文档内容
2025 年中考第三次模拟考试（南通卷）
数学·参考答案
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D B C A D C D A A
二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每题3分，第13～18题每题4分，共30分．不需写出解答过
程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．（a+2b）（a﹣2b）．
12．13．
13．8．
14．30°或150°．
15．15√6．
16．12．
17．6π．
6
18． √5．
5
三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤）
{ x+ y=5 ①
19．（10分）【详解】（1） ，
2x+3 y=8 ②
①×3﹣②，得
x＝7，（2分）
将x＝7代入①，得
y＝﹣2，（4分）
{ x=7
故原方程组的解是 ；（5分）
y=−2
3 a2−4a+4
（2）（ −a+1）÷
a+1 a+13−(a−1)(a+1) a+1
= ⋅
a+1 (a−2) 2
3−a2+1
（7分）
=
(a−2) 2
(2+a)(2−a)
=
(a−2) 2
2+a
= ．（10分）
2−a
∴原分式方程无解．（5分）
20．（10分）【详解】（1）A款智能玩具飞机运行性能更好，理由如下：（1分）
虽然两款智能玩具飞机运行最长时间的平均数相同，但A款智能玩具飞机运行最长时间的中位数和众数
均高于B款智能玩具飞机，所以A款智能玩具飞机运行性能更好；（答案不唯一）；（5分）
6
（2）200× +120×（1﹣40%）＝120+72＝192（架），（9分）
10
答：估计两款无人机运行性能在良好及以上的共有192架．（10分）
21．（10分）【详解】（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中小李购买门票在A区观赛的结果
有1种，
1
∴小李购买门票在A区观赛的概率为 ．
4
1
故答案为： ．（5分）
4
（2）画树状图如下：
（7分）
共有16种等可能的结果，其中小李和小张在同一区域观看比赛的结果有4种，（8分）
4 1
∴小李和小张在同一区域观看比赛的概率为 = ．（10分）
16 46
22．（10分）【详解】（1）∵反比例函数y=− 的图象经过点A（﹣1，m），B（n，﹣2），
x
6
{m=−
∴ −1，
6
−2=−
n
{m=6
解得 ，
n=3
∴A（﹣1，6），B（3，﹣2），
{−k+b=6
把A、B的坐标代入y＝kx+b得 ，
3k+b=−2
{k=−2
解得 ，
b=4
∴一次函数的解析式为y＝﹣2x+4；（3分）
6
（2）观察图象，不等式kx+b≤− 的解集为：﹣1≤x＜0或x≥3；（7分）
x
（3）连接OA，OB，由题意C（0，4），
1 1
S =S +S = ×4×1+ ×4×3=8，
△AOB △AOC △BOC 2 2
设P（m，0），
1
由题意 ⋅|m|⋅2=8×2，
2
解得m＝±16，
∴P（16，0）或（﹣16，0）．（10分）
23．（12分）
（1）证明：∵BC是 O的直径，
∴∠D＝90°， ⊙∵OA∥BD，
∴∠CEO＝∠D＝90°，
∴AO⊥CD；（4分）
（2）解：连接AB，作AH⊥BC于H，OM⊥BD于M，如图1，则BM＝DM，
∵BC为 O的直径，
∴∠CAB⊙＝90°，
∴AB 4 ，
=√102−(2√5) 2= √5
1 1
∵ AH•BC= AC•AB，
2 2
2√5×4√5
∴AH= =4，
10
在Rt△OAH中，OH 3，
=√OA2−AH2=√52−42=
∵OA∥BD，
∴∠AOH＝∠EBO，
在△AOH和△OBM中，
{∠AHO=∠OMB
AO=OB ，
∠AOH=∠OBM
∴△AOH≌△OBM（ASA），
∴BM＝OH＝3，
∴BD＝2BM＝6；（8分）
（3）解：作CG⊥AF于G，连接CF、BF，如图2，
∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠BAF＝45°，
∴CF＝BF，
∴△CBF为等腰直角三角形，
√2
∴CF= BC＝5√2，
2
√2
在Rt△ACG中，CG＝AG= AC=√10，
2
在Rt△GFC中，GF 2 ，
=√(5√2) 2−(√10) 2= √10∴AF＝AG+GF=√10+2√10=3√10．（12分）
24．（12分）【详解】（1）由图象可得，
乙车从A地到B地的速度为：180÷1.5＝120（千米/时），
∴120m＝300，
解得m＝2.5，
即乙车到达B地的时间为2.5时；（4分）
（2）由图象可得，
甲车的速度为：（300﹣180）÷1.5＝120÷1.5＝80（千米/时），
则乙车到达B地时甲车距A地的路程是：300﹣2.5×80＝300﹣200＝100（千米），
即乙车到达B地时甲车距A地的路程是100千米；（8分）
（3）乙车返回前甲、乙两车相距40千米时，设乙车行驶的时间为t小时，
甲乙相遇之前：80t+120t+40＝300，
解得t＝1.3；
甲乙相遇之后：80t+120t﹣40＝300，
解得t＝1.7；
答：乙车返回前甲、乙两车相距40千米时，乙车行驶的时间是1.3小时或1.7小时．（12分）
25．（13分）（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，
在△ABE和△ADF中，
{
AB=AD
∠B=∠D，
BE=DF
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF；（4分）
（2）解：①当点E在边BC上时，如图1，过点G作GM⊥AD，垂足为M，延长MG交BC于点N，则∠AMG＝∠DMG＝∠GNE＝90°，
∴四边形CDMN是矩形，
∴∠2+∠3＝90°，
∵EG⊥AF，∠EAF＝45°，
∴∠2+∠1＝90°，△AEG 为等腰直角三 角形，AG＝EG，
∴∠1＝∠3，
在△AMG和△GNE，
¿，
∴△AMG≌△GNE（AAS），
∴AM＝GN，
∵AM+MD＝GN+MG，
∴MD＝MG，
∴△MDG为等腰直角三角形，∠4＝45°，
∴∠GDC＝45°．（7分）
②当点E在边CD上时，如图2，过点G作GN⊥DF，垂足为N，延长NG交BA延长线于点M，
则四边形ADNM是矩形，
同理可得△AMG≌△GNE，
∴GN＝AM＝DN，
∴△NDG为等腰直角三角形，∠1＝45°，∴∠GDC＝180°﹣45°＝135°．
综上，∠GDC的度数为45°或135°．（9分）
（3）解：①当点E在边BC上时，如图1，
Ⅰ．当DG＝DF时，
由（2）①知，△MDG为等腰直角三角形，MD＝MG，
设MD＝MG＝a，则DG=√2a，
∴DF＝DG=√2a，
易知，MG∥DF，
∴△AMG∽△ADF，
AG MG a √2
∴ = = = ，
AF DF √2a 2
√2 2−√2
∴AG= AF，FG＝AF﹣AG= AF，
2 2
2−√2
AF
；FG 2
∴ = =√2−1；
AG √2
AF
2
Ⅱ．当DG＝FG时，
则∠GFD＝∠GDF＝45°，
此时∠3＝45°，则AD＝DF，即点F在与点C重合，与题意矛盾．（11分）
②当点E在边CD上时，如图2，
Ⅰ．当DG＝FG时，
则∠GFD＝∠GDF＝45°，
此时∠DAF＝45°，
又∵∠EAF＝45°，
∴此时点E与点D重合，与题意矛盾；
Ⅱ．当DG＝DF时，
设GN＝DN＝b，则DG=√2b，
∴DF＝DG=√2b，
∴FN＝DF﹣DN=(√2−1)b，
∵GN∥AD，
FG FN
∴ = =√2−1．
AG NDFG
综上， =√2−1．（13分）
AG
（13分）
26．【详解】（1）将点P的坐标代入函数表达式得：p2＝﹣p，
解得：p＝0（舍去）或﹣1，
即p＝﹣1；（4分）
（2）由题意得，点A、B的坐标分别为：（a，a2）、（a+3，a2+6a+9）且a≤﹣1≤a+3，
即﹣4≤a≤﹣1，
当﹣4≤a≤﹣3时，
则y ＝a2，y ＝a2+6a+9，
1 2
则y ﹣y ＝﹣6a﹣9，
1 2
则9≤y ﹣y ≤15；
1 2
3
当﹣3＜a≤− 时，y ＝a2，y ＝0，则y ﹣y ＝a2，
1 2 1 2
2
9
则 ≤y ﹣y ＜9，
1 2
4
3
当− ＜a≤﹣1时，
2
则y ＝a2+6a+9，y ＝0，
1 2
9
则 ＜y ﹣y ≤4；
1 2
4
9
综上，y ﹣y 的取值范围为： ≤y ﹣y ≤15；（8分）
1 2 1 2
4
（3）存在，理由：（9分）
如图，设点A、B的坐标分别为：（a，a2）、（b，b2），
过点P作直线l∥x轴，作AC⊥l于点C，作BD⊥l于点D，∵PA⊥PB，
则∠PAC＝∠BPD，
PC BD
∴tan∠PAC＝tan∠PBD，即 = ，
AC PD
即−1−a b2−1，即a+b＝ab+2，
=
a2−1 b+1
由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y＝（a+b）x﹣ab＝ab（x﹣1）+2，
当x＝1时，y＝2，
即直线AB过恒定点Q（1，2），
而点P（﹣1，1），
当点H、Q不重合时，PH＜PQ，
当PH取得最大值时，H、Q重合，
此时PH的最大值为：√5．（13分）
