高中数学竞赛常用30条平面几何定理

01 塞瓦定理 (Ceva Theorem)

• • 内容：在  中，，则  共点 。
• • 关键词：三线共点、比例乘积

02 梅涅劳斯定理 (Menelaus Theorem)

• • 内容：在  中， 分别在  所在直线上，则  共线 （有向线段）。
• • 关键词：三点共线、截线

03 三角塞瓦定理 (Trigonometric Ceva)

• • 内容：三线共点 。
• • 关键词：角度型切瓦、正弦比

04 三角梅涅劳斯定理 (Trigonometric Menelaus)

• • 内容：三点共线  对应三组正弦比乘积等于 1。
• • 关键词：角度型共线、正弦比

05 斯特瓦特定理 (Stewart Theorem)

• • 内容：若 , ，则 。
• • 关键词：劈线长度、边长关系

06 阿波罗尼斯定理 (Apollonius Theorem)

• • 内容：若  为  边上的中线，则 。
• • 关键词：中线、平方和

07 欧拉线定理 (Euler Line Theorem)

• • 内容：三角形的外心 、重心 、垂心  共线，且 。
• • 关键词：三心共线、三角形中心

08 九点圆定理 (Nine-Point Circle Theorem)

• • 内容：三边中点、三垂足、垂心到三顶点连线的中点九点共圆。
• • 关键词：九点圆、经典圆系

09 费尔巴哈定理 (Feuerbach Theorem)

• • 内容：九点圆与内切圆内切，并与三旁切圆分别外切。
• • 关键词：九点圆、切触关系

10 西姆松定理 (Simson Theorem)

• • 内容：若点  在  的外接圆上，则  向 、、 所作垂线的垂足三点共线。
• • 关键词：外接圆、三垂足共线

11 圆幂定理 (Power of a Point)

• • 内容：若  在圆外，则 ；若  为切线，则 。
• • 关键词：切线、割线、乘积不变

12 根轴定理 (Radical Axis Theorem)

• • 内容：两圆的幂相等点的轨迹是一条直线，称为根轴；三圆两两根轴共点。
• • 关键词：根轴、根心、三圆共点

13 托勒密定理 (Ptolemy Theorem)

• • 内容：若四边形  内接于同一圆，则 。
• • 关键词：内接四边形、对角线

14 皮托定理 (Pitot Theorem)

• • 内容：若四边形有内切圆，则 。
• • 关键词：内切四边形、边和

15 布拉马古普塔公式 (Brahmagupta Formula)

• • 内容：若四边形边长为 ，半周长为 ，则内接四边形面积 。
• • 关键词：内接四边形、面积

16 米克尔定理 (Miquel Theorem)

• • 内容：完全四边形中，以每个小三角形为外接圆所作的四个圆共过一点，称为米克尔点。
• • 关键词：完全四边形、四圆共点

17 赖姆定理 (Reim Theorem)

• • 内容：若两圆中两条弦长度相等，则对应端点连线所成的角相等，并可推出相应连线平行。
• • 关键词：等弦、平行、两圆

18 螺旋相似定理 (Spiral Similarity)

• • 内容：若两线段对应角相等且对应比相同，则存在一个中心把一条线段经旋转与伸缩变到另一条线段。
• • 关键词：相似中心、旋转伸缩

19 凯西定理 (Casey Theorem)

• • 内容：四圆共切的判定可用四条公切线段满足类似托勒密的关系；它是托勒密定理的推广。
• • 关键词：四圆共切、托勒密推广

20 蝴蝶定理 (Butterfly Theorem)

• • 内容：在圆内，若  是弦  的中点，过  作两条弦 ，则  与  在  上的对应交点关于  对称。
• • 关键词：中点、两弦、对称

21 帕斯卡定理 (Pascal Theorem)

• • 内容：若六边形内接于同一圆锥曲线，则三组对边的交点共线，这条直线称为帕斯卡线。
• • 关键词：圆锥曲线、六边形、共线

22 布列安雄定理 (Brianchon Theorem)

• • 内容：若六边形外切于同一圆锥曲线，则三条主对角线共点。
• • 关键词：圆锥曲线、六边形、共点

23 笛沙格定理 (Desargues Theorem)

• • 内容：若两三角形对应顶点连线共点，则对应边交点三点共线；逆命题也成立。
• • 关键词：透视、共点共线、射影几何

24 帕普斯定理 (Pappus Theorem)

• • 内容：两条直线上各取三点，交错连接成六边形，则三对对边交点共线。
• • 关键词：两直线、六边形、共线

25 牛顿线定理 (Newton Line Theorem)

• • 内容：完全四边形的三条对角线中点共线，这条直线称为牛顿线。
• • 关键词：完全四边形、中点共线

26 蒙日定理 (Monge Theorem)

• • 内容：三圆两两外公切线的三个交点共线，这条直线称为蒙日线。
• • 关键词：三圆、公切线、共线

27 极点极线定理 (Pole-Polar Theorem)

• • 内容：关于同一圆，若点  在点  的极线上，则点  也在点  的极线上。
• • 关键词：极点极线、对偶、圆几何

28 反演基本定理 (Inversion)

• • 内容：以  为中心、幂为  的反演把点  变到 ，满足 ；圆与直线在反演下保持对应结构。
• • 关键词：反演、化圆为线、结构变换

29 莫利定理 (Morley Theorem)

• • 内容：任意三角形三内角的三等分线相邻交点构成一个正三角形。
• • 关键词：角三等分、正三角形

30 欧拉关系定理 (Euler Relation)

• • 内容：在三角形中，外心  与内心  满足 。
• • 关键词：外心、内心、 与