文档文本内容
2024 年上海高考数学第二次模拟考试
数学·全解全析
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷由选择题、填空题和解答题三大题组成，共21题。答卷前，考生务必将自己的姓名、
准考证号填写在答题卡上。
2.本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择
题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．
3.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．
4．测试范围：高考全部内容
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在
答题纸的相应位置直接填写结果．
1 ． 已 知 ， ， ， 为 虚 数 单 位 ） ， 且 ， 则
．
【分析】利用复数的乘法以及复数的模，化简求解即可．
【解答】解： ， ， ， 为虚数单位），且 ，
可得 ，
，
解得 ， ，可得
．
故答案为：
【点评】本题考查复数的模的运算，复数的乘法，考查计算能力．
2．若集合 ， ，则使得 成立的所有 的值组成的集合是 ．
【分析】依题意可得 ，首先求出集合 ，再分类讨论分别计算可得．
【解答】解：因为 ， ， ， ，所以 ；
①当 时， 符合题意；
②当 ，即 解得 ，即 ；
③当 ，即 解得 ，即 ；
综上可得 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查集合的包含关系，集合的运算等知识，属于基础题．
3．已知随机变量 ，若 ，则 0. 2 ．
【 分 析 】 由 已 知 可 得 正 态 分 布 曲 线 的 对 称 轴 为 ， 得 到 ， 再 由
得答案．
【解答】解： 随机变量 ， 正态分布曲线的对称轴为 ，
又 ，且 ，
．
故答案为：0.2．
【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量 和 的应
用，考查曲线的对称性，属于基础题．
4．若关于 的不等式 的解集为空集，则实数 的取值范围是 ， ．【分析】由绝对值三角不等式求出 ，再根据条件求出 的范围．
【解答】解：由绝对值三角不等式，可得 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
因为不等式 的解集为空集，
所以 ，即实数 的取值范围是 ， ．
故答案为： ， ．
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，属于基础题．
5．在 的展开式中各项的系数和是 ．
【分析】令 ，利用赋值法求解即可．
【解答】解：令 ，可得 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，通过给二项式的 赋值，求展开式的系数和，属于基础
题．
6．曲线 在点 处的切线方程为 ．
【分析】求出原函数的导函数，得到函数在 处的导数，再由直线方程的斜截式得答案．
【解答】解：由 ，得 ．
，
则曲线 在点 处的切线方程为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，
是基础题．
7．函数 ，则 的最大值为 ．【分析】首先利用三角函数的关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦
型函数的性质求出结果．
【解答】由于
．
当 ， 时，函数取得最大值 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的
理解能力和计算能力，属于基础题．
8．某新能源汽车销售公司统计了某款汽车行驶里程 （单位：万千米）对应维修保养费用 （单
位：万元）的四组数据，这四组数据如表：
行驶里程 万千米 1 2 4 5
维修保养费用 万元 0.50 0.90 2.30 2.70
若用最小二乘法求得回归直线方程为 ，则估计该款汽车行驶里程为6万千米时的维修
保养费是 3.3 4 ．
【分析】根据已知条件，求出 ， 的平均值，再结合线性回归方程过样本中心，即可求解线性回
归方程，再将 代入，即可求解．
【解答】解：由表中数据可得， ， ，
样本中心点为 ，
回归直线方程为 ，
，解得 ，
故回归直线方程为 ，
当 时， ，
故估计该款汽车行驶里程为6万千米时的维修保养费是3.34万元．
故答案为：3.34．
【点评】本题主要考查了线性回归方程的性质，以及平均值的求解，属于基础题．9．如图所示，已知一个半径为2的半圆面剪去了一个等腰三角形 ，将剩余部分绕着直径
所在直线旋转一周得到一个几何体，其中点 为半圆弧的中点，该几何体的体积为 ．
【分析】在三角形 中作 于点 ，求得圆锥 的底面半径和高，计算出球体和圆锥
体积即可求得结果．
【解答】解：根据题意可知，三角形 即为等腰直角三角形，
作 于点 ，如下图所示：
则三角形 绕着直径 所在直线旋转一周得到的几何体为两个全等的圆锥 和 ，
由半径为2可得圆锥底面圆半径为 ，圆锥的高 ，
则圆锥 的体积 ，
半圆面旋转一周形成半径为2的球体，其体积为 ，
因此剩余部分所形成的几何体的体积为 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了旋转体的结构特征，考查了圆锥和球的体积公式，属于中档题．
10．平面向量 ， 满足， ， ，则 与 夹角的最大值为 ．
【分析】设 与 夹角为 ，设 ，则 ，求出 ，再由向量夹角公
式可得 的表达式，结合基本不等式的性质分析可得答案．【解答】解：设 与 夹角为 ，设 ，则 ，
，则 ， ，
则 ，
则 ，
，当且仅当 时等号成立，则有 ，
又由 ，则 ，
即 与 夹角的最大值为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查向量数量积的性质以及应用，涉及向量夹角的计算，基本不等式的性质，属于中
档题．
11．已知椭圆 与双曲线 有共同的焦点 、 ，椭圆 的离心率为 ，双曲线 的离心率
为 ，点 为椭圆 与双曲线 在第一象限的交点，且 ，则 的最大值为
．
【 分 析 】 由 椭 圆 的 定 义 及 双 曲 线 的 定 义 结 合 余 弦 定 理 可 得 ， 设
，利用三角换元求出 的最大值，即可得出答案．【解答】解：由题意得设椭圆 ，双曲线 ，
且设 ， ，
由椭圆的定义得 ①，
由双曲线的定义得 ②，
由① ② 得 ，
由① ② 得 ，
在△ 中，由余弦定理得 ，
③，
设 ，
，
当 即 时， 取最大值为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查双曲线的性质，考查换元法，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属
于中档题．
12．已知等差数列 满足：
，则正整数
的最大值为 6 2 ．【分析】由题意可以构造函数 ，结合函数的图像和性质以及等
差数列的性质求解即可．
【解答】解：设等差数列 的公差为 （不妨设 ，首项为 ，
可得 ，
记函数 ，
可 得 函 数 至 少 有 三 个 根 ， ， ． 可 知 绝 对 值 和
为平底型图像，如下图所示，故 为偶数，
记 ，要使 ，
所以 ， ， 对的点都在平底上即 ， ， ， ，
所以 ，
即 ，
所以 ，所以 ，
而 ，所以 ．
故 ，即 ，
所以正整数 的最大值为62，
故答案为62．【 点 评 】 此 题 主 要 考 查 等 差 数 列 的 性 质 及 其 应 用 ， 解 题 的 关 键 是 构 造 函 数
，然后利用函数的图像和性质求解，此题是一道难题．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分）每题有且
仅有一个正确选项，考生应在答题纸相应编号位置将代表正确选项的小方格涂黑。
13．已知平面 ， ，直线 ， 满足 ， ，则“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据题意，由空间中线面的位置关系，即可判断．
【解答】解：由题意，当 时，平面 与平面 可能平行，也可能相交，故充分性不成立，
当 时，直线 与直线 可能平行，可能相交，还可能异面，故必要性不成立，
所以“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件．
故选： ．
【点评】本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
14．已知等比数列 中， ，公比 ，则下列说法正确的是A．数列 是等比数列
B．数列 不是等比数列
C．数列 是等比数列
D．数列 是单调递减数列
【分析】利用等比数列的通项公式求出 ，利用等比数列的定义分别判断 ，求出数
列 的通项公式即可判断 ．
【解答】解：等比数列 中， ，公比 ，
，即 ，
对于 ， ，
所以数列 不是等比数列，故 错误；
对于 ， ，
故数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，故 错误；
对于 ， ，
故数列 是首项为9，公比为3的等比数列，故 正确；
对于 ， ，
所以数列 是单调递增数列，故 错误．
故选： ．
【点评】本题主要考查等比数列的通项公式，等比数列的判断，考查运算求解能力，属于基础题．
15．从商业化书店到公益性城市书房，再到“会呼吸的文化森林”——图书馆，建设高水平、现代
化、开放式的图书馆一直以来是大众的共同心声．现有一块不规则的地，其平面图形如图 1所示，（百米），建立如图2所示的平面直角坐标系，将曲线 看成函数 图象的一部
分， 为一次函数图象的一部分，若在此地块上建立一座图书馆，平面图为直角梯形 （如
图 ，则图书馆占地面积（万平方米）的最大值为
A． B． C． D．
【分析】由条件求 的解析式，设 ，利用 表示梯形 的面积，利用导数求其最大值．
【解答】解：将点 代入函数 中可得 ，解得 ，
所以 ，
设线段 对应的函数解析式为 ，
因为直线 经过点 ， ，所以 ， ，
所以 ，
设 ，则点 的坐标为 ，
由 可得 ，
所以点 的坐标为 ，
所以 ，
所以直角梯形 的面积 ，所以 ，
令 ，可得 ，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
所以当 时，函数 取最大值，最大值为 ．
故选： ．
【点评】本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查运算求解能力，属于中档题．
16．已知定义在 上的函数 ，对于给定集合 ，若对任意 ， ，当 时都有
，则称 是“ 封闭”函数．已知给定两个命题：
：若 是“ 封闭”函数，则 是“ 封闭”函数．
：若 是“ ， 封闭”函数 ，则 在区间 ， 上严格减．
则下列正确的判断为
A． 是真命题， 是真命题 B． 是假命题， 是真命题
C． 是真命题， 是假命题 D． 是假命题， 是假命题
【分析】通过定义进行证明若 是“ 封闭”函数，则 一定是“ 封闭”函数，判断命
题 ，再举出反例判断命题 ．
【解答】解：命题 ：若 是“ 封闭”函数，即对 ，都有 ，
对于集合 ，任意的 ， ，使得 ，则 ，而 ，
所以 ，故 一定是“ 封闭”函数，
当 时，命题 正确；
命题 ：不妨设 ， ， ，当 ， 时，
， ，
此时 是“ ， 封闭”函数，但为单调递增区间，命题 是假命题．
故选： ．
【点评】本题考查了命题真假的判断和函数新定义问题，属中档题．
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步
骤．
17．（14分）如图，在三棱柱 中， 是边长为2的等边三角形， ，平
面 平面 ．
（1）证明： ；
（2）若 为 的中点，直线 与平面 所成的角为 ，求直线 与平面 所成的
角的正弦值．
【分析】（1）取 的中点 ，连接 ，利用面面垂直的性质、线面垂直的性质判定证明
平面 即可推理作答；（2）由给定的线面角求出 ，再建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面的正弦作答．
【解答】证明：（1）如图，在三棱柱 中，取 的中点 ，连接 ，
因为 是等边三角形，则 ，又 平面 ，
平面 平面 ，平面 平面 ，则 平面 ，
而 平面 ，于是 ，又 ， ， 平面 ，因此
平面 ，
又 平面 ，则 ，于是 ，
所以 ．
解：（2）取 的中点 ，连接 ．由（1）得 平面 ，
又 ，所以 是直线 与平面 所成的角，即 ， ，
由（1）知 ， ， 两两互相垂直，以 为坐标原点，直线 为 轴，
过点 且平行于 的直线为 轴，直线 为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，0， ， ， ，0， ， ，2， ， ， ，
于是 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
即 ，令 ，得 ，设直线 与平面 所成的角为 ，则 ，
即直线 与平面 所成的角的正弦值为 ．
【点评】本题主要考查了利用空间向量求直线与平面所成的角，属于中档题．
18．（14分）挑选空间飞行员可以说是“万里挑一”，要想通过需要五关：目测、初检、复检、
文考（文化考试）、政审．若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根据分析甲、乙、丙
三位同学通过复检关的概率分别是0.5、0.6、0.75，能通过文考关的概率分别是0.6、0.5、0.4，由
于他们平时表现较好，都能通过政审关，若后三关
之间通过与否没有影响．
（1）求甲被录取成为空军飞行员的概率；
（2）求甲、乙、丙三位同学中恰好有一个人通过复检的概率．
【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式求解；
（2）利用独立事件的概率乘法公式求解．
【解答】解：设甲乙丙三位同学分别通过复检为事件 ， ， ，甲乙丙同学通过文考为事件 ，
， ，
可得 （A） ， （B） ， （C） ， （D） ， （E） ，
，
（1）由题意，可得甲被录取成为空军飞行员的概率为：
（A） （D） ；
（2）由题意，甲乙丙三位同学分别通过复检，即为事件 ， ， ，
利用独立事件的概率计算公式，可得甲、乙、丙三位同学中恰好有一个人通过复检的概率为：．
【点评】本题主要考查了相互独立事件的概率的求解， 次独立重复试验恰好发生 得概率的求解，
属于中档题．
19 ． （ 14 分 ） 在 中 ， 内 角 ， ， 所 对 的 边 分 别 为 ， ， ， 且
．
（1）求 ；
（2）若 ， 的面积为 ，求 的周长．
【分析】（1）由三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得 ，结合范围 ，可
得 的值．
（2）由正弦定理化简已知等式可得 ，又由余弦定理有 ，可得 ，
又由题意利用三角形的面积公式可求得 ，从而可得 ， 的值，进而根据余弦定理可求 的
值，即可得解三角形的周长的值．
【解答】解：（1）由 ，
可得 ，可得 ，即 ，
可得 ，
由 ，
可得 ．
（2）因为 ，
由正弦定理有： ，可得 ，又由 及余弦定理有： ，有 ，
有 ，可得： ，
又因为 的面积为 ，可得 ，
所以解得 ， ，
由余弦定理可得 ，可得 ，
可得 的周长 ．
【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换，正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形
中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
20．（18分）已知椭圆 的离心率为 ， 轴被抛物线 截
得的线段长与 长轴长的比为 ．
（1）求 、 的方程；
（2）设 与 轴的交点为 ，过坐标原点 的直线 与 相交于点 、 ，直线 、 分别
与 相交于 、 ．
（ⅰ）设直线 、 的斜率分别为 、 ，求 的值；
（ⅱ）记 、 的面积分别是 、 ，求 的最小值．
【分析】（1）解 ，即可得出 轴被抛物线截得的线段长，进而列出方程组，求解即可得
出答案；（2） 联立直线 与抛物线的方程，得到 ，根据韦达定理，即可得出斜率之间的
关系，求出 的值； 联立方程组，表示出各个点的坐标．结合图象，将三角形的面积之比转
化为坐标关系，即可得出表达式 ，然后根据基本不等式即可得出最小值．
【解答】解：（1）解 ，可得 ，
所以， 轴被抛物线 截得的线段长为 ．
由已知可得， ，解得 ．
所以椭圆的方程为 ，抛物线的方程为 ．
（2） 由（1）知， ．
设直线 的方程为 ， ， ， ， ．
联立直线 与抛物线的方程 ，
可得 ，
则 ．
又 ， ，
所以 ．联立直线 与抛物线的方程 ，
可得 ，则 ．
同理： ．
设 ， ， ， ．
联立直线 与椭圆的方程 ，
可得 ，
则 ，
同理可得， ．
由图象知， ， ， ，
所 以 ，
，
当且仅当 时，取等号，
所以， 的最小值为 ．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
21．（18分）三个互不相同的函数 ， 与 在区间 上恒有
或恒有 ，则称 为 与 在区间 上的“分割函数”．
（ 1 ） 设 ， ， 试 分 别 判 断 、 是 否 是 与
在区间 上的“分割函数”，请说明理由；
（2）求所有的二次函数 （用 表示 ， ，使得该函数是 与
在区间 上的“分割函数”；
（3）若 ， ， ，且存在实数 ， ，使得 为 与 在区
间 ， 上的“分割函数”，求 的最大值．
【分析】（1）根据题意可得当 时， 恒成立，结合“分割函数”的定义
依次判断，即可求解；
（2）根据“分割函数”的性质，则 对一切实数 恒成立，由导数的几何意
义和恒成立可得 且 对一切实数 恒成立，结合图形即可求解；（3）利
用导数求出函数 极值，则 ， ，作出其函数与函数 的图象，设直线 与 的图象交于点 ， ， ， ，利用代数法求出弦长
， ， 结 合 导 数 研 究 函 数
， ， 的性质即可求解．
【解答】解：（1）因为 恒成立，且 恒成立，所以当
时， 恒成立，
故 是 与 在 上的“分割函数”；
又因为 ，当 与1时，其值分别为1与 ，
所以 与 在 上都不恒成立，
故 不是 与 在 上的“分割函数”；
（2）设 是 与 在区间 上的“分割函数”，
则 对一切实数 恒成立，
又因为 ，当 时，它的值为4，
可知 的图象在 处的切线为直线 ，
它也是 的图象在 处的切线，
所以 ，可得 ，
所以 对一切实数 恒成立，
即 且 对一切实数 恒成立，可得 且 ，即 ，
又 时， 与 为相同函数，不合题意，
故所求的函数为 ；
（3）关于函数 ，令 ，可得 ， ，
当 与 时， ；当 ， 与 ， 时， ，
可知 是函数 极小值点，0是极大值点，
该函数与 的图象如图所示：
由 为 与 在区间 ， 上的“分割函数”，
故存在 使得 且直线 与 的图象相切，并且切点横坐标 ，， ，
此时切线方程为 ，
即 ， ，
设直线 与 的图象交于点 ， ， ， ，
则由 ，可得 ，
所以
，
令 ， ， ，
则 ，当 时， ，
所以 在 ， 上单调递减，
所以 （2） ，
所以 ，
所以 的最大值为 ．
