文档内容
几何-直线型几何-燕尾模型-5 星题
课程目标
知识点 考试要求 具体要求 考察频率
燕尾模型 C 1.了解燕尾模型的一般形状 少考
2.熟悉燕尾模型的关系式
3.能够灵活运用燕尾模型解决复杂
的几何问题
知识提要
燕尾模型
燕尾模型
结论一
S AE S BF S CD
（1）
1=
（2）
2=
（3）
3=
S CE S AF S BD
2 3 1
结论二
S +S CO
2 3=
S OF
1精选例题
燕尾模型
1. 如下图，三角形 ABC 中，AF:FB=BD:DC=CE:AE=3:2，且三角形 ABC 的面积
是 1，则三角形 ABE 的面积为 ，三角形 AGE 的面积为
，三角形 GHI 的面积为 ．
2 8 1
【答案】 ， ，
5 95 19
【分析】 连接 AH、BI、CG．
2
由于 CE:AE=3:2，所以 AE= AC，故
5
2 2
S = S = ;
△ABE 5 △ABC 5根据燕尾模型，
S :S =CD:BD=2:3,
△ACG △ABG
S :S =CE:EA=3:2,
△BCG △ABG
所以
S :S :S =4:6:9,
△ACG △ABG △BCG
则
4
S = ,
△ACG 19
9
S = ;
△BCG 19
那么
2 2 4 8
S = S = × = ;
△AGE 5 △AGC 5 19 95
9
同样分析可得 S = ，则
△ACH 19
EG:EH=S :S =4:9,
△ACG △ACH
EG:EB=S :S =4:19,
△ACG △ACB
所以
EG:GH:HB=4:5:10,
同样分析可得
AG:GI:ID=10:5:4.
所以
5 5 2 1
S = S = × = ,
△BIE 10 △BAE 10 5 5
5 5 1 1
S = S = × = .
△GHI 19 △BIE 19 5 19
1
2. 如图，四边形 ABCD 是矩形，E、F 分别是 AB、BC 上的点，且 AE= AB，
3
1
CF= BC，AF 与 CE 相交于 G，若矩形 ABCD 的面积为 120，则 ΔAEG 与 ΔCGF
4
的面积之和为 ．【答案】 15
【分析】 方法1：如图，连接 AC、BG．
根据燕尾模型，S :S =BF:CF=3:1，S :S =BE:AE=2:1，而
ΔABG ΔACG ΔBCG ΔACG
1 3 1
S = S =60，所以 S = S = ×60=30，
ΔABC 2 ▭ABCD ΔABG 3+2+1 ΔABC 2
2 1 1 1
S = S = ×60=20，则 S = S =10，S = S =5，所以两个
ΔBCG 3+2+1 ΔABC 3 ΔAEG 3 ΔABG ΔCFG 4 ΔBCG
三角形的面积之和为 15．
方法2：如图，过 F 做 CE 的平行线交 AB 于 H，
1
则 EH:HB=CF:FB=1:3，所以 AE= EB=2EH，AG:GF=AE:EH=2，即
2
1 2 2 2 3 1
AG=2GF，所以 S = × × ×S = × × S =10．且
ΔAEG 2 3 3 ΔABF 9 4 2 ▭ABCD
2 2 3 1 1
EG= HF= × EC= EC，故 CG=≥¿，则 S =1× ×S =5．所以两三角形
3 3 4 2 ΔCGF 2 ΔAEG
面积之和为 10+5=15．3. 如图，△ABC 中 BD=2DA，CE=2EB，AF=2FC，那么 △ABC 的面积是阴影三角
形面积的 倍．
【答案】 7
【分析】 如图，连接 AI．
根据燕尾定理，S :S =BD:AD=2:1，S :S =CF:AF=1:2，
△BCI △ACI △BCI △ABI
所以，S :S :S =1:2:4，
△ACI △BCI △ABI
2 2
那么，S = S = S ．
△BCI 1+2+4 △ABC 7 △ABC
2
同理可知 △ACG 和 △ABH 的面积也都等于 △ABC 面积的 ，所以阴影三角形的面积等
7
2 1
于 △ABC 面积的 1- ×3= ，所以 △ABC 的面积是阴影三角形面积的 7 倍．
7 7
4. 正六边形 A ,A ,A ,A ,A ,A 的面积是 2009 平方厘米，B ,B ,B ,B ,B ,B 分别
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
是正六边形各边的中点．请问下图中阴影六边形的面积是 平方厘米．【答案】 1148
【分析】 方法一：如下左图，连接 A A ,A G,A A ，过 B 做 A A 的平行线
1 3 1 6 3 6 6 3
B E，交 A A 于 E．因为空白的面积等于 △A A G 面积的 6 倍，所以关键求
6 1 3 2 3
△A A G 的面积，在 △A A A 中用燕尾模型时，需要知道 A D,A D 的长度比，根据
2 3 1 2 3 1 3
沙漏模型得 A D=DE，再根据金字塔模型得 A E=A E，因此 A D:A D=1:3，在
1 1 3 1 3
△A A A 中，设 S =1 份，则 S =3 份，S =3 份，所以
1 2 3 △A A G △A A G △A A G
1 2 2 3 3 1
3 3 1 1 1
S = S = × × S = S ，
△A 2 A 3 G 7 △A 1 A 2 A 3 7 3 2 正六边形 14 正六边形
( 1 ) 4
因此 S = 1- ×6 S = ×2009=1148(平方厘米)．
阴影 14 正六边形 7方法二：既然给的图形是特殊的正六边形，且阴影也是正六边形，我们可以用上图的割补思路，
把正六边形分割成 14 个大小形状相同的梯形，其中阴影有 8 个梯形，所以阴影面积为
8
×2009=1148(平方厘米)．
14
5. 如图，三角形 ABC 的面积是 1，E 是 AC 的中点，点 D 在 BC 上，且
BD:DC=1:2，AD 与 BE 交于点 F．则四边形 DFEC 的面积等于 ．
5
【答案】
12
【分析】 方法一：如图所示，
S BD 1 S AE
根据燕尾模型， △ABF = = ， △ABF = =1．
S DC 2 S EC
△ACF △CBF
设 S =1 份，则 S =2 份，S =3 份，S =S =3 份，如图所标
△BDF △DCF △ABF △AEF △EFC
5 5
所以 S = S = ．
DCEF 12 △ABC 12
方法二：如图所示，1 1
连接 DE，由题目条件可得到 S = S = ，
△ABD 3 △ABC 3
1 1 2 1
S = S = × S = ，
△ADE 2 △ADC 2 3 △ABC 3
BF S 1
所以 = △ABD= ，
FE S 1
△ADE
S
1 1 1 1 1 1 1 ，
△≝¿= ×S = × ×S = × × ×S = ¿
2 △DEB 2 3 △BEC 2 3 2 △ABC 12
2 1 1 5
而 S = × ×S = ．所以则四边形 DFEC 的面积等于 ．
△CDE 3 2 △ABC 3 12
6. 如图，在 △ABC 中，点 D 是边 AC 的中点，点 E、F 是边 BC 的三等分点，若
△ABC 的面积为 1，那么四边形 CDMF 的面积是 ．
7
【答案】
30
【分析】 由于点 D 是边 AC 的中点，点 E、F 是边 BC 的三等分点，如果能求
出 BN、NM、MD 三段的比，那么说分成的六小块的面积可以求出来，其中当然也包括四
边形 CDMF 的面积．
连接 CM、CN．
根据燕尾模型，
S :S =BF:CF=2:1,
△ABM △ACM
S =2S ,
△ACM △ADMS =2S =4S ,
△ABM △ACM △ADM
那么 BM=4DM，即
4
BM= BD.
5
那么
BM BF 4 2 1 4
S = × ×S = × × = ,
△BMF BD BC △BCD 5 3 2 15
1 ４ 7
S = - = .
四边形CDMF 2 15 30
另解：得出 S =2S =4S 后，可得
△ABM △ACM △ADM
1 1 1 1
S = S = × = ,
△ADM 5 △ABD 5 2 10
则
1 1 7
S =S -S = - = .
四边形CDMF △ACF △ADM 3 10 30
7. 如图，△ABC 的面积为 1，点 D、E 是 BC 边的三等分点，点 F、G 是 AC 边的三
等分点，那么四边形 JKIH 的面积是多少？9
【答案】
70
【分析】 连接 CK、CI、CJ．
根据燕尾定理，S :S =CD:BD=1:2，S :S =AG:CG=1:2，
△ACK △ABK △ABK △CBK
1 1 1 1
所以 S :S :S =1:2:4，那么 S = = ，S = S = ．
△ACK △ABK △CBK △ACK 1+2+4 7 △AGK 3 △ACK 21
2
类似分析可得 S = ．
△AGI 15
1
又 S :S =AF:CF=2:1，S :S =BD:CD=2:1，可得 S = ．
△ABJ △CBJ △ABJ △ACJ △ACJ 4
1 1 17
那么，S = - = ．
CGKJ 4 21 84
17
根据对称性，可知四边形 CEHJ 的面积也为 ，那么四边形 JKIH 周围的图形的面积之
84
17 2 1 61
和为 S ×2+S +S = ×2+ + = ，所以四边形 JKIH 的面积为
CGKJ △AGI △ABE 84 15 3 70
61 9
1- = ．
70 70
8. 在 △ABC 中，BD:DC=2:1，AE:EC=1:3，求 OB:OE=？
【答案】 8:1
【分析】 题目求的是边的比值，一般来说可以通过分别求出每条边的值再作比值，也
可以通过三角形的面积比来做桥梁，但题目没告诉我们边的长度，所以应该通过面积比而得到
边长的比．本题的图形一看就联想到燕尾定理，但两个燕尾似乎少了一个，因此应该补全，所
以第一步要连接 OC．
连接 OC．因为 BD:DC=2:1，根据燕尾定理，S :S =BD:BC=2:1，即 S =2S ；
△AOB △AOC △AOB △AOC
又 AE:EC=1:3，所以 S =4S ．则 S =2S =2×4S =8S ，
△AOC △AOE △AOB △AOC △AOE △AOE
所以 OB:OE=S :S =8:1．
△AOB △AOE
9. 如图，面积为 l 的三角形 ABC 中，D、E、F、G、H、I 分别是 AB、BC、CA 的
三等分点，求阴影部分面积．（如果结果是分数，将结果化成最简分数．）
13
【答案】
70
【分析】 令 BI 与 CD 的交点为 M，AF 与 CD 的交点为 N，BI 与 AF 的交
点为 P，BI 与 CE 的交点为 Q，连接 AM，BN，CP．求四边形 ADMI 的面积：在 △ABC 中，根据燕尾模型，
S :S =AI:CI=1:2,
△ABM △CBM
S :S =AD:BD=1:2,
△ACM △CBM
所以
1
S = S ,
△ABM 4 △ABC
1 1
S = S = S ,
△ADM 3 △ABM 12 △ABC
1
S = S ,
△AIM 12 △ABC
因而四边形 ADMI 的面积为
1 1 1
S + S = S ,
12 △ABC 12 △ABC 6 △ABC
1
同理可得另外两个顶点的四边形面积也是 △ABC 的 ．
6
求五边形 DNPQE 的面积：在 △ABC 中，根据燕尾模型，
S :S =BF:CF=1:2,
△ABN △ACN
所以
1 1
S = S = S ,
△ADN 3 △ABN 21 △ABC
同理可得
1
S = S .
△BEQ 21 △ABC
在 △ABC 中，根据燕尾模型，
S :S =BF:CF=1:2,
△ABP △ACP
S :S =AI:CI=1:2,
△ABP △CBP
所以
1
S = S ,
△ABP 5 △ABC
因此五边形 DNPQE 的面积为
1 1 1 11
S - S - S = S ,
5 △ABC 21 △ABC 21 △ABC 105 △ABC
同理另外两个五边形的面积也是
11
S .
105 △ABC
所以阴影部分的面积为
1 11 13 13
S -3× S -3× S = S = .
△ABC 6 △ABC 105 △ABC 70 △ABC 7010. 如图所示，在四边形 ABCD 中，AB=3BE，AD=3AF，四边形 AEOF 的面积是 12，
求平行四边形 BODC 的面积．
【答案】 24
【分析】 连接 AO,BD，根据燕尾定理 S :S =AF:FD=1:2，
△ABO △BDO
S :S =AE:BE=2:1，设 S =1，则其他图形面积，如图所标，所以
△AOD △BOD △BEO
S =2S =2×12=24．
BODC AEOF
11. 如图，面积为 1 的三角形 ABC 中，D、E、F、G、H、I 分别是 AB、BC、CA 的
三等分点，求中心六边形面积．1
【答案】
10
【分析】 设深黑色六个三角形的顶点分别为 N、R、P、S、M、Q，连接 CR
在 △ABC 中根据燕尾定理，S :S =BG:CG.=2:1，
△ABR △ACR
S :S =AI:CI=1:2
△ABR △CBR
2 2 2
所以 S = S ，同理 S = S ，S = S
△ABR 7 △ABC △ACS 7 △ABC △CQB 7 △ABC
2 2 2 1
所以 S =1- - - =
△RQS 7 7 7 7
1
同理 S =
△MNP 7
1 1 13 1
根据容斥原理，和上题结果 S = + - =
六边形 7 7 70 10
12. 三角形 ABC 的面积为 15 平方厘米，D 为 AB 中点，E 为 AC 中点，F 为 BC 中
点，求阴影部分的面积．【答案】 3.125
【分析】 令 BE 与 CD 的交点为 M，CD 与 EF 的交点为 N，连接 AM，BN．
在 △ABC 中，根据燕尾定理，S :S =AE:CE=1:1，
△ABM △BCM
S :S =AD:BD=1:1，
△ACM △BCM
1
所以 S =S =S = S
△ABM △ACM △BCN 3 △ABC
1 1
由于 S = S = S S，所以 BM:ME=2:1
△AEM 2 △AMC 2 △ABM
在 △EBC 中，根据燕尾定理，S :S =BF:CF=1:1 S :S =ME:MB=1:2
△BEN △CEN △CEN △CBN
设 S =1(份)，则 S =1(份)，S =2(份)，S =4(份)，
△CEN △BEN △BCN △BCE
1 1 1 1
所以 S = S = S ，S = S = S ，因为 BM:ME=2:1，F 为
△BCN 2 △BCE 4 △ABC △BNE 4 △BCE 8 △ABC
BC 中点，
2 2 1 1 1 1 1 1
所以 S = S = × S = S ，S = S = × = S ，
△BMN 3 △BNE 3 8 △ABC 12 △ABC △BFN 2 △BNC 2 4 8 △ABC
( 1 1) 5 5
所以 S = + S = S = ×15=3.125(平方厘米)
阴影 12 8 △ABC 24 △ABC 2413. 如图，面积为 1 的三角形 ABC 中，D、E、F、G、H、I 分别是 AB、BC、CA 的
三等分点，求阴影部分面积．
13
【答案】
70
【分析】 三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！
令 BI 与 CD 的交点为 M，AF 与 CD 的交点为 N，BI 与 AF 的交点为 P，BI 与
CE 的交点为 Q，连接 AM、BN、CP
（1）求 S ：在 △ABC 中，根据燕尾定理，S :S =AI:CI=1:2
四边形ADMI △ABM △CBM
S :S =AD:BD=1:2
△ACM △CBM
设 S =1(份)，则 S =2(份)，S =1(份)，S =4(份)，
△ABM △CBM △ACM △ABC
1 1 1 1
所以 S =S = S ，所以 S = S = S ，S = S ，
△ABM △ACM 4 △ABC △ADM 3 △ABM 12 △ABC △AIM 12 △ABC
1 1 1
所以 S =( + )S = S ，
四边形ADMI 12 12 △ABC 6 △ABC
1
同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是 △ABC 面积的
6
（2）求 S ：在 △ABC 中，根据燕尾定理 S :S =BF:CF=1:2
五边形DNPQE △ABN △ACN
S :S =AD:BD=1:2，
△ACN △BCN1 1 1 1 1
所以 S = S = × S = S ，同理 S = S
△ADN 3 △ABN 3 7 △ABC 21 △ABC △BEQ 21 △ABC
在 △ABC 中，根据燕尾定理 S :S =BF:CF=1:2，S :S =AI:CI=1:2
△ABP △ACP △ABP △CBP
1
所以 S = S
△ABP 5 △ABC
(1 1 1 ) 11
所以 S =S -S -S = - - S = S
五边形DNPQE △ABP △ADN △BEP 5 21 21 △ABC 105 △ABC
11
同理另外两个五边形面积是 △ABC 面积的
105
1 11 13
所以 S =1- ×3- ×3=
阴影 6 105 70
14. 如图所示，三角形 ABC 的面积为 1，D、E、F 分别是三条边上的三等分点，求阴影三
角形的面积？
1
【答案】
7
【分析】 给中间三角形的 3 个顶点标上字母，如图 1 所示．
由于 D、E、F 分别是 3 条边上的三等分点，而 △ABC 的面积为 1，所以 △ABE、
1
△BCF、△CAD 的面积都是 ，这 3 个三角形的面积之和就等于大 △ABC 的面积，它们
3的重叠部分是 3 个小三角形：△AME、△BNF、△CPD．因此阴影 △MNP 的面积就等于
这 3 个小三角形的面积之和．
假设 S =“1”，由于 D 是 BC 上的三等分点，可知 S =“2”（如图 2 所示）．
△CPD △BPD
S AF S BD
由燕尾模型可得 △APC = =2，所以 S =“6”；而 △ABP = =2，所以
S FB △APC S DC
△BPC △ACP
S =“12”（如图 3 所示）．
△ABP
1
因此，整个 △ABC 的面积是 “12”+“6”+“2”+“1”=“21”，则 “1”= ，即
21
1
S = ．
△CPD 21
1 1 1
类似地，小 △BNF 和小 △AME 的面积都是 ，那么阴影部分的面积就是 ×3= ．
21 21 7
15. 如右图，三角形 ABC 中，AF:FB=BD:DC=CE:AE=3:2，且三角形 GHI 的面积
是 1，求三角形 ABC 的面积．
【答案】 19
【分析】 连接 BG．S =6 份．
△AGC
根据燕尾模型，
S :S =AF:FB=3:2=6:4,
△AGC △BGC
S :S =BD:DC=3:2=9:6.
△ABG △AGC
得
S =4(份),S =9(份),
△BGC △ABG
则 S =19（份），因此
△ABC
S 6
△AGC = .
S 19
△ABC
同理连接 AI、CH．
得
S 6 S 6
△ABH = , △BIC = ,
S 19 S 19
△ABC △ABC
所以
S 19-6-6-6 1
△GHI = = .
S 19 19
△ABC
三角形 GHI 的面积是 1，所以三角形 ABC 的面积是 19．16. 如图，三角形 ABC 中，BD:DC=3:4，AE:CE=5:6，求 AF:FB．
【答案】 10:9
【分析】 方法1：根据燕尾模型得 S :S =BD:CD=3:4=15:20
ΔAOB ΔAOC
S :S =AE:CE=5:6=15:18（都有 △AOB 的面积要统一，所以找最小公倍数），
△AOB △BOC
所以 S :S =20:18=10:9=AF:FB．
△AOC △BOC
BD CE 3 6 9
方法2：如果你能记住赛瓦定理的内容，则 × = × = ．
DC EA 4 5 10
BD CE AF AF 9 10
由赛瓦定理： × × =1，则 =1÷ =
DC EA FB FB 10 9
17. 如图，等腰直角三角形 DEF 的斜边在等腰直角三角形 ABC 的斜边上，连接 AE、AD、
AF，于是整个图形被分成五块小三角形．图中已标出其中三块的面积，那么三角形 ABC 的
面积是 ．【答案】 36
【分析】 方法一：延长 AD 交 BC 于点 M，连接 BD、CD，应用燕尾模型，
得
2 3
S = ,S = ,
1 5 2 5
再由蝴蝶模型，S =S ，所以
△BDE △ADE
2 12
S =2+ = ,
△BDM 5 5
18
同理 S = ，而
△CDM 5
2
MD:DA= :2=1:5,
5
所以 S =5S ，同理 S =5S ，所以
△ABD △BDM △ACD △CDM
(12 18)
S =6S =6× + =36.
△ABC △BDC 5 5方法二：由于等腰直角三角形 DEF 的面积是 1，所以 EF＝2，而
S =1+2+3=6,
△AEF
所以等腰直角 △ABC 的高为
6×2÷2=6,
所以 △ABC 的面积是
6×6÷2×2=36.
