文档内容
理论攻坚-数学运算 2
（讲义+笔记）
主讲教师：尹燕
授课时间：2021.01.02
粉笔公考·官方微信理论攻坚-数学运算 2（讲义）
第四节 工程问题
一、给完工时间型。
【例 1】（2019 深圳辅警）小志 12 分钟可以打扫完一间教室，小红需要 15
分钟才能打扫完。现在两人同时开始打扫教室，小红中途因故离开，小志又单独
打扫了 3分钟才完成，小志共打扫了（ ）分钟。
A.6 B.7
C.8 D.9
【例 2】（2017联考）单独完成某项工程，甲队需要 36天，乙队需要 30天，
丙队需要 32 天。如果安排合作施工，按照甲乙、乙丙、丙甲、甲乙……的顺序
按天轮转，问完成这项工作时，甲工作了多少天？（ ）
A.11 天整 B.11天多
C.12 天整 D.12天多
二、给效率比例型。
【例 3】（2017 临汾）甲、乙、丙三个施工队共同完成一项工程需要 6 天时
间，如果甲与乙的效率之比为 4：3，乙与丙的效率之比为 2：1，则乙单独完成
这项工程需要（ ）天。
A.12 B.17
C.24 D.32
【例 4】（2019联考）一项工程，乙队单独完成所花的时间是甲队的 1.5倍。
1若甲队单独做 20 天后，两队合做还需要 60 天刚好完成；若甲队单独做 x 天后，
由乙队单独再做 y天也刚好完成。则下列关系正确的是（ ）。
A.2y=3x B.3x=4y
C.x=120–2y D.y=180–1.5x
【例 5】（2017辛集）某中学要修缮操场，工程队 8个人用 30天完成了工作
量的1/3，接着又增加了4个人一起完成剩余的工作量，那么完成操场修缮共用
了多少天？（ ）
A.70 B.72
C.78 D.90
三、给具体量型。
【例 6】（2018 联考）甲、乙两名工匠共同完成 600 件礼品包装，甲每天比
乙多完成 10 件，第 4 天乙因病请假一天，最终共用了 9 整天完成了全部工作。
问甲、乙两人共同工作一天能完成多少件礼品包装？（ ）
A.64 B.70
C.72 D.80
第五节 行程问题
一、基础行程
【例 1】（2019 长江海事）甲、乙两人每日一起晨跑，甲每天比乙多跑 200
米。某年 11 月 1—12 日甲出差未晨跑，当月甲晨跑的总距离刚好是乙的 2/3，
问11月乙晨跑的总距离为多少千米？（ ）
A.48 B.51
C.54 D.57
2【例 2】（2018 联考）运输工人将装满原材料的推车从库房推往厂房，并将
空车推回库房。推车装满原材料和空车时，工人推车行走的速度分别为 72米/分
和120米/分，不计装卸材料的时间，累计 8小时正好可以推车 30个来回。问库
房到厂房的距离为多少米？（ ）
A.480 B.540
C.720 D.900
二、相对行程
【例 3】（2019宜兴）甲、乙两辆车从 A地出发，同向而行，甲每小时走 45
千米，乙每小时走 60 千米。若甲车比乙车早出发 2 小时，则乙车追上甲车需要
（ ）。
A.6 小时 B.7小时
C.8 小时 D.9小时
【例 4】（2016 联考）汽车以每小时 54 千米的速度笔直地开向峭壁，驾驶
员按一声喇叭，6秒后听到回声，已知声音的速度是每秒340米，问听到回声时，
汽车离峭壁的距离是多少米？（ ）
A.975 B.1020
C.1065 D.1155
【例 5】（2017汕尾）小李和小麦两人从同一起跑线上绕 400米环形跑道跑
步，小李的速度是 8 米/秒，小麦的速度 16 米/秒，问第二次追上小麦时小李跑
了几圈？（ ）
A.10 B.8
C.6 D.4
3【例 6】（2019 江阴）两名运动员在长 100 米的跑道上练习跑步，甲的速度
是 8.5m/s，乙的速度是 7.5m/s。两人同时从跑道的两端相向运动做折返跑，不
计运动员加速时间及转向时间，则起跑后的1分钟内，两人共相遇了（ ）次。
A.3 B.4
C.5 D.6
【例 7】（2018 天津）一条小船顺流而下航行 36 公里达到目的地。已知小
船返回时多用了 1 小时 30 分，小船在静水中的速度为 10 公里/时，问水流速度
是多少？
A.8 公里/时 B.6公里/时
C.4 公里/时 D.2公里/时
三、比例行程
【例 8】（2019 河北）甲乙丙三人都始终以匀速进行400 米赛跑，当甲冲过
终点时，领先乙50米，领先丙 120米。当已到达终点时，领先丙多少米？（ ）
A.40 米 B.70米
C.80 米 D.90米
4理论攻坚-数学运算 2（笔记）
第四节 工程问题
一、给完工时间型。
【知识点】工程问题：是大家不陌生的，小学最早学习应用题时接触过工
程问题，如一项工作，甲用4 天完成，乙用6天完成，问甲、乙合作用多长时
间完成，实际是干活，由于大家有基础，掌握课上内容，是考场上可以得分的
题型，课上认真来听，尽量当堂掌握。围绕核心基本公式展开。
1.三量关系：总量=效率*时间。考试时可能涉及三量转化，知道工作总量、
工作时间，可以求工作效率，工作效率=工作总量/时间；知道总量、效率，也
可以求出时间，时间=工作总量/工作效率。
2.考查题型：
（1）给完工时间型（简单）。
（2）给效率比例型（重点），考查形式多，是备考重点。
（3）给具体单位型（简单）。
3.给完工时间型，给出多个完工时间，完成工作的时间，只给时间，没有
提及是否完成工作，则不是给完工时间，给完工时间特指给出多个完工时间，
站在言语的角度理解，只有一个时间不是多个完工时间，这里的多个完工时间
必须≥2个完工时间，三步走。
（1）赋总量（完工时间的公倍数）。
（2）算效率：效率=总量/时间。
（3）根据工作过程列式计算。
4.完成一项工作，甲需要 4小时，乙需要6小时，现甲乙合作需要多久完
成？
答：“甲需要4小时，乙需要 6小时”，前面是完成一项工作，是给了两个
完工时间，是给完工时间型。小学老师会苦口婆心告知大家，无论如何都将工
作总量赋值为1，工作总量是 1，甲的工作效率是1/4，乙的工作效率是 1/6，
工作总量/效率和=1÷（1/4+1/6），出现1/4、1/6，是分数运算，需要拓展思
维，考场上，为了节约时间，避免出现分数、小数，总量建议赋值为完工时间
5的公倍数，这里完工时间是 4、6，可以赋值为 12。效率=总量/时间，甲效率
=12/4=3，乙效率=12/6=2，根据工作过程列式计算，12/（3+2）=2.4，数字比
较小时，二者乘积一定是其公倍数，可以假设总量为 4*6=24，甲效率=24/4=6，
乙效率=24/6=4，根据工作过程列式计算，只需要用工作总量/工作效率和=24/
（6+4）=2.4。
5.最小公倍数，短除法——分解到两两互质为止，互质指除了 1以外无公
约数。
（1）12和18，约6得2、3，2和3互质，将外层相乘得 12和18最小公
倍数=6*2*3=36。
（2）12、18、27，约 3 得4、6、9；4和6有公约数2，约 2得2、3、9；
2和3除了1没有公约数，3 和9有公约数3，约3得2、1、3，2、1、3两两
互质，则12、18、27最小公倍数为外侧所有数乘积=3*2*3*2*1*3=108。
【例 1】（2019 深圳辅警）小志 12 分钟可以打扫完一间教室，小红需要 15
分钟才能打扫完。现在两人同时开始打扫教室，小红中途因故离开，小志又单独
打扫了 3分钟才完成，小志共打扫了（ ）分钟。
A.6 B.7
C.8 D.9
【解析】例1.先分析题干，打扫完教室是让大家干活，属于工程问题，相当
6于给多个完工时间，是给完工时间型，将总量假设为 12、15 的公倍数，最小公
倍数是 60，或短除法，提取公约数 3，剩余 4、5，最小公倍数为 3*4*5=60；算
效率，小志效率是 60/12=5，小红效率是 60/15=4，接下来可以列式求解，根据
第三个条件列式求解，问的是小志打扫的时间，假设小志打扫 t分钟，完成工作
量为 5t；小红中途离开 3 分钟，小志又打扫 3 分钟完成，说明小红比小志少打
扫 3 分钟，小红工作时间为 t-3，小红完成的工作量是 4（t-3），他俩将整个教
室打扫完了，5t+4*（t-3）=60，9t-12=60，9t=72，t=8，对应 C项。【选C】
【例 2】（2017联考）单独完成某项工程，甲队需要 36天，乙队需要 30天，
丙队需要 32 天。如果安排合作施工，按照甲乙、乙丙、丙甲、甲乙……的顺序
按天轮转，问完成这项工作时，甲工作了多少天？（ ）
A.11 天整 B.11天多
C.12 天整 D.12天多
【解析】例 2.给出三个完工时间，属于给完工时间型，赋总量、算效率、列
式求解，“甲队需要 36 天，乙队需要 30 天，丙队需要 32 天”是 3 个完工时间。
（1）赋总量，短除法找最小公倍数，约 2得18、15、16；18 和15有公约数3，
约3得 6、5、16；6和16有公约数 2，约2得3、5、8，3、5、8两两互质，36、
30、32最小公倍数=2*3*2*3*5*8=1440。（2）算效率，甲效率=1440/36=40；乙效
率=1440/30=48；丙效率=1440/32=45。（3）列式求解，“按照甲乙、乙丙、丙甲、
甲乙……的顺序按天轮转”，甲乙效率和为 40+48=88；乙丙效率和=48+45=93；丙
甲效率和=45+40=85。一个循环完成的工作量之和=88+93+85=266，工作总量为
71440，1440/266=5……110，关键要理解 5、110的含义，一个循环完成 226份工
作量，5代表5个循环，即5轮，110代表剩余110工作量，一个完整的周期（甲
乙、乙丙、丙甲）中甲工作 2 天，则 5 个周期甲工作 5*2=10 天，剩余的 110 工
作量，先由甲乙合作一天，这一天完成 88 份，还剩 110-88=22 份，乙丙合作不
到1天即可完成，则甲共工作 10+1=11天，对应A项。【选A】
二、给效率比例型。
【知识点】给效率比例型（给多个效率的比例关系）：题目给的是效率的
比例关系。
81.方法：
（1）赋效率（满足比例即可）。
（2）算总量：效率*时间=总量。
（3）根据工作过程列式计算。
2.例如一项工作，甲乙工作时的效率之比为 5：2，两人合作 6 天可以完
工，问乙单独工作需多少天完工？
答：题目只给了一个完工时间，不能划为给定完工时间型，题目给了还工
作效率，（1）赋效率，“甲乙工作时的效率之比为 5：2”，效率满足比例关系即
可，赋值甲工作效率为5，乙工作效率为 2。（2）算总量，“两人合作 6天可以
完工”，（5+2）*6=42。（3）根据工作过程列式计算，t=42/2=21天。
3.形式：
（1）直接给：
①甲乙的效率之比为3：4，赋值的效率满足效率比例即可，赋值甲效率为
3，乙效率为4。
②甲的效率是乙的75%，出现百分数，要化成最简分数，即分子、分母除
了1以外没有公约数的分数，甲=乙*75%=乙*3/4→甲/乙=3/4。
（2）间接给：
①相同的工作，甲4天的工作量等于乙 3天的工作量相同的工作，出现时
间 4 天、3 天，没有说完成工作，不属于给完工时间型，根据它列等式，4 甲
=3 乙，甲/乙=3/4，转化为比例关系，设甲效率为 3，乙效率为 4。工作量相
同，开始时按部就班找工作量关系。比例掌握得好可以直接赋值，或列式推导。
②甲完成工作时乙只完成了一半，完成的工作时间一样，假设时间均为 t，
甲完成了全部工作，甲完成得多，1/2*甲效率*t=乙效率*t，消去 t，甲效率/
乙效率=2/1，赋值甲效率为2，乙效率为1。
（3）特殊型——给多个人或多台机器：50个工人，36台收割机，现实生
活中，出现工人，现实中工人效率不同，有工作熟练的，也有刚刚参加工作的，
现实生活中效率不同，一个人赋值一个效率，50个工人有50个效率，计算量
大，默认为每个人每天工作效率一样，赋值每个人/每台机器效率为 1，赋值1
更好算，是硬性规定。
9【例 3】（2017 临汾）甲、乙、丙三个施工队共同完成一项工程需要 6 天时
间，如果甲与乙的效率之比为 4：3，乙与丙的效率之比为 2：1，则乙单独完成
这项工程需要（ ）天。
A.12 B.17
C.24 D.32
【解析】例3.“甲与乙的效率之比为 4：3，乙与丙的效率之比为 2：1”，共
同完成一项工作需要 6天时间，这里仅有 1个完工时间，不满足多个完工时间的
要求，不是给完工时间型。题目出现甲、乙工作效率之比是 4：3，乙、丙工作效
率之比是 2：1，可以赋值效率，这两组比例都与乙有关，赋值乙的工作效率为 6，
则甲效率为 8，丙效率为3。（2）算总量：“甲、乙、丙三个施工队共同完成一项
工程需要 6天时间”，（8+6+3）*6=17*6。（3）根据工作过程列式求解，乙单独工
作时间 t=工作总量/工作效率=（17*6）/6=17天，对应B项。【选 B】
【例 4】（2019联考）一项工程，乙队单独完成所花的时间是甲队的 1.5倍。
若甲队单独做 20 天后，两队合做还需要 60 天刚好完成；若甲队单独做 x 天后，
由乙队单独再做 y天也刚好完成。则下列关系正确的是（ ）。
A.2y=3x B.3x=4y
C.x=120–2y D.y=180–1.5x
【解析】例4.本题有难度，属于间接给，乙队单独完成所花的时间是甲队的
101.5倍，这项工作甲、乙都完成了，属于相同的工作量，完成的工作量相同，设
甲队完成工作时间为 t，乙队完成工作时间为 1.5t，总工作量：乙效率*1.5t=甲
效率*t，消去t，甲效率/乙效率=1.5=3/2，（1）赋值效率，设甲效率为 3，乙效
率为 2，尽量用整数；（2）算总量，根据第二个条件，3*20+（3+2）*60=360，
3x+2y=360，（3）根据条件 3列式求解，工作总量：3x+2y=360，选项要找x、y的
关系，等式有常数，无法消去，排除 A、B项；剩二代一，y用 x表示，2y=360-
3x，两边同除以 2，y=180-1.5x，对应 D项（若不同，则选C 项）。【选D】
【例 5】（2017辛集）某中学要修缮操场，工程队 8个人用 30天完成了工作
量的1/3，接着又增加了4个人一起完成剩余的工作量，那么完成操场修缮共用
了多少天？（ ）
A.70 B.72
C.78 D.90
【解析】例 5.“工程队 8 个人……又增加了 4 个人”，题干出现 8 个人、4
个人，属于出现了多个人，即若干个人，是特殊型，硬性规定，（1）赋效率：假
设每人每天的效率为 1份；（2）算总量：8*1*30÷1/3=720；（3）列式求解：“增
加了 4 个人一起完成剩余的工作量”，设完成剩余工作量需要 t 天，（8+4）
*1*t=720*（1-1/3）=480，12t=480，解得t=40，选项中没有 40，方程法中，求
解的未知数要看是否是题目最终要的结果，问题问的是“完成操场修缮共用了多
少天”，t=40 是完成剩余的工作需要的天数，则总工作时间=30+40=70 天，对应
A项。【选 A】
11三、给具体量型。
【知识点】给具体带单位数值型（具体效率或工作量）。必须给的是具体
的工作效率或具体的工作量，给时间的不算，前面讲解给完工时间型，用的不
是这一方法。
1.设未知数。
2.根据工作过程列方程。
【例 6】（2018 联考）甲、乙两名工匠共同完成 600 件礼品包装，甲每天比
乙多完成 10 件，第 4 天乙因病请假一天，最终共用了 9 整天完成了全部工作。
问甲、乙两人共同工作一天能完成多少件礼品包装？（ ）
A.64 B.70
C.72 D.80
【解析】例 6.“甲、乙两名工匠共同完成 600 件礼品包装”，600 件是带单
位的具体工作量，本题为给具体带单位数值，设未知数列方程。“甲每天比乙多
完成 10 件”，设小不设大，设乙的工作效率为 x 件，则甲的工作效率为（x+10）
件。“共用了9整天完成了全部工作”，这 9天甲都在工作，甲完成的工作量为 9*
（x+10），“第 4 天乙因病请假一天”，说明乙工作了 8 天，乙共完成工作量 8x，
“最终共用了 9整天完成了全部工作”，9*（x+10）+8x=600，17x+90=600，解得
12x=30，甲=x+10=40。问甲、乙两人共同工作一天能完成多少件礼品包装，甲+乙
=40+30=70，对应B项。【选B】
【注意】工程问题：
1.给完工时间型（多个完工时间）：
（1）先赋总量(完工时间的公倍数)。
（2）再算效率=总量/时间。
（3）根据工作过程列方程。
2.给效率比例型：
（1）先赋效率(满足比例即可)。
（2）再算总量=效率*时间。
（3）根据工作过程列方程。
3.给具体带单位数值型，设未知数,找等量关系列方程。
第五节 行程问题
【知识点】行程问题：是备考的重点，考查相对较多，数量关系除了行程问
题，其他题型基本每年只考查 1 道题，而行程问题每年考查 2～3 道题。行程问
题变化形式比较多，意味着分析过程复杂，刚刚开始做行程问题时，建议画行程
图，思路会更清晰，如果有同学做题做得多，后面多练习，时间长了行程图就会
印在大家的脑海中。万变不离其宗，围绕基本公式（路程=速度*时间）展开。
131.三量关系：路程=速度*时间。
2.考查题型：
（1）基础行程（基础）。
（2）相对行程（备考重点，考频最高）。
（3）比例行程（一种技巧，让做题更快）。
3.基础行程：
（1）基本公式考查：路程=速度*时间。S=V*t，V=S/t，t=S/V。注意单位的
换算。
①路程的单位：一般是公里、千米、米，1公里=1千米=1000米。
②时间的单位：1小时=60 分=3600秒。
③速度：千米/小时、米/秒，1 千米/小时=1000 米/3600 秒=1/3.6 米/秒，
1米/秒=1/1000千米÷（1/3600 小时）=3.6千米/小时。千米/小时比米/秒单位
大，从大到小是除以 3.6，米/秒比千米/小时单位小，从小到大乘以 3.6。
（2）等距离平均速度。
【例 1】（2019 长江海事）甲、乙两人每日一起晨跑，甲每天比乙多跑 200
米。某年 11 月 1～12 日甲出差未晨跑，当月甲晨跑的总距离刚好是乙的 2/3，
问11月乙晨跑的总距离为多少千米？（ ）
A.48 B.51
C.54 D.57
【解析】例1.涉及晨跑的总距离，求路程 S=V*t，设乙每天跑 x米，则甲每
天跑 x+200 米，11 月一共 30 天，乙 30 天跑 30x 米，甲有 12 天没有跑，甲跑
（x+200）*（30-12），（x+200）*（30-12）=30x*2/3=20x，18x+3600=20x，x=1800，
题目问晨跑的总距离，为 30x=30*1800=54000米=54千米，对应 C项。【选C】
【知识点】等距离平均速度（平均速度）：平均速度=总路程/总时间。
1.例：甲从A地到B地的速度为 V，从B地到A地的速度为 V。问：甲往返
1 2
两地的平均速度为多少？
答：从A地到B地、从B 地到A地路程相同，设AB距离为 S，V̅=S /t =2S
总 总
14÷[（S/V）+（S/V）]=2÷（1/V +1/V）=2÷（V+V）/（VV）=2VV/（V+V）。
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2.公式：V̅=2VV/（V+V）。
1 2 1 2
3.适用于：
（1）直线往返。
（2）等距离两段，例如B 是AC的中点，AB=BC，某人从 A地到C地，AB 段
速度为 V，BC 速度为 V，求走 AC 的平均速度，AB=BC，可以用等距离平均速度
1 2
公式。
（3）上下坡往返。例如某人从 A 到 C 再到 B，上坡对应 AC，下坡对应 CB；
原路返回，从 B 到 C 再到 A，BC 段为上坡，CA 为下坡，则上坡总路程为 AC+BC，
下坡总路程为 CB+CA，二者和相等，也是等距离往返，可以用等距离平均速度公
式。
【例 2】（2018 联考）运输工人将装满原材料的推车从库房推往厂房，并将
空车推回库房。推车装满原材料和空车时，工人推车行走的速度分别为 72米/分
和120米/分，不计装卸材料的时间，累计 8小时正好可以推车 30个来回。问库
房到厂房的距离为多少米？（ ）
A.480 B.540
C.720 D.900
【解析】例 2.求库房到厂房的距离 S，有两种思路。
15方法一：知道累计 8小时正好可以推车 30个来回，t=S/V，一个来回的时间
为S/72+S/120，30个来回为（S/72+S/120）*30=8*60分钟，S/72+S/120=16，方
程含有分数，属于方程不易求解，选项是所求的结果，可以代入排除，结合选项
来看，C 项最好代，从好算的开始代入，720 是 72、120 的公倍数，
720/72+720/120=10+6=16，等式成立，当选。
方法二：出现来回，意思是往返，看到往返，想到等距离平均速度的直线往
返问题，先从库房到厂房，再从厂房返回库房走的均是 S，一个往返等距离平均
速度V̅=2VV/（V+V）=2*72*120/（72+120）=2*72*120/192=90，一个往返走的
1 2 1 2
总路程 S =V̅*t，2S=90*16，S=90*8=720，对应C项。【选C】
总
二、相对行程
【注意】相对行程：考试时考查最多的是相对行程，相遇追及是重点，流水
行船相对简单。
1.相遇追及。
2.流水行船。
【知识点】相遇追及：因为变化形式较多，对于不同类型题目要运用不同
公式，因此关键是记住、运用公式。
1.直线相遇：两人同时相向而行。
（1）公式：S =V *t。
和 和
（2）推导：猫从 A 点出发，老鼠从 B 点出发，相向而行，经过时间 t 在
C点相遇，猫的速度为V，老鼠的速度为 V，路程和=猫走的路程（蓝色线段）
1 2
+老鼠走的路程（红色线段）=AC+BC=V*t+V*t，t相同，提出来，则有：路程
1 2
和=（V+V）*t=V *t。
1 2 和
16（3）例：甲乙两人从相距 100 米的直线跑道两端同时出发，相向而行，
经过20秒后相遇，已知甲的速度为 3米/秒，问：乙的速度为多少？
答：相向而行就会相遇，画图分析，核心公式：S =V *t。假设甲从 A点
和 和
出发，乙从 B 点出发，在 C 点相遇，代入数据：100=（3+V ）*20，解得 V
乙 乙
=2。
2.直线追及：两人同时同向而行。
（1）公式：S =V *t。
差 差
（2）推导：老鼠在 B 点惹火了猫，猫从 A 点追老鼠，经过时间 t 在 C 点
追上，追及路程=猫走的路程-老鼠走的路程=S =AC-BC=V*t-V*t=（V-V）*t=V
差 1 2 1 2
*t。
差
（3）例：甲乙两人从相距 10米的直线跑道同时出发，同向而行，经过 10
17秒后甲追上乙，已知甲的速度为 3米/秒，问：乙的速度为多少？
答：只要甲比乙跑得快，总能追上乙，追及问题。假设甲从 A点出发，乙
从B点出发，在C点追上，核心公式：S =V *t。路程差为 10米，则有：S
差 差 差
=AC-BC=（3-V ）*10=10，解得 V =2米/秒。
乙 乙
【例 3】（2019宜兴）甲、乙两辆车从 A地出发，同向而行，甲每小时走 45
千米，乙每小时走 60 千米。若甲车比乙车早出发 2 小时，则乙车追上甲车需要
（ ）。
A.6 小时 B.7小时
C.8 小时 D.9小时
【解析】例3.出现“追上”，判断为追及问题，列出公式：S =V *t，题目
差 差
求追及时间。速度已知，只要找到路程差就可以求出时间。画图分析，甲、乙两
辆车从 A 点出发，甲早出发 2 个小时走到 B 点，甲 2 小时走的路程为 AB 段
=45*2=90 千米；之后乙车开始发动，假设经过时间 t 在 C 点乙车追上甲车，乙
走的路程为 AC段，甲走的路程为 BC段，两者路程差：S =AC-BC=（60-45）*t=AB
差
段，90=15*t，解得t=6，对应 A 项。【选A】
【例 4】（2016 联考）汽车以每小时 54 千米的速度笔直地开向峭壁，驾驶
员按一声喇叭，6秒后听到回声，已知声音的速度是每秒340米，问听到回声时，
18汽车离峭壁的距离是多少米？（ ）
A.975 B.1020
C.1065 D.1155
【解析】例4.本题稍有难度，只要把本题弄明白，相遇和追及问题就都可以
理解了。画行程图分析，假设在 A点汽车按喇叭，有声音传出，假设 B点为峭壁，
声音传播到峭壁后反弹回来，“6秒后听到回声”，这6秒的时间内，汽车继续往
前开，同时声音反弹回来，此时驾驶员和回声是头碰头、面对面的相遇，判断为
相遇问题。列出核心公式：S =V *t，先看相遇的路程和，S =汽车走的路程+声
和 和 和
音走的路程，声音从 A 点走到 B 点又折回到 C 点（对应红色线段），汽车走的是
AC段（对应蓝色线段），S =2*AB=V *t。先把单位化统一，汽车速度为 54千米
和 和
/小时=54/3.6=15 米/秒，声音速度是 340米/秒，2*AB=（340+15）*6，解得AB=1065
米，注意不要选 C 项，题目问 CB 段，CB 段一定小于 AB 段，先排除 C、D 项；
CB=AB-AC=1065-汽车6秒走的路程=1065-15*6=975米，对应 A项。【选A】
【注意】记不住可以在考场上转化：54 千米/1 小时=（54*1000 米）/3600
秒=15米/秒。
【知识点】环形相遇（同点、反向）：
1.公式：S =V *t。
和 和
2.相遇时路程关系（关键是记结论）：相遇 1 次，S =1 圈；相遇n次，S
和 和
=n圈。
3.举例：猫和老鼠同时从 A点反向而行，猫逆时针跑，老鼠顺时针跑，经过
时间t在 B点相遇，猫走的路程是蓝色弧线，老鼠走的路程是红色弧线，相遇的
19时候路程加和正好是 1圈。从 B点继续跑，相当于两者同时从 B点出发，相向而
行，再次相遇，相遇 2次路程和就是 2圈，即相遇n次，S =n 圈。
和
【补充】（2018年内蒙古）在 400米环形跑道上，甲、乙两人同时从起点背
向练习跑步。已知甲每秒跑5 米，乙每秒跑3米。当他们第4 次相遇时，甲还需
要跑多少秒才返回起点？（ ）
A.40 B.45
C.50 D.55
【解析】补充.背向即反向，问第 4 次相遇，判定为环形多次相遇问题，核
心公式：S =V *t 。相遇 4 次，路程和就是 4 圈，已知环形跑道一圈为 400
和 和 相遇
米，路程和=4*400=（5+3）*t ，解得 t =200 秒。问第 4 次相遇时，甲还需
相遇 相遇
要跑多少秒才返回起点，甲只有跑整圈才能返回起点，甲跑一圈的时间
t=s/v=400/5=80 秒，200秒中最多可以提出 2个80秒，还剩下 40秒，跑整圈需
要80秒，还差 80-40=40秒，对应 A项。【选A】
【知识点】环形追及（同点、同向）：
1.公式：S =V *t。
差 差
2.追及时路程关系：追上 1 次，S =1圈；追上n次，S =n圈。
差 差
3.举例：
（1）结合生活中实例，同向跑类似于套圈问题。假设长跑需要跑 5000 米，
跑道一圈 400米，到最后的时候，跑得快的人比跑得慢的人有时候可以超过一圈
或者一圈多。
（2）比如猫和老鼠都从 A 点出发，顺时针跑，老鼠跑得慢，猫跑得快，跑
20过了，猫想要追上老鼠，需要跑一圈再返回 A点继续追老鼠，假设在 B点追上老
鼠。猫的路程为蓝色弧线（A点→A点→B点），老鼠的路程为红色弧线（A点→
B点），两者路程差为 1圈，追上 1次，S =1圈；追上n次，S =n圈。
差 差
（3）可以想象：在操场上，一对情侣慢慢地走，其他锻炼跑步的人跑得很
快，跑步的人在某点追上情侣，走慢的只有 AB段，跑快的是蓝色一圈再加上 AB
段，即多跑了一圈。
【例 5】（2017汕尾）小李和小麦两人从同一起跑线上绕 400米环形跑道跑
步，小李的速度是 8 米/秒，小麦的速度 16 米/秒，问第二次追上小麦时小李跑
了几圈？（ ）
A.10 B.8
C.6 D.4
【解析】例5.环形追及问题，公式：S =V *t 。已知“追上 1次，S =1
差 差 追及 差
圈，追上n次，S =n圈”，第二次追上，即 S =2圈，S =2*400=（8-6）*t ，
差 差 差 追及
解得 t =400 秒。问第二次追上小麦时小李跑了几圈，小李跑一圈的时间
追及
t=s/v=400/8=50 秒。400秒中包含 8个50秒，即8圈，对应 B项。【选B】
【知识点】直线两端同时出发多次往返相遇：
1.推导：从两端出发。
2.第 1次迎面相遇，共走 1S；第2次迎面相遇，共走3S；第 3次迎面相遇，
共走5S；第n次迎面相遇，共走 S =（2n-1）S=V *t 。S：两人起点之间的距
和 和 遇
离。
3.举例：猫从A点出发，老鼠从 B点出发，经过时间t在 C点相遇，路程和
=猫走的路程+老鼠走的路程=AB 段，设路程和AB段=S，第一次相遇路程和为 1S。
21继续走，经过时间t’在 D点相遇，路程和=猫走的所有路程（蓝色线段）+
老鼠走的所有路程（红色线段）=3S，即3个全长。
再继续走，经过 t’’时间在 E 点相遇，路程和=猫走的所有路程（蓝色线
段）+老鼠走的所有路程（红色线段）=5S，即5个全长。
推出结论，路程和是一个首项为 S，公差为 2S 的等差数列，因此第 n 次迎
面相遇，共走 S =（2n-1）S=V *t 。
和 和 遇
4.注意：过程不重要，重点是记住结论，考场上只要会套公式做题即可。
【例 6】（2019 江阴）两名运动员在长 100 米的跑道上练习跑步，甲的速度
是 8.5m/s，乙的速度是 7.5m/s。两人同时从跑道的两端相向运动做折返跑，不
计运动员加速时间及转向时间，则起跑后的1分钟内，两人共相遇了（ ）次。
A.3 B.4
C.5 D.6
【解析】例6.出现了“相遇”，并且是直线跑道，判断为直线上的多次往返
相遇问题。假设相遇了 n次，S =（2n-1）S=V *t ，代入数据，（2n-1）*100=
和 和 遇
（8.5+7.5）*t 。“1 分钟之内”即不能超过一分钟，说明相遇时间最大为 60秒。
遇
假设时间为 1分钟，此时（2n-1）*100=16*60=960，解得 n=5.3，相遇的次数不
能是小数，因此 5.3代表相遇 5 次，对应C项。【选C】
22【注意】相遇次数不能用四舍五入，即使求出来是 5.9，也没有达到 6 次，
需要舍去，只要整数部分 5。
【知识点】流水行船：难度降低。假设有上游和下游，水往低处流，如果船
往下走，水会推着船，有顺水速度；如果逆流而上，船往上走，水往下走，有逆
水速度。
1.V =V +V 。
顺 船 水
2.V =V -V 。
逆 船 水
3.注意：
（1）顺水：出现“顺流而下、上游到下游、用时短”，逆水则反过来，“逆
流而上、下游到上游、用时长”。
（2）静水速度=船速、漂流速度=水速。
【例 7】（2018 天津）一条小船顺流而下航行 36 公里达到目的地。已知小
船返回时多用了 1 小时 30 分，小船在静水中的速度为 10 公里/时，问水流速度
是多少？
A.8 公里/时 B.6公里/时
C.4 公里/时 D.2公里/时
【解析】例 7.假设从 A 到 B 是顺流而下，则返回的时候为逆流而上。已知
静水速度为 10 公里/时，设水流速度为 x，t =路程/v =30/（10+x），t =
顺水 顺水 逆水
路程/v =36/（10-x）。已知逆水比顺水多用 1小时30分=1.5 小时，则有：36/
逆水
（10+x）=36/（10-x）-1.5，列出的方程不易求解，可以用代入排除法。从小的
数字开始代，一方面是比较好算，另一方面结合生活实际，如果水流速度很快（接
近船速），一般就不会驾船出游，排除 A、B项。代入D项，36/（10+2）=3=36/
（10-2）-1.5，等式成立，D项当选。【选 D】
三、比例行程
【知识点】比例关系：考查正、反比例关系。正比例关系：一个量变大，
23另一个量也变大，即同向变化；反比例关系：一个量变大，另一个量变小，即
反向变化。比例行程是技巧型题目，掌握了技巧能够快速解题。
1.三量关系：路程=速度*时间。
2.路程一定，速度与时间成反比。假设甲、乙两人都在跑步，路程一定，
速度越快的人，用时越小，两者成反比关系，即 V /V =t /t 。
甲 乙 乙 甲
3.速度一定，路程与时间成正比。假设速度一样，跑的时间越长，跑的路
程就越远，两者成正比关系，即 S /S =t /t 。
甲 乙 甲 乙
4.时间一定，路程与速度成正比。时间一定，假设只有 10 分钟，跑的越
快的人，跑的路程越远，两者成正比关系，S /S =V /V 。
甲 乙 甲 乙
【例 8】（2019 河北）甲乙丙三人都始终以匀速进行400 米赛跑，当甲冲过
终点时，领先乙50米，领先丙 120米。当已到达终点时，领先丙多少米？（ ）
A.40 米 B.70米
C.80 米 D.90米
【解析】例8.行程问题，围绕“S=V*t”展开。“当……时……”，说明三者
时间一样，路程和速度成正比。假设甲到达终点时用时 t，甲跑的路程为 400米，
此时乙跑的路程为400-50=350米，丙跑的路程=400-120=280米。最后问乙和丙，
找到乙和丙路程和速度的关系之比，S /S =V /V =350/280=5/4，“当乙到达终
乙 丙 乙 丙
点时，领先丙多少米”，说明时间 t’也相同，乙达到终点时在原来的基础上又跑
了 50 米，设丙又跑了 x 米，则有 S ’/S ’=50/x=5/4，解得 S ’=40 米，即
乙 丙 丙
丙在原来的基础上又跑了 40米，还剩 120-40=80米，对应C 项。【选C】
24【注意】行程问题：
1.普通行程：
（1）基本公式：路程=速度*时间。
（2）平均速度：
①总路程/总时间。
②等距离平均速度=2V*V /（V+V）。
1 2 1 2
2.相对行程：
（1）相遇追及：
①相遇：S =V *T 。
和 和 遇
②追及：S =V *T 。
差 差 追
（2）多次运动：
①线形两端出发相遇：相遇 1 次，路程和 1s；相遇 n 次，路程和（2n-1）
s。
②环形相遇：相遇 1次，路程和 1圈；相遇n次，路程和 n圈。
③环形追及：追上 1次，路程差 1圈；追上n次，路程差 n圈。
（3）顺水逆水：
①顺水：V =V +V 。
顺 船 水
25②逆水：V =V -V 。
逆 船 水
3.比例行程：
（1）S一定，V、T成反比。
（2）V一定，S、T成正比。
（3）T一定，S、V成正比。
4.对于牛吃草问题，联考考查比较少，所以没有拿出来单独讲解，实在不会
的同学可以在 APP客户端搜一下，有关于牛吃草的公开课（0 元课）。
【注意】
1.很多同学觉得数量关系很难，但大多数人放弃的科目，正是弯道超车的好
机会。只有走出自己的舒适区，才能获得更大的成就！所以大家在备考的时候，
还是要抓住数量关系。
2.预习范围：第六节 经济利润（比较简单）；第七节 排列自合与概率（难
点，建议网上百度相关知识点，提前了解下）。
3.预习要求：原则上要做完每个章节至少 50%的题目。实在不会做的话，对
每节前几题要有充分的思考，熟悉题型和题意。
【答案汇总】
第四节 工程问题：1-5：CABDA；6：B；
第五节 行程问题：1-5：CCAAB；6-8：CDC
26遇见不一样的自己
Be your better self
27
