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2025 年中考第三次模拟考试（南通卷）
数学·全解全析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题
目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
2
1．四个有理数− ，﹣1，0，1，其中最小的是（ ）
3
2
A．− B．﹣1 C．0 D．1
3
1．【答案】B
2
【解析】∵﹣1＜− ＜0＜1，
3
2
∴四个有理数− ，﹣1，0，1，其中最小的是﹣1．
3
故选：B．
2．下列运算结果正确的是（ ）
A．2x3+3x3＝5x6 B．m2n﹣2mn2＝﹣mn2
C．（ab2）3＝ab6 D．（2+3x）（2﹣3x）＝4﹣9x2
2．【答案】D
【解析】A、2x3+3x3＝5x3，故A不符合题意；
B、m2n与﹣2mn2不能合并，故B不符合题意；
C、（ab2）3＝a3b6，故C不符合题意；
D、（2+3x）（2﹣3x）＝4﹣9x2，故D符合题意；
故选：D．
3．2024年3月21日，成都市召开了以“建设成渝经济圈，奋进新时代”为主题的招商大会，40个重大项
目集中签约，计划总投资约41800000000元，将41800000000用科学记数法表示为（ ）
A．4.18×1011 B．4.18×1010
C．0.418×1011 D．418×108
3．【答案】B
【解析】41800000000＝4.18×1010．
故选：B．
4．砚台与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．【答案】C
【解析】从上边看，可得如图：
．
故选：C．
5．下列图案中既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．【答案】A
【解析】A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
6．如图，把一个含30°角的直角三角板ABC的直角顶点C放在直尺上，∠A＝30°，∠1＝50°，则∠2的度
数是（ ）
A．10° B．12° C．15° D．20°
6．【答案】D
【解析】过点B作BD∥EF交AC于D，
∵BD∥EF，
∴∠CDB＝∠1＝50°，
∴在Rt△BCD中，∠CBD＝90°﹣∠CDB＝40°，
在Rt△ABC中，∠A＝30°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝60°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝60°﹣40°＝20°，
∵BD∥EF，MN∥EF，
∴BD∥MN，
∴∠2＝∠ABD＝20°．
故选：D．
{ x＞m+3
7．关于x的不等式组 的整数解仅有5个，则m的取值范围是（ ）
5x−2＜4x+1
A．﹣6＜m≤﹣5 B．﹣5＜m≤﹣4 C．﹣6≤m＜﹣5 D．﹣5≤m＜﹣47．【答案】C
{ x＞m+3①
【解析】
5x−2＜4x+1②
由①得：x＞m+3，
由②得：x＜3，
不等式组的解集为m+3＜x＜3，
{ x＞m+3
∵关于x的不等式组 的整数解仅有5个，
5x−2＜4x+1
∴﹣3≤m+3＜﹣2，
解得：﹣6≤m＜﹣5，
故选：C．
8．如果一个函数同时满足条件：①图象经过点（1，1）；②图象经过第四象限；③当x＞1时，y随x的
增大而减小，那么这个函数解析式可能是（ ）
1
A．y＝2x﹣1 B．y=
x
C．y＝﹣x2+4x﹣2 D．y＝﹣2x2+3x
8．【答案】D
【解析】A、y＝2x﹣1是一次函数，k＝2，y随x的增大而增大，故A不可能；
1
B、y= 是反比例函数，k＝1，图象经过一、三象限，故B不可能；
x
C、y＝﹣x2+4x﹣2是二次函数，a＝﹣1，开口向下，对称轴x＝2，∴当x＞2时，y随x的增大而减小，
故C不可能；
3
D、y＝﹣2x2+3x是二次函数，经过点（1，1），图象经过第四象限，a＝﹣2，开口向下，对称轴x=
4
，∴当x＞1时，y随x的增大而减小，故D可能．
故选：D．
k
9．如图，在平面直角坐标系中，点 A是反比例函数y= (k≠0)图象上的一点，过点A作AB⊥y轴于点
x
B，点C是y轴负半轴上一点，连接AC交x轴于点D，若OD是△ABC的中位线，△OCD的面积为3，
则k的值是（ ）A．﹣12 B．﹣6 C．6 D．12
9．【答案】A
【解析】设点A的坐标为A（a，b），则AB＝﹣a，OB＝b，k＝ab，
∵OD是△ABC的中位线，
1 1
∴OC＝OB＝b，OD= AB=− a
2 2
∵△OCD的面积为3，∠COD＝90°，
1 1 1 1
∴ OD⋅OC= ⋅(− a)⋅b=− ab=3，即ab＝﹣12，
2 2 2 4
∴k＝ab＝﹣12，
故选：A．
10．已知二次函数y＝mx2+nx（m≠0），经过点A（c，4）．当y≥﹣2时，x的取值范围为x≤3t﹣6或x≥
﹣2﹣3t，则如下四个值中有可能为c的是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．【答案】A
【解析】当y≥﹣2时，mx2+nx≥﹣2，
∴mx2+nx+2≥0，
∵当y≥﹣2时，x的取值范围为x≤3t﹣6或x≥﹣2﹣3t，
∴x＝3t﹣6或x＝﹣2﹣3t是方程的两个根，
n
∴− =3t−6−2−3t=−8，
m
∴n＝8m，
∴y＝m（x+4）2﹣16m，
∴x＝﹣4是函数的对称轴，且﹣16m≤﹣2，
1
∴m≥ ，
8
∴mc2+8mc＝4，4
∴m=
，
c2+8c
4 1
∴ ≥ ，
c2+8c 8
∴c2+8c＞0，
∴0＜c2+8c≤32，
∴﹣32＜c2+8c﹣32≤0，
设抛物线y＝c2+8c﹣32，
令0＝c2+8c﹣32，解得c =−4−4√3，c =−4+4√3，
1 2
令﹣32＝c2+8c﹣32，解得c ＝0，c ＝﹣8，
3 2
根据抛物线开口向上，
∴c2+8c﹣32≤0的解集为−4−4√3≤c＜−8或0＜c≤−4+4√3
∴c的可能取值为2，
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每题3分，第13～18题每题4分，共30分．不需写出解答过
程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．因式分解：a2﹣4b2＝ （ a + 2 b ）（ a ﹣ 2 b ） ．
11．【答案】见试题解答内容
【解析】原式＝a2﹣（2b）2＝（a+2b）（a﹣2b）．
故答案为：（a+2b）（a﹣2b）．
12．若a为方程x2﹣3x﹣6＝0的一个根，则代数式a2﹣3a+7的值是 1 3 ．
12．【答案】见试题解答内容
【解析】∵a是方程x2﹣3x﹣6＝0的一个根，
∴a2﹣3a＝6，
∴a2﹣3a+7
＝6+7
＝13，
故答案为：13．
13．如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，OB＝BE，若S△ABC ＝2，则S△DEF ＝ 8
．13．【答案】见试题解答内容
【解析】∵OB＝BE，
OB 1
∴ = ，
OE 2
∵△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，
∴△ABC∽△DEF，BC∥EF，
∴△OBC∽△OEF，
BC OB 1
∴ = = ，
EF OE 2
S 1 1
∴ △ABC （ ）2= ，
S =¿ 2 4
△≝¿
∵S△ABC ＝2，
∴S△DEF ＝8，
故答案为：8．
14．在半径为1的 O中，弦AB的长等于 O的半径，则弦AB所对圆周角等于 30 ° 或 150 ° ．
14．【答案】见⊙试题解答内容 ⊙
【解析】如图，连接OA、OB，
∵AB＝OA＝OB，
∴∠AOB＝60°．
分两种情况：①在优弧上任取一点C，连接CA，CB，
1
则∠C= ∠AOB＝30°，
2
②在劣弧上任取一点D，连接AD、BD，
∵四边形ADBC是 O的内接四边形，
∴∠C+∠ADB＝18⊙0°，
∴∠ADB＝180°﹣∠C＝150°．
综上所述，弦AB所对的圆心角是60°，圆周角是30°或150°．
故答案为：30°或150°．
15．如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔30海里的A处，它沿正北方向航行一段时间
后，到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为 15√6 海里（结果
保留根号）．
15．【答案】15√6．
【解析】由题意得：PC⊥AB，∠APC＝30°，∠BPC＝45°，PA＝30海里，
在Rt△APC中，∠ACP＝90°，∠APC＝30°，
1 1
∴AC= PA= ×30＝15（海里），
2 2
∴PC=√3AC=√3×15＝15√3（海里），
在Rt△PCB中，∠BCP＝90°，∠BPC＝45°，
∴BC＝PC＝15√3海里，
∴BP=√2PC=√2×15√3=15√6（海里），
故答案为：15√6．
16．如图，在平面直角坐标系中， OABC的顶点O是坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在函数y
▱
4 k
= （x＞0）的图象上，点B在函数y= （x＞0）的图象上．若OC＝AC，则k的值为 1 2 ．
x x16．【答案】见试题解答内容
【解析】作CD⊥OA于D，
∵OC＝AC，
∴OD＝DA，
∴BC＝OA＝2OD，
4 4
设C（a， ），则B（3a， ），
a a
k
∵点B在函数y= （x＞0）的图象上，
x
4
∴k＝3a• =12，
a
故答案为：12．
17．如图，A，B，C，D，E是 O上的五个点，AB＝CD．若 O的半径为6，∠CED＝30°，则图中阴影
部分的面积为 6 ． ⊙ ⊙
π
17．【答案】6 ．
【解析】∵AB＝πCD，
∴^AB=C^D，
∴∠AOB＝2∠CED＝60°，60⋅π⋅62
∴S = =6π．
阴影 360
故答案为：6 ．
18．如图，抛物π线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（2，0），与y轴交于点C．将抛物线的顶
3 √5
点向下平移 个单位长度得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，则PA+ PM的最小值为
4 5
6√5
．
5
6
18．【答案】 √5．
5
【解析】把A（﹣1，0）代入y＝x2﹣x+c得：0＝1+1+c，
解得c＝﹣2，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2，
1 9
∵y=x2−x−2=(x−
)
2−
，
2 4
1 9 1
∴抛物线y＝x2﹣x﹣2开口向上，顶点坐标为( ，− )，对称轴为直线x= ；
2 4 2
1 1
如图，连接BM，过A作AH⊥BM于H，交抛物线对称轴直线x= 于P′，设直线x= 交x轴于N，
2 2
令y＝0得0＝x2﹣x﹣2，
解得x＝﹣1或x＝2，
∴B（2，0），1 3
∴BN=2− = ，
2 2
1 9 3
∵将顶点( ，− )向下平移 个单位长度得到点M，
2 4 4
1
∴M( ，−3)，MN＝3，
2
√ 3 3√5
∴BM=√BN2+M N2= ( ) 2+32= ，
2 2
3
BN 2 √5
∴sin∠BMN= = = ，
BM 3√5 5
2
P′H √5
∴ = ，
P′M 5
√5
∴P′H= P′M，
5
√5
∴P′ A+ P′M=P′ A+P′H=AH，
5
√5
当P与P′重合时，PA+ PM最小，最小值为AH的长度，
5
∵2S△ABM ＝AB•MN＝BM•AH，
AB⋅MN 3×3 6√5
AH= = =
∴ BM 3√5 5 ，
2
6√5
故答案为： ．
5
三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤）
{ x+ y=5
19．（10分）（1）解方程 ；
2x+3 y=8
3 a2−4a+4
（2）计算：（ −a+1）÷ ．
a+1 a+1
{ x=7 2+a
19．【答案】（1） ；（2） ．
y=−2 2−a
{ x+ y=5 ①
【解析】（1） ，
2x+3 y=8 ②①×3﹣②，得
x＝7，
将x＝7代入①，得
y＝﹣2，
{ x=7
故原方程组的解是 ；
y=−2
3 a2−4a+4
（2）（ −a+1）÷
a+1 a+1
3−(a−1)(a+1) a+1
= ⋅
a+1 (a−2) 2
3−a2+1
=
(a−2) 2
(2+a)(2−a)
=
(a−2) 2
2+a
= ．
2−a
20．（10分）为了解A、B两款品质相近的无人机在充满一次电后运行的最长时间，有关人员随机抽取了
这两款无人机各10架，记录下它们运行的最长时间（单位：min），并对数据进行整理、描述和分析
（运行最长时间用x表示，共分为三组：合格60≤x＜70；良好70≤x＜80；优等x≥80），得到有关信
息．
信息一：10架A款无人机充满一次电后运行的最长时间是：
60，64，67，69，71，71，72，72，72，82；
信息二：B款无人机运行最长时间统计图．
两款无人机运行最长时间统计表
类别 平均数 中位数 众数 方差
A 70 71 72 30.4
B 70 70.5 67 26.6
（1）你认为哪款无人机运行性能更好些？请说明理由（写出一条即可）；
（2）若仓库有A款无人机200架、B款无人机120架，估计两款无人机运行性能在良好及以上的共有多
少架？20．【答案】（1）72A款智能玩具飞机运行性能更好，理由见解析；
（2）估计两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的大约共有192架．
【解析】（1）A款智能玩具飞机运行性能更好，理由如下：
虽然两款智能玩具飞机运行最长时间的平均数相同，但A款智能玩具飞机运行最长时间的中位数和众数
均高于B款智能玩具飞机，所以A款智能玩具飞机运行性能更好；（答案不唯一）；
6
（3）200× +120×（1﹣40%）＝120+72＝192（架），
10
答：估计两款无人机运行性能在良好及以上的共有192架．
21．（10分）小李和小张是足球爱好者，某天他们相约一起去足球比赛现场为南通支云队加油，现场的观
赛区分为A，B，C，D四个区域，购票以后系统随机分配观赛区域．
1
（1）小李购买门票在A区观赛的概率为 ；
4
（2）请用画树状图或列表法求小李和小张在同一区域观看比赛的概率．
1
21．【答案】（1） ．
4
1
（2） ．
4
【解析】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中小李购买门票在A区观赛的结果有1种，
1
∴小李购买门票在A区观赛的概率为 ．
4
1
故答案为： ．
4
（2）画树状图如下：共有16种等可能的结果，其中小李和小张在同一区域观看比赛的结果有4种，
4 1
∴小李和小张在同一区域观看比赛的概率为 = ．
16 4
6
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y＝kx+b与反比例函数y=− 的图象交A（﹣1，
x
m），B（n，﹣2）两点，一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点C．
（1）求一次函数解析式；
6
（2）根据函数的图象，直接写出不等式kx+b≤− 的解集；
x
（3）点P是x轴上一点，△BOP的面积等于△AOB面积的2倍，求点P坐标．
22．【答案】（1）y＝﹣2x+4；
（2）﹣1≤x＜0或x≥3；
（3）P（16，0）或（﹣16，0）．
6
【解析】（1）∵反比例函数y=− 的图象经过点A（﹣1，m），B（n，﹣2），
x
6
{m=−
−1
∴ ，
6
−2=−
n
{m=6
解得 ，
n=3
∴A（﹣1，6），B（3，﹣2），
{−k+b=6
把A、B的坐标代入y＝kx+b得 ，
3k+b=−2
{k=−2
解得 ，
b=4
∴一次函数的解析式为y＝﹣2x+4；6
（2）观察图象，不等式kx+b≤− 的解集为：﹣1≤x＜0或x≥3；
x
（3）连接OA，OB，由题意C（0，4），
1 1
S =S +S = ×4×1+ ×4×3=8，
△AOB △AOC △BOC 2 2
设P（m，0），
1
由题意 ⋅|m|⋅2=8×2，
2
解得m＝±16，
∴P（16，0）或（﹣16，0）．
23．（12 分）如图 1，BC 是 O 的直径，点 A、D 在 O 上，连接 BD、CD，DB∥OA，BC＝10，
AC=2√5． ⊙ ⊙
（1）求证：AO⊥CD；
（2）求BD的长；
（3）如图2，连接AB，作∠CAB的角平分线交 O于F，求AF的长度．
⊙
23．【答案】（1）证明见解析；
（2）6；
（3）3√10．
【解答】（1）证明：∵BC是 O的直径，
⊙∴∠D＝90°，
∵OA∥BD，
∴∠CEO＝∠D＝90°，
∴AO⊥CD；
（2）解：连接AB，作AH⊥BC于H，OM⊥BD于M，如图1，则BM＝DM，
∵BC为 O的直径，
∴∠CAB⊙＝90°，
∴AB=√102−(2√5) 2=4√5，
1 1
∵ AH•BC= AC•AB，
2 2
2√5×4√5
∴AH= =4，
10
在Rt△OAH中，OH=√OA2−AH2=√52−42=3，
∵OA∥BD，
∴∠AOH＝∠EBO，
在△AOH和△OBM中，
{∠AHO=∠OMB
AO=OB ，
∠AOH=∠OBM
∴△AOH≌△OBM（ASA），
∴BM＝OH＝3，
∴BD＝2BM＝6；
（3）解：作CG⊥AF于G，连接CF、BF，如图2，
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠BAF＝45°，
∴CF＝BF，
∴△CBF为等腰直角三角形，
√2
∴CF= BC＝5√2，
2
√2
在Rt△ACG中，CG＝AG= AC=√10，
2在Rt△GFC中，GF=√(5√2) 2−(√10) 2=2√10，
∴AF＝AG+GF=√10+2√10=3√10．
24．（12分）甲、乙两车分别从B，A两地同时出发，甲车匀速前往A地，乙车匀速前往B地，到达B地
立即以另一速度按原路匀速返回到A地；设甲、乙两车距A地的路程为y（千米），乙车行驶的时间为
x（时），y与x之间的图象如图所示．
（1）求乙车到达B地的时间；
（2）求乙车到达B地时甲车距A地的路程；
（3）求甲车行驶途中，甲、乙两车相距40千米时，乙车行驶的时间．
24．【答案】（1）2.5时；
（2）100千米；
（3）1.3小时或1.7小时．
【解析】（1）由图象可得，
乙车从A地到B地的速度为：180÷1.5＝120（千米/时），
∴120m＝300，
解得m＝2.5，
即乙车到达B地的时间为2.5时；
（2）由图象可得，
甲车的速度为：（300﹣180）÷1.5＝120÷1.5＝80（千米/时），
则乙车到达B地时甲车距A地的路程是：300﹣2.5×80＝300﹣200＝100（千米），即乙车到达B地时甲车距A地的路程是100千米；
（3）乙车返回前甲、乙两车相距40千米时，设乙车行驶的时间为t小时，
甲乙相遇之前：80t+120t+40＝300，
解得t＝1.3；
甲乙相遇之后：80t+120t﹣40＝300，
解得t＝1.7；
答：乙车返回前甲、乙两车相距40千米时，乙车行驶的时间是1.3小时或1.7小时．
25．（13分）正方形ABCD中，点E在边BC，CD上运动（不与正方形顶点重合）．作射线AE，将射线
AE绕点A逆时针旋转45°，交射线CD于点F．
（1）如图，点E在边BC上，BE＝DF，求证：AE＝AF；
（2）过点E作EG⊥AF，垂足为G，连接DG，求∠GDC的度数；
FG
（3）在（2）的条件下，当△DFG是以DG为腰的等腰三角形时，求 的值．
AG
25．【答案】（1）证明见解答过程；
（2，∠GDC的度数为45°或135°；
FG
（3） =√2−1．
AG
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，
在△ABE和△ADF中，
{
AB=AD
∠B=∠D，
BE=DF
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF；
（2）解：①当点E在边BC上时，如图1，过点G作GM⊥AD，垂足为M，延长MG交BC于点N，则∠AMG＝∠DMG＝∠GNE＝90°，
∴四边形CDMN是矩形，
∴∠2+∠3＝90°，
∵EG⊥AF，∠EAF＝45°，
∴∠2+∠1＝90°，△AEG 为等腰直角三 角形，AG＝EG，
∴∠1＝∠3，
在△AMG和△GNE，
¿，
∴△AMG≌△GNE（AAS），
∴AM＝GN，
∵AM+MD＝GN+MG，
∴MD＝MG，
∴△MDG为等腰直角三角形，∠4＝45°，
∴∠GDC＝45°．
②当点E在边CD上时，如图2，过点G作GN⊥DF，垂足为N，延长NG交BA延长线于点M，
则四边形ADNM是矩形，
同理可得△AMG≌△GNE，
∴GN＝AM＝DN，
∴△NDG为等腰直角三角形，∠1＝45°，∴∠GDC＝180°﹣45°＝135°．
综上，∠GDC的度数为45°或135°．
（3）解：①当点E在边BC上时，如图1，
Ⅰ．当DG＝DF时，
由（2）①知，△MDG为等腰直角三角形，MD＝MG，
设MD＝MG＝a，则DG=√2a，
∴DF＝DG=√2a，
易知，MG∥DF，
∴△AMG∽△ADF，
AG MG a √2
∴ = = = ，
AF DF √2a 2
√2 2−√2
∴AG= AF，FG＝AF﹣AG= AF，
2 2
2−√2
AF
；FG 2
∴ = =√2−1；
AG √2
AF
2
Ⅱ．当DG＝FG时，
则∠GFD＝∠GDF＝45°，
此时∠3＝45°，则AD＝DF，即点F在与点C重合，与题意矛盾．
②当点E在边CD上时，如图2，
Ⅰ．当DG＝FG时，
则∠GFD＝∠GDF＝45°，
此时∠DAF＝45°，
又∵∠EAF＝45°，
∴此时点E与点D重合，与题意矛盾；
Ⅱ．当DG＝DF时，
设GN＝DN＝b，则DG=√2b，
∴DF＝DG=√2b，
∴FN＝DF﹣DN=(√2−1)b，
∵GN∥AD，
FG FN
∴ = =√2−1．
AG NDFG
综上， =√2−1．
AG
26．（13分）在二次函数y＝x2的图象上分别取三个点P，A，B，其中，点P（p，﹣p）在第二象限内，
A，B两点横坐标分别为a，b，且满足a≤p≤b．
（1）求p的值；
（2）记a≤x≤b时，二次函数y＝x2的最大值为y ，最小值为y ．若b﹣a＝3，求y ﹣y 的取值范围；
1 2 1 2
（3）连接PA，PB，AB．当PA⊥PB时，作PH⊥AB，垂足为点H，PH是否存在最大值？若存在，求
PH的最大值；若不存在，请说明理由．
26．【答案】（1）p＝﹣1；
9
（2）y ﹣y 的取值范围为： ≤y ﹣y ≤15；
1 2 4 1 2
（3）存在，PH的最大值为：√5．
【解析】（1）将点P的坐标代入函数表达式得：p2＝﹣p，
解得：p＝0（舍去）或﹣1，
即p＝﹣1；
（2）由题意得，点A、B的坐标分别为：（a，a2）、（a+3，a2+6a+9）且a≤﹣1≤a+3，
即﹣4≤a≤﹣1，
当﹣4≤a≤﹣3时，
则y ＝a2，y ＝a2+6a+9，
1 2
则y ﹣y ＝﹣6a﹣9，
1 2
则9≤y ﹣y ≤15；
1 2
3
当﹣3＜a≤− 时，y ＝a2，y ＝0，则y ﹣y ＝a2，
2 1 2 1 29
则 ≤y ﹣y ＜9，
4 1 2
3
当− ＜a≤﹣1时，
2
则y ＝a2+6a+9，y ＝0，
1 2
9
则 ＜y ﹣y ≤4；
4 1 2
9
综上，y ﹣y 的取值范围为： ≤y ﹣y ≤15；
1 2 4 1 2
（3）存在，理由：
如图，设点A、B的坐标分别为：（a，a2）、（b，b2），
过点P作直线l∥x轴，作AC⊥l于点C，作BD⊥l于点D，
∵PA⊥PB，
则∠PAC＝∠BPD，
PC BD
∴tan∠PAC＝tan∠PBD，即 = ，
AC PD
−1−a b2−1
即 = ，即a+b＝ab+2，
a2−1 b+1
由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y＝（a+b）x﹣ab＝ab（x﹣1）+2，
当x＝1时，y＝2，
即直线AB过恒定点Q（1，2），
而点P（﹣1，1），
当点H、Q不重合时，PH＜PQ，
当PH取得最大值时，H、Q重合，此时PH的最大值为：√5．
