普娃小学到高中,数学究竟怎么学?

牛娃数学的路径有超级多条……怎么快怎么来（平日柴老师给牛娃写数学推文多，这次轮到普娃啦！），但是普娃不太行哈！普娃学数学，目标先定得实在一点：上课听得懂，课后能独立完成作业，学过的知识过一阵还记得，题目换个问法也能找到下手的地方。做到这些，再逐步增加难度……家长常犯的错误，是孩子眼前的漏洞百出，就开始安排下学期的课程。课是往前上，理解却留在原地，这就是普娃和牛娃之间的差距！等旧问题和新内容叠在一起，孩子越来越吃力，家长再花时间、花钱回头补，折腾的还是孩子。而且，家长要知道，小学，初中，高中完全不是一个难度，不同阶段，没什么参考性。

“普通孩子”这个说法，家长心里有个判断就行，别拿来给孩子定性（搞得孩子是普娃就犯法一样，搞什么？到底是哪个家伙给的定义？让这种人赶紧一边去！）。理解慢一些、计算不够熟练、暂时对数学没兴趣，都不足以说明他学不好数学。但家长也要放下另一种幻想：换一本教辅，找一个名师，报一门课程，孩子就能忽然开窍，这种好事只存在于梦里。数学学习需要落实到具体问题上，比如哈：哪个概念没懂，哪一步运算总错，哪种数量关系理不清，就在那里花功夫。下面柴老师按照国内常见的课程进度来讲，具体内容以孩子正在使用的课本为准。

开始之前，把孩子最近的作业本、单元试卷和课本放在一起。先不用买新资料，也不用拿一整张卷子测试他（请看我昨天的推文）。从已经学过的内容中，选几道计算题、几道概念题，再加两三道应用题，让孩子独立完成。家长在旁边观察，暂时不提醒、不纠正，也别用表情暗示答案。看他读完题先做什么，在哪一步停下来，哪些地方反复修改，完成后有没有检查，以及他所谓的“检查”究竟在查什么。

做错以后，让孩子把当时的想法说出来。有的孩子数量关系判断对了，计算中途出错；有的算得很熟，列式却不对；有的照着例题会做，条件稍有变化就不知道怎么办；还有的连题目中的一句话都没读明白。原因不同，处理办法当然不同！少看别人怎么做，多思考自己应该如何应对！家长可以用一句具体的话记下来：“小数除法改变除数后，被除数没有同时作相应变化”、“把增加了多少看成增加到多少”、“证明题知道要证什么，但找不到第一步的依据”。这样的记录才有用。“数学不好”、“不认真”、“粗心”，说了等于白说，真是说个寂寞……

孩子已经明显跟不上时，要沿着出错的地方往前查。五年级不会做异分母分数加法，先看他是否理解等值分数，是否知道通分为什么不改变分数的大小；初中解方程反复出错，往前查正负数运算、去括号和等式的基本性质；高中函数题做不下去，先检查函数概念、定义域，再看初中的代数运算是否熟练。查到能够解释当前困难的那个缺口，就从那里补。没有必要因为一道题不会，把前几年所有内容重新学一遍。补课也得有判断，不能拿“从头再来”代替分析。

小学一二年级，先让孩子把数的意思弄清楚。小棒、积木，或者家里能够分组的小物件，都可以拿来用。让他摆出14，看看能不能把10个放成一组，另外留下4个，再问：“这里有几个十、几个一？”写成数字时，让他把十位上的1、个位上的4，与眼前的东西对应起来。学竖式也一样，数位不能只靠记位置。10个一可以组成一个十，孩子亲手分过、合过，才容易理解满十进一。等他能够用图和语言解释，再逐渐过渡到直接用数字计算，不必每次重新摆实物。

比如13-8，可以先摆出13个物品，拿走8个，看看还剩几个。接着把13分成10和3，从10里面拿走8，剩下2，再和原来的3合起来，得到5。写下来就是13-8＝10-8＋3＝5。孩子如果想先减3、再减5，也可以让他说清楚自己的办法。只要方法合理，就别急着纠正成家长熟悉的那一种。先理解，再选择方便的方法练熟。至于数物品、掰手指，是学习过程中可以借用的帮助，不必羞辱孩子；随着理解和熟练程度提高，再逐步减少依赖。（大家祖先都是山顶洞人，方法原始点没啥！）

低年级计算练习，每次几分钟，做少量有针对性的题就可以。观察的重点是方法是否清楚、计算是否准确、错误是否反复出现在同一个位置。已经熟悉的内容，可以逐渐练速度；还在理解方法的内容，先别计时。孩子8＋7经常算错，就回到凑十：8还差2到10，把7分成2和5，先算8＋2，再加5。随后用几道相近的题检验。每天塞一大张口算纸，却不处理他反复出错的那一步，练得再多未必有效。额外练习的多少，还要看当天学校作业和孩子的状态。柴老师再强调一遍：数量≠质量！请记在脑海里！

学乘除法时，同样先弄清楚在算什么。3组物品，每组4个，与4组物品，每组3个，总数都是12，但分组方式不同。12个物品平均分给3个人，每人分到12÷3＝4个；12个物品每3个分成一组，可以分成12÷3＝4组。两道题的算式相同，答案所表示的意思不同。让孩子亲手摆、亲手分，再用完整的话说出结果。乘法口诀也要逐步记熟，不能一直靠临时推算。口诀不熟，后面的多位数乘除、约分和通分，都会多出一道负担。

从低年级开始，就要警惕一种教法：看见“一共”就加，看见“剩下”就减，看见“多”就加，看见“少”就减。这样做题看起来省事，遇到稍有变化的题，孩子很容易判断错。读完题，先让他说清楚已经知道什么、要求什么、几个数量是什么关系。比如：“小明有12张卡片，比小红多4张，小红有多少张”，先弄清楚小明的数量大、小红的数量小，再列12-4＝8。理解困难时，可以摆实物或画图。算完还要问一句：“这个8表示谁的卡片数量？”答案必须回到题目里。

到了三四年级，多位数计算要稳下来。看竖式，不能只看最后得数。乘法竖式第二行为什么向左错开一位，除法的商为什么写在这个数位上，余数为什么要小于除数，都应该结合具体题目讲清楚。算错时，沿着步骤找到最早出错的位置，保留前面正确的部分。别一看答案不对，就让孩子全部擦掉重算。他如果还没弄懂自己哪里出了问题，重算很可能只是重错一次。把有问题的步骤单独拿出来练两三道，确认会了，再放回完整计算中。

这一阶段还要把估算和验算教到手。四百多乘三十多，结果应当是一万多；如果竖式算出一千多，就该回头检查数位。除法可以用“商×除数＋余数”验算，加减法可以用逆运算核对。应用题则要检查数量大小是否合理、单位是否对应、答案是否回答了题目所问。家长光说“检查一下”是不够的。孩子不知道查什么，就会顺着原来的步骤再看一遍，原来怎么错，现在还是怎么错。检查是一种需要教的方法。

测量和图形也要让孩子动手。用尺子量桌边，比较1厘米和1米分别有多长；在方格纸上画长方形，沿边数一圈，再数里面包含多少个单位方格。周长表示边界的长度，面积表示平面的大小，先把这两个意思分清，再记公式。孩子如果反复混淆，就回到图上，让他指出“哪一部分是周长，哪一部分是面积”。概念没有分清，背熟公式只是暂时把问题遮住，题目一变，错误又会出现。

五六年级，要在分数、小数、百分数和比上多花些功夫。这些内容牵连后面的代数学习，含糊着过去，初中会越来越吃力。学分数，先问清楚把什么看作单位“1”，平均分成几份，所取的部分占几份。还要把分数放到数轴上，让孩子知道分数有确定的位置和大小，能够与小数、百分数建立对应关系。比较1/4与1/3时，可以画两个同样大的圆或长方形。整体一样大，分得越多，每份越小。孩子能把这个意思讲明白，比较大小的规则才有了依据。

异分母分数加法，可以先用图解释。画两个同样大的长方形，分别涂出1/2和1/3，再把它们都分成六等份。孩子会看到，1/2＝3/6，1/3＝2/6，原来的部分没有改变，只是换了一种表示。现在每一小份大小相同，可以计算3/6＋2/6＝5/6。通分的作用就在这里：把不同的分数单位转成相同的分数单位。接着再练通分、约分和四则运算。要经常让孩子说出“这一步为什么可以这样做”，防止他把加减法、乘除法的规则混在一起。

百分数应用题，要反复核对作为比较标准的量。衣服原价100元，降价20%，价格是100×（1－20%）＝80元；随后再涨价20%，价格是80×（1＋20%）＝96元。前一次20%以100元为标准，后一次20%以80元为标准，不能把两个百分数直接抵消。孩子做题前，可以先写下“谁是单位‘1’”，再列式。学比和比例，也要先说明比较的是哪两个量，顺序怎样，哪些量相互对应。关系理清以后，运算往往并不复杂。

小学高年级应用题，可以逐步形成稳定的做题顺序：读懂条件，整理关系，列式求解，解释结果。整理关系可以画线段图、列表，也可以画简单草图，不必强求所有孩子用同一种方式。已经能够直接看清关系的题，不用为了形式每道都画；遇到复杂关系，就应该舍得动笔。画图和列表本来就是处理问题的方法，也不必一味要求孩子尽早摆脱。是否需要用，看题目和孩子的理解情况。

小学要不要学奥数，先看课内学得怎么样，再看孩子是否愿意投入（于我而言，学奥数对于普娃的作用可能没那么大）。基础概念清楚、计算稳定、学校作业能够独立完成，孩子还喜欢琢磨有挑战的问题，可以适当接触拓展题。一道题自己想过、画过、试过，即使最后没有做出，再听讲解，也更容易理解方法从哪里来。如果课内问题已经不少，课外课程还占掉休息和睡眠，就该减少安排。家长不能一边承认孩子基础薄弱，一边把补基础的时间全部交给拔高课，安慰自己的事还是少做点吧……这样的安排，先后次序就错了。

初一要把有理数、整式和一元一次方程学扎实。负号漏写、去括号出错、乘方混淆，都会影响后续运算；以后学到分式，还要继续检查这些基本功。孩子负数运算不对，先看他是否分清负号与减号，再看运算法则是否理解。去括号反复出错，就把括号前是加号、减号和带系数的情况分开练。例如-（a－b）＝-a＋b，-2（a-b）＝-2a＋2b，让他逐项说明变化的依据。每次处理一个具体问题，比反复叮嘱“认真一点”有效。

解方程要讲清楚等式怎样变化。某数的2倍加3等于11，可以写成2x＋3＝11。等式两边同时减去3，得到2x＝8；两边再同时除以2，得到x＝4。让孩子明白每一步如何保持等式成立，再使用“移项变号”这样的简化说法。有些孩子把口诀记得很熟，却把乘法中的系数“移过去”也改成相反数，就是没有分清式子的结构。遇到这种错误，回到等式两边作相同运算，重新写出过程。

初中应用题，要练习用字母表示数量。设未知数之前，先想清楚：设哪个量，其他量比较容易表示？例如两种物品的单价分别是3元和5元，一共买10件，花了38元。设3元的物品买了x件，那么5元的物品就是（10-x）件，两部分费用分别是3x元和5（10-x）元，方程为3x＋5（10-x）＝38。如果孩子列不出来，就让他把单价、数量、总价填进表格，再根据总费用建立等式。直接把方程告诉他，他缺失的那段思考依然没有补上。

初一初二学几何，必须分清图形看起来是什么样，与条件能够证明什么。两条线看着平行，两个角看着相等，都不能直接当作已知。拿到证明题，先把题目明确给出的条件标在图上，再写清要证明的结论。要证两条边相等，可以看看它们是否分别处于两个三角形中，能否通过全等得到结论；如果这条路走不通，就检查还有哪些条件可以利用。带孩子分析时，每得到一个结论，都让他说出依据。推理过程不能靠“看着就是这样”来补。

辅助线也要讲目的。为什么连接这两个点，为什么作垂线，画完以后多出了哪些可以使用的关系，都要和题目条件连起来解释。只让孩子记住“这类题这样添线”，他很容易觉得几何靠灵机一动。示范一道题之后，要换一道相近的题，让他自己分析。开始时可以给少量提示，但不能一直替他选定方向。证明写完，再检查每一步是否有依据，是否把未经证明的结论提前用了。而且，娃会经常犯错，请耐心点……

初中每学一种新方法，可以先看懂课本例题，再合上书独立做一道相近的题。卡住时，定位到具体一步，回去看那一步用了什么条件、怎样处理。别从头到尾抄答案。做顺以后，再改变一个条件、换一种问法，或者把两种解法放在一起比较，让孩子练习判断哪种方法适合当前题目。基础较弱时，可以先提供前面几步，让他接着完成；随后逐渐减少提示，直到能够独立写出全过程。帮助应该随着掌握程度减少，不能变成固定陪跑。

初三总复习，先从最近几张试卷看丢分集中在哪里。计算不稳定，先补计算；基础证明缺条件、缺依据，就练推理表达；基础题已经掌握，综合题却难以下手，再练不同知识之间的联系。时间不能平均分配。已经熟练的内容，间隔做少量题保持就可以，主要精力应当留给反复出错、又影响后续学习的部分。专题练习解决了问题，还要放回综合卷中检验。会做一组标明题型的练习，不等于在整张试卷里能够认出并用好方法。

综合题可以分问处理。第一问做完，写清得到什么结论，再看第二问需要什么，两者是否能够联系。不要做完第一问就把它放到一边，后面重新从零开始。遇到暂时做不出的部分，先写出能够确定的关系、必要的式子或图形，再尝试推进。看讲解时，重点追查自己卡住的位置：为什么设这个未知数，为什么想到这个定理，哪个条件提供了线索。整道答案抄得再完整，也不能代替这几处理解。

初升高的暑假，先查初中的代数变形、方程、不等式和二次函数。薄弱的部分先补稳，再做适量预习。高一新概念可以提前读一读，把定义中的关键词标出来，看看课本例题，试做最基础的题。预习中没弄懂的问题记下来，开学时有针对性地听。看完一本书，并不能说明学会一本书。如果缺少独立做题和核对理解的过程，所谓提前学完，很可能只是提前看过。

高一接触新概念，不能嫌定义啰嗦。以函数为例，要弄清自变量在哪个集合中取值，按照什么对应关系，每一个允许取的值是否都有唯一确定的函数值。求定义域时，要根据解析式逐项检查限制：分母不能为0，偶次根式的被开方数不能为负数，题目还有没有另外规定范围。计算之前先确定这些条件。定义里漏掉一个限制，后面的运算即使全部正确，也可能回答了一个题目并没有提出的问题。

学函数，要把解析式、图像和性质放在一起看。比如y＝x²-2x，配方得到y＝（x-1）²-1，可以画出开口向上的抛物线，标出顶点（1，-1）和对称轴x＝1，再说明函数在x≤1时递减，在x≥1时递增。若题目限定0≤x≤3，就把这一段图像标出来，分别计算顶点和两个端点的函数值：x＝1时y＝-1，x＝0时y＝0，x＝3时y＝3，进而判断最小值和最大值。让孩子看见式子变化怎样对应图像和性质，理解会比孤立记题型扎实。

高中公式多，记忆时必须带上使用条件。公式在什么情况下成立，每个字母表示什么，使用前要核对哪些前提，都应该清楚。三角函数、向量、立体几何、概率统计，不能因为题目里出现熟悉的字母，就拿一个相似公式往里套。家长如果已经不熟悉这些内容，可以请孩子对照课本讲解，把讲不清楚的地方记下来，再去问老师。承认自己不懂，比凭旧印象指导孩子更负责任。陪学的作用也包括帮他发现问题，不要求家长包办所有讲解。

高一高二的课后学习，先把学校作业认真完成，把暴露的问题处理清楚，再决定是否加练。概念不明白，就回到课本定义和例题；同一类题反复出错，就选两三道放在一起比较；条件一变就不会，就练适量变式；方法正确、独立完成也没问题，只是速度慢，再提高熟练程度。每天固定加几页题，看似安排得很满，却可能没有碰到孩子最需要解决的地方。高中时间紧，额外练习更要有理由。

高中数学尤其要防止“听懂了就算会了”。老师讲解时，关键步骤已经替孩子安排好，孩子顺着听下去，与自己从头寻找解法，是两回事。拿一道刚讲过的例题，合上书和笔记，在白纸上独立做。哪里写不下去，就把哪里标出来，再查阅相应步骤。看过以后，要重新独立完成，并换一道相近的题检验。判断是否掌握，要看没有提示时能否把过程写出来，以及能否解释关键步骤的依据。

到了高三，复习要更多地依靠试卷提供的信息。每道错题都分析到具体知识和具体步骤，再选两三个影响较大的问题先处理。例如分式通分后漏乘某一项，求函数最值时忽略定义域，解析几何后面的问法变化后不知道怎样利用前面的结果。围绕这些问题选题，练习以后再用没有见过的题检验。如果一张卷子错得很多，就先补经常出现、牵连较广的基础漏洞。一天处理清楚一两个问题，比同时摊开十几个问题却没有一个学透更有意义。

限时训练要建立在一定掌握程度上。尚未弄懂方法的内容，先给足思考时间；能够独立完成以后，再练速度。开始可以限时完成一组选择填空，或一道大题，之后再练整张试卷。做完要查时间花在了哪里：运算不熟，读题理解慢，还是在一道难题上停留太久。找到原因，下一次才有具体调整。考场上的取舍也需要练习。明显超出预定时间、仍没有推进的题，先作标记，继续完成后面的题，再视剩余时间返回。不要把“五分钟必须跳题”之类的规定当成万能标准，题目分值、进展和整张卷子的时间安排都要考虑。

从小学到高中，课后都可以有一个简短的收尾。合上书，让孩子说说当天学了什么，挑一道有代表性的题独立完成，再把错误改明白。如果基础题已经掌握，可以换一道条件略有变化的题。当天作业多，就减少题量，集中解决一个问题；孩子已经明显疲惫，就先休息。这一步完全可以放在学校作业的订正中完成，不必另外增加一套任务。家长要关心这几分钟解决了什么，少关心形式是否齐全。

周末回顾，不需要把一周做过的题全部重做。选几道本周出过错的题，再加入几道以前学过的题，打乱顺序，让孩子自己判断使用什么方法。刚学完一节课，作业大多围绕同一种方法，孩子容易顺着题型做下去；新旧内容混在一起，才更能看出他是否知道为什么选这个方法。旧知识也需要隔一段时间重新调用，合上答案做一遍，比反复看熟悉的解题过程更能暴露问题。复习间隔可以根据孩子的遗忘情况调整，不必追求一张全年不变的时间表。

错题本不要做成抄题本（其实大佬们错题不多的，他们都没多少错题本，普娃勤恳点……）。保留有代表性的题，写清最早在哪一步出错，以及正确做法的依据，留出以后重做的位置。原因要具体，例如“括号前是减号，去括号时只改变了第一项的符号”、“题目求增加量，我算成了增加后的总量”。“粗心”、“下次注意”，对下一次做题没有实际帮助。复习时遮住答案，重新完成。经过间隔复习能够稳定做对的题，可以暂时移出重点复习范围，把时间留给仍然反复出错的内容。一本错题本厚不厚，不能说明学习有没有效果。

陪孩子写作业，首先要学会等待。笔停下来，并不一定是在走神。他可能在整理条件、尝试计算，或者考虑要不要画图。家长每次一见停顿就提醒，孩子很难练出独立思考的过程。确实卡住时，先让他说明题目要求什么，已经知道什么，自己尝试了什么；再给一个能够推动思考的小提示。还不能继续，就示范必要的一步，让他接着完成。没有学过的方法，可以直接讲；已经学过的内容，则要留出自己回忆和尝试的机会。也别把“独立思考”变成无限等待，帮助要看他当时缺什么。

看到错误，不必马上报出正确答案。先请孩子核对条件、单位，或把结果代回题目检查；如果他仍然找不到，再把范围缩小到某一步。比如让他检查去括号后的符号，说明某个结果表示人数还是费用。最后仍有困难，就一起沿着过程查找最早出错的位置，讲清原因。订正以后，最好再做一道相近的题。原题是在提醒下改对的，说明订正完成；新题能够独立做对，才提供了更可靠的掌握证据。

补课有没有作用，最终要看孩子离开课堂后能否独立解决相近难度的问题，以及这种变化能否保留下来。选择老师，别只听他一节课讲了多少题、多少技巧。要看他是否愿意检查孩子的草稿和错误步骤，是否能找到具体障碍，讲解以后是否给出合适的练习，并继续检查掌握情况。补了一段时间，可以选两道没讲过、难度相近的题让孩子独立完成。若仍然必须有人不断提醒，才能勉强往下做，就需要和老师讨论，调整内容和教法。课堂上的热闹，不能替代课后的进步。

孩子理解慢，先把每天要解决的问题缩小。读不懂题，就练习逐句整理条件，说明每句话的意思；计算经常卡住，就针对有关运算单独练，再放回应用题；能够口头解释却写不出过程，就先说后写，逐步练成完整表达。别因为一道题没做好，就顺带评判他的态度、智力和性格。这样的批评扩大了冲突，却没有解释错误。若长期提供适当教学和练习后，孩子对最基本的数量大小、简单加减仍有明显困难，应当与学校老师认真沟通，必要时寻求专业评估，了解困难来自哪里。继续增加作业量，不能代替这一步。

今晚就可以开始，不需要先制定一张十二年的计划，计划不如变化快，不要等！！！翻出最近的作业，选一个反复出错的问题，找到课本对应的内容，请孩子解释概念，再独立做一道基础题。卡在哪一步，就处理哪一步，随后换一道相近的题，过几天再检查。每周留下两行记录：这周哪个问题已经能够独立解决，哪个问题还需要继续练。下周的安排，就从这两行记录往下接。孩子需要每天知道自己该学什么、哪里有了进步；家长也要知道，自己的提醒是在逐渐减少，还是一直没有退下来。OK，就这样，各位娃们加油！