文档内容
几何-直线型几何-蝴蝶模型-5 星题
课程目标
知识点 考试要求 具体要求 考察频率
蝴蝶模型 C 1.了解蝴蝶模型及其公式 少考
2.能够熟练运用任意四边形蝴蝶模
型和梯形蝴蝶模型的来解决复杂的
几何知识
知识提要
蝴蝶模型
任意四边形蝴蝶模型
（1）S :S =S :S
1 2 4 3
（2）OA:OC=(S +S ):(S +S )
1 2 4 3
梯形蝴蝶模型
（1）S =S
2 4
（2）S :S =S :S
1 2 4 3
（3）S :S :S :S :S =a2:b2:ab:ab:(a+b) 2
1 3 2 4 梯形精选例题
蝴蝶模型
1. 如图，ABCD 是一个四边形，M、N 分别是 AB、CD 的中点．如果 △ASM、△MTB
与 △DSN 的面积分别是 6、7 和 8，且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形
ABCD 的面积为 ．
【答案】 60
【分析】 连接 MN、AC、BD．由于 M 是 AB 的中点，所以 △AMN 与 △BMN 的面积相等，而 △MTB 比 △ASM
的面积大 1，所以 △MSN 比 △MTN 的面积大 1；又由于 N 是 CD 的中点，所以
△DMN 的面积与 △CMN 的面积相等，那么 △CTN 的面积比 △DSN 的面积大 1，所以
△CTN 的面积为 9．
假设 △MTN 的面积为 a，则 △MSN 的面积为 a+1．根据几何五大模型中的蝴蝶定理，
48 63
可知 △ASD 的面积为 ，△BTC 的面积为 ．
a+1 a
要使这两个三角形的面积为整数，a 可以为 1，3 或 7．
由于 △ADM 的面积为 △ABD 面积的一半，△BCN 的面积为 △BCD 面积的一半，所以
△ADM 与 △BCN 的面积之和为四边形 ABCD 面积的一半，所以 △ADM 与 △BCN
的面积之和等于四边形 BMDN 的面积，即：
48 63 48 63
+6+ +9=7+a+a+1+8，得 + =2a+1．
a+1 a a+1 a
将 a=1、3、7 分别代入检验，只有 a=7 时等式成立，所以 △MTN 的面积为7，△MSN
、△ASD、△BTC 的面积分别为 8、6、9．
四边形 ABCD 的面积为 (6+7+8+9)×2=60．
小结：本题中“且图中所有三角形的面积均为整数”这个条件是多余的．
2. 下图中，四边形 ABCD 都是边长为 1 的正方形，E、F、G、H 分别是 AB，BC，
m
CD，DA 的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数 ，那么，
n
(m+n) 的值等于 ．【答案】 5
【分析】 左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现
两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积．
如下图所示，在左图中连接 EG．设 AG 与 DE 的交点为 M．
1
左图中 AEGD 为长方形，可知 △AMD 的面积为长方形 AEGD 面积的 ，所以
4
1 1 1
三角形 AMD 的面积为 12× × = ．又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左
2 4 8
1 1
图中阴影部分的面积为 1- ×4= ．
8 2
如上图所示，在右图中连接 AC、EF．设 AF、EC 的交点为 N．1
可知 EF∥AC 且 AC=2EF．那么三角形 BEF 的面积为三角形 ABC 面积的 ，
4
1 1 1 1 1 3
所以三角形 BEF 的面积为 12× × = ，梯形 AEFC 的面积为 - = ．
2 4 8 2 8 8
在梯形 AEFC 中，由于 EF:AC=1:2，根据梯形蝴蝶定理，其四部分的面积比为：
3 1 1
12:1×2:1×2:22=1:2:2:4，所以三角形 EFN 的面积为 × = ，那么四边
8 1+2+2+4 24
1 1 1
形 BENF 的面积为 + = ．而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴
8 24 6
1 1
影部分的面积为 1- ×4= ．
6 3
1 1 m 3
那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为 : =3:2，即 = ，那么
2 3 n 2
m+n=3+2=5．
3. 如图，长方形 ABCD 的面积是 36，E 是 AD 的三等分点，AE=2ED，则阴影部分的
面积为 ．
【答案】 2.7
【分析】 如图，连接 OE．1
根据蝴蝶定理，ON:ND=S :S = S :S =1:1，所以
△COE △CDE 2 △CAE △CDE
1
S = S ；
△OEN 2 △OED
1 1
OM:MA=S :S = S :S =1:4，所以 S = S ．
△BOE △BAE 2 △BDE △BAE △OEM 5 △OEA
1 1
又 S = × S =3，S =2S =6，所以阴影部分面积为：
△OED 3 4 矩形ABCD △OEA △OED
1 1
3× +6× =2.7．
2 5
4. 如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别在 BC 与 CD 上，且 CE=2BE，CF=2DF，
连接 BF、DE，相交于点 G，过 G 作 MN、PQ 得到两个正方形 MGQA 和 PCNG，
设正方形 MGQA 的面积为 S ，正方形 PCNG 的面积为 S ，则 S :S =
1 2 1 2
．
【答案】 9:4
【分析】 连接 BD、EF．设正方形 ABCD 边长为 3，则
CE=CF=2,BE=DF=1,
所以，
EF2=22+22=8,BD2=32+32=18.
因为
EF2 ⋅BD2=8×18=144=122,
所以
EF⋅BD=12.
由梯形蝴蝶定理，得
S :S :S :S
△GEF △GBD △DGF nBGEEF2:BD2:EF⋅BD:EF⋅BD¿=¿8:18:12:12¿=¿4:9:6:6,¿
¿
所以，
6 6
S = S = S .
△BGE 4+9+6+6 梯形BDFE 25 梯形BDFE
因为
9
S =3×3÷2= ,S =2×2÷2=2,
△BCD 2 △CEF
所以
5
S =S -S = ,
梯形BDFE △BCD △CEF 2
所以，
6 5 3
S = × = .
△BGE 25 2 5
由于 △BGE 底边 BE 上的高即为正方形 PCNG 的边长，所以
3 6
CN= ×2÷1= ,
5 5
6 9
ND=3- = ,
5 5所以
AM:CN=DN:CN=3:2,
则
S :S =AM2:CN2=9:4.
1 2
5. 如图，在一个边长为 6 的正方形中，放入一个边长为 2 的正方形，保持与原正方形的边
平行，现在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点，形成了图中的阴影图形，那
么阴影部分的面积是多少？
【答案】 14
【分析】 本题中小正方形的位置不确定，所以可以通过取特殊值的方法来快速求解，
也可以采用梯形蝴蝶模型来解决一般情况．
解法一：取特殊值，使得两个正方形的中心相重合，如右图所示，图中四个空白三角形的高均
为 1.5，因此空白处的总面积为 6×1.5÷2×4+2×2=22，阴影部分的面积为
6×6-22=14．
解法二：连接两个正方形的对应顶点，可以得到四个梯形，这四个梯形的上底都为 2，下底都
为 6，上底、下底之比为 2:6=1:3，根据梯形蝴蝶模型，这四个梯形每个梯形中的四个小三
角形的面积之比为 12:1×3:1×3:32=1:3:3:9，所以每个梯形中的空白三角形占该梯形面9 7
积的 ，阴影部分的面积占该梯形面积的 ，所以阴影部分的总面积是四个梯形面积之和
16 16
7 7
的 ，那么阴影部分的面积为 ×(62-22 )=14．
16 16
6. 如图，在三角形 ABC 中，AF=2BF，CE=3AE，CD=2BD．连接 CF 交 DE 于
EP
P 点，求 的值．
DP
9
【答案】
4
【分析】 连接 DF、FE．
因为 AF=2BF，所以
1 1
S = S = S .
△BFC 2+1 △ABC 3 △ABC
又因为 CD=2BD，所以
2 2 1 2
S = S = × S = S .
△DFC 2+1 △BFC 3 3 △ABC 9 △ABC
因为 AF=2BF，所以
2 2
S = S = S .
△AFC 2+1 △ABC 3 △ABC又因为 CE=3AE，所以
3 3 2 1
S = S = × S = S .
△EFC 1+3 △AFC 4 3 △ABC 2 △ABC
所以
1
×S
EP S 2 △ABC 9
= △FEC = = .
PD S 2 4
△EFD ×S
9 △ABC
7. 如图，边长为 1 的正方形 ABCD 中，BE=2EC，CF=FD，求三角形 AEG 的面积．
2
【答案】
7
【分析】 连接 EF．
因为 BE=2EC，CF=FD，所以S
△≝¿=(1
×
1
×
1)S
=
1
S .¿
2 3 2 ▫ABCD 12 ▫ABCD
因为
1
S = S ,
△AED 2 ▫ABCD
根据蝴蝶模型，
1 1
AG:GF= : =6:1,
2 12
所以
S =6S
△AGD △GDF
6 1
¿ = × S
7 4 ▫ABCD
¿ ¿
所以
S =S -S
△AGE △AED △AGD
2
¿ = S
7 ▫ABCD
¿ ¿
2
即三角形 AEG 的面积是 ．
7
8. 如图所示，在正方形 ABCD 内，红色、绿色正方形的面积分别是 48 和 12，且红、绿
两个正方形有一个顶点重合．黄色正方形的一个顶点位于红色正方形两条对角线的交点，另一
个顶点位于绿色正方形两条对角线的交点．那么黄色正方形的面积是多少？【答案】 27
【分析】 由于黄色正方形的两个顶点分别在红色正方形和绿色正方形的中心，所以红
色正方形与黄色正方形重合部分的面积为
1
×48=12
4
绿色正方形与黄色正方形重合部分的面积为
1
×12=3
4
黄色正方形可分为 4 部分，如右上图所示，除了与其它两个正方形重合的两个部分，另外两
个部分的面积相等，设为 a．在其中可类似运用四边形中的蝴蝶定理，可得
a2=12×3=36=62
所以 a=6．
所以黄色正方形的面积为
12+3+6×2=27
9. 如图，等腰直角三角形 DEF 的斜边在等腰直角三角形 ABC 的斜边上，连接 AE、AD、
AF，于是整个图形被分成五块小三角形．图中已标出其中三块的面积，那么三角形 ABC 的
面积是 ．【答案】 36
【分析】 方法一：延长 AD 交 BC 于点 M，连接 BD、CD，应用燕尾模型，
得
2 3
S = ,S = ,
1 5 2 5
再由蝴蝶模型，S =S ，所以
△BDE △ADE
2 12
S =2+ = ,
△BDM 5 5
18
同理 S = ，而
△CDM 5
2
MD:DA= :2=1:5,
5
所以 S =5S ，同理 S =5S ，所以
△ABD △BDM △ACD △CDM
(12 18)
S =6S =6× + =36.
△ABC △BDC 5 5方法二：由于等腰直角三角形 DEF 的面积是 1，所以 EF＝2，而
S =1+2+3=6,
△AEF
所以等腰直角 △ABC 的高为
6×2÷2=6,
所以 △ABC 的面积是
6×6÷2×2=36.
10. 如图，已知 D 是 BC 中点，E 是 CD 的中点，F 是 AC 的中点．三角形 ABC 由
① ～ ⑥ 这 6 部分组成，其中 ② 比 ⑤ 多 6 平方厘米．那么三角形 ABC 的面积是多少
平方厘米？
【答案】 48
【分析】 因为 E 是 DC 中点，F 为 AC 中点，有 AD=2FE 且 EF 平行于
AD，则四边形 ADEF 为梯形．在梯形 ADEF 中有 ③=④，②×⑤=③×④，
②:⑤=AD2:FE2=4．
又已知 ②-⑤=6，所以 ⑤=6÷(4-1)=2，②=⑤×4=8，所以 ②×⑤=④×④=16，
而 ③=④，所以 ③=④=4，梯形 ADEF 的面积为 ②、③、④、⑤ 四块图形的面积和，
为 8+4+4+2=18．
有 △CEF 与 △ADC 的面积比为 CE 平方与 CD 平方的比，即为 1:4．所以 △ADC
4 4 4
面积为梯形 ADEF 面积的 = ，即为 18× =24．
4-1 3 3
因为 D 是 BC 中点，所以 △ABD 与 △ADC 的面积相等，而 △ABC 的面积为 △ABD、
△ADC 的面积和，即为 24+24=48(平方厘米)．三角形 ABC 的面积为 48 平方厘米．
