【2026年南方台一轮复习江苏专用教辅电子版数学提高版word讲义第7讲函数的概念及其表示方法-夜雨聆风

【2026年南方台一轮复习江苏专用教辅电子版数学提高版word讲义第7讲函数的概念及其表示方法

第二章　基本初等函数

第7讲　函数的概念及其表示方法

链教材　夯基固本

激活思维

1. 下列图象表示函数关系y＝f(x)的是(　D　)

2. (人A必一P72习题T2改)(多选)下列各组函数是同一个函数的是(　AD　)

A. f(x)＝x²－2x－1与g(s)＝s²－2s－1

B. f(x)＝x－1与g(x)＝x2x－1

C. f(x)＝x²与g(x)＝(x)⁴

D. f(x)＝x²与g(x)＝3×6

3. (人A必一P72习题T1(4))函数y＝4－x)x－1的定义域为_(－∞，1)∪(1，4]_．

4. (人A必一P101复习参考题T7改)已知函数f(x)＝x(x＋4)，x≥0，x(x－4)，x＜0，)则f(1)＋f(－3)＝_26_．

【解析】由题意得f(1)＝5，f(－3)＝21，所以f(1)＋f(－3)＝26.

5. (人A必一P69练习T3改)给定函数f(x)＝－x＋1，g(x)＝(x－1)^2，x∈R，m(x)＝min{f(x)，g(x)}，则m(x)＝_－x＋1，x∈(－∞，0]∪[1，＋∞)，(x－1)2，x∈(0，1))_．

【解析】由－x＋1≤(x－1)²，得x²－x≥0，解得x≥1或x≤0.又m(x)＝min{f(x)，g(x)}，所以m(x)＝－x＋1，x∈(－∞，0]∪[1，＋∞)，(x－1)2，x∈(0，1).)

聚焦知识

1. 函数的概念及表示

概念

设A，B是两个_非空_的实数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有_唯一_的元素y和它对应，那么称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.其中将所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的_定义域_，将所有的输出值y组成的集合叫做函数的_值域_

三要素

(1) 函数的三要素：_定义域_、_对应关系_、_值域_．

(2) 如果两个函数的_定义域_相同，并且_对应关系_完全一致，那么这两个函数为同一个函数

表示

方法

(1) 解析法　(2) 列表法　(3) 图象法

注意：

(1) 直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点．

(2) 在函数的定义中，有两个非空实数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集．

2. 分段函数

若一个函数的定义域分成了若干个子区间，且每个子区间的解析式不同，则这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．

3. 定义域的求法

(1) 分母不为0；偶次根式被开方数非负；零指数幂底数不为0；实际问题有意义；对数的真数大于0，底数大于0且不等于1；

(2) 复合函数的定义域：只要对应法则相同，括号里整体的取值范围就完全相同．

研题型　素养养成

举题说法

对函数概念的理解

例1　(1) 已知集合M＝{x|0≤x≤4}，N＝{x|0≤x≤2}，以下从M到N的对应法则f是函数的是(　A　)

A. f：x→y＝xB. f：x→y＝x²

C. f：x→y＝|x|D. f：x→y＝x－1

【解析】对于f：x→y＝x，对任意的x∈M＝{x|0≤x≤4}，在N＝{x|0≤x≤2}中都存在唯一确定的元素与之对应，满足函数定义，A正确；对于f：x→y＝x²，当x＝4时，在N＝{x|0≤x≤2}中无元素与之对应，不满足函数定义，B错误；对于f：x→y＝|x|，当x＝4时，在N＝{x|0≤x≤2}中无元素与之对应，不满足函数定义，C错误；对于f：x→y＝x－1，当x＝4时，在N＝{x|0≤x≤2}中无元素与之对应，不满足函数定义，D错误．

(2) 已知集合A＝{x|0≤x≤4}，集合B＝{x|0≤x≤2}，下列图象能建立从集合A到集合B的函数关系的是(　D　)

【解析】对于A，存在点使一个x与两个y对应，不符合，排除；对于B，当2＜x≤4时，没有与之对应的y，不符合，排除；对于C，y的范围超出了集合B的范围，不符合，排除；对于D，满足函数关系的条件，正确．

变式1　(1) 已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤1}，下列能表示从A到B的函数的是(　A　)

A. f：x→y，y＝\a\vs4\al\co1(\f(13))xB. f：x→y，y＝2x

C. f：x→y，y＝2^xD. f：x→y，y＝x

【解析】由集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤1}，对于A，若f：x→y，y＝\a\vs4\al\co1(\f(13))x，则集合A中任意元素，在集合B中都有唯一的元素与之对应，所以可构成集合A到B的函数，符合题意；对于B，若f：x→y，y＝2x，则集合A中的元素2，在集合B中没有元素与之对应，所以不能构成集合A到B的函数，不符合题意；对于C，若f：x→y，y＝2^x，则集合A中的元素2，在集合B中没有元素与之对应，所以不能构成集合A到B的函数，不符合题意；对于D，若f：x→y，y＝x，则集合A中的元素2，在集合B中没有元素与之对应，所以不能构成集合A到B的函数，不符合题意．

(2) (2024·益阳检测)(多选)下列说法正确的有(　BC　)

A. 函数v(x)＝|x|x与u(x)＝1，x＞0，0，x＝0，－1，x＜0表示同一个函数

B. 函数v(x)＝x²－2x＋2与u(t)＝t²－2t＋2是同一个函数

C. 函数y＝f(x)的图象与直线x＝2 025至多有一个交点

D. 已知函数f(x)＝|x－1|－x，则f\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12))))＝0

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