文档内容
应用题-经典应用题-牛吃草问题基本
知识-1 星题
课程目标
知识点 考试要求 具体要求 考察频率
牛吃草问题基本知识 C 1.了解牛吃草问题的概念。 少考
2.能够准确理解牛吃草的解题原
理。
3.可以熟练运用牛吃草公式来解决
牛吃草问题。
知识提要
牛吃草问题基本知识
概述
牛吃草问题：又称为消长问题，是英国伟大的科学家牛顿在他的<普遍算术>一书中提出的
一个数学问题，所以也称为“牛顿问题”，俗称“牛吃草问题”．
解决该问题要抓住两个关键量：草的生长速度和草原的原草量
公式：
设定1头牛1天吃草量为“1”；（1）草的生长速度=（对应牛的头数
× 吃的较多的天数-对应牛的头数 × 吃的较少天数）÷（吃的较多天数-吃的较少天数）（2）
原有草量=牛的头数 × 吃的天数-草的生长速度 × 吃的天数（3）吃的天数=原有草量 ÷（牛
的头数-草的生长速度）（4）牛的头数=原有草量 ÷ 吃的天数+草的生长速度。 牛吃草的变型
“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问
题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题．
精选例题
牛吃草问题基本知识
1. 有一块草地，每天都有新的草长出．这块草地可供 9 头牛吃 12 天，或可供 8 头牛吃
16 天．开始只有 4 头牛在这块草地上吃草，从第 7 天起又增加了若干头牛来吃草，又吃了
6 天吃完 了所有的草．假设草的生长速度每天都相同，每头牛每天的吃草量也相同，那么从
第 7 天起增加 了 头牛来吃草．
【答案】 10
【分析】 设每头牛每天的吃草量为 1 份．
每天长草：(8×16-9×12)÷(16-12)=5(份)
原有草：108-5×12=48(份)
共吃 12 天，后 6 天需要牛的头数：[48+(5-4)×6]÷6+5=14(头)
增加牛的头数：14-4=10(头)．
2. 一片草地，草每天生长量相同，17 头牛 30 天可将草吃完，19 头牛 24 天可将草吃完．
现有若干头牛吃了 6 天后，卖掉 4 头牛，余下的牛再吃 2 天将草吃完．原来共有
头牛．
【答案】 40
【分析】 设每头牛每天的吃草量为 1 份，草的生长速度：(17×30-19×24)÷6=9
原有草量 =(17-9)×30=240(份)．
若干头牛吃 6 天，设是 x 头牛吃 6 天
(x-9)×6+(x-4-9)×2=240 得 x=40．
所以原来有 40 头牛．
3. 牧场上的青草每天都匀速生长，这片青草可供 27 头牛吃 6 周，或者供 23 头牛吃 9 周．
那么，这片青草可供 21 头牛吃 周．
【答案】 12【分析】 将 1 头牛 1 周吃的草看做 1 份，则 27 头牛 6 周吃 162 份，23 头牛
9 周吃 207 份，这说明 3 周时间牧场长草 207-162=45(份)，即每周长草 15 份，牧场
原有草 162-15×6=72(份)．21 头牛中的 15 头牛吃新长出的草，剩下的 6 头牛吃原有
的草，吃完需 72÷6=12(周)．
4. 某超市平均每小时有 60 人排队付款，每个收银台每小时能应付 80 人，某天某时段内，
该超市只有一个收银台工作，付款开始 4 小时就没有顾客排队了；如果叫当时有两个收银台
工作，那么付款开始 小时就没人排队了．
【答案】 0.8
【分析】 设 1 个收银员 1 小时处理 1 份（80 人）
60 3
则每小时新增人： = 份
80 4
3
原有人数：1×4- ×4=1 份
4
3
从 2 个收银台中分出 来专门处理“新增草量”
4
3
则 1÷(2- )=0.8(小时)
4
所以 0.8 小时后就无人排队．
5. 李大爷在草地上放养一群牛，草地每天均匀生长，如果他再买进 3 头牛，则会提前 2 天
将草吃完，如果他卖出 3 头牛，则会推迟 4 天才能将草吃完，那么这片草地放养原来那群
牛，会用 天将草吃完．
【答案】 8
【分析】 设一头牛一天吃一份草．设原有 x 头牛，y 天吃完，原有草量 a，每天长
b．
可得方程：
{
xy=a+by
(x+3)(y-2)=a+b(y-2)
(x-3)(y+4)=a+b(y+4)
可得 y=8．
6. 某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多．从开始检票到等候检
票的队伍消失，若同时开 5 个检票口则需 30 分钟，若同时开 6 个检票口则需 20 分钟．
如果要使队伍 10 分钟内消失，至少需同时开 个检票口．【答案】 9
【分析】 将 1 个检票口 1 分钟通过的人看做 1 份，则 5 个检票口 30 分钟通过
人 150 份，6 个 检票口 20 分钟通过人 120 份，这说明 10 分钟来人
150-120=30(份)，即每分钟来人 3 份．原有人数 150-3×30=60(份)，要使队伍 10
分钟消失，至少需要 60÷10+3=9(个) 检票口．
7. 若 2 台收割机 3 天可以收割小麦 450 亩，则用 7 台收割机收割 2100 亩小麦需要
天．
【答案】 4
【分析】 由题意，知 1 台收割机 1 天可收割小麦
450÷2÷3=75(亩),
所以用 7 台收割机收割 2100 亩小麦需要
2100÷7÷75=4(天).
8. 一只船被发现漏水时．已经进了一些水，水均匀进入船内．如果 10 人淘水，3 小时淘完；
如果 5 人淘水，8 小时淘完．如果要求 2 小时淘完，需要安排 人淘水．
【答案】 14
【分析】 将 1 人 1 小时淘的水看做 1 份，则 10 人 3 小时淘 30 份，5 人 8
小时淘 40 份，这说明 5 小时船进水 40-30=10(份)，即每小时进水 2 份，船里原有水
30-2×3=24(份)．
要求 2 小时淘完，则需要 24÷2+2=14(人)．
9. 有一片牧场，草每天都在均匀地生长．如果在牧场上放养 24 头牛，那么 6 天就把草吃完
了；如果只放养 21 头牛，那么 8 天才把草吃完．请问：
（1）要使得草永远吃不完，最多可以放养多少头牛？
（2）如果放养 36 头牛，多少天可以把草吃完？
【答案】 （1）12；（2）3
【分析】 （1）设 1 头牛 1 天吃 1 份草，则草的生长速度为
(21×8-24×6)÷(8-6)=12，因此最多放养 12 头牛．
（2）原有草量为 24×6-12×6=72，如果放养 36 头牛最多吃 72÷(36-12)=3(天)．
10. 牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长．这片牧场可供 10 头牛吃 20 天，可供 15 头牛
吃 10 天．如果供 25 头牛可吃几天？【答案】 5
【分析】 设 1 头牛 1 天的吃草量为“1”，10 头牛吃 20 天共吃了 10×20=200
份；15 头牛吃 10 天共吃了 15×10=150 份．第一种吃法比第二种吃法多吃了
200-150=50 份草，这 50 份草是牧场的草 20-10=10 天生长出来的，所以每天生长的
草量为 50÷10=5，那么原有草量为：200-5×20=100．
供 25 头牛吃，若有 5 头牛去吃每天生长的草，剩下 20 头牛需要 100÷20=5(天) 可将
原有牧草吃完，即它可供 25 头牛吃 5 天．
11. 有一片牧场，草每天都在均匀地生长．如果在牧场上放养 24 头牛，那么 6 天就把草吃
完了；如果只放养 21 头牛，那么 8 天才把草吃完．请问：要使得草永远吃不完，最多可以
放养多少头牛？
【答案】 12 头
【分析】 设 1 头牛 1 天吃 1 份草，则草的生长速度为
(21×8-24×6)÷(8-6)=12(份),
要使得草永远吃不完，那么就要保证原草不被吃掉，放养的牛每天只吃新生长的草量，因此最
多放养 12 头牛．
12. 2006 年夏天，我国某地遭遇了严重干旱，政府为了解决村民饮水问题，在山下的一眼泉水
旁修了一个蓄水池，每小时有 40 立方米泉水注人池中．第一周开动 5 台抽水机 2.5 小时
就 把一池水抽完，接着第二周开动 8 台抽水机 1.5 小时就把一池水抽完．后来由于旱情严
重，开动 13 台抽水机同时抽水．请问几小时可以把这池水抽完？
【答案】 0.9 小时
【分析】 设一台抽水机一小时的抽水量为 1 份，则泉水的注水速度是
(5×2.5-8×1.5)÷(2.5-1.5)=0.5(份)
池水的原有水量为 2.5×5-2.5×0.5=11.25(份)．
所以，使用 13 台抽水机，抽完池水需要的时间为 11.25÷(13-0.5)=0.9(小时)．
13. 一水库原有存水量一定，河水每天均匀入库．5 台抽水机连续 20 天可抽干；6 台同样的
抽水机连续 15 天可抽干．
（1）水库原有的水与 20 天流入的水可供多少台抽水机抽 1 天？
（2）水库原有的水与 15 天流入的水可供多少台抽水机抽 1 天？
（3）每天流入的水可供多少台抽水机抽 1 天？
（4）原有的水可供多少台抽水机抽 1 天？
（5）若 6 天抽完，共需抽水机多少台？【答案】 （1）100；（2）90；（3）2；（4）60；（5）12
【分析】 （1）20×5=100(台)；
（2）6×15=90(台)；
（3）(100-90)÷(20-15)=2(台)；
（4）100-20×2=60(台)；
（5）60÷6+2=12(台)．
14. 有一块匀速生长的草场，可供 12 头牛吃 25 天，或可供 24 头牛吃 10 天．那么可供
29 头牛吃几天？
【答案】 8 天
【分析】 设 1 头牛 1 天的吃草量为 1 份，根据题意可得：每天新长的草量：
(12×25-24×10)÷(25-10)=4(份),
原有草量为：
(24-4)×10=200(份),
因为每天新长出 4 份草，可以让 4 头每天专门吃新长出的草，而剩下的 29-4=25(头)
牛每天都吃草场上原有的草，需要 200÷25=8(天)．所以草场可供 29 头牛吃 8 天．
15. 某个售票处在卖票之前，就已经有人排队，到开始卖票时，已经排了 75 人．卖票后，由
于每分钟来买票的人数一样多，因此，一个窗口花 15 分钟才不再有人排队．如果开两个窗
口，则经过 5 分钟不再有人排队．如果开三个窗口，则经过几分钟不再有人排队？
【答案】 3 分钟
【分析】 设每个窗口每分钟买票的人数为 1 份，则 15-5=10(分钟) 内前来检票
的人数为：1×15-2×5=5(份)，所以每分钟前来检票的人数为：5÷10=0.5(份)；开始检
票前等待的人数为：(1-0.5)×15=7.5(份)．要开 3 个窗口，经过
7.5÷(3-0.5)=3(分钟) 就不再有人排队．
16. 有一块匀速生长的草场，可供 12 头牛吃 25 天，或可供 24 头牛吃 10 天．那么它可
供几头牛吃 20 天？
【答案】 14 头
【分析】 设 1 头牛 1 天的吃草量为 1 份．每天生长的草量为：
(12×25-24×10)÷(25-10)=4(份);
原有草量为：
(24-4)×10=200(份).
20 天里，草场共提供草
200+4×20=280(份),
可以让 280÷20=14(头) 牛吃 20 天．17. 有一块匀速生长的草场，可供 12 头牛吃 24 天，或可供 15 头牛吃 12 天，那么它可
供几头牛吃 18 天？可供 21 头牛吃几天？
【答案】 13 头；6 天．
【分析】 设 1 头牛 1 天吃的草量为 1 份，每天生长的草量为
(12×24-15×12)÷(24-12)=9(份)，原有草量为：12×24-9×24=72(份)，则
(72+18×9)÷18=13(头)，所以它可供 13 头牛吃 18 天；而 9 头牛每天专吃新长的草，
剩下的 21-9=12(头) 牛每天都吃原有的草．72÷12=6(天) 后就没有草了，所以草场可
供 21 头牛吃 6 天．
18. 经测算，地球上的资源可供 100 亿人生活 100 年，或可供 80 亿人生活 300 年．假设
地球上新生资源的增长速度是一定的，那么为了使人类有不断发展的潜力，地球上最多能养活
多少亿人？
【答案】 70 亿
【分析】 设每亿人每年消耗资源量为 1 份．
每年新生资源量：(80×300-100×100)÷(300-100)=70(份)
即为保证不断发展，地球上最多养活 70 亿人．
19. 进入冬季后，有一片牧场上的草开始枯萎，因此草会均匀地减少．现在开始在这片牧场上
放羊，如果有 38 只羊，把草吃完需要 25 天；如果有 30 只羊，把草吃完需要 30 天．如
果有 20 只羊，这片牧场可以吃多少天？
【答案】 40
【分析】 设 1 头羊 1 天吃 1 份草，则草的减少速度为
(38×25-30×30)÷(30-25)=10，原有草量为 38×25+10×25=1200，如果放养 20 头
羊最多吃 1200÷(20+10)=40(天)．
20. 有一片牧场，草每天都在均匀地生长．如果在牧场上放养 18 头牛，那么 10 天能把草吃
完；如果只放养 24 头牛，那么 7 天就把草吃完了．请问：
（1）如果放养 32 头牛，多少天可以把草吃完？
（2）要放养多少头牛，才能恰好 14 天把草吃完？
【答案】 （1）5；（2）14【分析】 （1）设 1 头牛 1 天吃 1 份草，则草的生长速度为
(18×10-24×7)÷(10-7)=4，原有草量为 24×7-4×7=140，如果放养 32 头牛最多吃
140÷(32-4)=5(天)．
（2）恰好 14 天把草吃完，要放养 140÷14+4=14(头) 牛．
21. 一水库原有存水量一定，河水每天均匀入库，5 台抽水机连续 20 天可抽干；6 台同样的
抽水机连续 15 天可抽干．若要求 6 天抽干，需要多少台同样的抽水机？
【答案】 12 台
【分析】 设每台抽水机每天的抽水量为 1 份，则每天流入的水为
(20×5-6×15)÷(20-15)=2(份);
原有的水量为
5×20-20×2=60(份),
若 6 天抽完，共需抽水机
(60+6×2)÷6=12(台).
22. 一片草地，有 15 头牛吃草，8 天可以把全部草吃完．如果起初这 15 头牛吃了两天后，
又来了 2 头牛，则总共 7 天就可以把草吃完．如果起初这 15 头牛吃了两天后，又来了 5
头牛，则需要多少天才能吃完？
【答案】 4
【分析】 设 1 头牛 1 天吃的草量为 1 份，本题可以把 15 头牛吃了两天忽略不看，
只看后边的情况，则题目变为 15 牛吃 6 天，17 头牛吃 5 天，20 头牛吃几天，所以每天
生长的草量为 (15×6-17×5)÷(6-5)=5(份)，原草量为 (15-5)×6=60(份)，天数为
60÷(20-5)=4(天)．
23. 仓库里原有一批存货，以后继续运货进仓，且每天运进的货一样多．用同样的汽车运货出
仓，如果每天用 4 辆汽车，则 9 天恰好运完；如果每天用 5 辆汽车，则 6 天恰好运完．
仓库里原有的存货若用 1 辆汽车运则需要多少天运完？
【答案】 18 天
【分析】 设 1 辆汽车 1 天运货为 1 份，进货速度为
(9×4-5×6)÷(9-6)=2(份),
原有存货为
(4-2)×9=18(份),
仓库里原有的存货若用 1 辆汽车运则需要
18÷1=18(天).24. 林子里有猴子喜欢吃的野果，23 只猴子可在 9 周内吃光，21 只猴子可在 12 周内吃光，
问如果要 4 周吃光野果，则需有多少只猴子一起吃？（假设野果生长的速度不变）
【答案】 33 只
【分析】 设一只猴子一周吃的野果为 1 份，野果的生长速度是
(21×12-23×9)÷(12-9)=15(份),
原有的野果为
(23-15)×9=72(份),
如果要 4 周吃光野果，则需有 72÷4+15=33(只) 猴子一起吃．
25. 牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长．这片牧草可供 10 头牛吃 20 天，可供 15 头牛
吃 10 天，问可供 25 头吃几天？
【答案】 5 天
【分析】 设 1 头牛 1 天的吃草量为 1 份，根据题意可得：10 头牛吃 20 天共吃
了
10×20=200(份),
15 头牛吃 10 天共吃了
15×10=150(份),
草的生长速度是每天新长：
(200-150)÷(20-10)=5(份),
那么原有草量为：
200-5×20=100(份),
供 25 头牛吃，若有 5 头牛去吃每天新长的草，剩下 20 头牛需要 100÷20=5(天) 可将
原有牧草吃完，即牧场上的牧草可供 25 头牛吃 5 天．
26. 牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长．这片牧场可供 27 头牛吃 6 天，可供 23 头牛
吃 9 天．那么，可供 21 头牛可吃几天？
【答案】 12 天
【分析】 设 1 头牛 1 天的吃草量为 1 份，根据题意可得：
27 头牛吃 6 天共吃：27×6=162(份) 是原有草量和 6 天新生草，
23 头牛吃 9 天共吃：23×9=207(份) 是原有草量和 9 天新生草，
每天新长的草量：
(207-162)÷(9-6)=15(份),
原有草量：
162-15×6=72(份),
派 15 头牛去吃每天新生草，则吃完原有草需要：
72÷(21-15)=12(天),
即可供 21 头牛吃 12 天．27. 牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长．这片牧场可供 10 头牛吃 20 天，可供 15 头牛
吃 10 天．那么这片牧场可供几头牛吃 25 天？
【答案】 9 头
【分析】 设 1 头牛 1 天的吃草量为 1 份，每天新长的草量：
(10×20-15×10)÷(20-10)=5(份),
原有草量为：
(15-5)×10=100(份),
25天里草场共提供草：
100+5×25=225(份),
可以让 225÷25=9(头) 牛吃 25 天．
28. 一个牧场长满青草，牛在吃草而草又在不断生长，已知牛 27 头，6 天把草吃尽，同样一
片牧场，牛 23 头，9 天把草吃尽．如果有牛 21 头，几天能把草吃尽？
【答案】 12 天
【分析】 把一头牛每天吃草量当作 1 份，设原来有的草为 x 份，每天长出来的草
为 y 份，．那么可以列方程：\[ \left\{ \begin{gathered} x + 6y = 27 \times 6 \hfill \\ x + 9y = 23
\times 9 \hfill \\ \end{gathered} \right. \]解得
{x=72
y=15
如果 21 头牛吃草，这片草可以吃
72÷(21-15)=12(天).
29. 一片青草，每天长草的速度相等，可供 10 头牛单独吃 20 天，供 60 只羊单独吃 10
天．如果 1 头牛的吃草量等于 4 只羊的吃草量，那么，10 头牛与 60 只羊一起吃草，这片
草可以吃 天．
【答案】 5．
【分析】 把 1 只羊每天的吃草量当作单位“1”，则 1 头牛每天的吃草量为 4，设
原有草量为 x，每天的长草量为 y，那么\[ \left\{ \begin{gathered} x + 20y = 4 \times 10 \times
20 \hfill \\ x + 10y = 1 \times 60 \times 10 \hfill \\ \end{gathered} \right. \]
解得
{x=400
y=20
如果 10 头牛与 60 只羊一起吃草，这片草可以吃
400÷(4×10+1×60-20)=5(天).
