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1995年北京市第十二届“迎春杯”小学数学竞赛决赛试卷
一、填空题（共13小题，满分99分）
1．（7分）计算： ＝ ．
2．（7分）用长短相同的火柴棍摆成3×1996的方格（每一小方格的边长为一根火柴棍，如图）．
一共需用 根火柴棍．
3．（7分）如果图1使常见的一副七巧板的图；图2是用这副七巧板的七块板拼成的小房子图．
那么，第2快板的面积等于整幅图的面积的 ；第4块板的面积与第7块板的面积
的和等于整幅图的面积的 ．
4．（7分）李师傅某天生产了一批零件，他把它们分成了甲、乙两堆．如果从甲堆零件中拿15
个放到乙堆中，则两堆零件的个数相等；如果从乙堆零件中拿15个放到甲堆中，则甲堆零
件的个数是乙堆的3倍，那么，甲堆原来有零件 个，李师傅这一天共生产了零件
个．
5．（7分）如图，把A，B，C，D，E这五部分用四种不同的颜色着色，且相邻的部分不能使用同
一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色．那么，这幅图一共有 种不同的着色
方法．
第1页（共10页）6．（7分）为挖通300米长的隧道，甲、乙两个施工队分别从隧道两端同时施工．第一天甲、乙
各掘进了10米，从第二天起，甲队每天的工作效率总是前一天的2倍，乙队每天的工作效
率总是前一天的1.5倍．那么挖通这条隧道需要 天．
7．（7分）已知一串有规律的数：1， ， ， ， …．那么，在这串数中，从左往右数，第10
个数是 ．
8．（7分）比赛用的足球是由黑、白两色皮子缝制的，其中黑色皮子为正五边形，白色皮子为
正六边形，并且黑色正五边形与白色正六边形的边长相等．缝制的方法是：每块黑色皮子
的5条边分别与5块白色皮子的边缝在一起；每块白色皮子的6条边中，有3条边与黑色
皮子的边缝在一起，另3条边则与其他白色皮子的边缝在一起．如果一个足球表面上共有
12块黑色正五边形皮子，那么，这个足球应有正六边形皮子 块．
9．（7分）光明小学六年级甲、乙、丙三个班组织了一次文艺晚会，共演出14个节目．如果每
个班至少演出3个节目，那么，这三个班演出节目数的不同情况共有 种．
10．（9分）已知四边形ABCD是直角梯形，上底AD＝8厘米，下底BC＝10厘米，直角腰CD
＝6厘米，E是AD的中点，F是BC上的点，BF＝ BC，G为DC上的点，三角形DEG的
面积与三角形CFG的面积相等．那么，三角形ABG的面积是 平方厘米．
11．（9分）用70元钱买了甲、乙、丙、丁四种书，共10册．已知甲，乙，丙，丁四种书每本价格
分别为3元，5元，7元，11元，而且每种书至少买了一本．那么共有 种不同的购买
方法．
12．（9分）数1，2，3，4，…按箭头所指方向顺序排列（如图），依次在2，3，5，7，10，…等数的
位置处拐弯．
（1）如果2算作第一次拐弯，那么，第45次拐弯处的数是 ．
（2）从1978到2010的自然数中，恰在拐弯处的数是 ．
第2页（共10页）13．（9分）小于8且分母为24的最简分数共有 个；这些最简分数的和是 ．
二、解答题（请写出简要的解题过程。第一题满分21分，第二题满分21分。共21分）
14．（10分）用一批纸装订一种练习本．如果已装订120本，剩下的纸是这些纸的40%；如果
装订了185本，则还剩下1350张纸．这批纸一共有多少张？
15．（11分）如图，圆周上顺次排列着1、2、3、…、12这十二个数，我们规定：相邻的四个数a 、
1
a 、a 、a 顺序颠倒为a 、a 、a 、a ，称为一次“变换”（如：1、2、3、4变为4、3、2、1，又如：
2 3 4 4 3 2 1
11、12、1、2变为2、1、12、11）．能否经过有限次“变换”，将十二个数的顺序变为9、1、2、
3、…8、10、11、12（如图）？请说明理由．
第3页（共10页）1995 年北京市第十二届“迎春杯”小学数学竞赛决赛试
卷
参考答案与试题解析
一、填空题（共13小题，满分99分）
1．（7分）计算： ＝ 9 0 ．
【解答】解：
＝ ，
＝ ，
＝7.2× ，
＝72× ，
＝90；
故答案为：90．
2．（7分）用长短相同的火柴棍摆成3×1996的方格（每一小方格的边长为一根火柴棍，如图）．
一共需用 1397 5 根火柴棍．
【解答】解：4行一共的根数：1996×4＝7984（根）；
1997列一共的根数：3×1997＝5991（根）；
一共需用的根数：7984+5991＝13975（根）．
故答案为：13975．
3．（7分）如果图1使常见的一副七巧板的图；图2是用这副七巧板的七块板拼成的小房子图．
那么，第2快板的面积等于整幅图的面积的 ；第4块板的面积与第7块板的面积的
第4页（共10页）和等于整幅图的面积的 ．
【解答】解：（1） × ＝ ；
（2） × + × ＝ ；
答：第2快板的面积等于整副图的面积的 ；第4块板的面积与第7块板的面积的和等于
整副图的面积的 ；
故答案为： ，
4．（7分）李师傅某天生产了一批零件，他把它们分成了甲、乙两堆．如果从甲堆零件中拿15
个放到乙堆中，则两堆零件的个数相等；如果从乙堆零件中拿15个放到甲堆中，则甲堆零
件的个数是乙堆的3倍，那么，甲堆原来有零件 7 5 个，李师傅这一天共生产了零件
120 个．
【解答】解：后来乙堆零件的个数：
（15×2+30）÷（3﹣1）
＝60÷2
＝30（个）
后来甲堆零件的个数：
30×3＝90（个）
原来甲堆零件的个数：
90﹣15＝75（个）
李师傅这一天共生产的零件的个数：
30+90＝120（个）
答：甲堆原来有零件75个，李师傅这一天共生产了零件120个．
故答案为：75、120．
第5页（共10页）5．（7分）如图，把A，B，C，D，E这五部分用四种不同的颜色着色，且相邻的部分不能使用同
一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色．那么，这幅图一共有 9 6 种不同的着色
方法．
【解答】解：（1）用三种颜色，有4×6×1＝24种；
（2）如果用4种颜色，有两种涂法：
D仍与A同色，有4×6×2＝48种；
①D与A不同色，有4×6×1＝24种．
②综上所述，共有涂法24+48+24＝96种．
故答案为：96．
6．（7分）为挖通300米长的隧道，甲、乙两个施工队分别从隧道两端同时施工．第一天甲、乙
各掘进了10米，从第二天起，甲队每天的工作效率总是前一天的2倍，乙队每天的工作效
率总是前一天的1.5倍．那么挖通这条隧道需要 天．
【解答】解：甲队：10米，10×2＝20（米），20×2＝40（米），40×2＝80（米），80×2＝160（米）
乙队：10米，10×1.5＝15（米），15×1.5＝22.5（米），22.5×1.5＝33.75（米），33.75×1.5＝
50.625（米）
应该用了4天多．4天共完成（10+20+30+40）+（10+15+22.5+33.75）＝231.25（米）
还剩下300﹣231.25＝68.75（米）
需要的时间是68.75÷（160+50.625）＝ （天）或≈0.326（天）
4+ ＝ （天）或≈4.326（天）
答：两队挖通这条隧道需要 天．
7．（7分）已知一串有规律的数：1， ， ， ， …．那么，在这串数中，从左往右数，第10
个数是 ．
第6页（共10页）【解答】解：有原题得出规律从第三个数开始，分子是前一个分数的分子与分母的和，分母
是本身的分子与前一个分数的分母的和．
所以后面的分数依次为： 第10个数为 ．
第10个数为 ．
故答案为 ．
8．（7分）比赛用的足球是由黑、白两色皮子缝制的，其中黑色皮子为正五边形，白色皮子为
正六边形，并且黑色正五边形与白色正六边形的边长相等．缝制的方法是：每块黑色皮子
的5条边分别与5块白色皮子的边缝在一起；每块白色皮子的6条边中，有3条边与黑色
皮子的边缝在一起，另3条边则与其他白色皮子的边缝在一起．如果一个足球表面上共有
12块黑色正五边形皮子，那么，这个足球应有正六边形皮子 2 0 块．
【解答】解：设这个足球有x块正六边形，一共有6x条边，其中白皮三条边和黑皮相连，根
据题意可得方程
3x＝12×5
x＝20
答：这个足球应有正六边形皮子20块．
故答案为：20．
9．（7分）光明小学六年级甲、乙、丙三个班组织了一次文艺晚会，共演出14个节目．如果每
个班至少演出3个节目，那么，这三个班演出节目数的不同情况共有 2 1 种．
【解答】解：共有不同的排列方法
3×3+6×2＝21（种）．
每种排列方法对应三个班演出节目数的一种情况，故一共有21种不同情况．
故答案为：21．
10．（9分）已知四边形ABCD是直角梯形，上底AD＝8厘米，下底BC＝10厘米，直角腰CD
＝6厘米，E是AD的中点，F是BC上的点，BF＝ BC，G为DC上的点，三角形DEG的
面积与三角形CFG的面积相等．那么，三角形ABG的面积是 26. 7 平方厘米．
第7页（共10页）【解答】解：设DG为h，则CG＝6﹣h，
因：三角形DEG的面积与三角形CFG的面积相等；
即：4×h÷2＝ ×10×（6﹣h）÷2；
求得：h＝ 厘米，6﹣h＝ 厘米；
三角形AGD的面积＝8× ÷2≈10.9平方厘米；
三角形BCG的面积＝10× ÷2≈16.4平方厘米；
三角形ABG的面积＝（10+8）×6÷2﹣10.9﹣16.4，
＝26.7平方厘米；
故此题应填26.7．
11．（9分）用70元钱买了甲、乙、丙、丁四种书，共10册．已知甲，乙，丙，丁四种书每本价格
分别为3元，5元，7元，11元，而且每种书至少买了一本．那么共有 4 种不同的购买方
法．
【解答】解：3+5+7+11＝26（元），
70﹣26＝44（元），
10﹣4＝6（本），
所以，44元要去买6本书，
（1）买1本价格11元、4本价格7元的、1本5元的，
11×1+7×4+5×1＝44（元），
（2）买2本价格11元、1本价格7元的、3本5元的，
11×2+7×1+5×3＝44（元），
（3）买2本价格11元、2本价格7元的、1本5元的、1本3元的，
11×2+7×2+5×1+3×1＝44（元），
（4）买3本价格11元、2本价格3元的、1本5元的，
11×3+3×2+5×1＝44（元），
共有4种，
第8页（共10页）故答案为：4．
12．（9分）数1，2，3，4，…按箭头所指方向顺序排列（如图），依次在2，3，5，7，10，…等数的
位置处拐弯．
（1）如果2算作第一次拐弯，那么，第45次拐弯处的数是 53 0 ．
（2）从1978到2010的自然数中，恰在拐弯处的数是 198 1 ．
【解答】观察拐弯处的数的规律，可以得到 n个拐弯处的数，
当n 为奇数时为：1+（1+3+5+…+n）＝（ ）2+1；
当n 为偶数时为：1+2×（1+2+3+…+ ）＝（1+ ）× +1．
（1）第45次拐弯处的数是（ ）2+1＝530．
（2）试算n＝89时，拐弯处的数是（ ）2+1＝2026；
n＝88时，拐弯处的数是（1+ ）× +1＝1981；
n＝87时，拐弯处的数是（ ）2+1＝1937；
所以1978～2010中，恰在拐弯处的数是1981．
故答案为：（1）530，（2）1981．
13．（9分）小于8且分母为24的最简分数共有 6 4 个；这些最简分数的和是 25 6 ．
【解答】解：24＝23×3
8×24＝192 所有小于192且不能被2、3整除的数为分子则满足题意
也即所有6N+1＜192和6N+5＜192（N为自然数）N的个数总和．
6N+1＜192解得N＜32，也就是小于32的自然数都符合，即32个．
同理可得6N+5＜192解得N＜32，N的个数也是32个．
故：32+32＝64（个）
第9页（共10页）由上面的两个不等式可知，小于8且分母为24的最简分数的分子是两个等差数列组成的，
即一个是1，7，13…，另一个是5，11，17…，它们的公差都是6，而且个数都是32个．
由等差公式求和公式可得：32×1+[32×（32﹣1）×6]÷2＝3008
32×5+[32×（32﹣1）×6]÷2＝3136
分子和就是：3008+3136＝6144
这些最简分数的和是：6144÷24＝256
故填：64，256．
二、解答题（请写出简要的解题过程。第一题满分21分，第二题满分21分。共21分）
14．（10分）用一批纸装订一种练习本．如果已装订120本，剩下的纸是这些纸的40%；如果
装订了185本，则还剩下1350张纸．这批纸一共有多少张？
【解答】解：120÷﹙1﹣40%﹚＝200（本），
1350÷﹙200﹣185﹚＝90（张），
90×200＝18000张；
答：这批纸共有18000张．
15．（11分）如图，圆周上顺次排列着1、2、3、…、12这十二个数，我们规定：相邻的四个数a 、
1
a 、a 、a 顺序颠倒为a 、a 、a 、a ，称为一次“变换”（如：1、2、3、4变为4、3、2、1，又如：
2 3 4 4 3 2 1
11、12、1、2变为2、1、12、11）．能否经过有限次“变换”，将十二个数的顺序变为9、1、2、
3、…8、10、11、12（如图）？请说明理由．
【解答】解：能，如上图所示，经过两次变换，10、11、12三个数被顺时针移动了两个位置．
仿此，再经过3次这样的两次变换，10、11、12三个数又被顺时针移动了六个位置，变为下
图，图中十二个数的顺序符合题意．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/5/5 18:10:36；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800
第10页（共10页）
