停车
经过停车区的人数 使用共享单车的人数
区
1号区 60 3
2号区 100 4
3号区 90 9
4号区 120 18
5号区 70 7
表二：每日早高峰期间的平均人流量
停车区 1号区 2号区 3号区 4号区 5号区
人流量（单位：
240 300 160 400 200
人）
【问题解决】
(1)记事件A为：经过1号区的行人使用共享单车，估计事件A的概率；
(2)为应对早高峰期间共享单车的使用需求，请你为该社区设计一个合理的共享单车投放方案，并说明理由．
【答案】(1)估计事件A的概率为
(2)见解析
【分析】本题考查了概率公式，平均数使用．
（1）根据概率公式求解即可；
（2）先求得每个共享单车停车区的平均使用次数，得到每天早高峰期间的共享单车总使用次数，据此求
解即可．
【详解】（1）解：由表格数据知，经过1号区的行人有60人，使用共享单车有3人，
则估计事件A的概率为 ；（3分）
（2）解：估计5个共享单车停车区每天早高峰期间的共享单车平均使用次数分别为：
， ， ， ， ，
所以每天早高峰期间的共享单车总使用次数估算为 次，（6分）
所以5个共享单车停车区180辆共享单车的投放方案为：1号区投放共享单车 辆；
2号区投放共享单车 辆；
3号区投放共享单车 辆；
4号区投放共享单车 辆；
5号区投放共享单车 辆．（10分）
15．（本题8分）综合与实践．
如何分配工作，使公司支付的总工资最少
壮锦是工艺美术织品，是壮族人民最精彩的文化创造之一，其
历史也非常悠久．某公司承接到2160个壮锦手提包的订单，
素
计划将任务分配给甲、乙两个生产部门去完成．
材
1 甲部门每天生产的总数是乙部门每天生产总数的2倍，甲部门
单独完成这项任务所需的时间比乙部门单独完成少18天．
素
材 经调查，这项订单需要支付甲部门4800元/天，乙部门3000元/天．
2
素
材 由于甲部门有其他工作任务，甲部门工作天数不超过乙部门工作天数的一半．
3
问题解决
任
务 确定工作效率 求甲、乙部门原来每天分别生产多少个壮锦手提包；
1
①若设甲部门工作m天，则甲部门完成壮锦手提包______
任
个，乙部门工作时间可表示为______天；
务 拟订设计方案
2 ②如何安排甲、乙两部门工作的天数，才能使正好完成任务时
该公司支付的总工资最少？最少需要多少元？
【答案】任务1：甲部门原来每天生产120个壮锦手提包，乙部门原来每天生产60个壮锦手提包；任务
2：① ， ；②甲部门工作9天，乙部门工作18天，才能使正好完成任务时该公司支付的总工
资最少，最少需要97200元．【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，一次函数的最大利润问题，正确掌握相
关性质内容是解题的关键．
（1）设乙部门每天能生成 个壮锦手提包，依题意，列式得 ，注意经检验 是方程
的解，即可作答．
（2）设甲部门工作 天，则乙部门的工作时间为 （天）．再依题意，得出
，解出 ，根据利润公式得出 ，运用一次函数的性质，进行分析作
答即可．
【详解】解：任务1：设乙部门原来每天生产x个壮锦手提包，则甲部门原来每天生产2x个壮锦手提包，
由题意得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
，
答：甲部门原来每天生产120个壮锦手提包，乙部门原来每天生产60个壮锦手提包；（3分）
任务2：①设甲部门工作m天，则甲部门完成壮锦手提包 个，乙部门工作时间可表示为
天，
故答案为： ， ；（5分）
②由题意得： ，
解得： ，
设该公司支付的总工资为y元，
由题意得： ，
，
随m的增大而减小，
当 时，y有最小值，
此时， ，
答：甲部门工作9天，乙部门工作18天，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少，最少需要
97200元．（8分）16．（本题11分）如图，已知 内接于 ， 是 的直径，点E在 上，过E作 的切线，
交 的延长线于点F，若 ．
(1)求证： 平分 ；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)详见解析
(2)18
【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，根据题目的已知条件并结合图
形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）连接 交 于点G，根据切线的性质可得 ，再根据直径所对的圆周角是直角可得
，然后利用等腰三角形的性质可得 ，从而可得 ，进而可得
，即可解答；
（2）根据直径所对的圆周角是直角可得 ，再利用等腰三角形的性质和角平分线的定义可得
，从而可得 ，进而可得 ，然后证明 ，即可得到
，再利用线段的和差关系可得 ，然后利用平行线分线段成比例可得 ，解题即可．
【详解】（1）证明：连接 ，交 于点G，
∵ 与 相切于点E，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 平分 ；（5分）
（2）解：∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是 的中位线，（7分）
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，（9分）
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ 的长为18．（11分）
17．（本题12分）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
【观察与猜想】（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是 ， 上的两点，连接 ， ，
，则 的值为________；
（2）如图2，在矩形 中， ，点E是 上的一点，连接 ， ，且 ，则
的值为_____；
【类比探究】（3）如图3，在四边形 中， ，点E为 上一点，连接 ，过点C作
的垂线交 的延长线于点G，交 的延长线于点F，求证： ；
【拓展延伸】（4）如图4，在 中， ， ， ，将 沿 翻折，点A
落在点C处得 ，点E，F分别在边 ， 上，连接 ， ，且 ，求 的值．
【答案】（1）1；（2） ；（3）见解析；（4） ．
【分析】本题主要考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性
质、折叠的性质、解直角三角形等知识，解题关键是熟练掌握相关知识并灵活运用．
（1）证明 ，根据全等三角形的性质得到 ，得到答案；
（2）证明 ，根据相似三角形的性质计算即可；
（3）过点 作 交 的延长线于点 ，证明 ，列出比例式，证明结论；
（4）过点 作 于点 ，连接 交 于点 ， 与 相交于点 ，根据正切的定义得到，根据勾股定理分别求出 、 ，根据三角形的面积公式求出 ，计算即可．
【详解】（1）解：设 与 交于点 ，如图所示：
四边形 是正方形，
， ，
，
，
，
又∵ ，
，
在 和 中，
，
，
∴ ，即 ，（3分）
（2）设 与 交于点 ，如图所示：
四边形 是矩形，
， ， ，
∴ ，
，
，，
，
又∵ ，
，
，
，
，（6分）
（3）证明：过点 作 交 的延长线于点 ，如图所示：
，
，
四边形 为矩形，
， ，
又∵ ，
，
，
，
，
，
；（9分）
（4）∵将 沿 翻折，点 落在点 处得 ，
∴ ，
∴ 垂直平分 ，
过点 作 于点 ，连接 交 于点 ，如图所示：， ，
，
，
，
，
，
在 中， ，
，即 ，设 ，则 ，
，
，
或 （线段长的负值舍去），
， ，
，
，
，
，
．（12分）
18．（本题13分）【阅读理解】在平面直角坐标系中，我们把横，纵坐标相等的点叫做“不动点”，例如， 都是“不动点”．
【迁移应用】在平面直角坐标系 中，抛物线 ： 与 轴交于 ， 两点，与
轴交于点 ．
(1)求抛物线表达式及抛物线上“不动点”的坐标；
(2)如图 ，将抛物线沿直线 折叠得到新的图象 ，若 恰好有 个“不动点”，求
的值；
(3)如图 ，点 为“不动点”，点 是抛物线 上的点，试探究：在第一象限是否存在这样的点 ， ，
使 ？若存在，求出所有符合条件的 点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) ， ，
(2)
(3)存在， 或
【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求
解，是解题的关键：
（1）待定系数法求出函数解析式，令 ，求出不动点即可；
（2）当直线 和折叠的部分抛物线只有一个交点时，满足题设要求，相当于折叠前抛物线 和直线
只有一个交点，则直线 、 关于直线 设该直线和 轴的交点为 对称，则 是
的中点，即可求解；（3）分当点 在抛物线内部和点 在抛物线外部，两种进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，
∴ ，把 代入，得： ，
∴ ，
∴ ，
当 时， ，
解得： 或 ，
∴抛物线上“不动点”的坐标为： ， ；（4分）
（2）由题意，设“不动点”所在的直线表达式为： ，如图直线 ，
当直线 和折叠的部分抛物线只有一个交点时，满足题设要求，相当于折叠前抛物线 和直线
只有一个交点，
则直线 、 关于直线 设该直线和 轴的交点为 对称，则 是 的中点，
联立 和原抛物线得： ，
则 ，则 ，
∴直线 ，当 时， ，∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
把 代入 ，得： ；（8分）
（3）存在，理由：
∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
则 ，即 为直角三角形，且 ，
，
∴ ， ，
∴ ，
设点 ，
①当点 在抛物线内部时，过点 作 轴，交 轴于点 ，作 于点 ，
则： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，即： ，
∵ 在抛物线上，
∴ ，
解得： 或 （舍去），
∴点 ． （11分）
②当点 在抛物线外部时，
同法可得： ，
∴ ，解得： 或 （舍去）；
∴ ；
综上： 或 ．（13分）
