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2025 年中考第三次模拟考试（南京卷）
数学·全解全析
一、选择题（本大题共6个小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题
目要求的，请将正确的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．已知x2＝9，则x的值为（ ）
A．3 B．±3 C．√3 D．±√3
1．【答案】B
【解析】∵x2＝9，
∴x＝±3．
故选：B．
2．下列运算正确的是（ ）
A．2a3+3a2＝5a5 B．（﹣a）2+a2＝0
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．3a3b2÷a2b＝3ab
2．【答案】D
【解析】A、原式不能合并，不符合题意；
B、原式＝a2+a2＝2a2，不符合题意；
C、原式＝a2﹣2ab+b2，不符合题意；
D、原式＝3ab，符合题意．
故选：D．
3．某班全体学生2024年初中毕业体育考试的成绩如表：
成绩/分 32 36 39 40
人数/人 1 2 4 33
下列关于该班学生这次考试成绩的结论，其中错误的是（ ）
A．平均数是39.5分 B．众数是40分
C．中位数是37.5分 D．极差是8分
3．【答案】C
32×1+36×2+39×4+40×33
【解析】A、平均数为： =39.5，本选项结论正确，不符合题意；
40
B、40出现的次数最多，众数是40，本选项结论正确，不符合题意；
C、中位数是40，本选项结论错误，符合题意；D、极差是：40﹣32＝8，本选项结论正确，不符合题意；
故选：C．
6
4．已知反比例函数y=− ，当﹣3＜x＜﹣2时，y的取值范围是（ ）
x
A．0＜y＜1 B．1＜y＜2 C．2＜y＜3 D．﹣3＜y＜﹣2
4．【答案】C
6
【解析】∵在y=− 中，﹣6＜0，
x
∴第二象限内，y随x的增大而增大，
∴当x＝﹣3时，y有最小值2，当x＝﹣2时，y有最大值3，
∴当﹣3＜x＜﹣2时，2＜y＜3，
故选：C．
1 1
5．实数a，b满足a＜0，a2＞b2，下列结论：①a＜b，②b＞0，③ ＜ ，④|a|＞|b|．其中所有正确结
a b
论的序号是（ ）
A．①④ B．①③ C．②③ D．②④
5．【答案】A
【解析】∵a＜0，a2＞b2，
∴|a|＞|b|，
∴a＜b，故①符合题意，④符合题意；
当a＝﹣2，b＝﹣1时，a2＝4，b2＝1，故②不符合题意；
1 1 1 1 1
当a＝﹣2，b＝﹣1时， =− ， =−1， ＞ ，故③不符合题意；
a 2 b a b
故选：A．
6．如图，O是正六边形ABCDEF的中心，图中可以通过一次旋转与△ABF重合的三角形（△ABF自身除
外）的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．56．【答案】D
【解析】将△BOD，即将△①绕着点B逆时针旋转到BO与BA重合时，△BOD就与△BAF重合；
将△FOD，即将△②绕着点F顺时针旋转到FO与FA重合时，△FOD就与△BAF重合；
将△BOF，即将△③绕着BF的中点，逆时针旋转180°与△BAF重合；
将△BCD，即将△④绕着点O顺时针旋转到OB与OF重合时，△BCD就与△BAF重合；
将△FDE，即将△⑤绕着点O逆时针旋转到OF与OB重合时，△FDE就与△BAF重合；
即图中△①，△②，△③，△④，△⑤可以通过1次旋转与△ABF重合，
故选：D．
二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
1
7．﹣2的倒数是 − ；﹣2的相反数是 2 ．
2
1
7．【答案】− 、2．
2
1
【解析】﹣2的倒数是− ；﹣2的相反数是2．
2
1
故答案为：− 、2．
2
√2
8．计算 ×√6−√27的结果是 ﹣ 2√3 ．
2
8．【答案】﹣2√3．
【解析】原式=√3−3√3
＝﹣2√3；
故答案为：﹣2√3．
9．已知关于x的一元二次方程2x2﹣3x+1＝0的两个实数根分别为x 和x ，则x +x ﹣x x 的值为 1 ．
1 2 1 2 1 2
9．【答案】1．
【解析】∵一元二次方程2x2﹣3x+1＝0的两个实数根分别为x 和x ，
1 2
−3 3 1
∴x +x =− = ，x x = ．
1 2 2 2 1 2 23 1
∴x +x ﹣x x = − =1，
1 2 1 2 2 2
故答案为：1．
10．在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣1，2）．作点A关于x轴的对称点，得到点A ，再将点A 向
1 1
下平移4个单位，得到点A ，则点A 的坐标是 （﹣ 1 ，﹣ 6 ） ．
2 2
10．【答案】见试题解答内容
【解析】∵点A的坐标是（﹣1，2）．作点A关于x轴的对称点，得到点A ，
1
∴点A （﹣1，﹣2），
1
∵再将点A 向下平移4个单位，得到点A ，
1 2
∴点A 的坐标是：（﹣1，﹣6）．
2
故答案为：（﹣1，﹣6）．
11．数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上
任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交^AB于点C，测出AB＝40cm，CD
＝10cm，则圆形工件的半径为 2 5 cm ．
11．【答案】见试题解答内容
【解析】连接OA，设圆的半径为r，
1
则：OA＝OC＝r m，OD＝OC﹣CD＝（r﹣10）m，AD= AB=20（m），
2
∵AO2＝AD2+DO2，
∴r2＝202+（r﹣10）2，
∴r＝25cm；∴圆形工件的半径为25cm．
故答案为：25cm．
12．如图，直线l与正六边形ABCDEF的边AB，EF分别相交于点M，N，则 + 的大小为 120 ° ．
α β
12．【答案】120°．
180°×(6−2)
【解析】∠A=∠F= =120°，
6
∵在四边形AMNF中，∠AMN+∠FNM+∠A+∠F＝360°，
∴∠AMN+∠FNM＝360°﹣（∠A+∠F）＝120°，
由对顶角相等得：∠AMN＝ ，∠FNM＝ ，
∴ + ＝∠AMN+∠FNM＝12α0°， β
故α答案β 为：120°．
13．如图，A，B，C，D是 O上的四个点，BA，CD的延长线相交于点P，AC，BD相交于点Q．若∠P
＝30°，∠AQD＝72°，则⊙∠B的度数是 2 1 °．
13．【答案】21．
【解析】∵∠BAC是△APC的外角，∠P＝30°，
∴∠BAC＝∠P+∠C＝30°+∠C，
由圆周角定理得：∠B＝∠C，
∴∠BAC＝∠P+∠C＝30°+∠B，
∵∠AQD是△AQB的外角，
∴∠AQD＝∠BAC+∠B，
∴30°+∠B+∠B＝72°，
∴∠B＝21°，故答案为：21．
14．如图，四边形ABCD中，AB=√2，BC＝3，∠ABC＝45°，∠ACD＝90°，若AC＝3CD，则BD的长为
2
√26 ．
3
2
14．【答案】 √26．
3
【解答】详解：如图：
如图，过A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，
∴∠ABC＝45°，
√2
∴BE＝AE＝AB．sin∠ABE=√2× =1，
2
又∵BC＝3，
∴CE＝BC﹣BE＝3﹣1＝2，
∵AE⊥BC，DF⊥BC，∠ACD＝90°，
AE⊥BC，DF⊥BC，∠ACD＝90，
∠AEC＝∠F＝90，
∠EAC+∠ECA＝∠DCF+∠ACE＝90°，
∴∠EAC＝∠DCF，
∴△AEC∽△CFD，
DF CF DC 1
∴ = = = ，
CE AE AC 3
DF CF 1
∴ = = ．
2 1 3
2 1
解得：DF= ，CF= ，
3 3
1 10
∴BF＝BC+CF＝3+ = ，
3 3√ 2 10 2
∴BD=√DF2+BF2= ( ) 2+( ) 2= √26．
3 3 3
15．如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，将△ABE沿AE翻折，得到△AB′E，若△B′CD是
等腰三角形，则∠BAE等于 15 ° 或 30 ° ．
15．【答案】15°或30°．
【解析】①当DB′＝DC时，△B′CD是等腰三角形，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝CD，
∵将△ABE沿AE翻折，得到△AB′E，
∴AB′＝AB，
∴AB′＝AD＝DB′，
∴△ADB′是等边三角形，
∴∠DAB′＝60°，
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAB′＝30°，
∴∠BAE＝∠B′AE＝15°；
②当DB′＝B′C时，△B′CD是等腰三角形，
过B′作B′H⊥CD，
1
∴DH＝CH= CD，HG∥BC，
2∴AG＝BG，
∵将△ABE沿AE翻折，得到△AB′E，
∴AB′＝AB，
1
∴AG= AB′，
2
∴∠AB′G＝30°，
∴∠GAB′＝60°，
1
∴∠BAE= ×60°＝30°；
2
③当DB′＝B′C时，△B′CD是等腰三角形，
此时点B′于点D重合，这种情况不存在，
综上所述，∠BAE等于15°或30°，
故答案为：15°或30°．
16．如图，在△ABC中，AB＝4，∠ABC＝60°，M、N分别是AB、BC边上的点，且AM＝BN，连接MN，
P是MN的中点，则BP最小值为 √3 ．
16．【答案】√3．
【解析】连接BP，并延长BP至点Q，使PQ＝BP，连接QM，QN，AQ，并延长AQ交BC于点D，
∵BP＝PQ，点P是MN的中点，
∴四边形BNQM是平行四边形，
∴QM＝NB，QM∥NB，
∴∠AMQ＝∠ABC＝60°，∵AM＝BN，QM＝NB，
∴AM＝QM，
∴△AQM是等边三角形，
∴∠QAM＝60°，
1
过点B作BQ′⊥AD于点Q′，则点Q运动到点Q′时，BQ取得最小值，即BP= BQ最小．
2
∴在Rt△ABQ′中，BQ′=AB⋅sin∠DAB=4⋅sin60°=2√3，
∴BQ的最小值为2√3，
1 1
∴BP的最小值为 BQ′= ×2√3=√3．
2 2
故答案为：√3．
三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过
程或演算步骤）
1
17．（7分）（1）计算：（﹣2024）0+2sin245°﹣（ ）﹣1；
2
a−2 1
（2）化简： ÷（ −1）．
a2−1 a−1
17．【答案】（1）0；
1
（2）−− ．
a+1
√2
【解析】（1）原式＝1+2×（ ）2﹣2
2
1
＝1+2× −2
2
＝1+1﹣2
＝0；
a−2 2−a
（2）原式= ÷
(a+1)(a−1) a−1
a−2 a−1
=
•
(a+1)(a−1) 2−a
1
=− ．
a+1
18．（7分）计划用若干天生产一批零件，若甲单独做则恰好如期完成，若乙单独做则要超期 10天才能完
成．实际生产中，先由甲、乙合作10天，剩余的零件由乙单独做，结果比计划提前了5天完成．求原计划完成的天数．
18．【答案】原计划完成的天数为20天．
【解析】设原计划完成的天数为x天，则甲单独做需要x天完成，乙单独做需要（x+10）天完成，
10 x−5
由题意得： + = 1，
x x+10
解得：x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解，且符合题意，
答：原计划完成的天数为20天．
19．（8分）计划用若干天生产一批零件，若甲单独做则恰好如期完成，若乙单独做则要超期 10天才能完
成．实际生产中，先由甲、乙合作10天，剩余的零件由乙单独做，结果比计划提前了5天完成．求原
计划完成的天数．
如图，在 ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，∠ADE＝∠CBF，EF与BD相交于点O．求证：BO
＝DO．▱
19．【答案】见试题解答内容
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠C，
{
∠A=∠C
∵ AD=BC ，
∠ADE=∠CBF
∴△DAE≌△BCF（ASA），
∴DE＝BF，AE＝CF，
∵AB＝CD，AE＝CF，
∴BE＝DF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴OB＝OD．
20．（8分）中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元
技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势．2023年，中国新能源汽车产销量均突破900万辆，连
续9年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面两幅不完整的统计图．
请根据以上信息，解答下列问题．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查活动随机抽取了 5 0 人，请补全条形统计图．
（2）请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数．
（3）若此次汽车展览会的参展人员共有5000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的
有多少人．
20．【答案】（1）50；见解析；
（2）108°；
（3）4500人．
【解析】（1）本次调查活动随机抽取人数为5÷10%＝50（人），
∴混动的人数为50﹣27﹣3﹣5＝15人，
补全统计图如下所示：
15
（2）扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数为360°× =108°；
50
27+15+3
（3）5000× =4500（人）．
50
答：喜欢新能源汽车的有4500人．
21．（8分）有一组数：﹣1，√2，0，3，求下列事件的概率：
（1）从中随机选择一个数，恰好选中无理数；（2）从中随机选择两个不同的数，均比0大．
21．【答案】见试题解答内容
【解析】（1）一组数：﹣1，√2，0，3中，无理数为√2，共1个，
1
则P（恰好为无理数）= ；
4
（2）画树状图得： ，
所有等可能的情况有12种，其中均大于0的情况有2种，
2 1
则P（均大于0）= = ．
12 6
22．（8分）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，
便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离
地高BC为4米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时；
（1）若AF⊥BC，求BF的长度；
（2）求阴影CD的长．（参考数据；sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29）
22．【答案】（1）1.4米；
（2）2.2米．
【解析】（1）由题意知：AF⊥BC，∠BAF＝16°，
∴∠AFB＝∠AFC＝90°，
在Rt△AFB中，BF＝AB•sin∠BAF＝5•sin16°≈5×0.28＝1.4（米），
（2）过A作AK⊥CD于K，则∠AKD＝90°，BF＝AB•sin∠BAF＝5•sin16°≈5×0.28＝1.4米，
∴CF＝BC﹣BF＝2.6米，
∵四边形AFCK是矩形，
∴AK＝CF＝2.6米，CK＝AF＝4.8米，
由题意知：∠ADK＝45°，
∴∠DAK＝90°﹣∠ADK＝45°＝∠ADK，
∴DK＝AK＝2.6米，
∴CD＝CK﹣DK＝2.2米，
∴阴影CD的长为2.2米．
23．（8分）如图，已知∠ ，线段a．用直尺和圆规按下列要求作图．（保留作图痕迹，写出必要的文字
说明） α
（1）作出一个等腰三角形ABC，使其底角＝∠ ，底边长＝a；
（2）作出一个等腰三角形DEF，使其底角＝∠α，底边上的高＝a．
α
23．【答案】（1）（2）见解析．
【解析】（1）如图1中，△ABC即为所求；
（2）如图2中，△DEF即为所求．m
24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与反比例函数y= （m≠0）的图象交于点A
x
（3，1），且过点B（0，﹣2）．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）如果点P是x轴上一点，且△ABP的面积是3，求点P的坐标．
24．【答案】见试题解答内容
m
【解析】（1）∵反比例函数y= （m≠0）的图象过点A（3，1），
x
m
∴3=
1
∴m＝3．3
∴反比例函数的表达式为y= ．
x
∵一次函数y＝kx+b的图象过点A（3，1）和B（0，﹣2）．
{3k+b=1
∴ ，
b=−2
{ k=1
解得： ，
b=−2
∴一次函数的表达式为y＝x﹣2；
（2）令y＝0，∴x﹣2＝0，x＝2，
∴一次函数y＝x﹣2的图象与x轴的交点C的坐标为（2，0）．
∵S△ABP ＝3，
1 1
PC×1+ PC×2＝3．
2 2
∴PC＝2，
∴点P的坐标为（0，0）、（4，0）．
25．（8分）如图，在 O中，AB是弦，AC与 O相切于点A，AB＝AC，连接BC，点D是BC的中点，
连接AD交 O于点⊙E，连接OE交AB于点F⊙．
（1）求证：⊙OE⊥AB；
AC √3
（2）若AD＝4， = ，求 O的半径．
BC 2
⊙
25．【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：连接OA、OB，如图所示．
∵AC与 O相切于点A，
∴∠OAC⊙＝90°．
设∠EAC＝ ，则∠OAE＝90°﹣ ．
∵OA＝OE，α α
∴∠OEA＝∠OAE＝90°﹣ ，
∴∠AOE＝180°﹣∠OEA﹣α∠OAE＝2 ．
α∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴∠BAE＝∠EAC＝ ，
∴∠BOE＝2∠BAE＝α2 ，
∴∠AOE＝∠BOE． α
又∵OA＝OB，
∴OE⊥AB．
AC √3
（2）解：∵ = ，
BC 2
∴可设AC=√3x，BC＝2x．
∵AB＝AC，D是BC的中点，
1
∴CD= BC＝x，AD⊥BC，
2
∴AD2+CD2＝AC2．
∵AD＝4，
∴42+x2＝（√3x）2，解得：x＝2√2，
∴AB＝AC=√3x＝2√6，BD＝CD＝x＝2√2．
∵OE⊥AB，
1
∴AF= AB=√6．
2
∵∠EFA＝∠BDA＝90°，∠FAE＝∠DAB，
∴△FAE∽△DAB，
EF AF EF √6
∴ = ，即 = ，
BD AD 2√2 4
∴EF=√3．
设 O的半径为r，则OA＝r，OF＝OE﹣EF＝r−√3，
∵⊙OF⊥AB，
∴OA2＝OF2+AF2，即r2＝（r−√3）2+（√6）2，
3√3
解得：r= ，
2
3√3
∴ O的半径为 ．
2
⊙26．（9分）已知二次函数y＝﹣x2+2mx+n过点（2，2m﹣3）．
（1）用含m的代数式表示n；
（2）求证：该函数的图象与x轴总有公共点；
（3）若点E（﹣3，y ）、F（t，y ）、G（m﹣1，y ）在该函数图象上，且当3＜t≤4时，总有y ＜y
1 2 3 1 2
＜y ，直接写出m的取值范围．
3
26．【答案】（1）n＝1﹣2m；
（2）见解答；
1
（3） ＜m≤2或m＞5．
2
【解答】（1）解：把点（2，2m﹣3）代入抛物线y＝﹣x2+2mx+n，得：
﹣4+4m+n＝2m﹣3，
∴n＝1﹣2m；
（2）证明：令y＝0，﹣x2+2mx+1﹣2m＝0，
∵Δ＝（2m）2﹣4×（﹣1）×（1﹣2m）＝4m2+4﹣8m＝4（m﹣1）2≥0，
∴此方程必有实数根，
∴该函数的图象与x轴总有公共点；
（3）解：抛物线的对称轴直线为：x＝m，
∵m﹣1＜m，
∴G在抛物线对称轴的左侧，
∵t＞﹣3，y ＞y ，
2 1
∴E一定也在抛物线对称轴的左侧，
取G和E关于抛物线对称轴的对称点G′，E′，
∴G′（m+1，y ），E′（2m+3，y ），
3 1
当F在抛物线对称轴左侧时，
{m−1＞4
，
3≥−3
∴m＞5，∴y ＝﹣（m﹣1）2+2m（m﹣1）+1﹣2m＝m2﹣2m＝（m﹣1）2﹣1，
3
∴y ＞15；
3
当F在抛物线对称轴右侧时，
{ m+1≤3
，
2m+3＞4
1
∴ ＜m≤2，
2
1
∴m的取值范围是 ＜m≤2或m＞5．
2
27．（9分）问题背景
如图1，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，点D、F分别是边AC、BC上的动点，过点D
作AB的垂线，垂足为E，连接FD，FE．设C，D两点之间的距离为x，C、F两点之间的距离为y
初步运用
4
（1）当DE＝4时，x＝
3
思维探究
96
（2）若△ADE与△FDE全等，则y＝ 6 或
41
思维拓展
（3）如图2，以FD，FE为邻边作 FDGE，当x＝3时，是否存在y，使得 FDGE的顶点G恰好落在
△ABC的边上？若存在，请求出y的▱值，若不存在，请说明理由． ▱
27．【答案】见试题解答内容
【解析】（1）∵AB＝10，BC＝6，
∴AC＝8，
则AD＝8﹣x，
∵DE⊥AB，
∴∠AED＝∠C＝90°，∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
AD DE 8−x 4
∴ = ，即 = ，
AB BC 10 6
4
解得x= ，
3
4
故答案为： ．
3
（2）①△AED≌△FED，此时∠AED＝∠FED＝90°，
如图1，
显然F与B重合，此时y＝6；
②△AED≌△FDE，此时∠AED＝∠FDE＝90°，
如图2，
易知四边形AEFD是平行四边形，
设DE＝3k，则AE＝4k、AD＝5k，
则AE＝DF＝4k，CD＝AC﹣AD＝8﹣5k，
FD 4k 5
在Rt△FDC中， = = ，
CD 8−5k 4
40
解得k= ，
41160
∴DF= ，
41
3 96
y＝CF= DF= ，
5 41
96
故答案为：6或 ；
41
（3）①如图3，G落在AC上，过E作EH⊥AC于点H，
易知四边形EFCH是矩形，则y＝EH，
在Rt△AED中，AD＝5、DE＝3、AE＝4，
12
则y＝EH= ；
5
12
②如图4，G落在AB上，过E作EH⊥AC于点H，同上EH= ，
5
9
在Rt△EDH中，DH= ，
5
∵∠AED＝∠FDE＝90°，由三垂直模型知△EHD∽△DCF，
EH DH
∴ = ，
CD FC
CD⋅DH 9
∴y＝CF= = ．
EH 4
